《離散型隨機(jī)變量及其分布列》同步學(xué)案(教師版)

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2《離散型隨機(jī)變量及其分布列》同步學(xué)案情境導(dǎo)入某人射擊一次,可能命中0環(huán),命中1環(huán),,命中10環(huán),即可能出現(xiàn)的結(jié)果可以由這11個數(shù)表示;某次產(chǎn)品檢驗(yàn),在可能含有次品的100件產(chǎn)品中任意抽取4件,那么其中含有的次品可能是0件、1件、2件、3件、4件,即可能出現(xiàn)的結(jié)果可以由這5個數(shù)表示在這些隨機(jī)試驗(yàn)中,可能出現(xiàn)的結(jié)果都可以用一個數(shù)來表示,這個數(shù)在進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)之前是否是預(yù)先確定的?在不同的隨機(jī)試驗(yàn)中,結(jié)果是否不變?觀察上述例子,概括出它們的共同特點(diǎn).自主學(xué)習(xí)自學(xué)導(dǎo)引1.隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量(1)隨機(jī)變量一般地,對于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間中的每個樣本點(diǎn),都有唯一的實(shí)數(shù)與之對應(yīng),我們稱為_______.(2)離散型隨機(jī)變量可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機(jī)變量,我們稱為______.通常用大寫英文字母表示隨機(jī)變量,例如;用小寫英文字母表示隨機(jī)變量的取值,例如.(3)隨機(jī)變量和函數(shù)的關(guān)系隨機(jī)變量的定義與函數(shù)的定義類似,這里的樣本點(diǎn)相當(dāng)于函數(shù)定義中的_____,而樣本空間相當(dāng)于函數(shù)的______,不同之處在于不一定是________.2.離散型隨機(jī)變量的分布列及兩點(diǎn)分布(1)離散型隨機(jī)變量的分布列①一般地,設(shè)離散型隨機(jī)變量的可能取值為,,我們稱取每一個值的概率,為的概率分布列,簡稱為______.②可以用表格來表示的分布列,如下表所示.還可以用圖形表示,下圖直觀地表示了擲骰子試驗(yàn)中擲出的點(diǎn)數(shù)的分布列,稱為_________________.(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)①_________________________;②________________________.(3)兩點(diǎn)分布對于只有兩個可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn),用_______表示“成功”,_______表示“失敗”,定義如果,則,那么的分布列如下表所示.01我們稱服從兩點(diǎn)分布或分布.答案:1.(1)隨機(jī)變量(2)離散型隨機(jī)變量(3)自變量定義域數(shù)集2.(1)①分布列②的概率分布圖(2)①②(3)預(yù)習(xí)測評1.(多選題)下列變量中,不是離散型隨機(jī)變量的是()A.到2020年5月1日止,我國被確診的患新型冠狀病毒肺炎的人數(shù)B.一只剛出生的大熊貓一年以后的身高C.某人在車站等出租車的時間D.某人投籃10次,可能投中的次數(shù)2.已知隨機(jī)變量只能取三個值,其概率依次成等差數(shù)列,則該等差數(shù)列公差的取值范圍是()A.B.C.D.3.甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行對抗賽,在某一輪中有3道題,比賽規(guī)則:對于每道題,沒有搶到題的隊(duì)伍得0分,搶到題并回答正確的得1分,搶到題但回答錯誤的扣1分(即-1分).若是甲隊(duì)在該輪比賽獲勝時的得分(分?jǐn)?shù)高者勝),則的所有可能值為___________.4.設(shè)隨機(jī)變量等可能取值,如果,那么__________,_________.5.判斷下列變量是否是隨機(jī)變量,若是,是否為離散型隨機(jī)變量?(1)某市醫(yī)院明天接到120急救電話的次數(shù);(2)公交車司機(jī)下周一收取的費(fèi)用;(3)某單位下個月的用水量;(4)某家庭上個月的電話費(fèi).答案:1.2.解析:由題意可設(shè)隨機(jī)變量取的概率分別為,則由分布列的性質(zhì),得,故.得解得.所以公差的取值范圍是.3.解析:表示“甲搶到1題且答錯,而乙搶到2題且均答錯”.表示有兩種可能:“甲沒搶到題,而乙搶到3題且答錯2題或3題;甲搶到2題且1題答對1題答錯,乙搶到1題且答錯”.表示有兩種可能:“甲搶到1題且答對,而乙搶到2題且1題答對1題答錯或都答錯;甲搶到3題且1題答錯2題答對”.表示“甲搶到2題且均答對”.表示“甲搶到3題且均答對”.4.0.110解析:由題意知,所以.得,所以.5.(1)的取值隨各種原因的變化而變化,可能為,是隨機(jī)變量,也是離散型隨機(jī)變量.(2)的取值隨乘客的數(shù)量變化而變化,是隨機(jī)變量,也是離散型隨機(jī)變量.(3)的取值隨各種原因的變化而變化,可能取內(nèi)某一區(qū)間上的所有值,無法一一列出,是隨機(jī)變量,但不是離散型隨機(jī)變量.(4)的取值是一個定值,故不是隨機(jī)變量.新知探究探究點(diǎn)1隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量知識詳解1.隨機(jī)變量的定義一般地,對于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間中的每個樣本點(diǎn),都有唯一的實(shí)數(shù)與之對應(yīng),我們稱為隨機(jī)變量.2.隨機(jī)變量的特點(diǎn)(1)取值依賴于樣本點(diǎn);(2)所有可能取值是明確的.3.離散型隨機(jī)變量的定義可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機(jī)變量,我們稱為離散型隨機(jī)變量.通常用大寫英文字母表示隨機(jī)變量,例如;用小寫英文字母表示隨機(jī)變量的取值,例如.4.判斷一個隨機(jī)變量是否為離散型隨機(jī)變量的具體方法:(1)明確隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果;(2)將隨機(jī)試驗(yàn)的試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化;(3)確定試驗(yàn)結(jié)果所對應(yīng)的實(shí)數(shù)是否可按一定次序一一列舉出來,如果能一一列舉出來,則該隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量,否則不是.典例探究例1下列變量中,哪些是隨機(jī)變量,哪些不是隨機(jī)變量？(1)某機(jī)場一年中每天運(yùn)送乘客的數(shù)量;(2)某單位辦公室一天中接到電話的次數(shù);(3)明年5月1日到10月1日期間所查酒駕的人數(shù);(4)明年某天濟(jì)南至青島的某次列車到達(dá)青島站的時間;(5)小明上個月的信用卡賬單.解析:(1)某機(jī)場一年中每天運(yùn)送乘客的數(shù)量可能為,是隨機(jī)變化的,因此是隨機(jī)變量.(2)某單位辦公室一天中接到電話的次數(shù)可能為0,1,,是隨機(jī)變化的,因此是隨機(jī)變量.(3)明年5月1日到10月1日期間,所查酒駕的人數(shù)可能為,是隨機(jī)變化的,因此是隨機(jī)變量.(4)濟(jì)南至青島的某次列車到達(dá)青島站的時間每次都是隨機(jī)變化的,可能提前,可能準(zhǔn)時,亦可能晚點(diǎn),因此是隨機(jī)變量.(5)小明上個月的信用卡賬單是固定的,因此不是隨機(jī)變量.答案:(1)(2)(3)(4)中的變量都是隨機(jī)變量,(5)中的變量不是隨機(jī)變量.方法歸納隨機(jī)變量的辨析方法:(1)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果的可變性,即每次試驗(yàn)對應(yīng)的結(jié)果不盡相同.(2)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果的確定性,即每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個,但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會出現(xiàn)哪一個結(jié)果.如果一個隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果對應(yīng)的變量具有以上兩點(diǎn),則該變量即為隨機(jī)變量.變式訓(xùn)練1判斷下列隨機(jī)變量是否是離散型隨機(jī)變量,并說明理由.(1)從10張已編好號碼的卡片(從1號到10號)中任取1張,被取出的卡片的號碼;(2)一個袋中裝有5個白球和5個黑球,從中任取3個,其中所含白球的個數(shù);(3)某林場樹木最高達(dá),此林場中樹木的高度.答案:(1)只要取出一張卡片,便有一個號碼,則被取出的卡片可能的號碼可以一一列舉出來,因此是離散型隨機(jī)變量.(2)從10個球中任取3個球,所得的結(jié)果有以下幾種:3個白球;2個白球和1個黑球;1個白球和2個黑球;3個黑球.即其結(jié)果可以一一列舉出來,因此是離散型隨機(jī)變量.(3)此林場中樹木的高度可以取內(nèi)的一切值,無法一一列舉,因此不是離散型隨機(jī)變量.探究點(diǎn)2離散型隨機(jī)變量的分布列知識詳解1.離散型隨機(jī)變量的分布列的定義一般地,設(shè)離散型隨機(jī)變量的可能取值為,,我們稱取每一個值的概率為的概率分布列,簡稱分布列.2.求離散型隨機(jī)變量的分布列的步驟(1)根據(jù)問題設(shè)一個離散型隨機(jī)變量,并寫出離散型隨機(jī)變量所有的可能取值;(2)求出離散型隨機(jī)變量的每一個可能取值所對應(yīng)的概率;(3)用解析式或表格表示分布列.典例探究例2一袋中裝有6個同樣大小的黑球,編號為1,2,,現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個球,以表示取出球的最大號碼,求的分布列.解析:先根據(jù)的意義寫出的可能取值,然后計(jì)算出取每個值的概率,最后列表.答案:由題意知,的可能取值為.根據(jù)古典概型的知識,可得的分布列為用表格表示的分布列,如下表所示.方法歸納確定離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是要搞清取每一個值對應(yīng)的隨機(jī)事件,進(jìn)一步利用排列、組合知識求出取每一個值的概率.變式訓(xùn)練2袋中有1個白球和4個黑球,每次從中任取1個球,每次取出的黑球不再放回,直到取出白球后停止,求取球次數(shù)的分布列.答案:由題意知,的可能取值為.第1次取出白球的概率為,第2次取出白球的概率為,第3次取出白球的概率為,第4次取出白球的概率為第5次取出白球的概率為,所以的分布列是探究點(diǎn)3離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)及其應(yīng)用知識詳解1.離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)(1);(2).2.離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)的應(yīng)用(1)利用離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)“”與“”可以求出分布列中某個未知概率或參數(shù);(2)根據(jù)給出的分布列可求出離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)的概率;(3)利用離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可以檢驗(yàn)所求分布列及某些事件的概率是否正確.典例探究例3設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為,求:(1)或;(2).解析:(1)根據(jù)已知條件,結(jié)合離散型隨機(jī)變量全部取值的概率和為1求出的值,然后利用與或,代入求值即可;(2),代入求值即可.答案:(1)由已知得,所以10,所以或.(2)由已知與(1),得方法歸納離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)的應(yīng)用:(1)利用離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)可以求與概率有關(guān)的參數(shù)的取值或范圍,還可以檢驗(yàn)所求分布列是否正確.(2)由于離散型隨機(jī)變量的各個可能取值表示的事件是彼此互斥的,所以離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和.變式訓(xùn)練3設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為.求：(1)實(shí)數(shù)的值;(2);(3).答案:由已知得的分布列為(1)由,得.(2)方法一:.方法二:.(3).易錯易混解讀例小王參加一次比賽,比賽共設(shè)三關(guān),第一、二關(guān)各有兩個必答題,如果每關(guān)兩個問題都答對,可進(jìn)入下一關(guān),第三關(guān)有三個問題,只要答對其中兩個問題,則闖關(guān)成功.每過一關(guān)可一次性獲得價(jià)值分別為1000元、3000元、6000元的獎品(不重復(fù)得獎).用表示小王所獲獎品的價(jià)值,寫出的所有可能取值.錯解的可能取值為,.錯因分析(1)對題目背景理解不準(zhǔn)確:比賽設(shè)三關(guān),前一關(guān)不過是不允許進(jìn)入下一關(guān)比賽的;(2)忽略題目中的條件:不重復(fù)得獎,最高獎不會超過6000元.正解的可能取值為.表示“第一關(guān)就沒有通過”;表示“第一關(guān)通過而第二關(guān)沒有通過”;表示“第一關(guān)通過、第二關(guān)通過而第三關(guān)沒有通過”;表示“三關(guān)都通過”.糾錯心得理解題目背景,弄清各條件的含義,挖掘出隱含條件,是準(zhǔn)確寫出隨機(jī)變量的所有可能取值,正確解答題目的關(guān)鍵.課堂檢測1.下列變量中,不是隨機(jī)變量的是()A.一射手射擊一次命中的環(huán)數(shù)B.標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下,水沸騰時的溫度C.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,所得點(diǎn)數(shù)之和D.某電話總機(jī)在時間區(qū)間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)2.隨機(jī)變量是某城市1天之中發(fā)生的火警次數(shù),隨機(jī)變量是某城市1天之內(nèi)的溫度,隨機(jī)變量是某火車站1小時內(nèi)的旅客流動人數(shù).這三個隨機(jī)變量中不是離散型隨機(jī)變量的是()A.和B.只有C.和D.只有3.某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列為則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)大于7”的概率為()A.0.28B.0.88C.0.79D.0.514.若離散型隨機(jī)變量的