高一數(shù)學(xué)下冊(cè)期末考點(diǎn)大串講(人教A版)第2講直線、平面平行和垂直的判定與性質(zhì)(知識(shí)點(diǎn)串講)特訓(xùn)（學(xué)生版+解析）

第二講直線、平面平行垂直的判定與性質(zhì)【知識(shí)梳理】1．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行?線面平行)l∥a，a?α，l?α?l∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(線面平行?線線平行)l∥α，l?β，α∩β＝b?l∥b2．判斷或證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無(wú)公共點(diǎn))．(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，a?α?a∥β)．(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α，a?β，a∥α?a∥β)．【考點(diǎn)精煉】考點(diǎn)一：直線與平面平行的判定例1、(2019·陜西西安調(diào)研)如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過(guò)G和AP作平面交平面BDM于GH.求證：AP∥GH.練習(xí)、如圖所示，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)D，D1分別為AC，A1C1上的中點(diǎn)．(1)證明AD1∥平面BDC1；(2)證明BD∥平面AB1D1.練習(xí)、如圖所示，CD，AB均與平面EFGH平行，E，F(xiàn)，G，H分別在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.求證：四邊形EFGH是矩形．【知識(shí)梳理】3.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(線面平行?面面平行)a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α?α∥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b4.判定面面平行的四種方法(1)利用定義，即證兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)(不常用)．(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)．(3)利用垂直于同一條直線的兩平面平行(客觀題可用)．(4)利用平面平行的傳遞性，即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行(客觀題可用)．【考點(diǎn)精煉】考點(diǎn)二：平面與平面平行的判定與性質(zhì)例2、(2019年南寧月考)如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.[變式探究]在本例條件下，若D1，D分別為B1C1，BC的中點(diǎn)，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.訓(xùn)練、如圖，ABCD與ADEF均為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn)．(1)求證：BE∥平面DMF；(2)求證：平面BDE∥平面MNG.【知識(shí)梳理】5、重要結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.(3)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.【考點(diǎn)精煉】考點(diǎn)三：與線面平行相關(guān)的命題真假判斷例3．(2019·山東日照月考)若m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是()A．若α⊥β，m⊥β，則m∥αB．若m∥α，n⊥m，則n⊥αC．若m∥α，n∥α，m?β，n?β，則α∥βD．若m∥β，m?α，α∩β＝n，則m∥n練習(xí)．(全國(guó)卷Ⅰ)如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()【知識(shí)梳理】6．直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義：直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說(shuō)直線l與平面α互相垂直．(2)直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理：文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b7．證明線面垂直的常用方法(1)利用線面垂直的判定定理．(2)利用“兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個(gè)平面垂直”．(3)利用“一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，則與另一個(gè)也垂直”．(4)利用面面垂直的性質(zhì)定理．8．證明線線垂直的常用方法(1)利用特殊圖形中的垂直關(guān)系．(2)利用等腰三角形底邊中線的性質(zhì)．(3)利用勾股定理的逆定理．(4)利用直線與平面垂直的性質(zhì)．【考點(diǎn)精煉】考點(diǎn)四：直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例4．(2019·湖南六校聯(lián)考)已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個(gè)不重合的平面，下列給出的條件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β且m?α B．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥β D．m⊥n且α∥β練習(xí)、（2019年濰坊月考）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，AB＝5，AC＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE＝CF＝eq\f(5,4)，EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△D′EF的位置．OD′＝eq\r(10).求證：D′H⊥平面ABCD.【知識(shí)梳理】9．平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．(2)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理：文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l?β,l⊥α))?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α10.面面垂直的兩種證明方法(1)定義法：利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，將證明面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問(wèn)題．(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即證明其中一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證明線線垂直加以解決．【考點(diǎn)精煉】考點(diǎn)五：面面垂直的判定與性質(zhì)練習(xí)、(北京卷)如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D為線段AC的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn)．(1)求證：PA⊥BD；(2)求證：平面BDE⊥平面PAC；(3)當(dāng)PA∥平面BDE時(shí)，求三棱錐E-BCD的體積．[變式探究]在本例條件下，證明：平面PBC⊥平面PAB.練習(xí)、(2018·全國(guó)卷Ⅰ)如圖，在平行四邊形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC為折痕將△ACM折起，使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置，且AB⊥DA.(1)證明：平面ACD⊥平面ABC；(2)Q為線段AD上一點(diǎn)，P為線段BC上一點(diǎn)，且BP＝DQ＝eq\f(2,3)DA，求三棱錐Q-ABP的體積．考點(diǎn)六：平行、垂直中關(guān)系的證明例6、(2018·江蘇卷)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求證：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.練習(xí)、(2018·全國(guó)卷Ⅲ)如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧eq\o\ac(CD,\s\up10(︵))所在平面垂直，M是eq\o\ac(CD,\s\up10(︵))上異于C，D的點(diǎn)．(1)證明：平面AMD⊥平面BMC；(2)在線段AM上是否存在點(diǎn)P，使得MC∥平面PBD？說(shuō)明理由．練習(xí)、(2019·山東濰坊模擬)如圖(1)，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝eq\f(π,2)，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD＝a，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn)．將△ABE沿BE折起到圖(2)中△A1BE的位置，得到四棱錐A1-BCDE.(1)證明：CD⊥平面A1OC；(2)當(dāng)平面A1BE⊥平面BCDE時(shí)，四棱錐A1-BCDE的體積為36eq\r(2)，求a的值．第二講直線、平面平行垂直的判定與性質(zhì)【知識(shí)梳理】1．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行?線面平行)l∥a，a?α，l?α?l∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(線面平行?線線平行)l∥α，l?β，α∩β＝b?l∥b2．判斷或證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無(wú)公共點(diǎn))．(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，a?α?a∥β)．(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α，a?β，a∥α?a∥β)．【考點(diǎn)精煉】考點(diǎn)一：直線與平面平行的判定例1、(2019·陜西西安調(diào)研)如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過(guò)G和AP作平面交平面BDM于GH.求證：AP∥GH.證明如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點(diǎn)，又M是PC的中點(diǎn)，∴AP∥OM.又MO?平面BMD，PA?平面BMD，∴PA∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，且PA?平面PAHG，∴AP∥GH.練習(xí)、如圖所示，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)D，D1分別為AC，A1C1上的中點(diǎn)．(1)證明AD1∥平面BDC1；(2)證明BD∥平面AB1D1.證明(1)∵D1，D分別為A1C1與AC的中點(diǎn)，四邊形ACC1A1為平行四邊形，∴C1D1∥DA，C1D1＝DA，∴四邊形ADC1D1為平行四邊形，∴AD1∥C1D.又AD1?平面BDC1，C1D?平面BDC1，∴AD1∥平面BDC1.(2)連接D1D.∵BB1∥平面ACC1A1，BB1?平面BB1D1D，平面ACC1A1∩平面BB1D1D＝D1D，∴BB1∥D1D.又D1，D分別為A1C1AC中點(diǎn)，∴BB1＝DD1，∴四邊形BDD1B1為平行四邊形，∴BD∥B1D1.又BD?平面AB1D1，B1D1?平面AB1D1，∴BD∥平面AB1D1.練習(xí)、如圖所示，CD，AB均與平面EFGH平行，E，F(xiàn)，G，H分別在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.求證：四邊形EFGH是矩形．證明∵CD∥平面EFGH，而平面EFGH∩平面BCD＝EF，∴CD∥EF.同理HG∥CD，∴EF∥HG.同理HE∥GF，∴四邊形EFGH為平行四邊形，∴CD∥EF，HE∥AB，∴∠HEF為異面直線CD和AB所成的角．又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.∴平行四邊形EFGH為矩形．【知識(shí)梳理】3.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(線面平行?面面平行)a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α?α∥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b4.判定面面平行的四種方法(1)利用定義，即證兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)(不常用)．(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)．(3)利用垂直于同一條直線的兩平面平行(客觀題可用)．(4)利用平面平行的傳遞性，即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行(客觀題可用)．【考點(diǎn)精煉】考點(diǎn)二：平面與平面平行的判定與性質(zhì)例2、(2019年南寧月考)如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明(1)∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，∴GH是△A1B1C1的中位線，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點(diǎn)共面．(2)∵E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC.∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G∥EB且A1G＝EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.又∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA，∴平面EFA1∥平面BCHG.[變式探究]在本例條件下，若D1，D分別為B1C1，BC的中點(diǎn)，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.證明如圖所示，連接A1C交AC1于點(diǎn)M，∵四邊形A1ACC1是平行四邊形，∴M是A1C的中點(diǎn)，連接MD，∵D為BC的中點(diǎn)，∴A1B∥DM.∵A1B?平面A1BD1，DM?平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1∥BD，∴四邊形BDC1D1為平行四邊形，∴DC1∥BD1.又DC1?平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1.又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM?平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.訓(xùn)練、如圖，ABCD與ADEF均為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn)．(1)求證：BE∥平面DMF；(2)求證：平面BDE∥平面MNG.證明(1)連接AE，則AE必過(guò)DF與GN的交點(diǎn)O，連接MO，則MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO，又BE?平面DMF，MO?平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因?yàn)镹，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點(diǎn)，所以DE∥GN，又DE?平面MNG，GN?平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M為AB的中點(diǎn)，所以MN為△ABD的中位線，所以BD∥MN，又MN?平面MNG，BD?平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE∩BD＝D，DE?平面BDE，BD?平面BDE，所以平面BDE∥平面MNG.【知識(shí)梳理】5、重要結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.(3)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.【考點(diǎn)精煉】考點(diǎn)三：與線面平行相關(guān)的命題真假判斷例3．(2019·山東日照月考)若m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是()A．若α⊥β，m⊥β，則m∥αB．若m∥α，n⊥m，則n⊥αC．若m∥α，n∥α，m?β，n?β，則α∥βD．若m∥β，m?α，α∩β＝n，則m∥n【答案】D[對(duì)于A，若α⊥β，m⊥β，則m∥α或m?α，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若m∥α，n⊥m，則n⊥α或n?α或n與α相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若m∥α，n∥α，m?β，n?β，則α∥β或α、β相交，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若m∥β，m?α，α∩β＝n，由線面平行的性質(zhì)定理，可得m∥n，故D正確．]練習(xí)．(全國(guó)卷Ⅰ)如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()【答案】A[A項(xiàng)，作如圖①所示的輔助線，其中D為BC的中點(diǎn)，則QD∥AB.∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD與平面MNQ相交，∴直線AB與平面MNQ相交．B項(xiàng)，作如圖②所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.C項(xiàng)，作如圖③所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.D項(xiàng)，作如圖④所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥NQ.∴AB∥NQ.又AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.]【知識(shí)梳理】6．直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義：直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說(shuō)直線l與平面α互相垂直．(2)直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理：文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b7．證明線面垂直的常用方法(1)利用線面垂直的判定定理．(2)利用“兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個(gè)平面垂直”．(3)利用“一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，則與另一個(gè)也垂直”．(4)利用面面垂直的性質(zhì)定理．8．證明線線垂直的常用方法(1)利用特殊圖形中的垂直關(guān)系．(2)利用等腰三角形底邊中線的性質(zhì)．(3)利用勾股定理的逆定理．(4)利用直線與平面垂直的性質(zhì)．【考點(diǎn)精煉】考點(diǎn)四：直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例4．(2019·湖南六校聯(lián)考)已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個(gè)不重合的平面，下列給出的條件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β且m?α B．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥β D．m⊥n且α∥β【答案】C[由線面垂直的判定定理，可知C正確．]練習(xí)、（2019年濰坊月考）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，AB＝5，AC＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE＝CF＝eq\f(5,4)，EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△D′EF的位置．OD′＝eq\r(10).求證：D′H⊥平面ABCD.證明由已知得AC⊥BD，AD＝CD.又由AE＝CF得eq\f(AE,AD)＝eq\f(CF,CD)，故AC∥EF.因此EF⊥HD，從而EF⊥D′H.由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝eq\r(AB2－AO2)＝4.由EF∥AC得eq\f(OH,DO)＝eq\f(AE,AD)＝eq\f(1,4).所以O(shè)H＝1，D′H＝DH＝3.于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH.又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，且OH，EF?平面ABCD，所以D′H⊥平面ABCD.【知識(shí)梳理】9．平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．(2)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理：文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l?β,l⊥α))?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α10.面面垂直的兩種證明方法(1)定義法：利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，將證明面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問(wèn)題．(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即證明其中一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證明線線垂直加以解決．【考點(diǎn)精煉】考點(diǎn)五：面面垂直的判定與性質(zhì)練習(xí)、(北京卷)如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D為線段AC的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn)．(1)求證：PA⊥BD；(2)求證：平面BDE⊥平面PAC；(3)當(dāng)PA∥平面BDE時(shí)，求三棱錐E-BCD的體積．(1)證明因?yàn)镻A⊥AB，PA⊥BC，所以PA⊥平面ABC.又因?yàn)锽D?平面ABC，所以PA⊥BD.(2)證明因?yàn)锳B＝BC，D為AC的中點(diǎn)，所以BD⊥AC.由(1)知，PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC，所以平面BDE⊥平面PAC.(3)解因?yàn)镻A∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，所以PA∥DE.因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)，所以DE＝eq\f(1,2)PA＝1，BD＝DC＝eq\r(2).由(1)知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC，所以三棱錐E-BCD的體積V＝eq\f(1,6)BD·DC·DE＝eq\f(1,3).[變式探究]在本例條件下，證明：平面PBC⊥平面PAB.證明由(1)知PA⊥BC，又BC⊥AB且PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，又∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.練習(xí)、(2018·全國(guó)卷Ⅰ)如圖，在平行四邊形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC為折痕將△ACM折起，使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置，且AB⊥DA.(1)證明：平面ACD⊥平面ABC；(2)Q為線段AD上一點(diǎn)，P為線段BC上一點(diǎn)，且BP＝DQ＝eq\f(2,3)DA，求三棱錐Q-ABP的體積．(1)證明由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC.又BA⊥AD，所以AB⊥平面ACD.又AB?平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.(2)解由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3eq\r(2).又BP＝DQ＝eq\f(2,3)DA，所以BP＝2eq\r(2).如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AC，垂足為E，則QE綊eq\f(1,3)DC.由已知及(1)可得，DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE＝1.因此，三棱錐Q-ABP的體積為VQ-ABP＝eq\f(1,3)×S△ABP×QE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×2eq\r(2)sin45°×1＝1.考點(diǎn)六：平行、垂直中關(guān)系的證明例6、(2018·江蘇卷)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求證：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.(1)證明在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1.因?yàn)锳B?平面A1B1C，A1B1?平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.(2)證明在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABB1A1為平行四邊形．又因?yàn)锳A1＝AB，所以四邊形ABB1A1為菱形，因此AB1⊥A1B.又因?yàn)锳B1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.又因?yàn)锳1B∩BC＝B，A1B?平面A1BC，BC?平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因?yàn)锳B1?平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.