專題09 特殊的平行四邊形中的圖形變換模型之旋轉(zhuǎn)模型（原卷版）

專題09特殊的平行四邊形中的圖形變換模型之旋轉(zhuǎn)模型幾何變換中的旋轉(zhuǎn)問題是歷年中考考查頻率高且考查難度較高，綜合性強(qiáng)，通常有線段、三角形、（特殊）平行四邊形的旋轉(zhuǎn)問題。在解決此類問題時(shí)，要牢牢把握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，再結(jié)合幾何圖形本身的性質(zhì)，找到旋轉(zhuǎn)過程中變化的量和不變的量，運(yùn)用三角形全等或相似的有關(guān)知識(shí)，求解有關(guān)角、線段及面積問題。近年來雖然關(guān)于（特殊）平行四邊形旋轉(zhuǎn)的考查頻率高，由于之前的專題有總結(jié)過相關(guān)的旋轉(zhuǎn)模型，故本專題就只對(duì)特殊的平行四邊形旋轉(zhuǎn)中的題型作全面的總結(jié)，方便大家學(xué)習(xí)掌握。模型1.平行四邊形中的旋轉(zhuǎn)模型1）常規(guī)計(jì)算型例1．（2023·浙江八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，?ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，得到□AB′C′D′（點(diǎn)B′與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)C′與點(diǎn)C是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)D′與點(diǎn)D是對(duì)應(yīng)點(diǎn)），點(diǎn)B′恰好落在BC邊上，則∠C=（）A．155° B．170° C．105° D．145°例2．（2023·浙江·九年級(jí)期末）如圖，在中，，，將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，點(diǎn)落在線段上，在線段BE上取點(diǎn)，使，連結(jié)，，則的長為（

）A．2 B． C． D．2）最值（范圍）型例1．（2023·廣東·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，，∠ABC＝45°，點(diǎn)E為射線AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE，將BE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BF，連接AF，則AF的最小值是_____．例2．（2023·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在□ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠A＝60°，E是邊AD上且AE＝2DE，F(xiàn)是射線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段EF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到EG，連接BG、DG，則BG－DG的最大值為________．3）綜合證明型例1．（2022下·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在?ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6．點(diǎn)E'在BC邊上且＝4，將B繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a°得到BE（0°＜a＜180°）．(1)如圖1，當(dāng)∠EBA＝90°時(shí)，求S△BCE；(2)如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，連接CE，取CE中點(diǎn)F，作射線BF交直線AD于點(diǎn)G．①求線段BF的取值范圍；②當(dāng)∠EBF＝120°時(shí)，求證：BC﹣DG＝2BF；(3)如圖3．當(dāng)∠EBA＝90°時(shí)，點(diǎn)S為線段BE上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EM⊥射線AS于點(diǎn)M，N為AM中點(diǎn)，直接寫出BN的最大值與最小值．模型2.菱形中的旋轉(zhuǎn)模型1）常規(guī)計(jì)算型例1．（2023·江西九江·?？寄M預(yù)測）如圖，在菱形中，．若將菱形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（）得到四邊形，連接，則的度數(shù)為．

例2．（2023·廣東深圳·?？家荒＃┤鐖D，菱形的對(duì)角線交于原點(diǎn)O，，．將菱形繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）

A． B． C． D．例3．（2023·山東·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，將△BOC繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得到，若AC＝2，，則的長是（

）A．4 B． C．5 D．2）最值（范圍）型例1．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD＝120°，E是邊CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段EF繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EF'，連接AF'、BF'，則△ABF'的周長的最小值是___________．例2．（2023·山西·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，菱形ABCD中，AB＝12，∠ABC＝60°，點(diǎn)E在AB邊上，且BE＝2AE，動(dòng)點(diǎn)P在BC邊上，連接PE，將線段PE繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至線段PF，連接AF，則線段AF長的最小值為___．例3．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考一模）如圖，已知菱形和菱形，，，，連接，．將菱形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)最大時(shí)，等于（

）A．2 B． C．1 D．3）分類討論型例1．（2023·陜西西安·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）用兩個(gè)全等且邊長為4的等邊三角形和拼成菱形．把一個(gè)60°角的三角尺與這個(gè)菱形疊合，使三角尺的角的頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，兩邊分別與AB，AC重合，將三角尺繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，當(dāng)?shù)拿娣e是時(shí)，的長為（

）A．2或4 B．2或6 C．4或6 D．0或8

例2．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）[情景引入]如圖1，射線AD與線段AB重合，將射線AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角為，，在旋轉(zhuǎn)過程中，某一時(shí)刻射線AD把分成面積相等兩部分，于是我們可以求得，此時(shí)我們把射線AD稱為的“完美分割線”．[理解應(yīng)用]如圖2，在鈍角中，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，試說明：射線AD是的“完美分割線”．[問題提升]在菱形ABCD中，，點(diǎn)O為射線CA上的動(dòng)點(diǎn)，作射線OM與直線BC相交于點(diǎn)E，將射線OM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到射線ON，射線ON與直線CD相交于點(diǎn)F．（1）如圖3，點(diǎn)O與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段BC，CD上，①請(qǐng)直接寫出CE，CF，CA三條段段之間的數(shù)量關(guān)系；②連接E、F，試說明：為等邊三角形．（2）如圖4，將繞點(diǎn)O以每秒2°的速度逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)OM與AD重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)（旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t）；試問：當(dāng)t為何值時(shí)，射線OM或射線ON是某個(gè)三角形的“完美分割線”？（注：解答時(shí)原圖不添加任何字母和輔助線）4）綜合證明型例1．（2023·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，菱形ABCD的形狀和大小保持不變，將菱形ABCD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)適當(dāng)角度得到菱形A'BC'D'，邊A'D與AD，DC交于E，F(xiàn)（D，E，F(xiàn)不重合），連接EB，F(xiàn)B．在旋轉(zhuǎn)過程中：①EB平分∠AED'；②FB平分∠A'FC；③△DEF的周長是一個(gè)定值；④S△DEF+2S△BEF＝S菱形ABCD，判斷正確的是．例2．（2023·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1，菱形AEFG的兩邊AE、AG分別在菱形ABCD的邊AB和AD上，且∠BAD=60°，連接CF；（1）求證：；（2）如圖2，將菱形AEFG繞點(diǎn)A進(jìn)行順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中（1）中的結(jié)論是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由．例3．（2023春·浙江寧波·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在菱形中，，．將菱形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，得到菱形，與，分別交于點(diǎn)I，J，與交于點(diǎn)H，與交于點(diǎn)K，連接．(1)用含的代數(shù)式表示；(2)求證：平分；(3)在從到的變化過程中，①的周長是否變化？若不變，請(qǐng)求出的周長；若變化，請(qǐng)說明理由．②直接寫出點(diǎn)K的運(yùn)動(dòng)路徑長．

模型3.矩形中的旋轉(zhuǎn)模型1）常規(guī)計(jì)算型例1．（2023上·成都市·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，將矩形繞對(duì)角線的中點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)角度得到矩形，當(dāng)，D的距離等于1時(shí)，α等于（

）

A． B． C． D．例2．（2023·江西·統(tǒng)考三模）如圖，矩形ABCD中，，，將矩形ABCD繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形AFGE，當(dāng)點(diǎn)F落在邊CD上時(shí)，連接BF、DE，則（

）A． B． C． D．例3．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，矩形中，，，將矩形繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到矩形，若邊交線段于，且，則的值是______．2）最值（范圍）型例1．（2023·廣東·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在矩形ABCD中，AB＝7，BC＝7，點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)（含B、C兩點(diǎn)），連接AP，將線段AP繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AQ，連接DQ，則線段DQ的最小值為___．例2．（2023·安徽·校聯(lián)考三模）四邊形ABCD是矩形，以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形ABCD，得到矩形DEFG，，，試探究：（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E落在BC上時(shí)，CE的長度為；（2）如圖2，O是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，連接EO，F(xiàn)O，設(shè)的面積為s，在矩形DEFG的旋轉(zhuǎn)過程中，s的取值范圍為．3）分類討論型例1．（2023·江西南昌·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，將邊AD繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)另一端點(diǎn)恰好落在邊BC所在直線的點(diǎn)E處時(shí)，線段DE的長為．例2．（2023上·廣東珠?！ぞ拍昙?jí)?？计谥校┤鐖D，在矩形中，，，將矩形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于90度）得到矩形．(1)如圖①，若在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)E落在對(duì)角線上，分別交于點(diǎn)M，N，①求證：；②求的長；(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的情況，若直線經(jīng)過線段的中點(diǎn)，連接，求的面積．

4）綜合證明型例1．（2023·四川·眉山市東坡區(qū)模擬預(yù)測）如圖，Rt△ABE中，∠B=90°，AB=BE，將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到△AHD，過D作DC⊥BE交BE的延長線于點(diǎn)C，連接BH并延長交DC于點(diǎn)F，連接DE交BF于點(diǎn)O．下列結(jié)論：①DE平分∠HDC；②DO=OE；③H是BF的中點(diǎn)；④BC-CF=2CE；⑤CD=HF，其中正確的有（

）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)例2．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1，將矩形繞著點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形，點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，點(diǎn)恰好落在邊上，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)如圖2，連接并延長交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)在的延長線上，連接，若，在不添加任何輔助線和字母的條件下，直接寫出圖中所有的等腰三角形．

模型4.正方形中的旋轉(zhuǎn)模型1）常規(guī)計(jì)算型例1．（2023·河南·平頂山市模擬預(yù)測）如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)B在原點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，4），將AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，DE⊥BB′于點(diǎn)E，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．例2．（2023·陜西西安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在正方形ABCD中，，點(diǎn)M在CD邊上，且，與關(guān)于所在的直線AM對(duì)稱，將按順時(shí)針方向繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°得到，連接EF，則線段EF的長為（

）A． B． C． D．2）最值（范圍）型例1．（2023·湖北·鄂州市一模）如圖，已知正方形的邊長為3，點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，則當(dāng)之和取最小值時(shí)，的周長為（

）A． B． C． D．例2．（2023上·福建龍巖·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知正方形、正方形的邊長分別為4和1，將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，則線段的最大值為（

）．A． B． C． D．3）路徑（軌跡）型例1．（2023·浙江·九年級(jí)期末）如圖所示，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AE，將AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至EF，連結(jié)BF，取BF的中點(diǎn)M，若點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，則點(diǎn)M經(jīng)過的路徑長為（）A．2 B． C． D．4例2．（2023·廣東三模）如圖，是等腰直角三角形，正方形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再延長交于G，以下結(jié)論中：①；②；③當(dāng)，時(shí)，，正確的有（

）A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．都不對(duì)4）分類討論型例1．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）如圖，大正方形中，，小正方形中，，在小正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，線段的長為_______．例2．（2023·遼寧遼陽·一模）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD>2CE），直線BG與DE交于點(diǎn)H．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在CD上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段BG與DE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；(2)將正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在直線CD右側(cè)時(shí)，求證：；②當(dāng)∠DEC＝45°時(shí)，若AB＝3，CE＝1，請(qǐng)直接寫出線段DH的長．5）綜合證明型例1．（2023·廣東·三模）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M是AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是CM的中點(diǎn)，AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連接DE，DF．給出結(jié)論：①DE＝EF；②∠CDF＝45°；③若正方形的邊長為2，則點(diǎn)M在射線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CF有最小值．其中結(jié)論正確的是（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③例2．（2022·遼寧盤錦·中考真題）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ECF為等腰直角三角形，∠ECF＝90°，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在CD上，P為EF中點(diǎn)，連接AF，G為AF中點(diǎn)，連接PG，DG，將Rt△ECF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤360°）．(1)如圖1，當(dāng)α＝0°時(shí)，DG與PG的關(guān)系為；(2)如圖2，當(dāng)α＝90°時(shí)①求證：△AGD≌△FGM；②（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023下·廣東深圳·八年級(jí)校考期末）如圖，平行四邊形中，，，對(duì)角線交于點(diǎn)P，將平行四邊形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．2．（2023下·江蘇無錫·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在面積是12的平行四邊形中，對(duì)角線繞著它的中點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后，其所在直線分別交于點(diǎn)E、F，若，則圖中陰影部分的面積是（

）A．6 B．4 C．3 D．23．（2023·江蘇無錫·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝13，AD＝3，將平行四邊形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′落在AB邊上時(shí)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′恰好與點(diǎn)B、C在同一直線上，則此時(shí)△C′D′B的面積為（

）A．60 B．65 C．80 D．1204．（2023·湖北黃岡·校聯(lián)考一模）如圖，矩形ABCD中，AC＝2AB，將矩形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到矩形AB′C′D′，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'落在AC上，B'C'交AD于點(diǎn)E，在B'C′上取點(diǎn)F，使B'F＝AB．若AB＝2，則BF的長為（）A． B． C． D．25．（2023·湖北恩施·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，兩個(gè)正方形的邊長都為6，其中正方形OEFG繞著正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，正方形OEFG與邊AB，BC分別交于點(diǎn)M，N（不與端點(diǎn)重合），設(shè)兩個(gè)正方形重疊部分的面積為m，ΔBMN的周長為n，則下列說法正確的是（）

A．m發(fā)生變化，n存在最大值B．m發(fā)生變化，n存在最小值C．m不發(fā)生變化，n存在最大值D．m不發(fā)生變化，n存在最小值6．（2023·河南信陽·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形中，已知，，對(duì)角線AC、BO交點(diǎn)，將菱形繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，若旋轉(zhuǎn)次后，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的值可能是（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．20247．（2023春·江蘇南通·八年級(jí)南通田家炳中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，把菱形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到菱形AB′C′D′，則圖中陰影部分的面積為（

）A．1+B．2+C．3D．3–8．（2023春·上海長寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，菱形的邊長為，，連接，將菱形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在對(duì)角線上，連接，那么的面積是．

9．（2023秋·天津北辰·九年級(jí)校考期末）如圖，在菱形中，，，將菱形繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，對(duì)應(yīng)得到菱形，點(diǎn)在上，與交于點(diǎn)，則的長是．10．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考一模）如圖，是將菱形以點(diǎn)O為中心按順時(shí)針方向分別旋轉(zhuǎn)，，后形成的圖形．若，，則圖中陰影部分的面積為．11．（2023·s重慶·九年級(jí)期中）如圖，在菱形ABCD中，，，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)G，E是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CE，將線段CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到CF，連接EF，F(xiàn)G，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，線段FG長度的最小值是．12．（2023·吉林·九年級(jí)校考期中）如圖，在菱形中，，將菱形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形，與交于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)，，在同一條直線上時(shí)，的大小為．（用含的代數(shù)式表示）13．（2023上·浙江寧波·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知的對(duì)角線，將繞其對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)所轉(zhuǎn)過的路徑長為．14．（2023下·江蘇蘇州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，把平行四邊形繞著點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到平行四邊形，取的中點(diǎn)M、Q，連接．若，，，則線段長度的最大值為．15．（2024上·廣東韶關(guān)·九年級(jí)樂昌一中?？计谀┤鐖D，把矩形繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形，使點(diǎn)落在對(duì)角線上，連接，若，則°．

16．（2023·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，將矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后得矩形，交于點(diǎn)，且，則的長為．

17．（2023上·山西大同·九年級(jí)統(tǒng)考期中）綜合與實(shí)踐問題情境：如圖1，正方形和正方形有公共頂點(diǎn)，，，現(xiàn)將正方形繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，連接，．(1)猜想證明：猜想圖2中與的數(shù)量關(guān)系并證明；(2)探究發(fā)現(xiàn)：如圖3，當(dāng)時(shí)，連接，延長交于點(diǎn)，求證：垂直平分；(3)拓展延伸：在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，直接寫出此時(shí)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)和的面積．

18．（2023下·廣西南寧·八年級(jí)統(tǒng)考期中）綜合與實(shí)踐問題情境:在綜合實(shí)踐課上，李老師讓同學(xué)們根據(jù)如下問題情境，寫出兩個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論:如圖1,正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正方形的一個(gè)頂點(diǎn)（正方形的邊長足夠長），將正方形繞點(diǎn)0做旋轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)，與交于點(diǎn)M，與交于點(diǎn)N.如圖1“求實(shí)小組”寫出的兩個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論是：①；②.問題解決:（1）請(qǐng)你證明“求實(shí)小組”所寫的兩個(gè)結(jié)論的正確性.類比探究:如圖2（2）解決完“求實(shí)小組”的兩個(gè)問題后，老師讓同學(xué)們繼續(xù)探究，再