專題09二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（6大考點）

第三部分函數(shù)專題09二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（6大考點）核心考點核心考點一二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)核心考點二與二次函數(shù)圖象有關(guān)的判斷核心考點三與系數(shù)a、b、c有關(guān)的判斷核心考點四二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系核心考點五二次函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合應(yīng)用核心考點六二次函數(shù)圖象的變換新題速遞核心考點一二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)例1（2022·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）點A（m1，y1），B（m，y2）都在二次函數(shù)y=（x1）2+n的圖象上．若y1＜y2，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)y1＜y2列出關(guān)于m的不等式即可解得答案．【詳解】解：∵點A（m1，y1），B（m，y2）都在二次函數(shù)y=（x1）2+n的圖象上，∴y1=（m11）2+n=（m2）2+n，y2=（m1）2+n，∵y1＜y2，∴（m2）2+n＜（m1）2+n，∴（m2）2（m1）2＜0，即2m+3＜0，∴m＞，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知列出關(guān)于m的不等式．例2（2021·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)，當(dāng)時，y隨x增大而增大，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可知二次函數(shù)的開口向上，進而即可求解．【詳解】∵二次函數(shù)的對稱軸為y軸，當(dāng)時，y隨x增大而增大，∴二次函數(shù)的圖像開口向上，∴a1＞0，即：，故選B．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的開口方向與二次項系數(shù)的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．例3（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）若二次函數(shù)的圖象上有且只有三個點到x軸的距離等于m，則m的值為________．【答案】4【分析】由拋物線解析式可得拋物線對稱軸為直線x=1，頂點為（1，4），由圖象上恰好只有三個點到x軸的距離為m可得m=4．【詳解】解：∵，∴拋物線開口向上，拋物線對稱軸為直線x=1，頂點為（1，4），∴頂點到x軸的距離為4，∵函數(shù)圖象有三個點到x軸的距離為m，∴m=4，故答案為：4．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，能夠理解題意是解題的關(guān)鍵．知識點：二次函數(shù)的概念及表達式1.一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．2.二次函數(shù)解析式的三種形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）．（2）頂點式：y=a（x–h）2+k（a，h，k為常數(shù)，a≠0），頂點坐標(biāo)是（h，k）．（3）交點式：，其中x1，x2是二次函數(shù)與x軸的交點的橫坐標(biāo)，a≠0．知識點：二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)1．二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解析式二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）對稱軸x=–頂點（–，）a的符號a>0a<0圖象開口方向開口向上開口向下最值當(dāng)x=–時，y最小值=當(dāng)x=–時，y最大值=最點拋物線有最低點拋物線有最高點增減性當(dāng)x<–時，y隨x的增大而減??；當(dāng)x>–時，y隨x的增大而增大當(dāng)x<–時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>–時，y隨x的增大而減小【變式1】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線過點，，頂點在第四象限，記，則P的取值范圍是（

）A． B． C． D．不能確定【答案】B【分析】根據(jù)拋物線經(jīng)過點(1,0)、(0,1)即可得到ab=1，c=1，再根據(jù)頂點在第四象限，即可求出a的取值范圍，則P的取值范圍可求．【詳解】∵拋物線過點(1,0)、(0,1)，∴有，且顯然a≠0，∴ab=1，c=1，將拋物線配成頂點式：，∴頂點坐標(biāo)為：，∵拋物線頂點坐標(biāo)在第四象限，∴，∵ab=1，∴，解得：，∵P=2ab，ab=1，∴P=2ab=a+ab=a+1，∵，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查了拋物線的圖像和性質(zhì)，根據(jù)拋物線經(jīng)過的點和頂點在第四象限求出的a的取值范圍是解答本題的關(guān)鍵．【變式2】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線過點，，頂點在第四象限，記，則P的取值范圍是（

）A． B． C． D．不能確定【答案】B【分析】根據(jù)拋物線經(jīng)過點(1,0)、(0,1)即可得到ab=1，c=1，再根據(jù)頂點在第四象限，即可求出a的取值范圍，則P的取值范圍可求．【詳解】∵拋物線過點(1,0)、(0,1)，∴有，且顯然a≠0，∴ab=1，c=1，將拋物線配成頂點式：，∴頂點坐標(biāo)為：，∵拋物線頂點坐標(biāo)在第四象限，∴，∵ab=1，∴，解得：，∵P=2ab，ab=1，∴P=2ab=a+ab=a+1，∵，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查了拋物線的圖像和性質(zhì)，根據(jù)拋物線經(jīng)過的點和頂點在第四象限求出的a的取值范圍是解答本題的關(guān)鍵．【變式3】（2022·江蘇鹽城·濱?？h第一初級中學(xué)校考三模）如圖1，對于平面內(nèi)的點A、P，如果將線段PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PB，就稱點B是點A關(guān)于點P的“放垂點”．如圖2，已知點，點P是y軸上一點，點B是點A關(guān)于點P的“放垂點”，連接AB、OB，則OB的最小值是______．【答案】【分析】①當(dāng)P點縱坐標(biāo)≥0時，過點B作BC⊥y軸于C，由△BPC≌△PAO可得BC=PO，PC=AO，設(shè)OP長度為x由兩點距離公式建立二次函數(shù)，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求值即可；②當(dāng)P點縱坐標(biāo)＜0時，過點B作BC⊥y軸于C，同理可得OB的表達式，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求值即可；【詳解】解：①當(dāng)P點縱坐標(biāo)≥0時如圖，過點B作BC⊥y軸于C，∠CBP+∠CPB=90°，∠OPA+∠CPB=90°，則∠CBP=∠OPA，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：PB=PA，△BPC和△PAO中：∠PBC=∠APO，∠BCP=∠POA=90°，BP=PA，∴△BPC≌△PAO（AAS），∴BC=PO，PC=AO，設(shè)OP長度為x，則PC=AO=4，BC=x，B（x，x+4）∴∵x≥0，∴x=0時OB最小，最小值為4，②當(dāng)P點縱坐標(biāo)＜0時，如圖，過點B作BC⊥y軸于C，同理可得△BPC≌△PAO（AAS），BC=PO，PC=AO，設(shè)OP長度為x，則PC=AO=4，BC=x，B（x，4x）∴∵x＞0，∴x=2時OB最小，最小值為，綜上所述：OB最小值為，故答案為：；【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)；根據(jù)P點位置分類討論是解題關(guān)鍵．【變式4】（2022·吉林長春·校考模擬預(yù)測）定義：我們將頂點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互異二次函數(shù)”．如圖，在正方形OABC中，點，點，則互異二次函數(shù)與正方形OABC有公共點時m的最大值是__________．【答案】【分析】根據(jù)拋物線頂點橫縱坐標(biāo)的關(guān)系得出拋物線頂點的運動軌跡，結(jié)合正方形的位置，則可得到當(dāng)拋物線經(jīng)過點B時m取最大值，依此列式求解即可．【詳解】解：∵拋物線頂點坐標(biāo)為,∴拋物線頂點在直線y=x上移動，∵四邊形AOBC為正方形，點A（0，2），點C（2，0），∴點B坐標(biāo)為，如圖，當(dāng)拋物線經(jīng)過點B時，m取最大值，將代入中，則，解得或（舍去），故答案為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象和性質(zhì)和圖象平移的特點，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系及圖象平移的特點．【變式5】（2021·湖北隨州·一模）如圖，拋物線與軸交于A，B兩點點B在點A的右側(cè)，其頂點為C，點P為線段上一點，且過點P作，分別交拋物線于，兩點點在點的右側(cè)，連接，．(1)直接寫出A，B，C三點的坐標(biāo)；用含，的式子表示(2)猜想線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)若，，求的值．【答案】(1)點A，B，C的坐標(biāo)分別為、、(2)，理由見解析(3)【分析】（1），求出x的值，可得點A，B的坐標(biāo)，令，求出y的值，可得點C的坐標(biāo)；（2）根據(jù)求出點P的縱坐標(biāo)，代入解析式，求出點D，E的橫坐標(biāo),進而求出DE的長度，再根據(jù)點A，B的坐標(biāo)求出AB的長度，即可得出；（3）當(dāng)時，求出OP，PC，PD，再通過導(dǎo)角證明，得出，進而得出，代入即可求解．（1）解：對于，令，解得，令，則，故點A，B，C的坐標(biāo)分別為、、；（2）解：，理由：∵，點C在y軸負(fù)半軸，∴，∴，則，故點的坐標(biāo)為，當(dāng)時，則，解得，則，由點A，B的坐標(biāo)得：，∴；（3）解：當(dāng)時，由知，點的坐標(biāo)為，點C的坐標(biāo)為，，∴，，，，∵，∴，又∵，，，∴，即，∴，解得．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，有一定的綜合性，難度適中，第三問利用三角函數(shù)或三角形相似均可得出，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)．核心考點二與二次函數(shù)圖象有關(guān)的判斷例1（2021·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）點均在拋物線上，下列說法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【詳解】解：由圖象，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，有A．若，則，原說法錯誤；B．若，則，原說法錯誤；C．若，則，原說法錯誤；D．若，則，原說法正確．故選D．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．例2（2021·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）用數(shù)形結(jié)合等思想方法確定二次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的交點的橫坐標(biāo)所在的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】在同一個直角坐標(biāo)系中畫出兩個函數(shù)的圖象，來判斷出交點橫坐標(biāo)所在的范圍．【詳解】解：在同一個直角坐標(biāo)系中畫出兩個函數(shù)的圖象，如下圖：由圖知，顯然，當(dāng)時，將其分別代入與計算得；，，此時反比例函數(shù)圖象在二次函數(shù)圖象的上方，故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是：準(zhǔn)確畫出函數(shù)的圖象，再通過關(guān)鍵點得出答案．例3（2020·廣西貴港·中考真題）如圖，對于拋物線，，，給出下列結(jié)論：①這三條拋物線都經(jīng)過點；②拋物線的對稱軸可由拋物線的對稱軸向右平移1個單位而得到；③這三條拋物線的頂點在同一條直線上；④這三條拋物線與直線的交點中，相鄰兩點之間的距離相等．其中正確結(jié)論的序號是_______________．【答案】①②④【分析】根據(jù)拋物線圖象性質(zhì)及配方法解題．【詳解】將分別代入拋物線，，中，可知，這三條拋物線都經(jīng)過點C，故①正確；拋物線的對稱軸為，拋物線的對稱軸為，可由向右平移1個單位而得到，故②正確；拋物線的頂點為A拋物線的頂點為B拋物線的頂點為C，三條拋物線的頂點不在同一條直線上，故③錯誤；將分別代入三條拋物線，得0或1，0或2，0或3，可知，相鄰兩點之間的距離相等，故④正確，綜上所述，正確的是①②④，故選：①②④．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，其中涉及將一般式化為頂點式等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．知識點、拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.②平行于軸(或重合)的直線記作.特別地，軸記作直線.頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.知識點、求拋物線的頂點、對稱軸的方法 (1)公式法：，∴頂點是，對稱軸是直線.(3)運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.★用配方法求得的頂點，再用公式法或?qū)ΨQ性進行驗證，才能做到萬無一失★知識點、直線與拋物線的交點(1)軸與拋物線得交點為()(2)與軸平行的直線與拋物線有且只有一個交點(,).(3)拋物線與軸的交點二次函數(shù)的圖像與軸的兩個交點的橫坐標(biāo)、，是對應(yīng)一元二次方程①有兩個交點拋物線與軸相交；②有一個交點(頂點在軸上)拋物線與軸相切；③沒有交點拋物線與軸相離.(4)平行于軸的直線與拋物線的交點同(3)一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當(dāng)有2個交點時，兩交點的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是的兩個實數(shù)根.(5)一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點，由方程組的解的數(shù)目來確定：①方程組有兩組不同的解時與有兩個交點;②方程組只有一組解時與只有一個交點；③方程組無解時與沒有交點.(6)拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，由于、是方程的兩個根，故【變式1】（2022·四川瀘州·?？寄M預(yù)測）二次函數(shù)（）的自變量與函數(shù)的部分對應(yīng)值如下表：…01234……83003…則這個函數(shù)圖像的頂點坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由圖表數(shù)據(jù)可知，函數(shù)圖像與軸的兩個交點為和，故可知圖像對稱軸為：，即可對照表格得出頂點坐標(biāo)．【詳解】解：由表可知：當(dāng)時，；當(dāng)時，，即函數(shù)圖像與軸的兩個交點為和，由此可知：圖像對稱軸為：，對照表格可知：當(dāng)時，，即頂點為，故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是將表格數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)信息，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)畫出草圖分析．【變式2】（2022·山東日照·?？家荒＃┰O(shè)，，是拋物線上的三點，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】把點的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式可求得y1，y2，y3的值，比較大小即可．【詳解】解：∵，，是拋物線上的三點，∴，，，∵1＞2＞7，∴，故選：A．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，掌握函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2021·陜西西安·?？寄M預(yù)測）在同一坐標(biāo)系中，二次函數(shù)，，的圖象如圖，則，，的大小關(guān)系為______（用“”連接）【答案】【分析】拋物線的開口方向和開口大小由的值決定的，系數(shù)絕對值越大，開口越?。驹斀狻拷猓骸邟佄锞€開口都向上，∴二次項系數(shù)都大于0.二次函數(shù)的開口最小，二次函數(shù)的開口最大，，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識，需熟練掌握．熟練掌握拋物線開口大小與|a|有關(guān)，|a|越大圖象開口越小，|a|越小圖象開口越大是解答本題的關(guān)鍵．【變式4】（2022·廣西·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線與x軸的一個交點A在點（2，0）和（1，0）之間（包括這兩點），頂點C是矩形DEFG上（包括邊界和內(nèi)部）的一個動點，則a的取值范圍是______．【答案】【分析】頂點C是矩形DEFG上（包括邊界和內(nèi)部）的一個動點，當(dāng)頂點C與D點重合，可以知道頂點坐標(biāo)為（1，3）且拋物線過（﹣1，0），則它與x軸的另一個交點為（3，0），由此可求出a；當(dāng)頂點C與F點重合，頂點坐標(biāo)為（3，2）且拋物線過（2，0），則它與x軸的另一個交點為（8，0），由此也可求a，然后由此可判斷a的取值范圍．【詳解】頂點C是矩形DEFG上（包括邊界和內(nèi)部）的一個動點，當(dāng)頂點C與D點重合，頂點坐標(biāo)為（1，3），則拋物線解析式y(tǒng)=a（x﹣1）2+3，由，解得﹣≤a≤﹣；當(dāng)頂點C與F點重合，頂點坐標(biāo)為（3，2），則拋物線解析式y(tǒng)=a（x﹣3）2+2，由，解得﹣≤a≤﹣；∵頂點可以在矩形內(nèi)部，∴．故答案為：【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5】（2022·河南南陽·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線．(1)拋物線的對稱軸為直線_______，拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為_______；(2)若當(dāng)x滿足時，y的最小值為，求此時y的最大值．【答案】(1)，(2)當(dāng)時，y的最大值為12，當(dāng)時，y的最大值為【分析】（1）根據(jù)對稱軸的表達式計算求值，再令x=0求得y值即可解答；（2）分兩種情況討論：①當(dāng)時，拋物線開口向上，可得時y取得最小值，進而可得拋物線解析式，由對稱軸x=2可得，x=5時y取得最大值；②當(dāng)時，拋物線開口向下，可得可得x=5時y取得最小值，x=2時y取得最大值，計算求值即可；(1)解：拋物線的對稱軸為x=，令x=0，則y=2，∴拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為（0，2）；(2)解：①當(dāng)時，拋物線開口向上，∴時，y取得最小值，，解得，∴該拋物線的解析式為，∵，拋物線的對稱軸為x=2，∴當(dāng)時，y取得最大值，；②當(dāng)時，拋物線開口向下，∵，拋物線的對稱軸為x=2，∴當(dāng)時，y取得最小值，，解得，∴該拋物線的解析式為，當(dāng)時，y取得最大值，，綜上所述，當(dāng)時，y的最大值為12，當(dāng)時，y的最大值為；【點睛】本題考查了二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的對稱性，求二次函數(shù)的最值，根據(jù)a的正負(fù)分類討論是解題關(guān)鍵．核心考點三與系數(shù)a、b、c有關(guān)的判斷例1（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線，有以下結(jié)論：①；②若t為任意實數(shù)，則有；③當(dāng)圖象經(jīng)過點時，方程的兩根為，（），則，其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】利用拋物線開口方向得到a＞0，利用拋物線的對稱軸方程得到，利用拋物線與y軸的交點位置得到c＜0，則可對①進行判斷；利用二次函數(shù)當(dāng)x=1時有最小值可對②進行判斷；由于二次函數(shù)與直線y=3的一個交點為（1，3），利用對稱性得到二次函數(shù)y=ax2+bx+c與直線y=3的另一個交點為（3，3），從而得到x1=3，x2=1，則可對③進行判斷．【詳解】∵拋物線開口向上，∴，∵拋物線的對稱軸為直線，即，∴，∵拋物線與y軸的交點在x軸下方，∴，∴，所以①正確；∵時，y有最小值，∴（t為任意實數(shù)），即，所以②正確；∵圖象經(jīng)過點時，代入解析式可得，方程可化為，消a可得方程的兩根為，，∵拋物線的對稱軸為直線，∴二次函數(shù)與直線的另一個交點為，，代入可得，所以③正確．綜上所述，正確的個數(shù)是3．故選D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。?dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時，對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時，對稱軸在y軸右．常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于（0，c）．例2（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，對稱軸為，且經(jīng)過點（1，0）．下列結(jié)論：①3a+b=0；②若點，（3，y2）是拋物線上的兩點，則y1<y2；③10b3c=0；④若y≤c，則0≤x≤3．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】由對稱軸為即可判斷①；根據(jù)點，（3，y2）到對稱軸的距離即可判斷②；由拋物線經(jīng)過點（1，0），得出ab+c=0，對稱軸，得出，代入即可判斷③；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)以及拋物線的對稱性即可判斷④．【詳解】解：∵對稱軸，∴b=3a，∴3a+b=0，①正確；∵拋物線開口向上，點到對稱軸的距離小于點（3，y2）的距離，∴y1<y2，故②正確；∵經(jīng)過點（1，0），∴ab+c=0，∵對稱軸，∴，∴，∴3c=4b，∴4b3c=0，故③錯誤；∵對稱軸，∴點（0，c）的對稱點為（3，c），∵開口向上，∴y≤c時，0≤x≤3．故④正確；故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟知二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例3（2021·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a＞0）經(jīng)過（0，0），（4，0）兩點．則下列四個結(jié)論正確的有___（填寫序號）．①4a+b＝0；②5a+3b+2c＞0；③若該拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣3有交點，則a的取值范圍是a；④對于a的每一個確定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t為常數(shù)，t≤0）的根為整數(shù)，則t的值只有3個．【答案】①③④【分析】將（0，0），（4，0）代入拋物線表達式，求出其解析式，得到系數(shù)之間的關(guān)系，再分別討論每個問題.【詳解】將（0，0），（4，0）代入拋物線表達式，得：，解得：，∴拋物線解析式為．①，則，故①正確，符合題意；②，又a＞0，∴，故②錯誤，不符合題意；③若該拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣3有交點，則有，即一元二次方程有實數(shù)根，則，∵a＞0，∴，解得：，故③正確，符合題意；④如圖，∵一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t為常數(shù)，t≤0）的根為整數(shù)，一元二次方程可化為，即拋物線與直線（t為常數(shù)，t≤0）的交點橫坐標(biāo)為整數(shù)，如圖，則橫坐標(biāo)可為0，1，2，3，4，有3個t滿足．故④正確，滿足題意．故答案為：①③④【點睛】本題主要考查拋物線與坐標(biāo)軸的交點、各項系數(shù)之間的關(guān)系、用根的判別式求取值范圍，借助數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵.知識點、二次函數(shù)圖象的特征與a，b，c的關(guān)系字母的符號圖象的特征aa>0開口向上a<0開口向下bb=0對稱軸為y軸ab>0（a與b同號）對稱軸在y軸左側(cè)ab<0（a與b異號）對稱軸在y軸右側(cè)cc=0經(jīng)過原點c>0與y軸正半軸相交c<0與y軸負(fù)半軸相交b2–4acb2–4ac=0與x軸有唯一交點（頂點）b2–4ac>0與x軸有兩個交點b2–4ac<0與x軸沒有交點常用公式及方法：二次函數(shù)三種表達式：表達式頂點坐標(biāo)對稱軸一般式頂點式交點式韋達定理：若二次函數(shù)圖象與x軸有兩個交點且交點坐標(biāo)為（，0）和（，0），則，。賦值法：在二次函數(shù)中，令，則；令，則；令，則；令，則；利用圖象上對應(yīng)點的位置來判斷含有、、的關(guān)系式的正確性。【變式1】（2022·遼寧丹東·?？级＃┒魏瘮?shù)、、為常數(shù)，且的與的部分對應(yīng)值如下表：（其中）x1nyn有下列結(jié)論：；；是關(guān)于的一元二次方程的一個根；當(dāng)時，．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)表中與的部分對應(yīng)值畫出拋物線的草圖，由開口方向即可判斷，由對稱軸可得，代入可判斷，根據(jù)直線過點、可知直線與拋物線交于點、，即可判斷，根據(jù)直線與拋物線在坐標(biāo)系中位置可判斷．【詳解】解：根據(jù)表中與的部分對應(yīng)值，畫圖如下：由拋物線開口向上，得，故正確；拋物線對稱軸為，即，，則，故正確；直線過點、，直線與拋物線交于點、，即和是方程，即的兩個實數(shù)根，故正確；由圖象可知當(dāng)時，直線位于拋物線上方，，，故錯誤；故選：B．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、拋物線與直線交點、一元二次方程的解，根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫出二次函數(shù)圖象的草圖是解題的前提，熟練掌握拋物線與直線、拋物線與一元二次方程間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022·四川廣安·統(tǒng)考二模）對稱軸為直線的拋物線(為常數(shù)，且)如圖所示，小明同學(xué)得出了以下結(jié)論：①，②，③，④，⑤(為任意實數(shù))，⑥當(dāng)時，y隨x的增大而增大．其中結(jié)論正確的個數(shù)為()A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】由拋物線的開口方向判斷的符號，由拋物線與軸的交點判斷的符號，結(jié)合對稱軸判斷①，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與軸交點情況判斷②，根據(jù)對稱性求得時的函數(shù)值小于0，判斷③；根據(jù)時的函數(shù)值，結(jié)合，代入即可判斷④，根據(jù)頂點坐標(biāo)即可判斷⑤，根據(jù)函數(shù)圖象即可判斷⑥．【詳解】解：①由圖象可知：，∵對稱軸為直線：，∴，∴，故①錯誤；②∵拋物線與軸有兩個交點，∴，∴，故②正確；③∵對稱軸為直線，則與的函數(shù)值相等，∴當(dāng)時，，故③錯誤；④當(dāng)時，，∴，故④正確；⑤當(dāng)時，取到最小值，此時，，而當(dāng)時，，所以，故，即，故⑤正確，⑥當(dāng)時，y隨的增大而減小，故⑥錯誤，綜上，正確的是②④⑤共3個，故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸和拋物線與軸的交點確定．【變式3】（2022·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）二次函數(shù)的圖象如圖所示．下列結(jié)論：①；②；③m為任意實數(shù)，則；④；⑤若且，則．其中正確的有___________【答案】【分析】根據(jù)拋物線圖象開口方向得，由拋物線對稱軸為直線，得到，由拋物線與y軸的交點位置得到，據(jù)此即可判定①②；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知：當(dāng)時，函數(shù)有最大值，據(jù)此即可判定③；根據(jù)拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點在的右側(cè)，據(jù)此即可判定④；把先移項，再分解因式得到，而，則，即，然后把代入計算，即可判定⑤．【詳解】解：∵拋物線圖象開口向下，，∵拋物線對稱軸為直線，，即，所以②正確；∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，，，所以①錯誤；∵拋物線對稱軸為直線，∴函數(shù)的最大值為，，即，所以③錯誤；∵拋物線與x軸的一個交點在的左側(cè)，而對稱軸為直線，∴拋物線與x軸的另一個交點在的右側(cè)，∴當(dāng)時，，，所以④錯誤；，，，，，，即，，，所以⑤正確，綜上所述，正確的有．故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．【變式4】（2022·山東泰安·?？级＃┤鐖D所示，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，對稱軸為直線．直線與拋物線交于C，D兩點，D點在x軸下方且橫坐標(biāo)等于3，則下列結(jié)論：①；②；③；④的解集為中正確的結(jié)論是______（只填寫序號）．【答案】①②④【分析】利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點在點右側(cè)，則當(dāng)時，函數(shù)值小于0，于是可對①進行判斷；由對稱軸可得，結(jié)合可對②判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到時，二次函數(shù)有最大值，則，于是可對③進行判斷；由于直線與拋物線交于C、D兩點，D點在x軸下方且橫坐標(biāo)等于3，利用函數(shù)圖象得在C、D之間，，則可對④進行判斷．【詳解】解：∵拋物線與x軸的一個交點在點左側(cè)，而拋物線的對稱軸為直線，∴拋物線與x軸的另一個交點在點右側(cè)，∴當(dāng)時，函數(shù)值小于0，即，所以①正確；∵對稱軸為，∴，∴，又，∴，即，所以②正確；∵時，二次函數(shù)有最大值，∴，∴，所以③錯誤；∵直線與拋物線交于C、D兩點，D點在x軸下方且橫坐標(biāo)等于3，由圖象可知，在C、D之間，即時，，∴的解集為，即的解集為，所以④正確．故答案為：①②④．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式（組）：利用兩個函數(shù)圖象在直角坐標(biāo)系中的上下位置關(guān)系求自變量的取值范圍，可作圖利用交點直觀求解．也考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．【變式5】（2022·河南·校聯(lián)考二模）已知拋物線交軸于，兩點交軸于點．(1)若，．①求該拋物線的解析式及點坐標(biāo)；②設(shè)直線的解析式為，直接寫出不等式的解集；(2)橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫整點．若，拋物線在點、之間的部分與線段所圍成的區(qū)域內(nèi)（不包含邊界）恰有7個整點，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)①，B（3，0）；②x＜0或x＞3；(2)2＜m≤1；【分析】（1）①將A、C點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求解即可；②根據(jù)y=x+1在y=x2+的上方，看圖即可求解；（2）根據(jù)拋物線對稱軸是x=1，通過數(shù)形結(jié)合可得區(qū)域內(nèi)有七個整點分別為（0，1）（1，1）（2，1）（0，2）（1，2）（2，2）（1，3）進而求解；（1）①將A（1，0）C（0，1）代入中，得解得，∴拋物線的解析式為，當(dāng)y=0時，=0，解得x1=1，x2=3，∴B（3，0）；②把B（3，0）C（0，1）代入到y(tǒng)=kx+b中，得，解得，∴y=x+1，∵不等式，∴y=x+1在的上方，如圖，即x＜0或x＞3；（2）∵=，∴拋物線頂點坐標(biāo)為（1，4），m＞0時，拋物線開口方向向上，與x軸無交點，不符合題意，m＜0時，拋物線開口方向向下，如圖，當(dāng)區(qū)域內(nèi)包含整點（0，1）（1，1）（2，1）（0，2）（1，2）（2，2）（1，3）時滿足題意，拋物線與y軸交點（0，m+4）在直線y=2與y=3之間，拋物線與直線x=1交點（1，4m+4）在直線y=1下方，即，解得2＜m≤1．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，通過數(shù)形結(jié)合求解．核心考點四二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系例1（2022·貴州銅仁·統(tǒng)考中考真題）如圖，若拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，若．則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】觀察圖象，先設(shè)，，，根據(jù)已知條件及證明，得出，利用根與系數(shù)的關(guān)系知，最后得出答案．【詳解】設(shè)，，，∵二次函數(shù)的圖象過點，∴，∵，，∴，∴，∴，即，令，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系知，∴，故故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與關(guān)于方程之間的相互轉(zhuǎn)換，同時要將線段的長轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)之間的關(guān)系，靈活運用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．例2（2021·山東日照·統(tǒng)考中考真題）拋物線的對稱軸是直線，其圖象如圖所示．下列結(jié)論：①；②；③若和是拋物線上的兩點，則當(dāng)時，；④拋物線的頂點坐標(biāo)為，則關(guān)于的方程無實數(shù)根．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】①由圖象開口方向，對稱軸位置，與軸交點位置判斷，，符號．②把分別代入函數(shù)解析式，結(jié)合圖象可得的結(jié)果符號為負(fù)．③由拋物線開口向上，距離對稱軸距離越遠的點值越大．④由拋物線頂點縱坐標(biāo)為可得，從而進行判斷無實數(shù)根．【詳解】解：①拋物線圖象開口向上，，對稱軸在直線軸左側(cè)，，同號，，拋物線與軸交點在軸下方，，，故①正確．②，當(dāng)時，由圖象可得，當(dāng)時，，由圖象可得，，即，故②正確．③，，，點，到對稱軸的距離大于點，到對稱軸的距離，，故③錯誤．④拋物線的頂點坐標(biāo)為，，，無實數(shù)根．故④正確，綜上所述，①②④正確，故選：B．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)中，，與函數(shù)圖象的關(guān)系．例3（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線交軸于、兩點，交軸于點，點是拋物線上的點，則點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為_________．【答案】或【分析】先求出A、B、C、D的坐標(biāo)，再將點代入拋物線的解析式，得出m的值，確定的坐標(biāo)，再根據(jù)點的坐標(biāo)分情況畫圖求解，即可求出點關(guān)于直線的對稱點坐標(biāo)．【詳解】解：∵拋物線交軸于、兩點，交軸于點，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，∴，∴，∵是拋物線上的點，∴，解得，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，①當(dāng)時，此時點與點重合，如圖1，設(shè)點關(guān)于直線對稱點為，連接，∵點與點關(guān)于直線對稱，∴是的垂直平分線，∴，且，∴，∴；②當(dāng)時，∴軸，∴如圖2，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為M，連接，∵點關(guān)于直線的對稱點為M，∴是的垂直平分線，∴，∴M在y軸上，且△DCM是等腰直角三角形，∴，∴，∴．綜上可得：點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為或．故答案為：或【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖像上的點的坐標(biāo)特征和軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．知識點：二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)y=0時，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2．a(chǎn)x2+bx+c=0（a≠0）的解是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)．3．（1）b2–4ac>0?方程有兩個不相等的實數(shù)根，拋物線與x軸有兩個交點；（2）b2–4ac=0?方程有兩個相等的實數(shù)根，拋物線與x軸有且只有一個交點；（3）b2–4ac<0?方程沒有實數(shù)根，拋物線與x軸沒有交點．【變式1】（2022·云南楚雄·云南省楚雄第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，下列說法：①方程是倍根方程；②若是倍根方程，則或；③若方程是倍根方程，且相異兩點，都在拋物線上，則方程的一個根為2．其中，正確說法的個數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】①通過解方程得到該方程的根，結(jié)合“倍根方程”的定義進行判斷；②通過解方程求得方程的兩個解，結(jié)合“倍根方程”的定義來求、的關(guān)系；③由方程是倍根方程，得到，由相異兩點，都在拋物線上，通過拋物線對稱軸求得的值．【詳解】①由，得，解得，∵或，∴方程不是倍根方程，故①錯誤；②解方程，得，∵是倍根方程，∴或，即或，故②正確；③∵方程是倍根方程，設(shè)，∵相異兩點，，都在拋物線上，∴拋物線的對稱軸，∴，，∴，故③正確，綜上所述，正確的個數(shù)是2個，故選：C．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，反比例函數(shù)圖形上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖形上點的坐標(biāo)特征，正確的理解“倍根方程”的定義是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022·浙江舟山·校聯(lián)考三模）二次函數(shù)圖象與x軸有兩個交點，，關(guān)于x的方程有兩個非零實數(shù)根，，則下列關(guān)系式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】拋物線圖象是由向下平移1個單位所得，作出圖象，結(jié)合一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．【詳解】解：∵圖象是由向下平移1個單位所得，如圖，∴，選項A錯誤，不符合題意，∵∴兩條拋物線對稱軸為均為直線，∴，∴，選項C錯誤，不符合題意．∵二次函數(shù)圖象與x軸有兩個交點，，∴的兩個根為，，∴，，方程的，同理可得：，，方程的，∴，，∴，，選項D正確，又∵，，∴，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；故選項B錯誤，不符合題意．故選：D．【點睛】本題考查拋物線與x軸的交點，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系，將方程問題轉(zhuǎn)化為圖象交點的問題．解答時注意數(shù)形結(jié)合的思想．【變式3】（2022·浙江寧波·校考模擬預(yù)測）已知關(guān)于的方程的兩個根分別是，若點是二次函數(shù)的圖象與軸的交點，過作軸交拋物線于另一交點，則的長為_____．【答案】【分析】先利用一元二次方程根與系數(shù)的的關(guān)系得出，，進而得出，B點的縱坐標(biāo)為，將點的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，解方程求得，進而即可求解．【詳解】解：∵，∴，，∴，∴，令，∴，∵軸，∴軸，∴B點的縱坐標(biāo)為，把代入，得，解得，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)、拋物線與x軸的交點以及根與系數(shù)的關(guān)系，把求二次函數(shù)(是常數(shù)，)

與x軸的交點坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式4】（2022·貴州遵義·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)（a，b，c為常數(shù)，）的部分圖像如圖所示，m，是關(guān)于x的一元二次方程的兩根，則下列結(jié)論正確的有______．（填序號即可）．①②③存在實數(shù)x，使得④若時，，則【答案】①②【分析】①對x賦值為1即為ab+c，通過圖像觀察x=1時的函數(shù)值對應(yīng)點的位置即可判斷；②通過對稱軸和函數(shù)圖像與x軸的一個交點判斷另一個交點的大致位置即為m的范圍；③要使存在實數(shù)x，使得，因為a<0，則方程應(yīng)有兩個不相等的實數(shù)根，即△>0，由對稱軸x=2可得b=4a，列式計算后判斷△即可；④根據(jù)當(dāng)x=2時y>0，當(dāng)x=3時y<0，b=4a，列不等式計算求出a的解集即可．【詳解】①當(dāng)x=1時，，通過函數(shù)圖像可知，此時函數(shù)圖像在x軸上方，即ab+c>0，故①錯誤；②通過函數(shù)圖像可知，對稱軸為x=2，函數(shù)圖像與x軸的一個交點n的范圍為2<n<3，根據(jù)對稱性，另一交點（m，0）與點（n，0）關(guān)于x=2對稱，∵2（2）=4，3（2）=5，∴25<m<24即：7<m<6，故②正確；③令y=若存在實數(shù)x使函數(shù)值大于0，則方程有兩個不相等的實數(shù)根，∵由函數(shù)圖像可知，，即b=4a∴，方程有兩個相等的實數(shù)根，即函數(shù)開口向下且與x軸只有一個交點，∴不存在實數(shù)x，使得，故③錯誤；④x=0時，y=c=∴由圖像可知，當(dāng)x=2時y>0，當(dāng)x=3時y<0，∴由對稱軸x=2得，∴b=4a∴解得∴④錯誤綜上所述，結(jié)論正確的有①②，故答案為：①②【點睛】本題考查了二次函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像性質(zhì)及通過函數(shù)圖像求參數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式5】（2022·浙江寧波·?？家荒＃┮阎魏瘮?shù)的圖象經(jīng)過點，與軸交于點．(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)點在該二次函數(shù)上．①當(dāng)時，求的值；②當(dāng)時，的最小值為，求的取值范圍．【答案】(1)該二次函數(shù)的解析式為.(2)①的值為或；②【分析】（1）利用待定系數(shù)法求得即可；（2）①把代入，即可求得；②把二次函數(shù)解析式化為頂點式，求得函數(shù)的最小值為，所以，即．【詳解】（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為，把點代入得，解得，，該二次函數(shù)的解析式為；（2）①時，則，解得，；故的值為或；，當(dāng)時，函數(shù)有最小值，當(dāng)時，即時，有最小值，故的取值范圍是．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．核心考點五二次函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合應(yīng)用例1（2022·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC中，BC=6，BC邊上的高為3，點D，E，F(xiàn)分別在邊BC，AB，AC上，且EF∥BC．設(shè)點E到BC的距離為x，△DEF的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】過點A向BC作AH⊥BC于點H，所以根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出EF，進而求出函數(shù)關(guān)系式，由此即可求出答案．【詳解】解：過點A向BC作AH⊥BC于點H，根據(jù)相似比可知：，即，解得：EF=2（3x），則△DEF的面積y=×2（3x）x=x2+3x=(x)2+，故y關(guān)于x的函數(shù)圖象是一個開口向下、頂點坐標(biāo)為(，)的拋物線．故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象，主要利用了相似三角形的性質(zhì)，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．例2（2022·山東濟南·統(tǒng)考中考真題）拋物線與y軸交于點C，過點C作直線l垂直于y軸，將拋物線在y軸右側(cè)的部分沿直線l翻折，其余部分保持不變，組成圖形G，點，為圖形G上兩點，若，則m的取值范圍是（

）A．或 B． C． D．【答案】D【分析】求出拋物線的對稱軸、C點坐標(biāo)以及當(dāng)x=m1和x=m+1時的函數(shù)值，再根據(jù)m1＜m+1，判斷出M點在N點左側(cè)，此時分類討論：第一種情況，當(dāng)N點在y軸左側(cè)時，第二種情況，當(dāng)M點在y軸的右側(cè)時，第三種情況，當(dāng)y軸在M、N點之間時，來討論，結(jié)合圖像即可求解．【詳解】拋物線解析式變形為：，即拋物線對稱軸為，當(dāng)x=m1時，有，當(dāng)x=m+1時，有，設(shè)(m1,1)為A點，(m+1,1)為B點，即點A(m1,1)與B(m+1,1)關(guān)于拋物線對稱軸對稱，當(dāng)x=0時，有，∴C點坐標(biāo)為，當(dāng)x=m時，有，∴拋物線頂點坐標(biāo)為，∵直線l⊥y軸，∴直線l為，∵m1＜m+1，∴M點在N點左側(cè)，此時分情況討論：第一種情況，當(dāng)N點在y軸左側(cè)時，如圖，由圖可知此時M、N點分別對應(yīng)A、B點，即有，∴此時不符合題意；第二種情況，當(dāng)M點在y軸的右側(cè)時，如圖，由圖可知此時M、N點滿足，∴此時不符合題意；第三種情況，當(dāng)y軸在M、N點之間時，如圖，或者，由圖可知此時M、N點滿足，∴此時符合題意；此時由圖可知：，解得，綜上所述：m的取值范圍為：，故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、翻折的性質(zhì)，注重數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．例3（2022·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）如圖，函數(shù)y＝的圖象由拋物線的一部分和一條射線組成，且與直線y＝m（m為常數(shù)）相交于三個不同的點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．設(shè)t＝，則t的取值范圍是_____．【答案】＜t＜1##0.6<t<1【分析】根據(jù)A、B關(guān)于對稱軸x＝1對稱，可知x1+x2＝2，由直線y＝m（m為常數(shù)）相交于三個不同的點，可得y1＝y(tǒng)2＝y(tǒng)3＝m，求出x3的范圍，進而求出t的范圍．【詳解】解：由二次函數(shù)y＝x2﹣2x+3（x＜2）可知：圖象開口向上，對稱軸為x＝1，∴當(dāng)x＝1時函數(shù)有最小值為2，x1+x2＝2，由一次函數(shù)y＝﹣x+（x≥2）可知當(dāng)x＝2時有最大值3，當(dāng)y＝2時x＝，∵直線y＝m（m為常數(shù)）相交于三個不同的點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3），∴y1＝y(tǒng)2＝y(tǒng)3＝m，2＜m＜3，∴2＜x3＜，∴t＝＝，∴＜t＜1．故填：＜t＜1【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)值的取值范圍等知識點，熟練掌握各知識點，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．知識點：二次函數(shù)的綜合1、函數(shù)存在性問題解決二次函數(shù)存在點問題，一般先假設(shè)該點存在，根據(jù)該點所在的直線或拋物線的表達式，設(shè)出該點的坐標(biāo)；然后用該點的坐標(biāo)表示出與該點有關(guān)的線段長或其他點的坐標(biāo)等；最后結(jié)合題干中其他條件列出．2、函數(shù)動點問題（1）函數(shù)壓軸題主要分為兩大類：一是動點函數(shù)圖象問題；二是與動點、存在點、相似等有關(guān)的二次函數(shù)綜合題．（2）解答動點函數(shù)圖象問題，要把問題拆分，分清動點在不同位置運動或不同時間段運動時對應(yīng)的函數(shù)表達式，進而確定函數(shù)圖象；解答二次函數(shù)綜合題，要把大題拆分，做到大題小做，逐步分析求解，最后匯總成最終答案．（3）解決二次函數(shù)動點問題，首先要明確動點在哪條直線或拋物線上運動，運動速度是多少，結(jié)合直線或拋物線的表達式設(shè)出動點的坐標(biāo)或表示出與動點有關(guān)的線段長度，最后結(jié)合題干中與動點有關(guān)的條件進行計算．【變式1】（2022·山東淄博·山東省淄博第六中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，拋物線與x軸交于點、點B與y軸相交于點，下列結(jié)論：①；②B點坐標(biāo)為；③拋物線的頂點坐標(biāo)為；④直線與拋物線交于點D、E，若，則h的取值范圍是；⑤在拋物線的對稱軸上存在一點Q，使的周長最小，則Q點坐標(biāo)為．其中正確的有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】A【分析】①代入點的坐標(biāo)即可求出參數(shù)的值；②函數(shù)值為0時，可求出與橫軸的交點坐標(biāo)；③代入公式即可求出拋物線的頂點坐標(biāo)；④把帶入后，即可表示出，進而求出h的取值范圍；⑤連接交對稱軸于點Q，此時的周長最小，再列出方程組即可求出Q點坐標(biāo)．【詳解】解：①∵拋物線與x軸交于點，與y軸相交于點，∴可得：，∴，故①正確；②∵函數(shù)函數(shù)值為0，∴，∴，∴時，，∴B點坐標(biāo)為，故②正確；③拋物線的頂點坐標(biāo)為，故③錯誤；④把帶入后，，解得：，∴h的取值范圍是，故④正確；⑤連接交對稱軸于點Q，此時的周長最小，直線和對稱軸聯(lián)立方程組，可得，解得，∴Q點坐標(biāo)為，故⑤正確．綜上所述，正確的結(jié)論為：①②④⑤，共有4個．故選：A【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，難度較大，熟練記憶理解二次函數(shù)相關(guān)性質(zhì)和充分利用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022·山東濟南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸的交點為A，過點A作直線垂直于軸．將拋物線在軸左側(cè)的部分沿直線翻折，其余部分保持不變，組成圖形．點，為圖形上任意兩點．若對于，，都有，則的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由拋物線解析式可求出其對稱軸為直線，又可用m表示出點M和點N的坐標(biāo)，且點M和點N關(guān)于直線對稱，再分類討論當(dāng)變化時，軸與點，的相對位置，即可解答．【詳解】解：拋物線的對稱軸為，點，為圖形上任意兩點，，，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，，為拋物線上關(guān)于對稱軸對稱的兩點．分類討論當(dāng)變化時，軸與點，的相對位置：如圖，當(dāng)軸在點左側(cè)時含點，經(jīng)翻折后，得到點，的縱坐標(biāo)相同，，不符題意；如圖，當(dāng)軸在點右側(cè)時含點，經(jīng)翻折后，點，的縱坐標(biāo)相同，，不符題意；如圖，當(dāng)軸在點，之間時不含，，經(jīng)翻折后，點在下方，點，重合，在上方，，符合題意．此時，解得：．綜上所述，的取值范圍為．故選D．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．【變式3】（2022·安徽合肥·合肥38中?？寄M預(yù)測）已知拋物線y＝x＋ax＋a（a為常數(shù)，a≠0）．（1）若a＝2，則此拋物線的對稱軸為________（2）設(shè)M（x1，y1）、N（x2，y2）是拋物線上的兩點，其中x1＜x2，當(dāng)x1＋x2＞4時，都有y1＜y2，則a的取值范圍是________【答案】

【分析】（1）將a=2代入解析式，然后化為頂點式即可得出結(jié)果；（2）由題意點（x1，0），（x2，0）連線的中垂線與x軸的交點的坐標(biāo)大于2，利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：（1）當(dāng)a＝2時，拋物線的解析式為，∴此拋物線的對稱軸為；故答案為：①；（2）拋物線y＝x2＋ax＋a的對稱軸直線為，①當(dāng)時，y1＜y2恒成立；②當(dāng)時，y1>y2；③當(dāng)時，∵拋物線的對稱軸為，若對于x1＋x2＞4，都有y1＜y2，當(dāng)，且時，拋物線的對稱軸為，∴滿足條件的值為，即．故答案為：②【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的對稱性等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．【變式4】（2022·山東淄博·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線經(jīng)過點和．將拋物線在A、B之間的部分記為圖象M（含A、B兩點）．將圖象M沿直線翻折，得到圖象N．若過點的直線與圖象M、圖象N都相交，且只有兩個交點，則b的取值范圍______．【答案】或【分析】把點A、B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，列出關(guān)于a、c的方程組，通過解該方程可以求得它們的值．由函數(shù)解析式求得頂點坐標(biāo)，根據(jù)題意作出函數(shù)圖象，由圖象直接回答問題．【詳解】∵拋物線y=ax2+4x+c（a≠0）經(jīng)過點A（3，﹣4）和B（0，2），可得：解得：∴拋物線的表達式為y=﹣2x2+4x+2．∵y=﹣2x2+4x+2=﹣2（x﹣1）2+4，∴頂點坐標(biāo)為（1，4）；設(shè)點B（0，2）關(guān)于x=3的對稱點為B’，則點B’（6，2）．若直線y=kx+b經(jīng)過點C（9，4）和B'（6，2），可得b=﹣2．若直線y=kx+b經(jīng)過點C（9，4）和A（3，﹣4），可得b=﹣8．直線y=kx+b平行x軸時，b=4．綜上，﹣8＜b＜﹣2或b=4．故答案為：﹣8＜b＜﹣2或b=4．【點睛】考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．解題時，注意數(shù)形結(jié)合，使抽象的問題變得具體化．【變式5】（2022·四川德陽·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸分別交于點和點，與軸交于點，連接．(1)求拋物線的解析式及點的坐標(biāo)；(2)如圖，點為線段上的一個動點（點不與點，重合），過點作軸的平行線交拋物線于點，求線段長度的最大值．(3)動點以每秒個單位長度的速度在線段上由點向點運動，同時動點以每秒個單位長度的速度在線段上由點向點運動，在平面內(nèi)是否存在點，使得以點，，，為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出符合條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)當(dāng)時，(3)存在，或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，再令，可得，求解即可得點的坐標(biāo)；（2）由兩點坐標(biāo)求出直線的解析式，進而設(shè)出點的坐標(biāo)，進而得出結(jié)論；（3）要使點，，，為頂點的四邊形是菱形，只需為等腰三角形，所以，或，結(jié)合圖形得到答案即可．【詳解】（1）解：由題意，將點、代入，可得，解得，∴，當(dāng)時，可有，解得，，∴；（2）設(shè)直線的解析式為，將點、代入，可得，解得，∴，設(shè)點，，∴，∴當(dāng)時，有；（3）如圖1，∵，，∴，∴，作軸于，∴，當(dāng)時，∴，∵，∴四邊形為矩形，∴，由得，∴，∴，∴，∴；如圖，當(dāng)時，作軸于，作軸于，∴，可得四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∴；如圖，當(dāng)時，，∴，∴，∴．綜上所述：或或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式、等腰三角形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵是熟練掌握先關(guān)知識，運用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想分析問題，并畫出符合條件的圖形．核心考點六二次函數(shù)圖象的變換例1（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象軸上方部分不變，下方部分沿軸向上翻折而成，如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）①；②；

③；④將圖象向上平移1個單位后與直線有3個交點．A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)求出對稱軸為，進而可得，故①正確；由函數(shù)圖象與y軸的交點坐標(biāo)為（0，3），的圖象軸上方部分不變，下方部分沿軸向上翻折而成可知c＝3，故②錯誤；根據(jù)對稱軸求出b＜0，進而可得，故③正確；求出翻折前的二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)，然后根據(jù)平移的性質(zhì)可得④正確．【詳解】解：由函數(shù)圖象可得：與x軸交點的橫坐標(biāo)為－1和3，∴對稱軸為，即，∴整理得：，故①正確；∵與y軸的交點坐標(biāo)為（0，3），可知，開口向上，圖中函數(shù)圖象是由原函數(shù)下方部分沿軸向上翻折而成，∴c＝3，故②錯誤；∵中a＞0，，∴b＜0，又∵c＝3＜0，∴，故③正確；設(shè)拋物線的解析式為，代入（0，3）得：，解得：a＝－1，∴，∴頂點坐標(biāo)為（1，4），∵點（1，4）向上平移1個單位后的坐標(biāo)為（1，5），∴將圖象向上平移1個單位后與直線有3個交點，故④正確；故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的對稱軸公式，頂點坐標(biāo)的求法是解題的關(guān)鍵．例2（2021·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，現(xiàn)將該拋物線先向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度后，得到的拋物線正好經(jīng)過坐標(biāo)原點，則的值是（

）A．或2 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進行解答即可．【詳解】解：函數(shù)向右平移3個單位，得：；再向上平移1個單位，得：+1，∵得到的拋物線正好經(jīng)過坐標(biāo)原點∴+1即解得：或∵拋物線的對稱軸在軸右側(cè)∴＞0∴＜0∴故選：B．【點睛】此題主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．例3（2020·湖北武漢·中考真題）拋物線（，，為常數(shù)，）經(jīng)過，兩點，下列四個結(jié)論：①一元二次方程的根為，；②若點，在該拋物線上，則；③對于任意實數(shù)，總有；④對于的每一個確定值，若一元二次方程（為常數(shù)，）的根為整數(shù)，則的值只有兩個．其中正確的結(jié)論是________（填寫序號）．【答案】①③【分析】①根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系即可得；②先點，得出二次函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)的對稱性與增減性即可得；③先求出二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律即可得；④先將拋物線向下平移個單位長度得到的二次函數(shù)解析式為，再根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系即可得．【詳解】拋物線經(jīng)過，兩點一元二次方程的根為，，則結(jié)論①正確拋物線的對稱軸為時的函數(shù)值與時的函數(shù)值相等，即為當(dāng)時，y隨x的增大而減小又，則結(jié)論②錯誤當(dāng)時，則拋物線的頂點的縱坐標(biāo)為，且將拋物線向下平移個單位長度得到的二次函數(shù)解析式為由二次函數(shù)圖象特征可知，的圖象位于x軸的下方，頂點恰好在x軸上即恒成立則對于任意實數(shù)，總有，即，結(jié)論③正確將拋物線向下平移個單位長度得到的二次函數(shù)解析式為函數(shù)對應(yīng)的一元二次方程為，即因此，若一元二次方程的根為整數(shù)，則其根只能是或或?qū)?yīng)的的值只有三個，則結(jié)論④錯誤綜上，結(jié)論正確的是①③故答案為：①③．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（對稱性、增減性）、二次函數(shù)圖象的平移問題、二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系等知識點，熟練掌握并靈活運用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．知識點：拋物線的平移1．將拋物線解析式化成頂點式y(tǒng)=a（x–h）2+k，頂點坐標(biāo)為（h，k）．:2．保持y=ax2的形狀不變，將其頂點平移到（h，k）處，具體平移方法如下：3．注意二次函數(shù)平移遵循“左加右減（自變量），上加下減（常數(shù)項）”的原則，據(jù)此，可以直接由解析式中常數(shù)的加或減求出變化后的解析式；二次函數(shù)圖象的平移可看作頂點間的平移，可根據(jù)頂點之間的平移求出變化后的解析式．知識點、二次函數(shù)圖象的對稱二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達1.關(guān)于軸對稱關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是；關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是；2.關(guān)于軸對稱關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是；關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是；3.關(guān)于原點對稱關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是；關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是；4.關(guān)于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)180°）關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是；關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是．5.關(guān)于點對稱關(guān)于點對稱后，得到的解析式是根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標(biāo)及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式．【變式1】（2022·山東濱州·陽信縣實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知兩條拋物線和的解析式分別是關(guān)于與的關(guān)系式：：與：．對上述拋物線說法正確的序號是（）①兩條拋物線與軸的交點一定不在軸的上方；②在拋物線、中，可以將其中一條拋物線經(jīng)過向上或向下平移得到另一條拋物線；③在拋物線、中，可以將其中一條拋物線經(jīng)過向左或向右平移得到另一條拋物線；④兩條拋物線的頂點之間的距離為1．A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】C【分析】①分別求出兩條拋物線與軸交點即可判斷；②根據(jù)兩條拋物線的對稱軸相同，可知一條拋物線經(jīng)過向上或向下平移得到另一條拋物線；③根據(jù)兩條拋物線的對稱軸相同，可知兩條拋物線不可能左右平移得到；④配方后，得到頂點坐標(biāo)，相減即可．【詳解】①拋物線與軸交點為，拋物線與軸交點為，一定不在x軸的上方，故本選項正確；②由于兩拋物線對稱軸相同，均為，可知，其中一條拋物線經(jīng)過向上或向下平移得到另一條拋物線；故本選項正確；③由于兩拋物線對稱軸相同，兩條拋物線不可能左右平移得到，故本選項錯誤；④拋物線的解析式配方得，；拋物線的解析式配方得，，，故本選項正確．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)與軸，軸的交點的求法，圖像的平移，頂點坐標(biāo)的求法是解本題的關(guān)鍵．【變式2】（2022·廣東佛山·校考三模）已知拋物線與軸交于點，將該拋物線平移，使平移后的拋物線經(jīng)過點，且與軸交于、兩點，其中，點的坐標(biāo)為．若線段，那么的值為（）A． B．或 C． D．或【答案】D【分析】利用待定系數(shù)法求得平移后的拋物線的解析式，令y＝0，求出該拋物線與x軸的交點，并利用點的坐標(biāo)表示出線段OA，BC的長，根據(jù)已知條件列出關(guān)于t的方程，解方程即可求得結(jié)論．【詳解】解：令，則，，，設(shè)平移后的拋物線解析式為，平移后的拋物線經(jīng)過點，且與軸交于，，解得：，平移后的拋物線解析式為，令，則，解得：，，，．，．當(dāng)時，解得：，當(dāng)時，解得：，的值為：或．故選：D．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，拋物線的平移，拋物線上點的坐標(biāo)的特征，拋物線與x軸的交點，利用點的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2022·安徽合肥·校聯(lián)考三模）如圖，拋物線交x軸于點A、B，交y軸于點，其中點B坐標(biāo)為，同時拋物線還經(jīng)過點．（1）拋物線的解析式為_____________；（2）設(shè)拋物線的對稱軸與拋物線交于點E，與x軸交于點H，連接，將拋物線向下平移n個單位，當(dāng)平分時，則n的值為_____________．【答案】

或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出平移后點E的坐標(biāo)為，平移后點C的坐標(biāo)為，再證明，得到，則，據(jù)此求解即可．【詳解】解：（1）由題意得，∴，∴拋物線解析式為，故答案為：；（2）∵原拋物線解析式為，∴平移后的拋物線解析式為，∴平移后點E的坐標(biāo)為，平移后點C的坐標(biāo)為，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴或，故答案為：或．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)綜合，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【變式4】（2021·四川樂山·統(tǒng)考三模）對某一個函數(shù)給出如下定義：若存在實數(shù)M＞0，對于任意的函數(shù)值y，都滿足﹣M＜y＜M，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的邊界值．例如，如圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1．（1）判斷函數(shù)y＝（x＞0）是否為有界函數(shù)___（填“是”或“否”）；（2）將函數(shù)y＝x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的圖象向下平移m個單位，得到的函數(shù)的邊界值是t，若≤t≤1則m的取值范圍是___．【答案】

否

0m或m1【分析】（1）在x的取值范圍內(nèi)，y（x＞0）的y無最大值，不是有界函數(shù)；（2）先設(shè)m＞1，函數(shù)向下平移m個單位后，x＝0時，y＝﹣m＜﹣1，此時邊界值t＞1，與題意不符，故，判斷出函數(shù)y＝x2所過的點，結(jié)合平移，即可求解．【詳解】解：（1）∵y（x＞0）的y無最大值，∴y（x＞0）不是有界函數(shù)，故答案為：否；（2）若m＞1，圖象向下平移m個單位后，x＝0時，y＜﹣m＜﹣1，此時函數(shù)的邊界值t＞1，不合題意，故．∴函數(shù)y＝x2（，，當(dāng)x＝﹣1時，ymax＝1，當(dāng)x＝0時，ymin＝0，∴向下平移m個單位后，ymax＝1﹣m，ymin＝﹣m，∵邊界值t，∴1﹣m或﹣1﹣m，∴0m或m1，故答案為：0m或m1．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合新定義，弄清函數(shù)邊界值的定義，熟悉平移變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5】（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（）與x軸交于點A、B（點A在點B的左側(cè)），交y軸于點C，聯(lián)結(jié)BC，的余切值為，，點P在拋物線上，且.(1)求上述拋物線的表達式；(2)平移上述拋物線，所得新拋物線過點O和點P，新拋物線的對稱軸與x軸交于點E．①求新拋物線的對稱軸；②點F在新拋物線對稱軸上，且，求點F的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)①對稱軸為直線；②【分析】（1）先通過解直角三角形求出點A、B的坐標(biāo)，直接利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）①設(shè)平移后的解析式為，求出點，再利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；②過點P作軸于N，則，通過證明，利用相似三角形的性質(zhì)計算即可．【詳解】（1）∵拋物線（），當(dāng)時，，∴，即，在中，，∴，∴，∵，∴，∴，把A、B的坐標(biāo)代入，得，解得，∴拋物線解析式為；（2）①設(shè)平移后的解析式為，∵，∴P在的中垂線上，∴，將坐標(biāo)代入，得，∴，∴新的拋物線的解析式為，∴對稱軸為直線；②過點P作軸于N，則，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的平移，二次函數(shù)與角相等的問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識點，準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【新題速遞】1．（2022·江蘇無錫·?？家荒＃佄锞€向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，所得拋物線的解析式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)“左加右減，上加下減”的法則進行解答即可．【詳解】解：將拋物線向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度所得的拋物線解析式為．故選：B．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知二次函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．2．（2022·遼寧盤錦·統(tǒng)考二模）如圖，直線的解析式為，它與軸和軸分別相交于，兩點，點為線段上一動點，過點作直線的平行線，交軸于點，點從原點出發(fā)，沿以每秒個單位長度的速度向終點運動，運動時間為秒，以為斜邊作等腰直角三角形（，兩點分別在兩側(cè)）．若和的重合部分的面積為，則與之間的函數(shù)關(guān)系圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直線，它與軸和軸分別相交于，兩點，則；根據(jù)點從原點出發(fā)，沿以每秒個單位長度的速度向終點運動，運動時間為秒，則，；根據(jù)題意可知，；當(dāng)時，和的重合部分的面積：；當(dāng)時，和的重合部分的面積：，即可．【詳解】如圖：∵直線，它與軸和軸分別相交于，兩點，∴，∵點從原點出發(fā)，沿以每秒個單位長度的速度向終點運動，運動時間為秒，∴，，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，當(dāng)，；∴當(dāng)，；當(dāng)，．故選：C．【點睛】本題考查函數(shù)的知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，得到函數(shù)關(guān)系式．3．（2023·廣西玉林·一模）如圖，函數(shù)的圖象過點和，請思考下列判斷：；；；；正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用圖象信息即可判斷；根據(jù)時，即可判斷；根據(jù)是方程的根，結(jié)合兩根之積，即可判斷；根據(jù)兩根之和，可得，可得，根據(jù)拋物線與軸的兩個交點之間的距離，列出關(guān)系式即可判斷．【詳解】解：拋物線開口向下，，拋物線交軸于正半軸，，，，，故正確，時，，，即，故正確，的圖象過點和，，，，，故正確，，，，，故錯誤，，，，故正確，故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)，二次項系數(shù)決定拋物線的開口方向：當(dāng)時，拋物線向上開口；當(dāng)時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)和二次項系數(shù)共同決定對稱軸的位置：當(dāng)與同號時即，對稱軸在軸左；當(dāng)與異號時即，對稱軸在軸右；常數(shù)項決定拋物線與軸交點：拋物線與軸交于；決定拋物線與軸交點個數(shù)：時，拋物線與軸有個交點；時，拋物線與軸有個交點；時，拋物線與軸沒有交點．4．（2022·山東臨沂·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)及一次函數(shù)，將二次函數(shù)在軸下方的圖像沿軸翻折到軸上方，圖像的其余部分不變，得到一個新圖像（如圖所示），當(dāng)直線與新圖像有個交點時，的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出二次函數(shù)圖像關(guān)于x軸翻折后的解析式，求出直線與翻折后拋物線相切時的m值，求出直線經(jīng)過圖像與x軸右側(cè)交點時m的值，進而求解．【詳解】解：拋物線關(guān)于x軸翻折后解析式為，令，整理得，當(dāng)時，直線與拋物線相切，解得，把代入得，解得，∴拋物線與x軸交點坐標(biāo)為，把代入得，解得，∴滿足題意．