【壓軸專練】專題02 全等三角形做輔助線六種方法大全（原卷版）-2021-2022學年八上壓軸題攻略

專題02全等三角形做輔助線六種方法大全幾何探究類問題一直屬于考試壓軸題范圍，在三角形這一章，壓軸題主要考查是證明三角形各種模型，或證明線段數(shù)量關系等，接來下我們針對其做出詳細分析與梳理。類型一、倍長中線模型中線倍長法：將中點處的線段延長一倍。目的：=1\*GB3①構(gòu)造出一組全等三角形；=2\*GB3②構(gòu)造出一組平行線。將分散的條件集中到一個三角形中去。例1．如圖，為中邊上的中線．（1）求證：；（2）若，，求的取值范圍．【變式訓練1】（1）如圖1，已知中，AD是中線，求證：；（2）如圖2，在中，D，E是BC的三等分點，求證：；（3）如圖3，在中，D，E在邊BC上，且．求證：．【變式訓練2】（1）方法學習：數(shù)學興趣小組活動時，張老師提出了如下問題：如圖1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖2），①延長AD到M，使得DM＝AD；②連接BM，通過三角形全等把AB、AC、2AD轉(zhuǎn)化在△ABM中；③利用三角形的三邊關系可得AM的取值范圍為AB﹣BM＜AM＜AB+BM，從而得到AD的取值范圍是；方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關系．（2）請你寫出圖2中AC與BM的數(shù)量關系和位置關系，并加以證明．（3）深入思考：如圖3，AD是△ABC的中線，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，請直接利用（2）的結(jié)論，試判斷線段AD與EF的數(shù)量關系，并加以證明．【變式訓練3】如圖，在中，是邊上的中線，過作的平行線交的延長線于點．若，，試求的取值范圍．類型二、截長補短模型截長補短法使用范圍：線段和差的證明（往往需證2次全等）例1.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=∠BAD．求證：EF=BE+FD．【變式訓練1】（1）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝60°，請?zhí)骄繄D中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系是什么？小明探究此問題的方法是：延長FD到點G，使DG＝BE，連結(jié)AG．先證明△ABE≌△ADG，得AE＝AG；再由條件可得∠EAF＝∠GAF，證明△AEF≌△AGF，進而可得線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系是．（2）拓展應用：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝∠BAD．問（1）中的線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系是否還成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．【變式訓練2】已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E，F(xiàn)．（1）當∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE＝CF時（如圖1），求證：△ABE≌△CBF．（2）當∠MBN繞點B旋轉(zhuǎn)到AE≠CF時，如圖2，猜想線段AE，CF，EF有怎樣的數(shù)量關系，并證明猜想．（3）當∠MBN繞點B旋轉(zhuǎn)到圖3這種情況下，猜想線段AE，CF，EF有怎樣的數(shù)量關系，并證明你的猜想．【變式訓練3】在ABC和ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，且AB＝AC，AD＝AE．（1）如圖1，如果點D在BC上，且BD＝5，CD＝3，求DE的長．（2）如圖2，AD與BC相交于點N，點D在BC下方，連接BD，且AD垂直BD，連接CE并延長與BA的延長線交于點F，點M是CA延長線上一點，且CM＝AF，求證：CF＝AN+MN．類型三、做平行線證明全等例1.如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，D，E分別是AC和AC的延長線上的點，連接BD，BE，若AB=CE，∠DBC=∠EBC。求證：D是AC的中點?！咀兪接柧?】如圖，△ABC是等腰三角形，D，E分別是腰AB及AC延長線上的一點，且BD＝CE，連接DE交底BC于G.求證：GD＝GE.【變式訓練2】如圖1，△ABC中，AB＝AC，點D在AB邊上，點E在AC的延長線上，且CE＝BD，連接DE交BC于點F．⑴求證：EF＝DF；⑵如圖2，過點D作DG⊥BC，垂足為G，求證：BC＝2FG.類型四、旋轉(zhuǎn)模型例1．四邊形是由等邊和頂角為的等腰排成，將一個角頂點放在處，將角繞點旋轉(zhuǎn)，該交兩邊分別交直線、于、，交直線于、兩點．（1）當、都在線段上時（如圖1），請證明：；（2）當點在邊的延長線上時（如圖2），請你寫出線段，和之間的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論；（3）在（1）的條件下，若，，請直接寫出的長為．【變式訓練1】如圖，將的斜邊繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，過點作的垂線，交延長線于點．求證：．【變式訓練2】如圖①，在中，，以C為頂點作，且、分別與相交于D、E兩點，將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到．

（1）與、的數(shù)量關系是；若，則的長等于．（2）若將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)使與相交于點D，邊與的延長線相交于點E，而其他條件不變，如圖②所示，猜想與、之間有何數(shù)量關系？證明你的猜想．類型五、手拉手模型例1.問題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，已知為線段上一點，分別以線段，為直角邊作等腰直角三角形，，，，連接，，線段，之間的數(shù)量關系為______；位置關系為_______．拓展探究：（2）如圖2，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，線段，交于點，則與之間的關系是否仍然成立？請說明理由．【變式訓練1】如圖，，，三點在一條直線上，和均為等邊三角形，與交于點，與交于點．（1）求證：；（2）若把繞點任意旋轉(zhuǎn)一個角度，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．【變式訓練2】已知：如圖1，在和中，，，．（1）證明．（2）如圖2，連接和，，與分別交于點和，，求的度數(shù)．（3）在（2）的條件下，若，請直接寫出的度數(shù)．類型五、一線三角模型例1．在中，，，直線MN經(jīng)過點C，且于D點，于E點．（1）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時，求證：；（2）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖②、圖③的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關系？請直接寫出這個等量關系．【變式訓練1】如圖，已知中，，，是過的一條直線，且，在，的同側(cè)，于，于．（1）證明：；（2）試說明：；（3）若直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖位置（此時，在，的異側(cè)）時，其余條件不變，問與，的關系如何？請證明；（4）若直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖位置（此時，在，的同側(cè)）時其余條件不變，問與，的關系如何？請直接寫出結(jié)果，不需說明理由．【變式訓練2】在矩形中，，，點為上的點，點矩形內(nèi)部一動點，連接，；（1）如圖一，若滿足，，，，