特訓(xùn)03幾何證明壓軸題

特訓(xùn)03幾何證明壓軸題一、解答題1．如圖，點(diǎn)是正方形對角線的延長線上任意一點(diǎn)，以線段為邊作一個(gè)正方形，線段與、分別相交于點(diǎn)、．(1)求證：；(2)判斷與的關(guān)系，并說明理由；(3)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)，，理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和定理證明即可得出結(jié)論；（2）由（1）的結(jié)論得，，再根據(jù)通過等量代換即可證明；（3）連接，證明出四邊形是正方形，再利用正方形的性質(zhì)得出條件，證出，在中利用勾股定理求得的長．【解析】（1）四邊形和四邊形是正方形，，，，，，．．（2），，理由如下：，，，，在中，，，，．（3）連接，如圖，四邊形和四邊形是正方形，，，，，，，在中，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是正方形，，

，，，，在中，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，掌握相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解本題的關(guān)鍵．2．已知，菱形中，，、分別是邊和上的點(diǎn)，且．(1)求證：．(2)如圖2，在延長線上，且，求證：．(3)如圖3，在（2）的條件下，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求的長．【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)【分析】（1）連接，如圖1，根據(jù)菱形的性質(zhì)得，即可判定為等邊三角形，得到，，然后利用可證明，即可解答；（2）過點(diǎn)F作，交的延長線于點(diǎn)H，利用平行線的性質(zhì)求得是等邊三角形，得到，然后利用定理求得，從而問題得解；（3）過點(diǎn)B作，交于點(diǎn)K，根據(jù)兩組對邊分別平行求得四邊形是平行四邊形，從而求得，，A作，然后利用含的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得，，即有，在中，利用勾股定理可得，問題隨之得解．【解析】（1）連接，如圖1，∵四邊形為菱形，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，，∴，∵，即，∴，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∴；（2）過點(diǎn)F作，交的延長線于點(diǎn)H，如圖2，在（1）中已證為等邊三角形，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，又∵是等邊三角形，∴，∴，又∵，∴，即，在和中，∴，∴，∴；（3）過點(diǎn)B作，交于點(diǎn)K，如圖3，∵，，，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，過點(diǎn)A作，由（2）可知，，∴在中，，∴，，∴，在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，及平行四邊形的判定和性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，題目有一定的綜合性，正確添加輔助線解題是關(guān)鍵的突破點(diǎn)．3．如圖，在矩形中，平分交于E，連接，．(1)如圖1，若，，求的長；(2)如圖2，若點(diǎn)F是邊上的一點(diǎn)，若，連結(jié)交于G，①猜想的度數(shù)，并說明理由；②若，求的值．【答案】(1)(2)①，理由見解析；②【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得，，，由角平分線的性質(zhì)得出，則是等腰直角三角形，得出，推出，由勾股定理得出；（2）①連接，由（1）得，，由證得，得出，，證明是等腰直角三角形，即可得出結(jié)論；②根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，求得，過D作于M，根據(jù)余角的性質(zhì)得到，得到，過A作于N，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解析】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，，，∵平分，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴；（2）①，理由：連接EF，如圖所示：由（1）得：，，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴；②∵四邊形是矩形，∴，∴，過D作于M，∴，∴，∴，∵，∴，由①知，，∵，∴，∴，∴，過A作于N，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，由①知，，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的綜合題，矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．如圖①，已知正方形中，，分別是邊，上的點(diǎn)（點(diǎn)，不與端點(diǎn)重合），且，，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．(1)求證：．(2)若，試求線段的長．(3)如圖②，連接并延長交于點(diǎn)，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，試求的值．【答案】(1)見解析(2)(3)4【分析】（1）證明（SAS），得出，得出，可得出結(jié)論；（2）根據(jù)的面積可求出，證明（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出，則，可求出答案；（3）證得，，可得出，在四邊形中，設(shè)，，則，，，由勾股定理可得出，的關(guān)系式，則可求出答案．【解析】（1）在正方形中，，，又∵，∴（SAS），∴，∵，∴，∴，∴．（2）在正方形中，，，∴，∵，∴，在中，，∵，∴，，∴，∵，∴，又∵，∴（AAS），∴，∴．（3）在正方形中，，，∵，，∴，∴，∵，，∴，在中，，∴，在四邊形中，設(shè)，，則，，，∵，∴，∴，即，∴．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，平行線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想解決問題，學(xué)會(huì)用方程的思想方法解決問題．5．已知點(diǎn)是正方形對角線上一點(diǎn)，與交于點(diǎn)，，垂足為，直線與交于點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)在線段上時(shí)，求證；(2)如圖2，當(dāng)在線段上時(shí)，的延長線交于點(diǎn)，若，求證：①四邊形為菱形；②；(3)如圖3，若，在點(diǎn)從到的運(yùn)動(dòng)過程中，的最小值為______．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②見解析(3)【分析】（1）證明，即可得證；（2）①證明，可得，進(jìn)而證明，可得，可得四邊形是平行四邊形，由，可得四邊形是菱形；②由，又得出，即可證明；（3）取的中點(diǎn)，連接，，則，勾股定理求得，由即可求解．【解析】（1）解：如圖1，∵四邊形是正方形∴，，∴∴，∵，∴∴在與中，，∴，∴；（2）解：①如圖2∵四邊形是正方形，∴，，，，∴，∴，∵，∴，，在和中，∴，∴，∵，∴，

∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴四邊形是菱形；②∵是的一個(gè)外角，∴∵四邊形是菱形，∴垂直平分，∴，∵，∴，∴，

又∴，∴；（3）解：如圖3，取的中點(diǎn)，連接，則，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∵，為的中點(diǎn)，∴，∵（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，等號(hào)成立），∴，即的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)與判定，三角形全等的性質(zhì)與判定，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短，掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．如圖，正方形中，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，．(1)如圖1，若，求的面積．(2)如圖2，求證：．(3)如圖3，點(diǎn)為延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)為延長線上一點(diǎn)，．請直接寫出線段、、的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)1(2)見解析(3)【分析】（1）如圖，延長至，使，連接，由“”可證，可得，，由“”可證，可得，由勾股定理和三角形面積公式可求解；（2）將繞著點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得，可得，，，由“”可證，可得，可得結(jié)論；（3）在上截取，連接，由“”可證，可得，，由“”可證，可得，可得結(jié)論．【解析】（1）解：如圖，延長至，使，連接，四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，，，又，，，，，，，的面積；（2）證明：將繞著點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得，則，，，四邊形是正方形，，，，、、在一直線上，，，又，，，；（3）解：理由：如圖3，在上截取，連接，，，，，，，，，，又，，，，．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．7．如圖，正方形中，，點(diǎn)E在邊上，且．將沿對折至，延長交邊于點(diǎn)G，連接、．(1)求證：；(2)說明；(3)求的面積．【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)6【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)證明，根據(jù)對折性質(zhì)得到，從而證明，根據(jù)“斜邊，直角邊”即可證明；（2）先求出，進(jìn)而得到，設(shè)，則，根據(jù)得到，根據(jù)勾股定理得到，解得，從而得到，，根據(jù)，得到，即可證明；（3）根據(jù)，利用三角形面積公式即可求解．【解析】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，∵沿對折至，∴，∴，∴，∵，∴（HL）；（2）證明：∵，∴，∵，∴，設(shè)，則，∵，∴，，∴，∵，∴，解得，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：∵，∴．【點(diǎn)睛】本題為四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，翻折變換，全等三角形，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，熟知相關(guān)定理，根據(jù)已知條件靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．8．如圖1，點(diǎn)O是正方形的對角線BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線，點(diǎn)D關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為E，連接．(1)求的值．(2)如圖2，作于點(diǎn)F，請用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)如圖3，在（2）的條件下，連接交于點(diǎn)G，當(dāng)時(shí)，請你探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)，見解析(3)，見解析【分析】（1）如圖1，根據(jù)等邊對等角得：，由正方形的性質(zhì)可知：一條對角線平分一組對角得：，所以；（2）如圖2，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明，則，根據(jù)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，證明四邊形是矩形，得，所以；（3）由（2）可知：是等腰直角三角形，則，設(shè)，則，表示和的長，根據(jù)（2）：，得，代入關(guān)于x的式子可是，則．【解析】（1）∵，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴；（2），理由是：過B作于H，如圖2，∵，∴，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴；（3）由（2）可知：是等腰直角三角形，∴，過點(diǎn)G作于K，如圖3，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，∴，由（2）：，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、矩形的判定、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．9．已知∶如圖1，點(diǎn)D在外，，，射線與的邊交于點(diǎn)H，，垂足為E，．(1)若，，求的長；(2)求證：；(3)如圖2，若，，點(diǎn)F在線段上，且，點(diǎn)M、N分別是射線、上的動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)的過程中，請判斷式子的值是否存在最小值，若存在，請求出這個(gè)最小值；若不存在，寫出你的理由．【答案】(1)2；(2)見詳解；(3)存在，的最小值是4；【分析】（1）先證明是直角三角形，然后由直角三角形的性質(zhì)，即可求出的長度；（2）作，證明，再證明四邊形是正方形，進(jìn)而命題得證；（3）作點(diǎn)E關(guān)于的對稱點(diǎn)V，作點(diǎn)F關(guān)于的對稱點(diǎn)R，連接，交于N，于M，證明是等邊三角形，進(jìn)一步得出的最小值．【解析】（1）解：∵，，∴，∵，∴，∴是直角三角形，∵，∴；（2）證明：如圖1，作于F，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴矩形是正方形，∴，∴；（3）解：如圖2，作點(diǎn)E關(guān)于的對稱點(diǎn)V，作點(diǎn)F關(guān)于的對稱點(diǎn)R，連接，交于N，于M，∴，，，，，，∴，∴是等邊三角形，∴，此時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握“將軍飲馬”模型及變形模型．10．在菱形ABCD中，P是直線BD上一點(diǎn)，點(diǎn)E在射線AD上，連接PC，(1)如圖（1），當(dāng)∠BAD=90°時(shí)，連接PE，交CD于點(diǎn)F，若∠CPE=90°，求證：PC=PE；(2)當(dāng)∠BAD=60°時(shí)，連接PE，CE，PC交AE于點(diǎn)F，∠CPE=60°，AC=CE=4．①如圖（2），若點(diǎn)P在線段BD的延長線上，求BP的長；②如圖（3），若點(diǎn)P在線段DB的延長線上，直接寫出BP的長．【答案】(1)見解析；(2)①，②．【分析】（1）先證出，得PA＝PC，再證明PA＝PE，得PC＝PE；（2）①如圖2中，設(shè)AC交BD于O．首先證明PC＝PE＝PA，由∠CPE＝60°推出PC＝PE＝CE＝AC＝4，由四邊形ABCD是菱形，推出AC⊥BD，根據(jù)勾股定理和等邊三角形的性質(zhì)求出PO和BO，根據(jù)BP＝PO＋OB計(jì)算即可；②如圖3中，利用①中方法計(jì)算即可；（1）證明：如圖1中，連接PA．∵∠BAD＝90°，∴菱形ABCD是正方形，在正方形ABCD中，AD＝DC，∠ADP＝∠CDP＝45°，在和中，，∴（SAS），∴PA＝PC，∠DAP＝∠DCP，∵∠CPF＝∠EDF＝90°，∠PFC＝∠EFD，∴∠PCF＝∠E，∴∠PAD＝∠E∴PA＝PE，∴PC＝PE；（2）①如圖2中，設(shè)AC交BD于O，連接CE、AP．∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ADO＝∠CDO，DA＝DC，∴∠ADP＝∠CDP，在和中，∴（SAS），∴PA＝PC，∠PAD＝∠PCD，∵∠CPE＝∠CDF＝60°，∠DFC＝∠PFE，∴∠E＝∠PCD＝∠PAD，∴PA＝PE＝PC，∴是等邊三角形，∴AC＝CE＝PE＝PA＝PC＝4，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，在中，，∵∠BAD=60°，AB=AD，∴是等邊三角形，，∵，∴，解得：，∴，②如圖3中，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，利用①中方法可知．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．11．如圖，在和中，，，在的延長線上取點(diǎn)E，連接，使．(1)如圖1，求的度數(shù)；(2)如圖2，若的面積為3，，求的長；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，在上取點(diǎn)F，延長至點(diǎn)K，連接、、，當(dāng)，，時(shí)，求的面積．【答案】(1)；(2)；(3)6．【分析】（1）先由得，進(jìn)而根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理可求解；（2）過點(diǎn)D作，交BE的延長線于N，證得，由三角形的面積公式可求解；（3）由全等三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)分別求出DE，EF的長，即可求解．【解析】（1）解∶∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：如圖2，過點(diǎn)D作，交BE的延長線于N，∵，∴，∴，又∵，，∴∵，∴，∴，∵，∴；（3）解：如圖3，過點(diǎn)D作，交BE的延長線于N，延長AB交EK于M，過點(diǎn)F作于P，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴四邊形BCPF是平行四邊形，∵，∴四邊形BCPF是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．12．已知：四邊形ABCD是正方形，，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在邊AB，BC，AD，DC上．(1)如圖1，若，，則的度數(shù)為________；(2)如圖2，若，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，求的周長；(3)如圖3，若，GF和EH交于點(diǎn)O，且，求EH的長度．【答案】(1)67.5°(2)40(3)【分析】（1）證明△ADE≌△CDF，得∠ADE=∠CDF=×45°=22.5°，在Rt△DCF中可求出∠DFC的度數(shù)；（2）延長BC到點(diǎn)K，使，連接DK，構(gòu)造全等三角形，證明EF=AE+CF，即可求得△EBF的周長；（3）過點(diǎn)D作DL∥EH，交AB于點(diǎn)L，作DM∥FG，交BC于點(diǎn)M，連接LM，運(yùn)用（2）中的結(jié)論和勾股定理求出BL的長，再用勾股定理求出DL的長即可．【解析】（1）解：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠A=∠C=∠ADC=90°，∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴∠ADE=∠CDF，∵∠EDF=45°，∴∠ADE+∠CDF=9045°=45°，∴∠CDF+∠CDF=45°，∴∠CDF=22.5°，∴∠DFC=90°22.5°=67.5°．（2）如圖2，延長BC到點(diǎn)K，使，連接DK，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即的周長為40；（3）如圖3，作，交AB于點(diǎn)L，交FG于點(diǎn)P，作，交BC于點(diǎn)M，交EH于點(diǎn)Q，連接LM，∵，，∴四邊形DLEH、四邊形DGFM、四邊形OPDQ都是平行四邊形，∴，，，∴；由（2）得，，∴，∴，∵，∴，∴，解得，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等，解題關(guān)鍵是正確地作出輔助線構(gòu)造全等三角形．13．四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E為線段AC上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．(1)如圖，求證：矩形DEFG是正方形；(2)若AB＝，CE＝2，求CG的長；(3)當(dāng)線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是40°時(shí)，直接寫出∠EFC的度數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)；(3)或【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，證明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED，根據(jù)正方形的判定定理證明即可；（2）通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)E是AC中點(diǎn)，點(diǎn)F與C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解決問題．（3）分兩種情形結(jié)合正方形的性質(zhì)解答即可．【解析】（1）證明：如下圖所示：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，∵∠QEF+∠FEC＝90°，∠PED+∠FEC＝90°，∴∠QEF＝∠PED，在Rt△EQF和Rt△EPD中，，∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形；（2）如圖2：在Rt△ABC中AC＝AB＝，∵EC＝2，∴AE＝CE，∴點(diǎn)F與C重合，此時(shí)△DCG是等腰直角三角形，∴；（3）①如圖3：當(dāng)DE與AD的夾角為40°時(shí)，∠DEC＝45°+40°＝85°，∵∠DEF＝90°，∴∠CEF＝5°，∵∠ECF＝45°，∴∠EFC＝130°，②如圖4：當(dāng)DE與DC的夾角為40°時(shí)，∵∠DEF＝∠DCF＝90°，∴∠EFC＝∠EDC＝40°，綜上所述，∠EFC＝130°或40°．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、正方形的判定與性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)條件結(jié)合圖形去解題是關(guān)鍵.14．矩形中，將矩形沿、翻折，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，、、三點(diǎn)在同一直線上．(1)如圖，求的度數(shù)；(2)如圖，當(dāng)時(shí)，連接，交、于點(diǎn)、，若，，求的長度；(3)如圖，當(dāng)，時(shí)，連接，，求的長．【答案】(1)45°(2)5(3)4【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得，則；（2）連接，，，，由折疊的性質(zhì)知垂直平分，垂直平分，則，，再求出，利用勾股定理可得答案；（3）設(shè)，則，，，過點(diǎn)作垂直交的延長線于，證明四邊形是矩形，求出EH，在中，利用勾股定理列方程求解可得答案．【解析】（1）解：由折疊的性質(zhì)可知：，，四邊形是矩形，，，，；（2）如圖，連接，，，，若，則四邊形是正方形，由題意可知點(diǎn)與點(diǎn)重合，由折疊的性質(zhì)可知：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱，垂直平分，垂直平分，，，為正方形的對角線，，，，在中，由勾股定理得：．（3）設(shè)，由題意可知：，，，，，是等腰直角三角形，在矩形中，，，，，，，由折疊的性質(zhì)可知：，，，，，，，如圖，過點(diǎn)作垂直交的延長線于，則，四邊形是矩形，，，，在中，由勾股定理得：，即，整理得：，解得或舍去，．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了翻折的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握翻折的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，同時(shí)注意方程思想的運(yùn)用．15．如圖，菱形，連接對角線，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)H，連接，若，（1）如圖1，求證：（2）如圖2，連接，求證：（3）如圖3，過點(diǎn)F作的垂線，分別交延長線于點(diǎn)M、延長線于點(diǎn)N．若，，求的值．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）的值為．【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，進(jìn)而可設(shè)，然后利用三角形的內(nèi)角和定理結(jié)合已知條件可分別求得和的度數(shù)，最后根據(jù)等角對等邊即可得證；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)可證≌，由此可得，再結(jié)合已知條件即可證得結(jié)論；（3）過點(diǎn)D作DK⊥MN，交MN的延長線于點(diǎn)K，在NK的延長線上取一點(diǎn)P，使得KP＝AH，連接DP，先證明四邊形AMND為平行四邊形，由此可得，再由勾股定理可得，再證明四邊形DAFK為正方形，進(jìn)而可證明≌，由此可設(shè)，然后利用三角形的內(nèi)角和定理結(jié)合已知條件可分別求得和的度數(shù)，再根據(jù)等角對等邊可得，由此即可求得答案．【解析】（1）證明：∵四邊形為菱形，∴，，，∴，設(shè)，則，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴AF=AD；（2）證明：∵四邊形為菱形，∴，，在與中，∴≌（SAS），∴，，∵，∴，∴．（3）解：如圖，過點(diǎn)D作DK⊥MN，交MN的延長線于點(diǎn)K，在NK的延長線上取一點(diǎn)P，使得KP＝AH，連接DP，∵M(jìn)N⊥AF，AF⊥AD，∴∠AFM＝∠DAF＝90°，∴，∵，，∴四邊形AMND為平行四邊形，

∴，MN＝AD，又∵，∠AFM＝90°，∴，∵DK⊥MN，∴∠DKN＝∠DKP＝90°，∵∠DKN＝∠DAF＝∠AFK＝90°，AF＝AD，∴四邊形DAFK為正方形，∴AD＝FK＝DK＝AF＝12，又∵M(jìn)N＝AD，∴MN＝FK，∴MF＝NK＝5，

在與中，∴≌（SAS），∴，設(shè)，則，由（1）可知，，則，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴的值為．【點(diǎn)睛】本題是一道四邊形的綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形和正方形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，第（3）問有一定的難度，正確作出輔助線并能熟練運(yùn)用相關(guān)圖形的判定與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．16．已知：正方形中，是對角線所在直線上一點(diǎn)．（1）如圖1，若在對角線上，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．求證：；（2）如圖2，在（1）的條件下，若，，求的長；（3）如圖3，若在的延長線上，連接，過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，連接，若，的面積是，求的長．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）【分析】（1）過點(diǎn)P分別作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，先證明四邊形PEBF是正方形，得到∠EPQ+∠FPQ=90°，PE=PF，再證明△CPF≌QPE即可得到答案；（2）先求出，則，再求出BE=BF=4，則CF=BCBF=ABBF=2，由△CPF≌QPE可知CF=EQ=2，故BQ=BEEQ=2；（3）過點(diǎn)P分別作PG⊥AB交BA延長線于G，PH⊥BE于H，同理可以證明四邊形PGBH為正方形，的PG=PH=BG=BH，同理可以證明△PGA≌△PHE，得到AG=EH，可以得到GA=CH=HE，則GA=CH=HE=3，設(shè)AB=CD=a，則GP=PH=a+3，根據(jù)，求解即可．【解析】解：（1）如圖所示，過點(diǎn)P分別作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，∴∠PEQ=∠PFB=∠PFC=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠EBP=∠FBP=45°，∠ABC=90°，∴四邊形PEBF是矩形，△PEB和△PFB都是等腰直角三角形，∴PE=PF，∠EPF=90°，∴四邊形PEBF是正方形∴∠EPQ+∠FPQ=90°，又∵PQ⊥PC，∴∠CPF+∠FPQ=∠CPQ=90°，∴∠CPF=∠EPQ∴△CPF≌QPE（ASA）∴PQ=PC；（2）∵四邊形ABCD是正方形，AB=6，∴∠A=90°，AB=AD=6，∴，∴，∵PE=BE，∠PEB=90°，∴即，∴BE=BF=4，∴CF=BCBF=ABBF=2由△CPF≌QPE可知CF=EQ=2，∴BQ=BEEQ=2；（3）如圖所示，過點(diǎn)P分別作PG⊥AB交BA延長線于G，PH⊥BE于H，同理可以證明四邊形PGBH為正方形，∴PG=PH=BG=BH，同理可以證明△PGA≌△PHE，∴AG=EH，∵BG=BA+AG，BH=BC+CH，AB=BC，∴GA=CH=HE，∵CE=6，∴GA=CH=HE=3，設(shè)AB=CD=a，則GP=PH=a+3，∵，∴，∴，解得a=4，∴PH=7，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)與判定，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．17．已知正方形，為邊上一點(diǎn)不與、重合），過作，且，連接．（1）如圖1，求的度數(shù)；（2）如圖2，連接交于，求證：；（3）如圖2，當(dāng)，，則（直接寫出結(jié)果）【答案】（1）∠EAD=45°；（2）證明見詳解；（3）【分析】（1）如圖1中，作EH⊥BA于H．只要證明△HPE≌△CBP，推出BC=PH=AB，HE=PB，推出PB=AH=EH，推出∠HAE=45°，即可解決問題；（2）作EK∥AB交BD于K．首先證明四邊形ABKE是平行四邊形，再證明△GEK≌△GCD，可得GD=GK，根據(jù)BD=CD，即可解決問題；（3）利用（1）（2）中結(jié)論即可解決問題；【解析】(1)如圖1中，作EH⊥BA于H.∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=∠BAD=∠HAD=90°，AB=BC，∵EP⊥PC，∴∠EPC=90°，∴∠BPC+∠HPE=90°,∠BPC+∠BCP=90°，∴∠HPE=∠BCP，在△HPE和△CBP中，∴△HPE≌△CBP，∴BC=PH=AB，HE=PB，∴PB=AH=EH，∴∠HAE=45°，∴∠EAD=45°.（2）證明：作EK∥AB交BD于K.∵∠EAD=∠ADB=45°，∴AE∥BK,∵AB∥EK，∴四邊形ABKE是平行四邊形，∴EK=AB=CD，AE=BK，∵AB∥CD，∴EK∥CD，∴∠GEK=∠GCD，∴△GEK≌△GCD，∴GD=GK，∵BD=CD，BD=BK+DK=AE+2DG，∴AE+2DG=CD.（3）∵BC=AB=10，PA=6，∴BP=4，由(1)可知AE=，由(2)可知+2DG=，∴DG=，∵BD=，∴BG=【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的綜合應(yīng)用，熟練的在其中找到可以使用的全等三角形，平行四邊形并進(jìn)行證明，可得出相應(yīng)結(jié)論，同時(shí)對已證結(jié)果的直接使用，也很重要18．如圖，已知正方形的邊長為，連接、交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)（1）求的長（2）過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，求的長（3）過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，求的長【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）求出，根據(jù)勾股定理求出BD，即可求出DE；（2）求出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可；（3）延長交于，證，得出比例式，代入即可求出答案.【解析】（1）∵四邊形是正方形，∴，，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，在中，由勾股定理得：,∴（2）∵，∴，∴，∵，∴，∴（3）如圖，延長交于，由（2）知：，由（1）知：，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴，解得：【點(diǎn)睛】本題主要考查了本題主要考查全等三角形的判定和相似三角形的判定和正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形和相似三角形的的判定定理和性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵。19．在□ABCD中，∠ADC的平分線交BC于點(diǎn)E，交AB的延長線于點(diǎn)F，以BE，BF為鄰邊作．(1)如圖1，求證：是菱形；(2)如圖2，若，連接BG，交EF于點(diǎn)O，連接OA，OC，AC，求OA的長；(3)如圖3，若，連接AC，AG，求∠GAC的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)(3)∠CAG=60°【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義可證，可得結(jié)論；（2）由勾股定理可求的長，由“”可證，可得，，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求解；（3）先證四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形，可得，，，可證，可得，即可求解．（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，，平分，，，，又四邊形是平行四邊形，是菱形；（2）解：，四邊形是矩形，，，，菱形是正方形，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：如圖3，延長，，交于點(diǎn)，連接，四邊形是平行四邊形，，，，，四邊形是菱形，，，，，，四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形，，，，，四邊形是菱形，，，是等邊三角形，是等邊三角形，，，，，．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．20．以四邊形的邊，為邊分別向外側(cè)作等邊和等邊，連接，，交點(diǎn)為G．(1)當(dāng)四邊形為正方形時(shí)（如圖1），直接說出和有什么數(shù)量關(guān)系．(2)當(dāng)四邊形為矩形時(shí)（如圖2），和具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請加以證明；(3)四邊形由正方形到矩形到一般平行四邊形的變化過程中，是否發(fā)生變化？如果改變，請說明理由；如果不變，請?jiān)趫D3中求出的度數(shù)．【答案】(1)EB＝FD(2)EB＝FD，證明見解析；(3)∠EGD不發(fā)生變化，仍然是60°．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可證，△AFD≌△ABE，則=；（2）由（1）同理可證△AFD≌△ABE，從而得出EB=FD；（3）由（2）同理得：△FAD≌△BAE，則∠AEB=∠ADF，再利用三角形內(nèi)角和定理可得答案．【解析】（1）解：EB=FD，理由如下：∵△ADE、△ABF是等邊三角形，∴AE=AD，AB=AF，∠DAE=∠BAF，∴∠BAE=∠DAF，∴△AFD≌△ABE（SAS），∴EB=FD，（2）EB=FD，理由如下：∵△AFB為等邊三角形，∴AF=AB，∠FAB=60，∵△ADE為等邊三角形，∴AD=AE，∠EAD=60，∴∠FAB+∠BAD=∠EAD+∠BAD，即∠FAD=∠BAE，∴△FAD≌△BAE（SAS），∴EB=FD；（3）不變，理由如下：由（2）同理得：△FAD≌△BAE，∴∠AEB=∠ADF，設(shè)∠AEB為x，則∠ADF也為x，于是有∠BED為(60x)，∠EDF為(60+x)，∴∠EGD=180∠BED∠EDF=180(60x)(60+x)=60．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明△FAD≌△BAE是解題的關(guān)鍵．21．在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)E是射線BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE并延長交射線DC于點(diǎn)F，將△ABE沿直線AE翻折到△AB'E，延長AB'與直線CD交于點(diǎn)M．(1)求證：AM=MF；(2)當(dāng)點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)時(shí)，求CM的長；(3)當(dāng)CF=4時(shí)，求CM的長．【答案】(1)見解析(2)(3)或21【分析】（1）由折疊的性質(zhì)及等腰三角形的判定可得出答案；（2）利用矩形的性質(zhì)證得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，設(shè)，則由（1）知，，，在中利用勾股定理即可求解；（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)，應(yīng)分兩種情況：第一種情況，點(diǎn)在線段上，如圖所示，則，；第二種情況，點(diǎn)在線段上，如圖所示，則，在中，利用勾股定理即可求解．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴ABCD，∴∠F＝∠BAF，由折疊可知：∠BAF＝∠MAF，∴∠F＝∠MAF，∴AM＝MF；（2）∵點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∴，∵四邊形ABCD為矩形，，∴ABCD，，∴∠F＝∠BAF，又∵，∴，∴，設(shè)，則由（1）知，，在中，，∴，解得，∴的長為；（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)，應(yīng)分兩種情況：第一種情況，點(diǎn)在線段上，如圖所示，則，∴在中，，∴，解得，∴的長為；第二種情況，點(diǎn)在線段的延長線上，如圖所示，則，∴在中，，∴，解得，∴的長為綜上可知，當(dāng)CF=4時(shí)，CM的長為或21【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．22．如圖，在平行四邊形中，，于E，于G，交于F．(1)如圖1，若，，求的長；(2)如圖2，平行四邊形外部有一點(diǎn)H，連接、，滿足，，求證：．(3)如圖3，在上有一點(diǎn)M，連接，將繞著點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得，連接、，點(diǎn)P為的中點(diǎn)，連接．在（1）的條件下，當(dāng)最小時(shí)，直接寫出線段的長度．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)“ASA”結(jié)合題目中已知條件證明，然后得出，根據(jù)勾股定理算出AE的長，即可得出CE的長，算出BC的長，即可得出AD的長；（2）過點(diǎn)A作于點(diǎn)N，交EH于點(diǎn)M，連接CH，交AN于點(diǎn)O，HE交CG于點(diǎn)K，根據(jù)“AAS”證明，推導(dǎo)出HK=CK，得出，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，推導(dǎo)出結(jié)論即可；（3）連接，過點(diǎn)作交BC于點(diǎn)Q，交AD于點(diǎn)P，設(shè)EM=x，根據(jù)已知條件先證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，結(jié)合解析（1）中結(jié)論，用x表示出CQ的長度，列出關(guān)于的關(guān)系式，得出當(dāng)當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)E的右邊，且到點(diǎn)E的距離為時(shí)最小，根據(jù)，結(jié)合勾股定理求出AP的長度即可．【解析】（1）解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB=CD=，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．（2）過點(diǎn)A作于點(diǎn)N，交EH于點(diǎn)M，連接CH，交AN于點(diǎn)O，HE交CG于點(diǎn)K，如圖所示：四邊形ABCD為平行四邊形，，，，，四邊形AGCN為矩形，，AG=CN，，，，，，，，，，，，ME=CK，，，，，，，即HK=ME，∴HK=CK，，，，，，，，∴NO=AG，∵，，∴，∴．（3）連接，過點(diǎn)作交BC于點(diǎn)Q，交AD于點(diǎn)P，設(shè)EM=x，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，，，∴，，，，，，根據(jù)（1）可知，，，，，當(dāng)時(shí)，最小，即最小，即當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)E的右邊，且到點(diǎn)E的距離為時(shí)最小，，，四邊形AEQP為矩形，，，根據(jù)解析（1）可知，，，，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，垂直平分AD，，，即，為直角三角形，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了四邊形的綜合題，主要考查了全等三角形的判定性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，垂直平分線的性質(zhì)和判定，勾股定理及逆定理的應(yīng)用，作出正確的輔助線，靈活運(yùn)用性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．23．如圖1，四邊形ABCD是正方形，F(xiàn)是BC邊上的一點(diǎn)，E是CD邊的中點(diǎn)，且AF＝AD+FC，連接EF并延長EF交AD的延長線于點(diǎn)G．（1）求證：AE平分∠DAF；（2）AF＝DE+BF是否成立？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由；（3）如圖2，若四邊形ABCD是長與寬不相等的矩形，其他條件不變，試探究上述（1）（2）中的結(jié)論是否成立．請分別做出判斷，不需要證明．【答案】（1）見解析；（2）AF＝DE+BF成立，理由見解析；（3）①結(jié)論AE平分∠DAF仍然成立，理由解析；②結(jié)論AF＝DE+BF不成立，理由見解析【分析】（1）根據(jù)ASA證明△EDG≌△ECF，從而有DG＝FC，，進(jìn)而得出AF＝AG，利用等腰三角形的性質(zhì)解答即可；（2）作AH⊥AE交CB的延長線于點(diǎn)H，可證得AF＝FH，只需證明HB＝DE即可；要證HB＝DE，只需證明它們所在的兩個(gè)三角形全等即可；（3）在圖3中，仿照（1）中的證明思路即可證到AF＝AD+FC仍然成立；在圖4中，采用反證法，并仿照（2）中的證明思路即可證到AF＝DE+BF不成立．【解析】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADC＝∠C＝∠BAD＝90°，∵∠EDG＝180°﹣∠ADC＝90°，∴∠EDG＝∠C，∵E是CD邊的中點(diǎn)，∴DE＝CE，在△EDG和△ECF中，，∴△EDG≌△ECF（ASA），∴EG＝EF，DG＝FC，∵AF＝AD+FC，AG＝AD+DG，∴AF＝AG，∴AE平分∠DAF；（2）AF＝DE+BF成立，證明如下：如圖2，作AH⊥AE交CB的延長線于點(diǎn)H，∴∠HAB+∠BAE＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠ADE＝90°，AB∥CD，∴∠BAE+∠EAD＝90°，∠ABH＝180°﹣∠ABC＝90°，∴∠HAB＝∠EAD，∠ABH＝∠ADE，在△AHB和△AED中，，∴△AHB≌△AED（ASA），∴BH＝DE，∠H＝∠AED，∵∠EAD+∠AED＝90°，∠FAE+∠FAH＝90°，∠EAD＝∠FAE，∴∠AED＝∠FAH，∴∠FAH＝∠H，∴AF＝FH，∵FH＝BH+BF，∴AF＝DE+BF；（3）①結(jié)論AE平分∠DAF仍然成立．證明：如圖3，∵四邊形ABCD是長與寬不相等的矩形，∴∠ADC＝∠C＝90°，∵∠EDG＝180°﹣∠ADC＝90°，∴∠EDG＝∠C，∵E是CD邊的中點(diǎn)，∴DE＝CE，在△EDG和△ECF中，，∴EG＝EF，DG＝FC，∵AF＝AD+FC，AG＝AD+DG，∴AF＝AG，∴AE平分∠DAF；②結(jié)論AF＝DE+BF不成立．如圖4，假設(shè)AF＝DE+BF成立,作AH⊥AE交CB的延長線于點(diǎn)H，∴∠HAB+∠BAE＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADE＝90°，AB∥CD，∴∠BAE+∠EAD＝90°，∠ABH＝180°﹣∠ABC＝90°，∴∠HAB＝∠EAD，∠ABH＝∠ADE，∵∠EAD+∠AED＝90°，∠FAE+∠FAH＝90°，∠EAD＝∠FAE，∴∠AED＝∠FAH，∵∠AHB＝90°﹣∠HAB＝90°﹣∠DAE＝∠AED，∴∠AHB＝∠FAH，∴AF＝FH，∴DE+BF＝BH+BF，∴DE＝BH，在△AHB和△AED中，，∴△AHB≌△AED（AAS），∴AB＝AD，與條件“AB≠AD“矛盾，故假設(shè)不成立．∴AF＝DE+BF不成立．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解題．24．如圖，在四邊形ABCD中，AD=AB=BC，AC⊥BD交于點(diǎn)O．(1)求證：四邊形ABCD為菱形；(2)如圖2，過四邊形的頂點(diǎn)A作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，求四邊形的面積；(3)如圖3，過菱形的頂點(diǎn)A作，且，線段交于點(diǎn)，交BC于點(diǎn)，若、、三點(diǎn)共線，求證：．【答案】(1)見解析(2)(3)見解析【分析】（1）根據(jù)題意得出AC垂直平分BD，再由菱形的判定即可證明；（2）連接CH，根據(jù)菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定得出△ABC是等邊三角形，再由其性質(zhì)及勾股定理得出AE，結(jié)合圖形得出求解即可；（3）連接CH，在OC上取一點(diǎn)Q，使得OH＝OQ，連接HQ．利用菱形的性質(zhì)及全等三角形的判定得出△BEH≌△AEC，再由垂直平分線的性質(zhì)及各角之間的關(guān)系得出QH＝QC＝OH，設(shè)OH＝m，則OQ＝m，結(jié)合圖形中各線段間的數(shù)量關(guān)系即可得出結(jié)果．【解析】（1）證明：∵AD=AB，AC⊥BD，∴AC垂直平分BD，∴BC=CD，∴BC=CD=AD=AB，∴四邊形ABCD為菱形；（2）如圖，連接CH，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，OA＝OC，∵AB＝AC＝6，∴AB＝AC＝BC＝6，∴△ABC是等邊三角形，∵AE⊥CB，∴BE＝CE＝3，∴AE＝，∵AO＝OC，BE＝EC，∴，∴；（3）證明：如圖中，連接CH，在OC上取一點(diǎn)Q，使得OH＝OQ，連接HQ．∵AF⊥AD，AD＝AF，∴∠ADF＝∠F＝45°，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ABC＝∠ADC＝45°，ADCB，∴AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，∴∠BAE=∠ABC=45°，∴BE=AE，∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA＝67.5°，∴∠EAC＝∠EBH＝22.5°，∴△BEH≌△AEC（ASA），∴BH＝AC＝2OC，∵BD垂直平分線段AC，∴HA＝HC，∴∠HCA＝∠HAC＝22.5°，∵OQ＝OH，∴∠OHQ＝∠OQH＝45°，∵∠OQH＝∠QHC+∠QCH，∴∠QHC＝∠HCQ＝22.5°，∴QH＝QC＝OH，設(shè)OH＝m，則OQ＝m，HQ＝CQ＝m，∴OC＝m+m，∴OH+OC＝m+m+m＝2m+m，∵BH＝OC＝（m+m）＝m+2m，∴OH+OC＝BH．【點(diǎn)睛】題目主要考查菱形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理解三角形等，理解題意，作出輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．25．如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)．(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)如圖，連接，若，，，求的面積；(3)如圖，連接，作關(guān)于直線對稱的，其中點(diǎn)A，的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，，恰好有，垂足為若，求的長．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出：，，，利用角平分線定義及平行線性質(zhì)即可證得結(jié)論；（2）如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)，則，再證明四邊形是矩形，推出，設(shè)，則，利用勾股定理求得，再運(yùn)用平行四邊形面積公式即可求得答案；（3）如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接交的延長線于點(diǎn)，運(yùn)用軸對稱性質(zhì)可得出：，，，推出、是等腰直角三角形，再證得是等腰直角三角形，得出，運(yùn)用角平分線性質(zhì)可得，進(jìn)而得出，再利用等腰三角形性質(zhì)可得出答案．（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，，平分，，，，同理可得：，，，即，四邊形為平行四邊形；（2）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，，，，四邊形是矩形，，，由（1）得：，，，設(shè)，則，，在中，，，解得：，，，?的面積為；（3）如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接交的延長線于點(diǎn)，由（1）知，四邊形是平行四邊形，由（1）知，四邊形是菱形，，，又關(guān)于直線對稱的，其中點(diǎn)，的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，，，，，由（1）知四邊形為平行四邊形，，又，，，、是等腰直角三角形，垂直平分，即，又，，，，即是等腰直角三角形，，由勾股定理得，，是等腰直角三角形，，，，，又，，，，又是等腰直角三角形，，故BE的長為．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，角平分線性質(zhì)，平行四邊形面積，軸對稱性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，作輔助線構(gòu)造等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．26．如圖1，在?ABCD中，∠ADC的平分線交AB于點(diǎn)E，交CB的延長線于F，以BE、BF為鄰邊作?EBFH．(1)證明：平行四邊形EBFH是菱形；(2)如圖2，若∠ABC=60°，連接HA、HB、HC、AC，求證：△ACH是等邊三角形．(3)如圖3，若∠ABC=90°．①直接寫出四邊形EBHF的形狀；②已知AB=10，AD=6，M是EF的中點(diǎn)，求CM的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)①正方形；②CM=2．【分析】（1）證明∠HEF=∠HFE，則EH=FH，即可求解；（2）證明四邊形DCFG為菱形，則△DGC、△CGF均為等邊三角形；證明△CAG≌△CHF（SAS），則CA=CH，再證明∠ACH=60°，即可求解；（3）①∠ABC=90°，則平行四邊形ABCD為矩形，菱形EBFH為正方形；②MN=2=BN，CN=BC+NB，則CM=，即可求解．（1）證明：∵DE是∠ADC的平分線，∴∠CDE=∠ADE，∵CD∥AB，AB∥HF，∴∠CDE=∠AED=∠HFE，∵AD∥BC，∴∠EDA=∠FEH，∴∠HEF=∠HFE，∴EH=FH，∴?EBFH為菱形；（2）證明：延長DA交FH的延長線于點(diǎn)G，連接CG，∵四邊形ABCD為平行四邊形，故AB∥CD，AD∥BC，而四邊形EBFH為菱形，故EB∥HF，∴DG∥CF，CD∥FG，∴四邊形DCFG為平行四邊形，∵DE是∠ADC的角平分線，∵∠CDF=∠GDF，∵CD∥GF，∴∠CDF=∠GFD=∠GDF，∴DG=GF，∴平行四邊形DCFG為菱形，∵∠ABC=60°，∴△DGC、△CGF均為等邊三角形，∴∠CGD=∠CGF=60°，CG=CF，同理可得：四邊形AEHG為平行四邊形，故AG=EH=HF，在△CAG和△CHF中，CG=CF，AG=HF，∠CGD=∠CGF=60°，∴△CAG≌△CHF（SAS），∴CA=CH，∠ACG=∠HCF，∵∠ACH=∠ACG+∠GCH=∠GCH+∠HCF=60°，∴△ACH是等邊三角形；（3）解：①∠ABC=90°，則平行四邊形ABCD為矩形，∴菱形EBFH為正方形；②由（1）知△ADE為等腰直角三角形，故AE=AD=6，則BE=106=4，∵連接BH，過點(diǎn)M作MN⊥BF于點(diǎn)N，∵M(jìn)是EF的中點(diǎn)，故點(diǎn)M時(shí)正方形EBFH對角線的交點(diǎn)，則MN=EB=×4=2=BN，則CN=BC+NB=6+2=8，∴CM=．【點(diǎn)睛】本題是幾何綜合題，考查了勾股定理、等邊三角形、三角形全等、平行四邊形和特殊四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，涉及考點(diǎn)較多，有一定的難度．27．菱形ABCD中，E，F(xiàn)為邊AB，AD上的點(diǎn)，CF，DE相交于點(diǎn)G．(1)如圖1，若∠A＝90°，DE⊥CF，求證：DE＝CF；(2)如圖2，若DE＝CF．試探究此時(shí)∠EGF和∠A滿足什么關(guān)系？并證明你的結(jié)論；(3)如圖3，在（1）的條件下，平移線段DE到MN，使G為CF的中點(diǎn)，連接BD交MN于點(diǎn)H，若∠FCD＝15°，求的值．【答案】(1)見解析(2)∠EAF+∠EGF=180°，證明見解析；(3)【分析】（1）由菱形ABCD中和∠A=90°可得菱形ABCD是正方形，根據(jù)正方形性質(zhì)得AD=DC，∠A=∠CDF=90°，再加上DE⊥CF，得到∠CGD=90°，所以∠ADE=∠DCF，即證得Rt△ADE≌Rt△DCF，即可證得DE=CF；（2）過D作DR⊥AB于R，過C作CS⊥AD于S，根據(jù)菱形的面積證得DR=CS，推出∴Rt△DRE≌Rt△CSF(HL)，得到∠CFS=∠RED，由∠CFS+∠AFG=180°，推出∠EAF+∠EGF=180°；（3）由（1）的條件可得MN=CF，MN⊥CF，加上G為CF的中點(diǎn)，即MN垂直平分CF，聯(lián)想到連接FM即有FM=MC且∠DMF=∠MFC+∠FCD=30°，利用四邊形KTDC是矩形，證得△THF≌△KCH，推出TF=HK，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠TFH+∠THF=90°，用∠HFM分別表示這兩個(gè)角求出∠HFM=60°，得到∠TFH=60°，由此得到HF=2TF，再根據(jù)正方形的性質(zhì)求出BH=2HK，即可得到答案（1）證明：∵菱形ABCD中，∠A=90°，∴菱形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠A=∠CDF=90°，∵DE⊥CF，∴∠CGD=90°，∴∠DCF+∠CDE=∠ADE+∠CDE=∠ADC=90°，∴∠ADE=∠DCF，∴Rt△ADE≌5Rt△DCF，∴DE=CF；（2）解：∠EAF+∠EGF=180°；證明如下：過D作DR⊥AB于R，過C作CS⊥AD于S，如圖，∵S菱形ABCD=AB×DR=AD×CS，AB=AD，∴DR=CS，∵DE=CF，∴Rt△DRE≌Rt△CSF(HL)，∴∠CFS=∠RED，∵∠CFS+∠AFG=180°，∴∠RED+∠AFG=180°，∴∠EAF+∠EGF=180°；（3）連接FM，過H作TK//AB交AD于T，交BC于K，連接CH，如圖，由（1）知MN⊥CF，又G為CF的中點(diǎn)，∴MN是CF的垂直平分線，∴MF=CM，CH=FH，∴∠MFC=∠MCF=15°，∠HCF=∠HFC，∴∠FMD=30°，∠HCM=∠HFM，∵∠TKC=∠KTD=∠BCD=90°，∴四邊形KTDC是矩形，∴TD=KC，∵四邊形ABCD是正方形，BD是對角線，∴∠TDH=45°=∠THD，∴TD=TH=CK，∴△TFH≌△KHC，∴HK=TF，∠THF=∠HCK，∵∠TFH=180°60°∠HFM=120°∠HFM，∠THF=∠HCK=90°∠HFM，∴120°∠HFM+90°∠HFM=90°，解得∠HFM=60°，∴∠TFH=60°，∴FH=2TF=2HK，∵∠KBH=45°，∴BH=HK，∴【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，垂直平分線的定義和性質(zhì)，正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵28．在菱形中，，是直線上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊向右側(cè)作等邊（，，按逆時(shí)針排列），點(diǎn)的位置隨點(diǎn)的位置變化而變化．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上，且點(diǎn)在菱形內(nèi)部或邊上時(shí)，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是________，與的位置關(guān)系是________；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上，且點(diǎn)在菱形外部時(shí)，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由；(3)當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，