第03講等腰三角形的性質定理（2類題型）

第03講等腰三角形的性質定理（2類題型）課程標準學習目標1.等腰三角形的性質定理；2.等邊三角形的性質定理；1.理解并掌握等腰三角形的性質定理，并學會運用；2.理解并掌握等邊三角形的性質定理，并學會運用；知識點01：等腰三角形的性質1、等腰三角形（1）定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。（2）性質①兩腰相等②兩底角相等（簡稱等邊對等角）③等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合（簡稱為“三線合一”）④等腰三角形是軸對稱圖形，其頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線所在的直線式對稱軸。【即學即練1】（2023·河北秦皇島·校聯(lián)考三模）下列說法正確的是（）A．等腰三角形的對稱軸是底邊的中線B．有理數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的C．等腰三角形任意兩個角相等D．三角形的三條高所在的直線一定交于一點【答案】D【分析】利用等腰三角形的性質，數(shù)軸和三角形的高的定義逐一判斷即可解題．【詳解】解：A.等腰三角形的對稱軸是底邊的中線所在的直線，故不正確；B.實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的，故不正確；C.等腰三角形的兩個底角相等，故不正確；D.三角形的三條高所在的直線一定交于一點，故正確；故選D．【點睛】本題考查等腰三角形的性質和數(shù)軸、以及三角形的高的定義，掌握相關性質和定義是解題的關鍵．【即學即練2】（2023秋·八年級單元測試）等腰三角形兩邊長為4和8，它的周長是（

）A．16 B．18 C．20 D．16或18【答案】C【分析】當?shù)妊切蔚难鼮?時，三邊不能組成三角形；當腰長為8時，它的周長為8+8+4=20.【詳解】解：當?shù)妊切蔚难鼮?時，∵4+4=8，∴該三邊不能組成三角形，當?shù)妊切蔚难鼮闀r，它的周長為：8+8+4=20.故選C.【點睛】本題考點：等腰三角形.需要注意的是驗證分情況討論得出的邊長是否能組成三角形.知識點02：等邊三角形的性質等邊三角形定義：有三條邊相等的三角形叫做等邊三角形。性質：三條邊都相等，三個角都相等，每一個角都等于60°總結：圖形等腰三角形等邊三角形性

質兩條邊都相等三條邊都相等兩個角都相等三個角都相等，且都是60o底邊上的中線、高和頂角的平分線互相重合

每一邊上的中線、高和這一邊所對的角的平分線互相重合對稱軸（1條）對稱軸（3條）【即學即練3】（2023春·廣東深圳·八年級深圳市福田區(qū)蓮花中學?？奸_學考試）如圖，是等邊三角形，，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】過C作，根據平行線的性質得到，，根據等邊三角形的性質可得，再計算即可．【詳解】解：如圖，過C作，∵，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，故選B．

【點睛】本題考查了平行線的性質，等邊三角形的性質，添加平行線，利用平行線的性質得到角的關系是解題的關鍵．【即學即練4】（2023春·山西太原·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知是等邊三角形，中線，交于點，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先利用等邊三角形的性質可以求出、，然后利用三角形外角的性質即可求解．【詳解】解：是等邊三角形，，中線，交于點，∴，∴，故B正確．故選：B．【點睛】此題主要考查了等邊三角形的性質，同時也利用了三角形外角的性質，解題的關鍵是熟練掌握等邊三角形的性質．題型01等腰三角形的性質定理1．（2023秋·山東泰安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，AB＝AC，∠B＝30°，AC的垂直平分線MN交BC于點D，則∠DAC＝（

）A．30° B．40° C．60° D．120°【答案】A【分析】根據等腰三角形性質求出∠C，根據線段垂直平分線性質得CD=AD，推出∠DAC＝∠C，即可求出答案．【詳解】∵AB=AC∴∠C＝∠B＝30°∵MN垂直平分AC∴CD=AD∴∠DAC＝∠C＝30°故選A【點睛】本題考查了等腰三角形性質和線段垂直平分線性質的應用，熟練掌握軸對稱圖形的性質是解題的關鍵．2．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，在等腰三角形ABC中，BA=BC，∠ABC=120°，D為AC邊的中點，若BC=6，則BD的長為(

)A．3 B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】根據等腰三角形的性質三線合一可得直角三角形，再利用直角三角形的性質即可得到結論．【詳解】解：∵BA=BC，∠ABC=120°，∴∠C=∠A=30°，∵D為AC邊的中點，∴BD⊥AC，∵BC=6，∴BD=BC=3，故選：A．【點睛】本題考查了直角三角形的性質和等腰三角形的性質，熟練掌握等腰三角形與直角三角形的性質是解題的關鍵．3．（2023·河北秦皇島·校聯(lián)考三模）下列說法正確的是（）A．等腰三角形的對稱軸是底邊的中線B．有理數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的C．等腰三角形任意兩個角相等D．三角形的三條高所在的直線一定交于一點【答案】D【分析】利用等腰三角形的性質，數(shù)軸和三角形的高的定義逐一判斷即可解題．【詳解】解：A.等腰三角形的對稱軸是底邊的中線所在的直線，故不正確；B.實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的，故不正確；C.等腰三角形的兩個底角相等，故不正確；D.三角形的三條高所在的直線一定交于一點，故正確；故選D．【點睛】本題考查等腰三角形的性質和數(shù)軸、以及三角形的高的定義，掌握相關性質和定義是解題的關鍵．4．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，在△ABD中，AD=AB，∠DAB=90°，在△ACE中，AC=AE，∠EAC=90°，CD，BE相交于點F，有下列四個結論：①DC=BE②∠BDC=∠BEC③DC⊥BE④FA平分∠DFE，其中，正確的結論有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】根據，，，得，得，，判斷；根據，不確定相等，得和不確定相等，加上，，可判斷；根據，對頂角相等，三角形的內角和，可以判斷；過點于點，于點，根據，可得，根據角平分線的逆定理，可以判斷．【詳解】∵∴∴在和中∴∴，正確∵，不確定相等∴和不確定相等∵和是等腰直角三角形∴∵，∴和不確定相等，錯誤∵，，∴∴∴，正確過點于點，于點∵∴∴平分，正確∴正確故選：B．【點睛】本題考查三角形的知識，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的性質，角平分線的逆定理．5．（2023春·八年級單元測試）如圖，在中，，，，，則為．【答案】9【分析】根據等腰三角形的性質求出，根據三角形內角和定理求出，求出，根據等腰三角形的判定得出，根據含角的直角三角形的性質得出，再求出答案即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，故答案為：9．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質和判定，含30度角的直角三角形的性質，三角形內角和定理等知識點，能求出和的度數(shù)是解此題的關鍵．6．（2023春·全國·八年級假期作業(yè)）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分線EF交AC于點E，交BC于點F，若FC＝3cm，則BF＝．【答案】6cm【分析】利用輔助線，連接，求出，，再根據，可求出的度數(shù)，由直角三角形的性質即可求出.【詳解】連接，

，，，的垂直平分線交于點，交于點，，，，（直角邊等于斜邊的一半），.故答案為：.【點睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質、等腰三角形的性質以及含30度角的直角三角形.解題時，通過作輔助線構造直角三角形，利用垂直平分線上任意一點，和線段兩端點的距離相等以及等腰三角形的兩個底角相等等知識求得的長度.7．（2023秋·八年級單元測試）等腰三角形腰長為6cm，一腰上的中線將其周長分成兩部分，且兩部分的差為3cm,則底邊長為cm.【答案】9或3【分析】根據題意可知三角形兩部分的周長差即為底邊與腰的差，分底邊長大于腰，底邊長小于腰長兩種情況進行分析計算即可.【詳解】解：∵等腰三角形中一腰上的中線將其周長分成兩部分，且兩部分的差為3cm，∴底邊長與腰長的差為3cm，當?shù)走叴笥谘鼤r，底邊長為：6+3=9，當?shù)走呅∮谘鼤r，底邊長為：6﹣3=3.故答案為9或3.【點睛】本題考查等腰三角形的性質，解此題的關鍵在于將周長差轉化為底邊與腰長的差.8．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，在中，和的角平分線相交于點，過點作交于點，交于點，若，，，則的周長為．【答案】【分析】根據角平分線的定義可得，再根據兩直線平行，內錯角相等可得，等量代換得，根據等角對等邊的性質可得，同理可得，然后求出的周長，代入數(shù)據即可得解．【詳解】解：∵平分，平分∴，∵，∴，∴，∴，∴的周長為：∵∴的周長為：．故答案為：．【點睛】本題考查了三角形、平行線、角平分線的知識，解題的關鍵是掌握角平分線的定義，平行線的性質，等角對等邊的性質．9．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分線相交于點D，∠ADC＝130°，求∠BAC的度數(shù)．【答案】∠BAC＝20°．【分析】利用等腰三角性的性質可得到AE⊥BC，利用補角的概念可求出∠CDE的度數(shù)，進而可求∠DCE的度數(shù)，利用角平分線的定義和角的等量代換可得到∠B＝∠ACB＝80°，再通過三角形內角和為運算求解即可．【詳解】∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC（等腰三角形三線合一），∵∠ADC＝130°，∴∠CDE＝50°，∴∠DEC＝90°﹣∠DCE＝40°，又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝80°．又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝80°，∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠ACB）＝20．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質和判定，角平分線的定義，熟練運用等腰三角形的性質轉化角的度數(shù)是解題的關鍵．10．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，在中，.（1）尺規(guī)作圖：作，點在邊上.（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）（2）若，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）；【分析】（1）以B點為圓心，BC為半徑畫弧交AC于D，則∠CBD=∠A；（2）先根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理計算出∠ABC=∠C=70°，再利用∠CBD=∠A=40°，然后計算∠ABC∠CBD即可．【詳解】解：（1）如圖，∠CBD為所作；（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°∠A）=（180°40）=70°，∵∠CBD=∠A=40°，∴∠ABD=70°40°=30°．【點睛】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．也考查了等腰三角形的性質．題型02等邊三角形的性質定理1．（2023春·廣東深圳·八年級深圳市福田區(qū)蓮花中學?？奸_學考試）如圖，是等邊三角形，，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】過C作，根據平行線的性質得到，，根據等邊三角形的性質可得，再計算即可．【詳解】解：如圖，過C作，∵，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，故選B．

【點睛】本題考查了平行線的性質，等邊三角形的性質，添加平行線，利用平行線的性質得到角的關系是解題的關鍵．2．（2023春·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）如圖，是等邊三角形，D，E分別是邊的中點，連接，點P是上一動點，若，則的最小值是（

）

A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】連接，由對稱性知，，則，當P、B、E三點共線時，最小，從而求得最小值．【詳解】解：連接，如圖，由對稱性知，，∴，當P、B、E三點共線時，最小，最小值為線段的長．∵是等邊三角形，D，E分別是邊的中點，∴，即的最小值為8；故選：C．

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，兩點間線段最短，對稱的性質等知識，掌握這些知識是關鍵．3．（2023春·河南焦作·八年級統(tǒng)考期中）如圖，是等邊的一條中線，若在邊上取一點，使得，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據等邊三角形的性質可得，再由，可得，即可求解．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，∵是等邊三角形的中線，∴，∴，∵，∴，∴．故選：D．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，熟練掌握等邊三角形的性質，等腰三角形的性質是解題的關鍵．4．（2023春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將等邊三角形紙片折疊，使得點A的對應點D落在邊上，其中折痕分別交邊于點E，F(xiàn)，連接．若，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據等邊三角形折疊的性質及垂直的定義得出，結合圖形及三角形外角的性質得出，利用折疊得出即可求解．【詳解】解：∵，將等邊三角形紙片折疊，使得點A的對應點D落在邊上，∴，∴，∵等邊三角形，∴，∴，∵將等邊三角形紙片折疊，使得點A的對應點D落在邊上，∴，故選：C．【點睛】題目主要考查等邊三角形的性質、三角形外角的定義及折疊的性質，結合圖形找準各角之間的關系是解題關鍵．5．（2023春·遼寧朝陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，、均為等邊三角形，連接、交于點O，與交于點P，則的度數(shù)是．【答案】/60度【分析】利用“邊角邊”證明和全等，可得，根據“八字型”求出即可．【詳解】解：∵、均為等邊三角形，∴，，，∴，即，在和中，，∴，∴，∵，∴，即，故答案為：．【點睛】本題考查等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形．6．（2023春·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，與均為等邊三角形，點在邊上，若，則的度數(shù)為．

【答案】35°/35度【分析】根據等邊三角形的性質和三角形的內角和定理即可得到結論．【詳解】解：與均為等邊三角形，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，三角形的內角和定理，熟練掌握等邊三角形的性質是解題的關鍵．7．（2023春·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在一個面積為的等邊三角形紙片中，取三邊的中點，以虛線為折痕折疊紙片，圖中陰影部分的面積為．

【答案】9【分析】由三角形中線的性質可求出的面積，再求出的面積，進而可求出陰影部分的面積．【詳解】解：∵D是的的中點，∴．∵F是的的中點，∴．∴，∴陰影部分的面積為．故答案為：9．

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，三角形中線的性質，平行線的性質，熟練掌握各知識點是解答本題的關鍵．8．（2023春·廣東云浮·八年級校考期中）如圖，將等邊三角形沿著折疊，點落到點處，連接．若，則．

【答案】【分析】根據等邊三角形的性質及折疊的性質，，再根據等腰三角形的性質及三角形內角和定理即可解答．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，∴由折疊的性質：，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為；【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，折疊的性質，三角形的內角和定理，等腰三角形的性質，掌握等邊三角形的性質及折疊的性質是解題的關鍵．9．（2023秋·全國·八年級課堂例題）如圖，是等邊三角形，是邊上的高，是的中點，是上的一個動點，當最小時，求的度數(shù)．

【答案】【分析】連接，則的長度即為與和的最小值．再利用等邊三角形的性質可得，即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接，與交于點P，

∵是等邊三角形，，∴，∴，即就是的最小值，∵是等邊三角形，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查的是最短線路問題及等邊三角形的性質，熟知兩點之間線段最短的知識是解答此題的關鍵．10．（2023春·山東威海·七年級統(tǒng)考期末）如圖，等邊，點D，E分別在，上，連接，交于點F，．求證：．

【答案】見解析【分析】由等邊三角形的性質可得，，再由對頂角相等得，則可求得，利用可判定，即有．【詳解】解：證明：∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，在與中，，∴，∴．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，解答的關鍵是求得．A夯實基礎1．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖．在中，．若是的角平分線，則下列說法錯誤的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據等腰三角形的三線合一性質解題．【詳解】∵，是的角平分線，∴，，∴．故選D．【點睛】本題考查等腰三角形的三線合一，熟記性質是解題的關鍵．2．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，在等腰中，，平分交于點，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據等腰三角形的性質求出底角的度數(shù)，再根據角平分線求出，利用外角的性質可求．【詳解】解：∵，，∴AD⊥BC，，∴，∵BE平分，∴，，故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，解題關鍵是熟練運用等腰三角形的性質求出底角的度數(shù)．3．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖是三個等邊三角形隨意擺放組成的圖形，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．無法確定【答案】C【分析】先根據圖中是三個等邊三角形可知三角形各內角等于60°，用∠1，∠2，∠3表示出△ABC各角的度數(shù)，再根據三角形內角和定理即可得出結論．【詳解】解：∵圖中是三個等邊三角形，∴∠1＝180°﹣60°﹣∠ABC＝120°﹣∠ABC，∠2＝180°﹣60°﹣∠ACB＝120°﹣∠ACB，∠3＝180°﹣60°﹣∠BAC＝120°﹣∠BAC，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣（∠ABC+∠ACB+∠BAC）＝180°，故選：C．【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質，三角形的內角和，熟知等邊三角形各內角均等于60°是解答此題的關鍵．4．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，在ABC中，AB＝AC，BC＝4，ABC的面積是14，AC的垂直平分線EF分別交AC，AB于E，F(xiàn)點．若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則CM+DM的最小值為（

）A．21 B．7 C．4 D．2【答案】B【分析】連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，故AD⊥BC，再根據三角形的面積公式求出AD的長，再根據EF是線段AC的垂直平分線可知，點C關于直線EF的對稱點為點A，故AD的長為CM+MD的最小值，由此即可得出結論．【詳解】解：連接AD，∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC?AD=×4×AD=14，解得AD=7，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點C關于直線EF的對稱點為點A，∴AD的長為CM+MD的最小值，∴CM+MD的最小值為7．故答案為B．【點睛】本題考查的是軸對稱最短路線問題，線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，熟知等腰三角形的三線合一是解答此題的關鍵．5．（2023秋·八年級課時練習）在等腰三角形、等邊三角形、非等腰直角三角形、等腰直角三角形中，軸對稱圖形有個．【答案】3【分析】根據軸對稱圖形的概念對各圖形分析判斷即可得解．【詳解】解：等腰三角形是軸對稱圖形，等邊三角形是軸對稱圖形，非等腰直角三角形一定不是軸對稱圖形，等腰直角三角形是軸對稱圖形，綜上所述，是軸對稱圖形的有等腰三角形，等邊三角形，等腰直角三角形共3個．故答案為：3．【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．6．（2023秋·江蘇南通·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在中，，點D是邊的中點，若，則的度數(shù)為．【答案】20°【分析】先由等腰三角形的性質得到，再結合題意和三角形的內角和定理得到．【詳解】∵，∴,∵D是邊的中點，∴，∴，∴，故答案為20°．【點睛】本題考查等腰三角形的性質和三角形內角和，熟練掌握等腰三角形的性質和三角形內角和是解答本題的關鍵.7．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，△ABC中，AB=AC，AD=AE，BD=3cm，DE=4cm，則CD=cm．【答案】7【分析】先證明△ABD≌△ACE，從而證得BD=CE=3cm，進一步計算即可求解．【詳解】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C．同理∠ADE=∠AED，∴180°∠ADE=180°∠AED，即∠ADB=∠AEC，在△ABD和△ACE中，∵，∴△ABD≌△ACE(AAS)，∴BD=CE=3cm，∴CD=DE+CE=4+3=7(cm)，故答案為：7．【點睛】此題考查的是全等三角形的判定與性質，關鍵是由已知證明△ABD≌△ACE．8．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，，，三點在同一直線上，和均為等邊三角形，連結，，若，那么．【答案】/21度【分析】由等邊三角形的性質得出，根據可求出答案．【詳解】解：是等邊三角形，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，三角形外角的性質，熟練掌握等邊三角形的性質是解題的關鍵．9．（2023春·七年級課時練習）如圖，在中，，點D在上．(1)若，則_______________．(2)若，則_______________．(3)若，則_______________．【答案】(1)垂直，且平分(2)平分，且平分(3)垂直，且平分【分析】（1）根據等腰三角形的“三線合一”的性質，即可求解；（2）根據等腰三角形的“三線合一”的性質，即可求解；（3）根據等腰三角形的“三線合一”的性質，即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴垂直，且平分；故答案為：垂直，且平分；（2）解：∵，，∴平分，且平分；故答案為：平分，且平分；（3）解：∵，，∴垂直，且平分．故答案為：垂直，且平分【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，熟練掌握等腰三角形的“三線合一”的性質是解題的關鍵．10．（2023·福建·模擬預測）如圖，為等邊三角形，點、分別為、上一點，且，、相交于點，求的度數(shù)．【答案】【分析】根據條件證明，得出，再根據外角的性質得到，進一步可得結論．【詳解】解：是等邊三角形，，，在和中，，，，．【點睛】本題考查等邊三角形性質、全等三角形的判定與性質、外角的性質，解題的關鍵是熟知三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角之和．B能力提升1．（2023春·廣東深圳·八年級深圳市福田區(qū)蓮花中學校考開學考試）如圖，是等邊三角形，，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】過C作，根據平行線的性質得到，，根據等邊三角形的性質可得，再計算即可．【詳解】解：如圖，過C作，∵，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，故選B．

【點睛】本題考查了平行線的性質，等邊三角形的性質，添加平行線，利用平行線的性質得到角的關系是解題的關鍵．2．（2023春·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）如圖，是等邊三角形，D，E分別是邊的中點，連接，點P是上一動點，若，則的最小值是（

）

A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】連接，由對稱性知，，則，當P、B、E三點共線時，最小，從而求得最小值．【詳解】解：連接，如圖，由對稱性知，，∴，當P、B、E三點共線時，最小，最小值為線段的長．∵是等邊三角形，D，E分別是邊的中點，∴，即的最小值為8；故選：C．

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，兩點間線段最短，對稱的性質等知識，掌握這些知識是關鍵．3．（2023春·河南焦作·八年級統(tǒng)考期中）如圖，是等邊的一條中線，若在邊上取一點，使得，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據等邊三角形的性質可得，再由，可得，即可求解．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，∵是等邊三角形的中線，∴，∴，∵，∴，∴．故選：D．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，熟練掌握等邊三角形的性質，等腰三角形的性質是解題的關鍵．4．（2023春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將等邊三角形紙片折疊，使得點A的對應點D落在邊上，其中折痕分別交邊于點E，F(xiàn)，連接．若，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據等邊三角形折疊的性質及垂直的定義得出，結合圖形及三角形外角的性質得出，利用折疊得出即可求解．【詳解】解：∵，將等邊三角形紙片折疊，使得點A的對應點D落在邊上，∴，∴，∵等邊三角形，∴，∴，∵將等邊三角形紙片折疊，使得點A的對應點D落在邊上，∴，故選：C．【點睛】題目主要考查等邊三角形的性質、三角形外角的定義及折疊的性質，結合圖形找準各角之間的關系是解題關鍵．5．（2023春·遼寧朝陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，、均為等邊三角形，連接、交于點O，與交于點P，則的度數(shù)是．【答案】/60度【分析】利用“邊角邊”證明和全等，可得，根據“八字型”求出即可．【詳解】解：∵、均為等邊三角形，∴，，，∴，即，在和中，，∴，∴，∵，∴，即，故答案為：．【點睛】本題考查等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形．6．（2023春·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，與均為等邊三角形，點在邊上，若，則的度數(shù)為．

【答案】35°/35度【分析】根據等邊三角形的性質和三角形的內角和定理即可得到結論．【詳解】解：與均為等邊三角形，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，三角形的內角和定理，熟練掌握等邊三角形的性質是解題的關鍵．7．（2023春·廣東云浮·八年級校考期中）如圖，將等邊三角形沿著折疊，點落到點處，連接．若，則．

【答案】【分析】根據等邊三角形的性質及折疊的性質，，再根據等腰三角形的性質及三角形內角和定理即可解答．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，∴由折疊的性質：，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為；【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，折疊的性質，三角形的內角和定理，等腰三角形的性質，掌握等邊三角形的性質及折疊的性質是解題的關鍵．8．（2023秋·四川綿陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是等邊三角形，為邊上任意一點（不含兩端點），作的垂直平分線交于點，交于點．連接、F，當時，與的周長之和為．【答案】【分析】根據等邊三角形的性質得出，根據垂直平分線的性質得出，，根據三角形周長公式即可求解．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，∵是的垂直平分線，∴，，∴與的周長之和為．故答案為：．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，垂直平分線的性質，熟練掌握等邊三角形的性質與垂直平分線的性質是解題的關鍵．9．（2023春·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期末）如圖所示的三角形是由若干個全等的小等邊三角形組成的．

(1)在圖①中，把該三角形分割成2個全等的三角形；(2)在圖②中，把該三角形分割成3個全等的三角形；(3)在圖③中，把該三角形分割成4個全等的三角形．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）作三角形的一條高即可；（2）作三角形的三條角平分線即可；（3）作三角形的三條中位線即可．【詳解】（1）解：如圖①即為所求；

（2）如圖②即為所求；

（3）如圖③即為所求；

【點睛】本題考查全等三角形的判定及等邊三角形的性質．熟練掌握高、中位線、及角平分線的性質是正確解決本題的關鍵．10．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，C為線段上一動點（點C不與點A，E重合），在同側分別作等邊三角形和等邊三角形，與交于點O．(1)求證：；(2)求．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用證明，得；（2）結合（1）可得，然后利用三角形內角和定理即可解決問題．【詳解】（1）證明：、是等邊三角形，∴，，，，∴，；（2）解：∵，∴，∵，∴．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，證明是解題的關鍵．C綜合素養(yǎng)1．（2023春·安徽宿州·八年級?？计谀┤鐖D，直線，等邊三角形EFG的頂點F在直線上，，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】過G作，得到，推出，，由是等邊三角形，得到，求出的度數(shù)，即可得到的度數(shù)．【詳解】解：過G作，∵，∴，∴，，∵是等邊三角形，∴，∴，∴．故選：B．

【點睛】本題考查等邊三角形的性質，平行線的性質，關鍵是過作，得到，由平行線的性質解決問題．2．（2023春·陜西咸陽·八年級咸陽市秦都中學?？茧A段練習）如圖，是等邊三角形，點為外一點，連接，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據等邊三角形的性質得，再求出，由等邊對等角得，再由三角形內角和求解即可．【詳解】解：是等邊三角形，，，，，，，．故選：D．【點睛】本題考查等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，掌握等腰三角形兩底角相等是解題關鍵．3．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，已知和均是等邊三角形，點B、C、E在同一條直線上，與交于點O，與交于點G，與交于點F，連接，則下列結論：①；②；③．其中結論正確的（

）A．① B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】首先根據等邊三角形的性質，得到，，，然后由判定，根據全等三角形的對應邊相等即可證得①正確；由全三角形的對應角相等，得到，根據證得，即可得到②正確；根據三角形外角性質即可得出③正確．【詳解】解：∵和均是等邊三角形，∴∴∴在和中∴，∴，∴①正確；∴∵∴∴在和中∴，∴，∴②正確；∵∴∵∴∴，∴③正確．故選：D．【點睛】此題考查了等邊三角形的判定與性質與全等三角形的判定與性質，此題圖形比較復雜，解題的關鍵是仔細識圖，合理應用數(shù)形結合思想．4．（2023春·廣東深圳·七年級深圳市寶安中學（集團）?？计谥校┤鐖D所示，在等邊三角形內有一點D，連接、，以為邊做一個等邊三角形，連接、，下列結論：①；②；③若，則；④若B、D、C三點共線，則，其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】證明，即可得到，，判斷①②，結合等邊三角形的性質判斷③④，即可得出結論．【詳解】解：∵，均為等邊三角形，∴，∴，∴，∴，，，故①②正確；若，則：，∴，∴，故③正確；當B、D、C三點共線時，則點在線段上，如圖，∵，∴，∴，∴，故不可能等于，故④錯誤；綜上：正確的有3個；故選C．【點睛】本題考查等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質．本題為手拉手全等模型，平時善于歸納總結，有利于快速解題．5．（2023春·山東菏澤·七年級統(tǒng)考期末）如圖，是等邊三角形，若，，，則°．

【答案】【分析】由等邊三角形性質得出，再由證得，得出，由三角形內角和定理求出，即可得出答案．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，三角形內角和定理等知識；熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．6．（2023春·江西景德鎮(zhèn)·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，．以為一邊在的右側作等邊，連接，則的度數(shù)為．

【答案】/度【分析】根據等邊三角形的性質得出，得到，進一步求出結果．【詳解】解：是等邊三角形，，，，，，，，