專題05《有理數(shù)的乘方》銜接講義（原卷）

2022年人教版暑假小升初數(shù)學銜接精編講義專題05《有理數(shù)的乘方》知識互聯(lián)網(wǎng)知識互聯(lián)網(wǎng)學習目標學習目標1．理解有理數(shù)乘方的定義；2.掌握有理數(shù)乘方運算的符號法則，并能熟練進行乘方運算；3.進一步掌握有理數(shù)的混合運算.4.會用科學記數(shù)法表示大數(shù).知識要點知識要點知識點1：有理數(shù)的乘方定義：求n個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪(power)．即有：.在中，叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．要點分析：（1）乘方與冪不同，乘方是幾個相同因數(shù)的乘法運算，冪是乘方運算的結(jié)果．（2）底數(shù)一定是相同的因數(shù)，當?shù)讛?shù)不是單純的一個數(shù)時，要用括號括起來．（3）一個數(shù)可以看作這個數(shù)本身的一次方．例如，5就是51，指數(shù)1通常省略不寫．知識點2：乘方運算的符號法則（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；（2）負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)；（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0；（4）任何一個數(shù)的偶次冪都是非負數(shù)，如≥0．要點分析：(1)有理數(shù)的乘方運算與有理數(shù)的加減乘除運算一樣，首先應確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值．(2)任何數(shù)的偶次冪都是非負數(shù)．知識點3：有理數(shù)的混合運算有理數(shù)混合運算的順序：(1)先乘方，再乘除，最后加減；(2)同級運算，從左到右進行；(3)如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行．要點分析：(1)有理數(shù)運算分三級，并且從高級到低級進行運算，加減法是第一級運算，乘除法是第二級運算，乘方和開方(以后學習)是第三級運算；（2）在含有多重括號的混合運算中，有時根據(jù)式子特點也可按大括號、中括號、小括號的順序進行．(3)在運算過程中注意運算律的運用．知識點4：科學記數(shù)法把一個大于10的數(shù)表示成的形式（其中是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，l≤||<10，是正整數(shù)），這種記數(shù)法叫做科學記數(shù)法，如＝.要點分析：（1）負數(shù)也可以用科學記數(shù)法表示，“”照寫，其它與正數(shù)一樣，如=；（2）把一個數(shù)寫成形式時，若這個數(shù)是大于10的數(shù)，則n比這個數(shù)的整數(shù)位數(shù)少1.題型1題型1：有理數(shù)的乘方【典型例題01】（2022?雨花區(qū)校級開學）下列各數(shù)：①，②0.1，③﹣|﹣2|，④（﹣3）2，⑤，是正有理數(shù)的是（填序號）．【思路引導】根據(jù)絕對值、有理數(shù)的乘方、相反數(shù)、有理數(shù)的定義解決此題．【完整解答】解：①是正分數(shù)，那么①是正有理數(shù)．②0.1是正的小數(shù)，那么②是正有理數(shù)．③根據(jù)絕對值的定義，﹣|﹣2|＝﹣2＜0，那么﹣|﹣2|是負數(shù)，那么③不是正有理數(shù)．④根據(jù)有理數(shù)的乘方，（﹣3）2＝9＞0，那么（﹣3）2是正有理數(shù)，那么④是正有理數(shù)．⑤根據(jù)無理數(shù)的定義，是無理數(shù)．綜上：正有理數(shù)有①②④．【考察注意點】本題主要考查絕對值、有理數(shù)的乘方、相反數(shù)、有理數(shù)，熟練掌握絕對值、有理數(shù)的乘方、相反數(shù)、有理數(shù)的定義是解決本題的關鍵．【典型例題02】（2022春?梁山縣期中）已知|x|＝2，y2＝9，且x＞y，則x+y的值等于（）A．1或5 B．1或﹣5 C．﹣1或﹣5 D．﹣1或5【思路引導】根據(jù)絕對值和有理數(shù)的乘方求出x，y的值，根據(jù)x＞y分兩種情況分別計算即可．【完整解答】解：∵|x|＝2，y2＝9，∴x＝±2，y＝±3，∵x＞y，∴當x＝2，y＝﹣3時，x+y＝﹣1；當x＝﹣2，y＝﹣3時，x+y＝﹣5；故選：C．【考察注意點】本題考查了有理數(shù)的乘方，絕對值，有理數(shù)的加法，考查分類討論的思想，根據(jù)x＞y分兩種情況分別計算是解題的關鍵．變式訓練變式訓練【變式訓練01】（2021秋?碑林區(qū)校級期末）下列說法正確的是（）A．整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù) B．任何有理數(shù)都有倒數(shù) C．一個數(shù)的絕對值一定為正數(shù) D．立方等于本身的數(shù)是1和﹣1【變式訓練02】（2022春?諸城市期中）若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），則n叫做以a為底b的對數(shù)，記為logab（即logab＝n），如34＝81，則4叫做以3為底81的對數(shù)，記為log381（即log381＝4）．則log264的值為．【變式訓練03】（2022春?邗江區(qū)校級期中）閱讀材料：如果10b＝n，那么b為n的“勞格數(shù)”，記為b＝d（n）．由定義可知：10b＝n與b＝d（n）表示b、n兩個量之間的同一關系．如：102＝100，則d（100）＝2．理解運用：（1）根據(jù)“勞格數(shù)”的定義，填空：d（10﹣3）＝，d（1）＝；（2）“勞格數(shù)”有如下運算性質(zhì)：若m、n為正數(shù)，則d（mn）＝d（m）+d（n），d（）＝d（m）﹣d（n）；根據(jù)運算性質(zhì)，填空：＝；（a為正數(shù)）（3）若d（2）＝0.3010，計算：d（4）、d（5）；（4）若d（2）＝2m+n，d（4）＝3m+2n+p，d（8）＝6m+2n+p，請證明m＝n＝p．題型題型2：非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方典例精講典例精講【典型例題03】（2021秋?淅川縣期中）如果|a+1|+（b﹣2）2＝0．（1）求a、b的值；（2）求（a+b）2020+a2021的值．【思路引導】（1）直接利用絕對值和偶次方的非負數(shù)的性質(zhì)得出a，b的值；（2）直接把a，b的值代入求出答案．【完整解答】解：（1）∵|a+1|+（b﹣2）2＝0，|a+1|≥0，（b﹣2）2≥0，∴a+1＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣1，b＝2；（2）（a+b）2020+a2021＝（﹣1+2）2020+（﹣1）2021＝0．【考察注意點】此題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)，正確得出a，b的值是解題關鍵．【典型例題04】（2021秋?望城區(qū)期末）已知|2x﹣6|+（5+y）2＝0，則yx的值為（）A．15 B．﹣15 C．﹣125 D．125【思路引導】根據(jù)絕對值和偶次方的非負數(shù)的性質(zhì)列式求出x、y的值，然后代入代數(shù)式進行計算即可得解．【完整解答】解：∵|2x﹣6|+（5+y）2＝0，而|2x﹣6|≥0，（5+y）2≥0，∴2x﹣6＝0，5+y＝0，解得x＝3，y＝﹣5，∴yx＝（﹣5）3＝﹣125．故選：C．【考察注意點】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)：幾個非負數(shù)的和為0時，這幾個非負數(shù)都為0．變式訓練變式訓練【變式訓練04】（2021秋?潼南區(qū)校級期末）已知：|a+1|+（2﹣b）2＝0，則ab的是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【變式訓練05】（2022春?華安縣校級月考）已知（2x﹣4）2+|x+2y﹣8|＝0，則x＝，y＝．【變式訓練06】（2021秋?涼山州期末）若（a+2）2+|b﹣1|＝0，則（b+a）2021＝．【變式訓練07】（2021秋?贛州期中）已知（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，求﹣2a+b的值．題型題型3：科學記數(shù)法—表示較大的數(shù)典例精講典例精講【典型例題05】（2022?自貢）自貢市江姐故里紅色教育基地自去年底開放以來，截止到今年5月，共接待游客180000余人．人數(shù)180000用科學記數(shù)法表示為（）A．1.8×104 B．18×104 C．1.8×105 D．1.8×106【思路引導】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．【完整解答】解：180000＝1.8×105，故選：C．【考察注意點】此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．【典型例題06】（2020秋?襄汾縣期中）已知10×102＝1000＝103，102×102＝10000＝104，102×103＝100000＝105．（1）猜想106×104＝1010，10m×10n＝10m+n．（m，n均為正整數(shù)）（2）運用上述猜想計算下列式子：①（1.5×104）×（1.2×105）；②（﹣6.4×103）×（2×106）．【思路引導】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥1時，n是非負數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．【完整解答】解：（1）106×104＝1010，10m×10n＝10m+n；故答案為：1010；10m+n；（2）①（1.5×104）×（1.2×105）＝（1.5×1.2）×（104×105）＝1.8×109；②（﹣6.4×103）×（2×106）＝（﹣6.4×2）×（103×106）＝﹣12.8×109＝﹣1.28×1010．【考察注意點】此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．變式訓練變式訓練【變式訓練08】（2021秋?鐵東區(qū)期末）記者從11月20日召開的2021世界制造業(yè)大會新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展論壇上獲悉，到今年9月底我國汽車保有量達到了297000000輛，年底將超過3億輛．297000000這個數(shù)字用科學記數(shù)法可表示為（）A．29.7×107 B．0.297×109 C．2.97×108 D．297×106【變式訓練08】（2022?秦淮區(qū)二模）自2022年3月10日南京市發(fā)生外地來寧人員關聯(lián)本土疫情以來，截至3月27日11時，南京市累計開展核酸檢測超過59000000人次．用科學記數(shù)法表示59000000是【變式訓練09】（2021秋?曾都區(qū)期末）“垃圾分類，我在行動”．一粒小小的紐扣電池就可以污染60萬升水，相當于一個人一生的飲水量．用科學記數(shù)法表示數(shù)據(jù)60萬是．【變式訓練10】（2022春?南岸區(qū)校級月考）我國約有9600000平方千米的土地，平均1平方千米的土地一年從太陽得到的能量相當于燃燒150000噸煤所產(chǎn)生的能量．（1）一年內(nèi)我國土地從太陽得到的能量相當于燃燒多少噸煤所產(chǎn)生的能量？（2）若1噸煤大約可以發(fā)出8000度電，那么（1）中的煤大約發(fā)出多少度電？（結(jié)果用科學記數(shù)法表示）題型題型4：近似數(shù)和有效數(shù)字典例精講典例精講【典型例題05】（2022春?松江區(qū)校級期中）下列說法正確的是（）A．近似數(shù)4.20和近似數(shù)4.2的精確度一樣 B．近似數(shù)4.20和近似數(shù)4.2的有效數(shù)字相同 C．近似數(shù)3千萬和近似數(shù)3000萬的精確度一樣 D．近似數(shù)52.0和近似數(shù)5.2的精確度一樣【思路引導】根據(jù)近似數(shù)和有效數(shù)字的定義，可以判斷各個選項中的說法是否正確．【完整解答】解：近似數(shù)4.20和近似數(shù)4.2的精確度不一樣，近似數(shù)4.20精確到百分位，近似數(shù)4.2精確到十分位，故選項A錯誤，不符合題意；近似數(shù)4.20和近似數(shù)4.2的有效數(shù)字不相同，近似數(shù)4.20有三個有效數(shù)字，近似數(shù)4.2有兩個有效數(shù)字，故選項B錯誤，不符合題意；近似數(shù)3千萬和近似數(shù)3000萬的精確度不一樣，近似數(shù)3千萬精確到千萬位，近似數(shù)3000萬精確到萬位，故選項C錯誤，不符合題意；近似數(shù)52.0和近似數(shù)5.2的精確度一樣，故選項D正確，符合題意；故選：D．【考察注意點】本題考查近似數(shù)和有效數(shù)字，解答本題的關鍵是明確近似數(shù)和有效數(shù)字定義．【典型例題07】按括號里的要求，用四舍五入法對下列各數(shù)取近似數(shù)：①60290（保留兩個有效數(shù)字）；②0.03057（保留三個有效數(shù)字）；③2345000（精確到萬位）；④1.596（精確到0.01）．【思路引導】①先利用科學記數(shù)法表示，然后把百位上的數(shù)字2進行四舍五入即可；②根據(jù)有效數(shù)字的定義求解；③先利用科學記數(shù)法表示，然后把千位上的數(shù)字5進行四舍五入即可；④把千分位上的數(shù)字進行四舍五入即可．【完整解答】解：①60290（保留兩個有效數(shù)字）≈6.0×104；②0.03057（保留三個有效數(shù)字）≈0.0306；③2345000（精確到萬位）≈2.35×106；④1.596（精確到0.01）≈1.60．【考察注意點】本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字：“精確到第幾位”和“有幾個有效數(shù)字”是精確度的兩種常用的表示形式，它們實際意義是不一樣的，前者可以體現(xiàn)出誤差值絕對數(shù)的大小，而后者往往可以比較幾個近似數(shù)中哪個相對更精確一些．變式訓練變式訓練【變式訓練11】（2021秋?綏濱縣期末）按括號內(nèi)的要求用四舍五入法取近似數(shù)，其中正確的是（）A．103.57≈103.6（精確到個位） B．2.708≈2.71（精確到十分位） C．0.054≈0.1（精確到0.1） D．0.0136≈0.013（精確到0.001）【變式訓練12】（2022春?靜安區(qū)期中）月球沿著一定的軌道圍繞地球運動，它在近地點時與地球的距離約為363300千米，把這個近似數(shù)保留三個有效數(shù)字，則可表示為千米．【變式訓練13】（2021秋?青田縣期末）一個數(shù)由四舍五入精確到千分位后得到的數(shù)是1.270，那么這個數(shù)最小可以取基礎基礎達標一．選擇題1．（2022?豐臺區(qū)二模）2021年我國原油產(chǎn)量約1.99億噸，連續(xù)3年回升．將199000000用科學記數(shù)法表示應為（）A．199×106 B．1.99×108 C．1.99×109 D．0.199×1092．（2022?洞頭區(qū)模擬）“中國天眼”是我國世界最大單口徑的射電望遠鏡，它的占地面積約260000平方米，數(shù)據(jù)260000用科學記數(shù)法表示為（）A．26×104 B．2.6×105 C．2.6×106 D．0.26×1063．（2022?章丘區(qū)二模）國家統(tǒng)計局數(shù)據(jù)，2022年一季度，規(guī)模以上工業(yè)原油產(chǎn)量5119萬噸，同比增長4.4%．“5119萬”用科學記數(shù)法可表示為（）A．51.19×1062 B．51.19×107 C．5.119×107 D．5.119×1084．（2022春?遵化市期中）計算（﹣+﹣）×（﹣24）的結(jié)果是（）A．1 B．﹣1 C．10 D．﹣10二．填空題5．（2022?大理市一模）2021年5月15日7時18分，執(zhí)行我國首次火星探測任務的“天問一號”探測器在火星著落，在火星上首次留下中國印跡．火星是太陽系九大行星之一，火星的半徑約為3395000米，用科學記數(shù)法表示“3305000”為．6．（2022?姑蘇區(qū)一模）蘇州站是蘇州重要的交通樞紐之一，站房建筑面積為54000平方米，采用線上高架候車結(jié)構(gòu)，包括南北兩個站房和高架站房，并在北站房設置站前高架和落客平臺，是蘇州市地標建筑之一．將數(shù)據(jù)54000用科學記數(shù)法表示為．7．（2022春?嘉定區(qū)校級期中）計算：﹣25+26＝．8．（2022?婁底模擬）定義：對于23＝8，把3叫做以2為底的8的對數(shù)，記為log28＝3．那么＝．9．（2022?金平區(qū)一模）已知a、b為有理數(shù)，且|a﹣3|+（3b+1）2＝0，則（ab）2022＝．10．（2022?東臺市模擬）據(jù)資料顯示，我國釣魚島周圍海域面積約170000km2，用科學記數(shù)法表示該數(shù)為．11．（2022春?松江區(qū)校級期中）將80450保留三個有效數(shù)字為．三．解答題12．（2021秋?三原縣期末）計算：（1）；（2）．13．（2021秋?肇源縣期末）一個圓形噴水池（如圖）的半徑是3米，要在其周圍修1米寬的小路．小路的面積是多少平方米？（π取3.14，結(jié)果保留兩位小數(shù)）14．（2021秋?墾利區(qū)期末）數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學方法，如在化簡|a|時，當a在數(shù)軸上位于原點的右側(cè)時，|a|＝a；當a在數(shù)軸上位于原點時，|a|＝0；當a在數(shù)軸上位于原點的左側(cè)時，|a|＝﹣a．當a，b，c三個數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，試用這種方法解決下列問題．（1）當a＝1時，求＝，當b＝﹣2時，求＝．（2）請根據(jù)a，b，c三個數(shù)在數(shù)軸上的位置，求的值．（3）請根據(jù)a，b，c三個數(shù)在數(shù)軸上的位置，化簡：|a+c|+|c|+|a+b|﹣|b﹣c|．15．（2022春?商城縣校級月考）規(guī)定“*”表示一種運算，且a*b＝a﹣2b，試求3*（4*）的值．16．（2022春?南岸區(qū)校級月考）我國約有9600000平方千米的土地，平均1平方千米的土地一年從太陽得到的能量相當于燃燒150000噸煤所產(chǎn)生的能量．（1）一年內(nèi)我國土地從太陽得到的能量相當于燃燒多少噸煤所產(chǎn)生的能量？（2）若1噸煤大約可以發(fā)出8000度電，那么（1）中的煤大約發(fā)出多少度電？（結(jié)果用科學記數(shù)法表示）17．（2022春?邗江區(qū)校級月考）概念學習規(guī)定：求若干個相同的有理數(shù)（均不等于0）的除法運算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2記作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）記作（﹣3）④，讀作“﹣3的圈4次方”，一般地，把a÷a÷a……÷a（n個a，a≠0）記作a?，讀作“a的圈n次方”．（1）直接寫出計算結(jié)果：2③＝，＝；（2）將下列運算結(jié)果直接寫成冪的形式：5⑥＝；＝；（3）想一想：將一個非零有理數(shù)a的圈n（n≥3）次方寫成冪的形式為；（4）算一算：42×④．能力提升能力提升一．選擇題1．（2021秋?大名縣期末）下列各對數(shù)中，相等的一對是（）A．與 B．﹣22與（﹣2）2 C．﹣（﹣3）與﹣|﹣3| D．（﹣2）3與﹣232．（2021秋?單縣期末）一根1m長的繩子，第一次剪去繩子的，第二次剪去剩下繩子的，如此剪下去，第100次剪完后剩下繩子的長度是（）A． B． C． D．3．（2021秋?安居區(qū)期末）若a與b互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，m的絕對值為2，則|m|﹣c×d+的值為（）A．1 B．﹣2 C．1或﹣3 D．或4．（2021秋?棲霞市期末）在數(shù)學課上，老師讓甲、乙、丙、丁，四位同學分別做了一道有理數(shù)運算題，你認為做對的同學是（）甲：9﹣32÷8＝0÷8＝0乙：24﹣（4×32）＝24﹣4×6＝0丙：（36﹣12）÷＝36×﹣12×＝16?。海ī?）2÷×3＝9÷1＝9A．甲 B．乙 C．丙 D．丁5．（2018秋?西湖區(qū)校級月考）定義一種關于整數(shù)n的“F”運算：（1）當n是奇數(shù)時，結(jié)果為3n+5；（2）當n是偶數(shù)時，結(jié)果是（其中k是使是奇數(shù)的正整數(shù)），并且運算重復進行．例如：取n＝58，第一次經(jīng)F運算是29，第二次經(jīng)F運算是92，第三次經(jīng)F運算是23，第四次經(jīng)F運算是74…；若n＝9，則第2017次運算結(jié)果是（）A．1 B．2 C．7 D．8二．填空題6．（2021秋?渠縣期末）根據(jù)央視報道，去年我國汽車尾氣排放總量大約為47000000噸．將47000000用科學記數(shù)法表示為．7．（2021秋?儀征市期末）小亮用天平稱得一個罐頭的質(zhì)量為2.026kg，近似數(shù)2.026精確到0.01約是．8．（2022春?蒸湘區(qū)校級月考）已知（2x﹣4）2+|x+2y﹣8|＝0，則（x﹣y）2017＝．9．（2021秋?南丹縣期末）1根1米長的木棒，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，…，如此截下去，則第8次剩下的木棒的長為米．10．（2018秋?翠屏區(qū)期中）如圖，定義一種對正整數(shù)n的“F運算”：①當n為奇數(shù)時，結(jié)果為3n+5；②當n為偶數(shù)時，結(jié)果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運算重復進行．例如，取n＝26，第三次“F運算”的結(jié)果是11．若n＝449，則第449次“F運算”的結(jié)果是．11．（2018秋?郫都區(qū)期中）三個數(shù)a＝266，b＝344，c＝622中，最小的一個是．三．解答題12．（2021秋?墾利區(qū)期末）計算：（1）（﹣5）+（﹣4）﹣（+101）﹣（﹣9）；（2）；（3）；（4）．13．（2021秋?龍鳳區(qū)校級期末）笑笑超市對顧客實行優(yōu)惠購物，優(yōu)惠規(guī)定如下：（1）如果一次性購物在500元以內(nèi)，按標價給予九折優(yōu)惠；（2）如果一次性購物超過500元，其中500元部分給予九折優(yōu)惠，超過500元部分給予八折優(yōu)惠．A．王叔叔在該超市購