第25單元01講（原卷版）

第二十五單元概率初步考點(diǎn)1事件的類型1．事件（1）必然事件：在一定條件下，叫做必然事件；（2）不可能事件：叫做不可能事件，必然發(fā)生的事件和不可能發(fā)生的事件均為“”；（3）隨機(jī)事件：，稱為隨機(jī)事件，隨機(jī)事件又稱為“”；2．可能性：要知道事件發(fā)生的可能性大小首先要確定，一般地，事件發(fā)生的可能性最大，事件發(fā)生的可能性最小，的可能性有大有小，不同的隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小有可能不同．考點(diǎn)2概率的意義1．概念：某種事件在某一條件下可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，但可以知道它發(fā)生的可能性的大小，我們把刻劃（描述）事件發(fā)生的的大小的量叫做概率．2．意義：概率反映了；事件A的概率是一個(gè)0，且1的數(shù)，，即，其中P（必然事件）=1，P（不可能事件）=0，隨機(jī)事件的概率范圍是：；考點(diǎn)3概率的計(jì)算1．古典概率（1）從事件所包含的各種可能的結(jié)果在全部可能的試驗(yàn)結(jié)果中所占的比例分析事件的概率．（2）如果在一次試驗(yàn)中，有種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的，事件A包含其中的種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P（A）=．2．列表法求概率（1）當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為，通常采用列表法．（2）列表法是用反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的，以及某一事件發(fā)生的可能的，并求出概率的方法．3．畫樹形圖求概率（1）當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及時(shí)，為了地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹形圖．（2）樹形圖是用，以及某一事件發(fā)生的可能的，并求出概率的方法．考點(diǎn)4利用頻率估計(jì)概率1．當(dāng)試驗(yàn)的可能結(jié)果不是，或各種結(jié)果發(fā)生的時(shí)，一般用統(tǒng)計(jì)頻率的方法來估計(jì)概率．2．在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，常用較為簡(jiǎn)單的試驗(yàn)方法代替實(shí)際操作中復(fù)雜的試驗(yàn)來完成概率估計(jì)，這樣的試驗(yàn)稱為實(shí)驗(yàn)．3．隨機(jī)數(shù)：在隨機(jī)事件中，需要用大量試驗(yàn)產(chǎn)生一串隨機(jī)的數(shù)據(jù)來開展統(tǒng)計(jì)工作．把這些產(chǎn)生的數(shù)據(jù)稱為隨機(jī)數(shù)．判斷事件的類型1．事件分類2．依據(jù)可能性判斷事件必然事件隨機(jī)事件不可能事件事件發(fā)生的可能性【例題】1.下列事件中，是必然事件的是（）A.車輛隨機(jī)到達(dá)一個(gè)路口，遇到紅燈B.同一平面內(nèi)三條直線相交，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3個(gè)C.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)不超過6D.用長(zhǎng)度分別為8；7；15的三根小木棒擺成一個(gè)三角形2.下列事件為必然事件的是（）A.打開電視，它正在播廣告 B.拋擲一枚硬幣，正面朝上C.367人中有生日相同的人 D.打雷后會(huì)下雨3.下列事件中，屬于隨機(jī)事件的是（）A.角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等B.用長(zhǎng)度分別是2cm，3cm，6cm的細(xì)木條首尾順次相連可組成一個(gè)三角形C.如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，則這兩個(gè)圖形一定全等D.三角形一邊上高線與這條邊上的中線互相重合【練經(jīng)典】4.下列成語所描述的事件是必然發(fā)生的是（）A.水中撈月 B.拔苗助長(zhǎng) C.守株待兔 D.甕中捉鱉5.下列事件中是必然事件的是（）A.打開電視機(jī)，正在播放《開學(xué)第一課》B.經(jīng)過有交通信號(hào)燈的路口，遇到紅燈C.任意畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和是180°D.買一張彩票，一定會(huì)中獎(jiǎng)6.下列事件為必然事件的是（）A.拋擲一枚硬幣，正面向上 B.在一個(gè)裝有5只紅球的袋子中摸出一個(gè)白球C.任畫一個(gè)三角形，它的內(nèi)角和為 D.如果，那么概率的意義概率表示事件發(fā)生的可能性的大小【例題】7.下列說法正確的是（）A.某彩票的中獎(jiǎng)概率是，那么如果買100張彩票一定會(huì)有5張中獎(jiǎng)B.兩條直線被第三條直線所截，同位角相等C.因?yàn)椋?，所以長(zhǎng)度為5，8，14的三條線段可以圍成三角形D.任意畫一條線段，一定是軸對(duì)稱圖形8.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，骰子停止后，出現(xiàn)可能性大的是（）A.小于3點(diǎn)數(shù) B.大于3的點(diǎn)數(shù) C.小于5的點(diǎn)數(shù) D.大于5的點(diǎn)數(shù)9.如圖，是一個(gè)材質(zhì)均勻的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤分成8個(gè)全等的扇形，顏色分為紅、綠、黃三種，指針的位置固定，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤后任其自由停止(若指針指向兩個(gè)扇形的交線時(shí)，當(dāng)作指向右邊的扇形)，轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后指針指向紅色扇形的概率是_______．【練經(jīng)典】10.下列說法正確的是（）A.了解“某市初中生每天課外閱讀書籍時(shí)間的情況”最適合的調(diào)查方式是全面調(diào)查B.“任意畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和是”這一事件是不可能事件C.甲乙兩人跳繩各10次，其成績(jī)的平均數(shù)相等，，則甲的成績(jī)比乙穩(wěn)定D.從某校1000名男生中隨機(jī)抽取2名進(jìn)行引體向上測(cè)試，其中有一名成績(jī)不及格，說明該校的男生引體向上成績(jī)不及格11.某校九年級(jí)選出三名同學(xué)參加學(xué)校組織的“法治和安全知識(shí)競(jìng)賽”．比賽規(guī)定，以抽簽方式?jīng)Q定每個(gè)人的出場(chǎng)順序，主持人將表示出場(chǎng)順序的數(shù)字1，2，3分別寫在3張同樣的紙條上，并將這些紙條放在一個(gè)不透明的盒子中，攪勻后從中任意抽出一張，小星第一個(gè)抽，下列說法中正確的是（）A.小星抽到數(shù)字1的可能性最小 B.小星抽到數(shù)字2的可能性最大C.小星抽到數(shù)字3的可能性最大 D.小星抽到每個(gè)數(shù)的可能性相同12.從一副撲克牌中任意抽取1張，則下列事件：（1）這張牌是“紅色的”；（2）這張牌是“紅心”的；（3）這張牌是“大王”；（4）這張牌是“A”；發(fā)生可能性最大的是（只填寫序號(hào)）________．13.如圖是一個(gè)游戲轉(zhuǎn)盤，自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)后，指針落在______色區(qū)域的概率最大概率的計(jì)算1．概率的計(jì)算公式：一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，那么出現(xiàn)每一種結(jié)果的概率都是．如果事件A包括其中的種可能的結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率．2．列表法中表格構(gòu)造特點(diǎn)3．樹形圖的畫法【例題】14.端午節(jié)是我國四大傳統(tǒng)節(jié)日之一，吃粽子是端午節(jié)的傳統(tǒng)習(xí)俗，端午節(jié)這天小穎的媽媽買了只紅豆粽和只紅棗粽，這些粽子除了內(nèi)部餡料不同外其他均相同．小穎從中隨意選一個(gè)，她選到紅豆粽的概率是（）A. B. C. D.15.一個(gè)小球在如圖所示的方格地磚上任意滾動(dòng)，并隨機(jī)停留在某塊地磚上，每塊地磚的大小、質(zhì)地完全相同，那么該小球停留在黑色區(qū)域的概率是（）A. B. C. D.16.一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面上分別刻有1到6的點(diǎn)數(shù).將骰子拋擲兩次，擲第一次，將朝上一面的點(diǎn)數(shù)記為，擲第二次，將朝上一面的點(diǎn)數(shù)記為，則點(diǎn)（）落在直線上的概率為：A. B. C. D.17.二維碼的圖案主要由黑，白兩種小正方形組成．現(xiàn)對(duì)由4個(gè)小正方形組成的“”進(jìn)行涂色，每個(gè)小正方形隨機(jī)涂成黑色或白色，則恰好涂成兩個(gè)黑色和兩個(gè)白色的概率為（）A. B. C. D.18.為迎接黨的二十大勝利召開，某校對(duì)七、八年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行了黨史學(xué)習(xí)宣傳教育，其中七、八年級(jí)的學(xué)生各有人．為了解該校七、八年級(jí)學(xué)生對(duì)黨史知識(shí)的掌握情況，從七、八年級(jí)學(xué)生中各隨機(jī)抽取15人進(jìn)行黨史知識(shí)測(cè)試，統(tǒng)計(jì)這部分學(xué)生的測(cè)試成績(jī)（成績(jī)均為整數(shù)，滿分10分，8分及8分以上為優(yōu)秀），相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)、整理如下：七年級(jí)抽取學(xué)生的成績(jī)：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．七、八年級(jí)抽取學(xué)生的測(cè)試成績(jī)統(tǒng)計(jì)表年級(jí)七年級(jí)八年級(jí)平均數(shù)88眾數(shù)a7中位數(shù)8b優(yōu)秀率八年級(jí)抽取學(xué)生的測(cè)試成績(jī)條形統(tǒng)計(jì)圖（1）填空：___________，__________；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該校七、八年級(jí)中，哪個(gè)年級(jí)的學(xué)生黨史知識(shí)掌握得較好？請(qǐng)說明理由（寫出一條即可）；（3）請(qǐng)估計(jì)七、八年級(jí)學(xué)生對(duì)黨史知識(shí)掌握能夠達(dá)到優(yōu)秀的總?cè)藬?shù)；（4）現(xiàn)從七、八年級(jí)獲得10分的4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人參加黨史知識(shí)競(jìng)賽，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法，求出被選中的2人恰好是七、八年級(jí)各1人的概率．【練經(jīng)典】19.毛毛的電子郵箱密碼由八個(gè)數(shù)字或字母組合而成，其中每個(gè)數(shù)字都是從中任選的，毛毛只記得前七位的組合，第八位只記得是一個(gè)偶數(shù)，那么毛毛一次隨機(jī)試驗(yàn)就能解鎖密碼的概率為（）A. B. C. D.20.一個(gè)質(zhì)地均勻小正方體，6個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1，1，2，4，5，5．若隨機(jī)投擲一次小正方體，則朝上一面數(shù)字是5的概率為（）A. B. C. D.21.小華在如圖所示的正方形網(wǎng)格紙板上玩飛鏢游戲（每次飛鏢均落在紙板上，且落在紙板的任何一個(gè)點(diǎn)的機(jī)會(huì)都相等），則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是（）A. B. C. D.22.如圖所示的是張背面相同的卡片，卡片正面畫有常見的生活現(xiàn)象，現(xiàn)將所有卡片背面朝上洗勻，從中隨機(jī)抽取兩張，則這兩張卡片正面恰好都是化學(xué)變化圖案的概率是（）A. B. C. D.23.如圖，兩個(gè)相同的可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤A和B，轉(zhuǎn)盤A被二等分，分別標(biāo)有數(shù)字，2；轉(zhuǎn)盤B被三等分，分別標(biāo)有數(shù)字3，0，．如果同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤A，B，轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，兩個(gè)指針指向轉(zhuǎn)盤A，B上的對(duì)應(yīng)數(shù)字分別為x，y（當(dāng)指針指在兩個(gè)扇形的交線時(shí)，需重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤），那么點(diǎn)落在平面直角坐標(biāo)系第二象限的概率是______．24.為豐富學(xué)生課后服務(wù)社團(tuán)活動(dòng)，某中學(xué)組建了：A聲樂，B繪畫，C舞蹈，D跳繩，這四類學(xué)生活動(dòng)社團(tuán)，要求每人必須參加且只參加一類活動(dòng)，學(xué)校隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，以了解學(xué)生參團(tuán)情況，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖中的信息，解決下列問題：（1）扇形統(tǒng)計(jì)圖中，區(qū)域所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)是___________；（2）將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；并估計(jì)該中學(xué)2000名學(xué)生中參與跳繩社團(tuán)的學(xué)生人數(shù)；（3）校園藝術(shù)節(jié)時(shí)，學(xué)校將從符合條件的4名社團(tuán)學(xué)生（男女各2名）中隨機(jī)選擇兩名學(xué)生擔(dān)任開幕式主持人．請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好選中1名男生和1名女生的概率．頻率與概率關(guān)系1．兩者都能定量地反映隨機(jī)事件可能性的大小，但頻率具有隨機(jī)性，概率是自身固有的性質(zhì)，不具有隨機(jī)性．2．用大量重復(fù)試驗(yàn)中隨機(jī)事件發(fā)生的穩(wěn)定頻率無限接近概率．【例題】25.從某郁金香種子中抽取7批，在同一條件下進(jìn)行發(fā)芽試驗(yàn)，有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：種子粒數(shù)100300500700100020003000發(fā)芽種子粒數(shù)8023940355980215942403發(fā)芽頻率根據(jù)以上數(shù)據(jù)，該郁金香種子發(fā)芽的概率約為（）A. B. C. D.26.在一個(gè)不透明的袋子里裝有紅球、黃球共20個(gè)，這些球除顏色外都相同．小明通過多次試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.6左右，則袋子中紅球的個(gè)數(shù)最有可能是（）A.6 B.8 C.12 D.1527.木箱里裝有僅顏色不同的9個(gè)紅球和若干個(gè)藍(lán)球，隨機(jī)從木箱里摸出一個(gè)球，記下顏色后再放回，經(jīng)過多次的重復(fù)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.6附近，則估計(jì)木箱中藍(lán)球有________個(gè)．28.（1）某射擊運(yùn)動(dòng)員在同一條件下進(jìn)行射擊，結(jié)果如下表：射擊總次數(shù)n101002005001000擊中靶心次數(shù)m986168426849擊中靶心頻率m/n0.90.860.840.8520.849則這名運(yùn)動(dòng)員在此條件下?lián)糁邪行牡母怕蚀蠹s是（精確到0.01）．（2）一個(gè)不透明的袋子里裝有黑白兩種顏色的球共40個(gè)，這些球除顏色外都相同．從袋子中隨機(jī)摸一個(gè)球，記下顏色后放回，不斷重復(fù)，并繪制了如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，則這個(gè)袋中白球的個(gè)數(shù)最有可能是．（3）如圖，現(xiàn)有若干個(gè)邊長(zhǎng)相等的小等邊三角形組成的圖形，其中已經(jīng)涂黑了3個(gè)小三角形（陰影部分表示）在空白的三角形中只涂黑一個(gè)小三角形，使整個(gè)圖案成軸對(duì)稱圖形的概率是．【練經(jīng)典】29.不透明的盒子中裝有紅、白兩色的小球共n（n為正整數(shù)）個(gè)，這些球除顏色外無其他差別，隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記錄顏色后放回并搖勻，不斷重復(fù)這一過程．下圖顯示了用計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)的結(jié)果．下面有三個(gè)推斷：①隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，“摸到紅球”的頻率總在0.35附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計(jì)“摸到紅球”的概率是0.35；②若盒子中裝40個(gè)小球，可以根據(jù)本次實(shí)驗(yàn)結(jié)果，估算出盒子中有紅球14個(gè)；③若再次進(jìn)行上述摸球?qū)嶒?yàn)，則當(dāng)摸球次數(shù)為200時(shí)，“摸到紅球”的頻率一定是0.40．所有合理推斷的序號(hào)是（）A.①② B.② C.①③ D.①②③30.不透明的黑袋子里放有個(gè)黑球和若干個(gè)白球（黑白兩球僅有顏色不同），老師將全班學(xué)生分成個(gè)小組，進(jìn)行摸球試驗(yàn)，在經(jīng)過大量重復(fù)摸球試驗(yàn)中，統(tǒng)計(jì)顯示，從中摸出白球的頻率穩(wěn)定在附近，則袋子里放了（）個(gè)白球．A. B. C. D.31.歷史上數(shù)學(xué)家皮爾遜曾在實(shí)驗(yàn)中擲均勻的硬幣200次，正面朝上的次數(shù)是110次，頻率約為，則擲一枚均勻的硬幣，正面朝上的概率是_______．32.如圖是一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，它被分成了6個(gè)面積相等的扇形區(qū)域．?dāng)?shù)學(xué)小組的學(xué)生做轉(zhuǎn)盤試驗(yàn)：轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，記錄下指針?biāo)竻^(qū)域的顏色，不斷重復(fù)這個(gè)過程，獲得數(shù)據(jù)如下：轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的次數(shù)200300400100016002000轉(zhuǎn)到黃色區(qū)域的頻數(shù)7293130334532667轉(zhuǎn)到黃色區(qū)域的頻率0.360.3250.33250.3335（1）下列說法錯(cuò)誤的是______（填寫序號(hào)）．①轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤8次，指針都指向綠色區(qū)域，所以第9次轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)指針一定指向綠色區(qū)域；②轉(zhuǎn)動(dòng)15次，指針指向綠色區(qū)域的次數(shù)不一定大于指向黃色區(qū)域的次數(shù)；③轉(zhuǎn)動(dòng)60次，指針指向藍(lán)色區(qū)域的次數(shù)一定為10.（2）求表中，的值，并估計(jì)隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤“指針指向黃色區(qū)域”的概率（精確到0.1）；（3）修改轉(zhuǎn)盤的顏色分布情況，使指針指向每種顏色的可能性相同，寫出一種方案即可．新考法【跨學(xué)科綜合小練】33.同一元素中質(zhì)子數(shù)相同，中子數(shù)不同的各種原子互為同位素，如與、與．在一次制取的實(shí)驗(yàn)中，與的原子個(gè)數(shù)比為，與的原子個(gè)數(shù)比為，若實(shí)驗(yàn)恰好完全反應(yīng)生成，則反應(yīng)生成的概率（）A. B. C. D.34.小明在學(xué)