數(shù)學(xué)版本章整合學(xué)案：第二章平面向量

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精本章整合知識網(wǎng)絡(luò)專題探究專題一平面向量的線性運算（1)向量的加法、減法和數(shù)乘向量的綜合運算通常叫作向量的線性運算．（2)向量的線性運算的結(jié)果仍是一個向量,因此對它們的運算法則、運算律的理解和運用要注意大小、方向兩個方面．(3）理解向量的有關(guān)概念(如，相等向量與相反向量、平面向量基本定理等)，用基底表示向量，三角形法則、平行四邊形法則是向量線性運算的基礎(chǔ)．(4）題型主要有證明三點共線、兩線段平行、線段相等、求點或向量的坐標等．【例1】如圖,四邊形ABCD是梯形，AB∥DC，且AB＝2CD,M，N分別是DC和AB的中點,已知＝a，＝b，試用a，b表示，．分析:本題要求用a，b表示和，而a，b不共線，由平面向量基本定理,知此平面內(nèi)任何向量都可用a，b唯一表示,因此需結(jié)合圖形尋找,與a，b的關(guān)系．解：如圖，連接DN，CN．因為N為AB的中點,且=a，所以==．又AB=2CD，且AB∥CD，所以==a．所以==a．所以在△ADN中，=-=a-b，在△DMN中，＝－＝－b－＝－b,在△MNC中，＝－＝－＋b＝b，在△NBC中，＝－＝b－．所以＝－＋b，＝－b．專題二平面向量的坐標運算（1）向量的坐標運算把向量線性運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，達到數(shù)與形的統(tǒng)一．(2）平面向量的坐標運算主要解決求向量的坐標，判斷向量共線、平行等問題．【例2】已知A（－1,0），B(0，2)，C（－3，1），且·＝5，2＝10．（1）求D點的坐標；（2)用，表示．分析:利用待定系數(shù)法建立有關(guān)未知量的方程求解．解：（1)設(shè)D點的坐標為（x,y),則＝（1，2)，＝（x＋1，y),所以·＝x＋1＋2y＝5，①eq\x\to(AD）2＝(x＋1）2＋y2＝10．②聯(lián)立①②，解得或所以D點的坐標為（－2,3)或(2,1）．（2)當(dāng)D點的坐標為(－2,3）時,＝（1，2），＝（－1,3)，＝(－2,1）．設(shè)＝m＋n，則(－2,1)＝m（1，2）＋n(－1,3）．所以所以所以＝－＋．當(dāng)D點的坐標為（2，1)時,＝(3，1）．設(shè)＝p＋q，則（－2,1）＝p（1,2）＋q（3，1),所以所以所以＝－．所以當(dāng)D點的坐標為(－2,3)時，＝－＋；當(dāng)D點的坐標為(2,1）時,＝－．專題三平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用平面向量的數(shù)量積是向量的核心內(nèi)容，向量的平行、垂直是向量中最基本、最重要的位置關(guān)系，而向量的夾角、長度是向量的數(shù)量特征，利用向量的數(shù)量積可以證明兩個向量垂直、平行，求兩個向量的夾角，計算向量的長度等．【例3】設(shè)0〈|a｜≤2,f（x)＝cos2x－|a｜sinx－|b｜的最大值為0，最小值為－4，且a與b的夾角為45°，求|a＋b｜．分析：要求|a＋b|，需知道|a｜，｜b｜，故可利用函數(shù)的最值先確定|a|,｜b|的值．解：f(x）＝1－sin2x－｜a｜sinx－｜b|＝－＋－｜b|＋1．因為0〈｜a|≤2，所以當(dāng)sinx＝－時，f（x）取得最大值，即－|b｜＋1＝0．①當(dāng)sinx＝1時，f（x）取得最小值，即－｜a｜－|b｜＝－4．②由①②，解得所以|a＋b|2＝(a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2＝22＋2×2×2cos45°＋22＝8＋．所以｜a＋b|＝．【例4】已知四邊形ABCD中，＝（6,1)，＝(x，y），＝（－2,－3）．(1)若∥，求y＝f（x)的解析式;（2）在（1)的條件下，若⊥，求x,y的值以及四邊形ABCD的面積．分析：（1)利用向量平行的坐標表示，整理后可得函數(shù)的解析式;（2）根據(jù)條件先求出x,y的值，再求出|｜,||，然后利用S四邊形ABCD＝||｜|求四邊形ABCD的面積．解：(1)＝－(＋＋)＝(－x－4,2－y)．因為∥，所以x(2－y）－(－x－4）y＝0．整理，得x＋2y＝0，所以y＝f（x）＝－x．（2）因為＝＋＝（x＋6，y＋1)，＝＋＝（x－2，y－3),且⊥，所以·＝0，即(x＋6）（x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0．由(1）,知x＝－2y，將其代入上式,整理得y2－2y－3＝0，解得y1＝3，y2＝－1．當(dāng)y＝3時，x＝－6，則＝（－6,3），＝（0,4），＝（－8，0），所以|｜＝4，|｜＝8，所以S四邊形ABCD＝|｜||＝×4×8＝16．當(dāng)y＝－1時，x＝2，則＝（2，－1），＝(8，0)，＝（0,－4）,所以｜|＝8，||＝4，所以S四邊形ABCD＝||｜｜＝×8×4＝16．專題四向量中的數(shù)學(xué)思想1．?dāng)?shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想是研究平面向量的線性運算和數(shù)量積運算的定義及運算法則、運算律的推導(dǎo)的基本思想方法．向量的坐標表示的引入,使向量運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密地結(jié)合在一起．運用數(shù)形結(jié)合思想可解決三點共線，兩條線段（或射線、直線）平行、垂直，夾角、距離、面積等問題．【例5】已知在同一平面內(nèi)的向量a與b垂直,向量c與向量a的夾角為60°，且|a|＝1，｜b｜＝，|c|＝2，則向量r＝a＋b＋c的模等于__________．解析:根據(jù)題意在平面內(nèi)作出向量a,b，c，有兩種情況，如圖所示，在圖(1）中，a＋b與c同向且模相等，所以r＝a＋b＋c＝2c，所以｜r｜＝2｜c|＝2×2＝4;在圖（2）中，a＋b與c的模相等,以它們?yōu)猷忂叺钠叫兴倪呅螢榱庑?，因為r＝a＋b＋c，所以｜r｜＝|c｜＝2．故填4或2．答案：4或2點評根據(jù)題意準確作圖非常關(guān)鍵，特別注意不要漏解，再用向量加法的平行四邊形法則找到所求向量．2．轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸思想在平面向量的應(yīng)用中分為兩個方面：一方面是向量問題可以應(yīng)用基向量法或向量的坐標法解決或轉(zhuǎn)化為函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等知識解決;另一方面是將其他問題轉(zhuǎn)化為向量問題，應(yīng)用向量知識解決．【例6】已知Rt△ABC中,∠C＝90°，AC＝m,BC＝n．（1）若D為斜邊AB的中點，求證：CD＝AB．(2）若E為CD的中點,連接AE并延長交BC于F，求AF的長度（用m，n表示）．(1）證明：以C為坐標原點,以邊CB,CA所在的直線為x軸，y軸建立直角坐標系,如圖所示,A（0,m），B（n,0)．因為D為AB的中點，所以D．所以|｜=，|｜=．所以||=||,即CD=AB．（2)解：因為E為CD的中點，所以E．設(shè)F（x,0），則=，=(x,-m)．因為A，E，F(xiàn)共線,所以存在實數(shù)λ，使=λ,即（x，—m)=λ，所以即x=,即F,所以||=．名師點撥坐標法把向量的幾何屬性代數(shù)化，把對向量問題的處理程序化，從而降低了解決問題的難度．另外，坐標法又是實現(xiàn)把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為向量問題的橋梁．因此，我們要善于運用坐標法把幾何問題、代數(shù)問題、向量問題進行相互轉(zhuǎn)化,從而達到揚長避短的目的．3．分類討論思想當(dāng)數(shù)學(xué)問題中含有變量或參數(shù)，而這些變量或參數(shù)取不同值會導(dǎo)致不同的結(jié)果時，需要對參數(shù)進行分類討論．分類討論時，應(yīng)遵循不重不漏的原則,逐類進行，還必須對討論結(jié)果加以綜合，使解題步驟規(guī)范、完整．【例7】若在△ABC中，＝(－2，3），＝(1，m),且△