專題07不等式及不等式組（講義）（原卷版）

專題07不等式及不等式組核心知識點精講理解不等式的的概念、解集；理解不等式的性質(zhì)并能進行運用；了解一元一次不等式的概念與解法并能進行運用；掌握一元一次不等式組的概念及解法；掌握在數(shù)軸上表示不等式的解集的方法；理解一元一次不等式組的整數(shù)解；掌握一元一次不等式（組）的實際應用?？键c1不等式的概念與性質(zhì)1.不等式的概念：用不等號表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式。2.不等式的解集：對于一個含有未知數(shù)的不等式，任何一個適合這個不等式的未知數(shù)的值，都叫做這個不等式的解。對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解的集合叫做這個不等式的解的集合，簡稱這個不等式的解集。求不等式的解集的過程，叫做解不等式。3.不等式的性質(zhì)：（1）不等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變。（2）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變。（3）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變。考點2一元一次不等式1.一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，且不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式。2.一元一次不等式的解法：解一元一次不等式的一般步驟：（1）去分母（2）去括號（3）移項（4）合并同類項（5）將x項的系數(shù)化為1考點3一元一次不等式組（1）一元一次不等式組的概念：幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一元一次不等式組。解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。當任何數(shù)x都不能使不等式同時成立，我們就說這個不等式組無解或其解為空集。（2）一元一次不等式組的解法：a分別求出不等式組中各個不等式的解集b利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的解集。c根據(jù)公共部分寫出不等式的解集，如果沒有公共部分，那么不等式組無解（空集）考點4在數(shù)軸上表示不等式的解集用數(shù)軸表示不等式的解集時，要注意“兩定”：一是定界點，一般在數(shù)軸上只標出原點和界點即可．定邊界點時要注意，點是實心還是空心，若邊界點含于解集為實心點，不含于解集即為空心點；二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”．【規(guī)律方法】不等式解集的驗證方法某不等式求得的解集為x＞a，其驗證方法可以先將a代入原不等式，則兩邊相等，其次在x＞a的范圍內(nèi)取一個數(shù)代入原不等式，則原不等式成立．考點5一元一次不等式組的整數(shù)解（1）利用數(shù)軸確定不等式組的解（整數(shù)解）．解決此類問題的關(guān)鍵在于正確解得不等式組或不等式的解集，然后再根據(jù)題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件進而求得不等式組的整數(shù)解．（2）已知解集（整數(shù)解）求字母的取值．一般思路為：先把題目中除未知數(shù)外的字母當做常數(shù)看待解不等式組或方程組等，然后再根據(jù)題目中對結(jié)果的限制的條件得到有關(guān)字母的代數(shù)式，最后解代數(shù)式即可得到答案．考點6一元一次不等式應用列不等式組解應用題的一般步驟基本相似，包括：審清題意；（2）設(shè)未知數(shù)；（3）列不等式；（5）檢驗；（6）作答。【題型1：不等式的概念與性質(zhì)】【典例1】（2023?清遠一模）小紅每分鐘踢毽子的次數(shù)正常范圍為少于80次，但不少于50次，用不等式表示為（）A．50≤x≤80 B．50≤x＜80 C．50＜x＜80 D．50＜x≤80【典例2】（2023?香洲區(qū)校級一模）已知a＞b，則下列各式中一定成立的是（）A．a(chǎn)﹣b＜0 B．2a﹣1＜2b﹣1 C．a(chǎn)c2＞bc2 D．a(chǎn)1．（2023?禪城區(qū)二模）若a＞b，則下列選項中，一定成立的是（）A．a(chǎn)+2＞b+2 B．a(chǎn)﹣2＜b﹣2 C．2a＜2b D．﹣2a＞﹣2b2．（2023?越秀區(qū)校級二模）若x＜y，且ax＜ay，則（）A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)＜0 C．a(chǎn)＞1 D．a(chǎn)＜13．（2023?高明區(qū)二模）已知a＞b，下列不等式一定成立的是（）A．a(chǎn)+1＜b+1 B．a(chǎn)3＞b3 C．﹣3a＞﹣3b D．a(chǎn)﹣c4．（2023?龍華區(qū)二模）農(nóng)戶利用“立體大棚種植技術(shù)”把毛豆和芹菜進行混種，已知毛豆齊苗后棚濕在18～25℃最適宜，播種芹菜的最適宜溫度是15～20℃．農(nóng)戶在毛豆齊苗后在同一大棚播種了芹菜，這時應該把大棚溫度設(shè)置在下列哪個范圍最適宜（）A．15～18℃ B．18～20℃ C．20～25℃ D．20℃以上5．（2023?龍川縣一模）下列式子中，x＝2是它的解的是（）A．12x=1 B．x2﹣2x+1＝0 C．x＜0 【題型2：一元一次不等式】【典例3】（2022?南海區(qū)校級模擬）下列各數(shù)中，是不等式3（2﹣x）+1＜0的解是（）1．（2023?東莞市校級二模）在平面直角坐標系中，點P（a﹣2，2）在第二象限，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜2 B．a(chǎn)≤2 C．a(chǎn)＜0 D．a(chǎn)＞22．（2023?深圳模擬）一元一次不等式x+43A． B． C． D．3．（2023?從化區(qū)二模）定義運算“a☆b”為：當a≥b時，a☆b＝a+b；當a＜b時，a☆b＝a﹣b，例如：1☆（﹣2）＝1+（﹣2）＝﹣1，（﹣2）☆1＝﹣2﹣1＝﹣3．若（3m﹣1）☆（m+1）＞8，則m的取值范圍為（）A．m＞2 B．m＞5 C．2＜m＜5 D．m＜2或m＞54．（2023?高州市一模）解不等式1+2x3＞【題型3：一元一次不等式組】【典例4】（2023?興寧市二模）一元一次不等式組3x+2≥4x?54x?3＜21A．x＞8 B．7≤x＜8 C．x≤7 D．x＜61．（2023?光明區(qū)校級三模）不等式組x?1＜0x+1≥0A． B． C． D．2．（2023?南海區(qū)模擬）不等式組?3x＞65x?1A． B． C． D．3．（2023?南山區(qū)二模）不等式組x+4＞02(x+1)≥x?1的解集為4．（2023?荔灣區(qū)校級二模）解不等式組3x?2＜2x2x?1≥x?2【題型4：在數(shù)軸上表示不等式的解集】【典例5】（2023?鶴山市模擬）如圖，不等式組x?1＜2?3x≤9A． B． C． D．1．（2023?鹽田區(qū)二模）不等式組的解集如圖所示，則該解集表示為（）A．﹣1＜x≤2 B．﹣1＜x＜2 C．﹣1≤x＜2 D．﹣1≤x≤22．（2023?寶安區(qū)校級三模）已知點P（2x+6，x﹣4）在第四象限，則實數(shù)x的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的為（）A． B． C． D．3．（2023?佛岡縣二模）關(guān)于x的一元一次不等式組的解集在數(shù)軸上的表示如圖所示，則此不等式組的解集是（）A．x≥0 B．x＜3 C．0≤x＜3 D．0＜x≤3【題型5：一元一次不等式的整數(shù)解】【典例6】（2023?惠城區(qū)一模）下列數(shù)值不是不等式組2x+4＞0?x≥?1A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．11．（2023?三水區(qū)模擬）不等式組6x+3＞3(x+a)x2?1≤7?A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2023?東莞市一模）不等式組3x?1＜x+3x?32＜x?1的整數(shù)解為3．（2023?潮南區(qū)模擬）解不等式組3x?1＜x+12(2x?1)≤5x+1【題型6：一元一次不等式的應用】【典例7】（2023?深圳模擬）某初三某班計劃購買定制鋼筆和紀念卡冊兩種畢業(yè)紀念禮物，已知購買1支定制鋼筆和4本紀念卡冊共需130元，購買3支定制鋼筆和2本紀念卡冊共需140元．（1）求每支定制鋼筆和每本紀念卡冊的價格分別為多少元？（2）該班計劃購買定制鋼筆和紀念卡冊共60件，總費用不超過1600元，且紀念卡冊本數(shù)小于定制鋼筆數(shù)量的3倍，那么有幾種購買方案，請寫出設(shè)計方案？1．（2023?禪城區(qū)二模）日前市教育局發(fā)布了《佛山市教育局關(guān)于做好2023年我市初中畢業(yè)升學體育考試工作的通知》，確定了考試項目可由學生自行選擇．某校為了保證九年級畢業(yè)生有足夠的訓練器材，計劃增購一批籃球和足球，如果購買20個足球和15個籃球，共需2050元；如果購買10個足球和20個籃球，共需1900元．（1）足球與籃球的單價分別為多少元？（2）若學校計劃用不超過2800元的經(jīng)費購買足球和籃球共50個，且足球數(shù)不多于籃球數(shù)的3倍，則最多購買多少個籃球？2．（2023?福田區(qū)模擬）某企業(yè)計劃購買A、B兩種型號的機器人來搬運貨物，已知每臺A型機器人比每臺B型機器人每天少搬運10噸，且A型機器人每天搬運540噸貨物與B型機器人每天搬運600噸貨物所需臺數(shù)相同．（1）求每臺A型機器人和每臺B型機器人每天分別搬運貨物多少噸？（2）每臺A型機器人售價1.2萬元，每臺B型機器人售價2萬元，該公司計劃采購A、B兩種型號的機器人共30臺，必須滿足每天搬運的貨物不低于2830噸，購買金額不超過48萬元．請你求出最節(jié)省的采購方案，購買總金額最低是多少萬元？3．（2023?新興縣三模）某商場計劃用7.8萬元從同一供應商處購進A，B兩種商品，供應商負責運輸．已知A種商品的進價為120元/件，B種商品的進價為100元/件．如果售價定為：A種商品135元/件，B種商品120元/件，那么銷售完后可獲得利潤1.2萬元．（1）該商場計劃購進A，B兩種商品各多少件？（2）供應商計劃租用甲、乙兩種貨車共16輛，一次性將A，B兩種商品運送到商場，已知甲種貨車可裝A種商品30件和B種商品12件，乙種貨車可裝A種商品20件和B種商品30件，試通過計算幫助供應商設(shè)計幾種運輸用車方案？一．選擇題（共8小題）1．已知x＞y，則下列不等式不成立的是（）A．x﹣6＞y﹣6 B．3x＞3y C．﹣2x＜﹣2y D．﹣3x+6＞﹣3y+62．不等式組3x+1＞42x?1≤3A． B． C． D．3．小紅每分鐘踢毽子的次數(shù)正常范圍為少于80次，但不少于50次，用不等式表示為（）A．50≤x≤80 B．50≤x＜80 C．50＜x＜80 D．50＜x≤804．某環(huán)保知識競賽一共有20道題，規(guī)定：答對一道題得5分，答錯或不答一道題扣1分．在這次競賽中，小明被評為優(yōu)秀（85分或85分以上），則小明至少答對了______道題．（）A．17 B．18 C．19 D．165．已知關(guān)于x的不等式組x＜2x＞m無解，則mA．m＜2 B．m≤2 C．m≥2 D．不能確定6．下列說法不正確的是（）A．若a＞b，則﹣4a＜﹣4b B．若a＜b，則ax2＜bx2 C．若a＞b，則1﹣a＜1﹣b D．若a＞b，則a+x＞b+x7．不等式組2x+3≥1x?1A．0個 B．2個 C．4個 D．5個8．滿足x≤3的最大整數(shù)x是（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空題（共4小題）9．不等式組x?3＜02x+10＞0的解集是10．若關(guān)于x的不等式3x+1＜m的正整數(shù)解是1，2，3，則整數(shù)m的最大值是．11．定義：如果一元一次方程的解是一元一次不等式組的解，則稱該一元一次方程為該不等式組的相伴方程．若方程8﹣x＝x、7+x＝3（x+13）都是關(guān)于x的不等式組x＜2x?mx?2≤m的相伴方程，則m12．某學校醫(yī)務(wù)室采購了一批水銀溫度計和額溫槍，其中有10支水銀溫度計，若干支額溫槍．已知水銀溫度計每支5元，額溫槍每支230元，如果總費用不超過1000元，那么額溫槍至多有支．三．解答題（共2小題）13．解不等式組：2(x+1)＞43x≤x+514．昌云中學計劃為地理興趣小組購買大、小兩種地球儀，若購買1個大地球儀和3個小地球儀需用136元；若購買2個大地球儀和1個小地球儀需用132元．（1）求每個大地球儀和每個小地球儀各多少元；（2）昌云中學決定購買以上兩種地球儀共30個，總費用不超過960元，那么昌云中學最多可以購買多少個大地球儀？一．選擇題（共8小題）1．已知關(guān)于x的不等式組3x?1＜4(x?1)x＜m無解，則mA．m≤3 B．m＞3 C．m＜3 D．m≥32．若點P（1?13m，mA．﹣5＜m＜3 B．﹣3＜m＜5 C．3＜m＜5 D．﹣5＜m＜﹣33．不等式組4?x≥33x?1＞?10A． B． C． D．4．不等式組2x+13?5x?36＜1?①?5≤2x?1≤5?②的解集是關(guān)于A．0＜a≤1 B．?1C．?13＜a≤1 D．?5．如圖，按下面的程序進行運算．規(guī)定：程序運行到“判斷結(jié)果是否大于28”為一次運算．若運算進行了3次才停止，則x的取值范圍是（）A．2＜x≤4 B．2≤x＜4 C．2＜x＜4 D．2≤x≤46．關(guān)于x的方程3﹣2x＝3（k﹣2）的解為非負整數(shù)，且關(guān)于x的不等式組x?2(x?1)≤32k+x3≥xA．5 B．4 C．3 D．27．已知關(guān)于x的不等式組x?a＞05?2x＞1有三個整數(shù)解，則aA．﹣2＜a＜﹣1 B．﹣2≤a＜﹣1 C．﹣2≤a≤﹣1 D．﹣2＜a＜08．若關(guān)于x的不等式組x?12≤1+x34x?a＞x+1有且只有8個整數(shù)解，關(guān)于yA．﹣8 B．﹣10 C．﹣8或﹣10 D．﹣8或﹣9或﹣10二．填空題（共4小題）9．如果點P（m，1+2m）在第三象限內(nèi)，那么m的取值范圍是．10．不等式組2x+3＞3xx+33?11．若關(guān)于x的不等式組x2?1＜2?3x3a?3＜4x?212．已知x滿足不等式組2x＞?4x2?1≤3?三．解答題（共4小題）13．某電器超市銷售每臺進價分別為200元、170元的A、B兩種型號的電風扇，下表是近兩周的銷售情況：銷售時段銷售數(shù)量銷售收入A種型號B種型號銷售收入第一周3臺5臺1800元第二周4臺10臺3100元（進價、售價均保持不變，利潤＝銷售收入﹣進貨成本）（1）求A、B兩種型號的電風扇的銷售單價；（2）若超市準備用不多于5400元的金額再采購這兩種型號的電風扇共30臺，求A種型號的電風扇最多能采購多少