2025版高考數(shù)學一輪復習第十章概率文第三講幾何概型文第六講幾何概型學案理含解析新人教版

PAGE第三講幾何概型(文)第六講幾何概型(理)學問梳理·雙基自測eq\x(知)eq\x(識)eq\x(梳)eq\x(理)學問點一幾何概型的定義假如每個事務發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事務區(qū)域的__長度(面積或體積)__成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型．學問點二幾何概型的特點(1)無限性：在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個；(2)等可能性：每個結(jié)果的發(fā)生具有等可能性．學問點三幾何概型的概率公式P(A)＝__eq\f(構(gòu)成事務A的區(qū)域長度面積或體積,試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度面積或體積)__．學問點四隨機模擬方法(1)運用計算機或者其他方式進行的模擬試驗，通過這個試驗求出隨機事務的概率的近似值的方法就是模擬方法．(2)用計算機或計算器模擬試驗的方法為隨機模擬方法．這個方法的基本步驟是：①用計算器或計算機產(chǎn)生某個范圍內(nèi)的隨機數(shù)，并給予每個隨機數(shù)肯定的意義；②統(tǒng)計代表某意義的隨機數(shù)的個數(shù)M和總的隨機數(shù)個數(shù)N；③計算頻率fn(A)＝eq\f(M,N)作為所求概率的近似值．eq\x(歸)eq\x(納)eq\x(拓)eq\x(展)幾種常見的幾何概型(1)與長度有關(guān)的幾何概型，其基本領(lǐng)件只與一個連續(xù)的變量有關(guān)．(2)與面積有關(guān)的幾何概型，其基本領(lǐng)件與兩個連續(xù)的變量有關(guān)，若已知圖形不明確，可將兩個變量分別作為一個點的橫坐標和縱坐標，這樣基本領(lǐng)件就構(gòu)成了平面上的一個區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決問題．(3)與體積有關(guān)的幾何概型，可借助空間幾何體的體積公式解答問題．eq\x(雙)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(測)題組一走出誤區(qū)1．推斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)在一個正方形區(qū)域內(nèi)任取一點的概率是零．(√)(2)幾何概型中，每一個基本領(lǐng)件就是從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中的每一點被取到的機會相等．(√)(3)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形．(√)(4)隨機模擬方法是以事務發(fā)生的頻率估計概率．(√)(5)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形態(tài)有關(guān)．(×)(6)從區(qū)間[1,10]內(nèi)任取一個數(shù)，取到1的概率是P＝eq\f(1,9)．(×)題組二走進教材2．(P140T1)有四個嬉戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應選擇的嬉戲盤是(A)[解析]∵P(A)＝eq\f(3,8)，P(B)＝eq\f(1,4)，P(C)＝eq\f(1,3)，P(D)＝eq\f(1,3)，∴P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B)．故選A．3．(P146B組T4)設不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2))表示的平面區(qū)域為D，在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是(D)A．eq\f(π,4) B．eq\f(π－2,2)C．eq\f(π,6) D．eq\f(4－π,4)[解析]如圖所示，正方形OABC及其內(nèi)部為不等式組表示的平面區(qū)域D，且區(qū)域D的面積為4，而陰影部分(不包括eq\o\ac(AC,\s\up8(︵)))表示的是區(qū)域D內(nèi)到坐標原點的距離大于2的區(qū)域．易知該陰影部分的面積為4－π．因此滿意條件的概率是eq\f(4－π,4)，故選D．題組三走向高考4．(2024·全國Ⅰ)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱，在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是(B)A．eq\f(1,4) B．eq\f(π,8)C．eq\f(1,2) D．eq\f(π,4)[解析]不妨設正方形ABCD的邊長為2，則正方形內(nèi)切圓的半徑為1，可得S正方形＝4．由圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱，得S黑＝S白＝eq\f(1,2)S圓＝eq\f(π,2)，所以由幾何概型知，所求概率P＝eq\f(S黑,S正方形)＝eq\f(\f(π,2),4)＝eq\f(π,8)．故選B．5．(2024·全國)在Rt△ABC中，AB＝BC，在BC邊上隨機取點P，則∠BAP＜30°的概率為(B)A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(3,3) D．eq\f(\r(3),2)[解析]在Rt△ABC中，AB＝BC，Rt△ABC為等腰直角三角形，令AB＝BC＝1，則AC＝eq\r(2)；在BC邊上隨機取點P，當∠BAP＝30°時，BP＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，在BC邊上隨機取點P，則∠BAP＜30°的概率為：P＝eq\f(BP,BC)＝eq\f(\r(3),3)，故選B．考點突破·互動探究考點一與長度有關(guān)的幾何概型——自主練透例1(1)(2024·山西運城模擬)某單位試行上班刷卡制度，規(guī)定每天8：30上班，有15分鐘的有效刷卡時間(即8：15－8：30)，一名職工在7：50到8：30之間到單位且到達單位的時刻是隨機的，則他能正常刷卡上班的概率是(D)A．eq\f(2,3) B．eq\f(5,8)C．eq\f(1,3) D．eq\f(3,8)(2)(2024·福建龍巖質(zhì)檢)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上隨機取一個實數(shù)x，使cosx≥eq\f(1,2)的概率為(B)A．eq\f(3,4) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)(3)(2024·山東省青島市模擬)已知圓C：x2＋y2＝1和直線l：y＝k(x＋2)，在(－eq\r(3)，eq\r(3))上隨機選取一個數(shù)k，則事務“直線l與圓C相交”發(fā)生的概率為(C)A．eq\f(1,5) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)[解析](1)一名職工在7：50到8：30之間到單位，刷卡時間長度為40分鐘，但有效刷卡時間是8：15－8：30共15分鐘，由測度比為長度比可得，該職工能正常刷卡上班的概率P＝eq\f(15,40)＝eq\f(3,8)．故選D．(2)由y＝cosx在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上單調(diào)遞減，則不等式cosx≥eq\f(1,2)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的解為－eq\f(π,3)≤x≤eq\f(π,3)，故cosx≥eq\f(1,2)的概率為eq\f(\f(2π,3),π)＝eq\f(2,3)．(3)直線l與C相交?eq\f(|2k|,\r(1＋k2))＜1?－eq\f(\r(3),3)＜k＜eq\f(\r(3),3)．∴所求概率P＝eq\f(\f(\r(3),3)－－\f(\r(3),3),\r(3)－－\r(3))＝eq\f(1,3)．故選C．[引申]本例(3)中“圓上到直線l的距離為eq\f(1,2)的點有4個”發(fā)生的概率為__eq\f(\r(5),15)__．[解析]圓上到直線l的距離為eq\f(1,2)的點有4個?圓心到直線l的距離小于eq\f(1,2)?eq\f(|2k|,\r(1＋k2))＜eq\f(1,2)?－eq\f(\r(15),15)＜k＜eq\f(\r(15),15)，∴所求概率P＝eq\f(\f(\r(15),15)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(15),15))),\r(3)－－\r(3))＝eq\f(\r(5),15)．名師點撥與長度有關(guān)的幾何概型假如試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長度表示，則其概率的計算公式為P(A)＝eq\f(構(gòu)成事務A的區(qū)域長度,試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度)．〔變式訓練1〕(1)(2024·江蘇卷)記函數(shù)f(x)＝eq\r(6＋x－x2)的定義域為D．在區(qū)間[－4,5]上隨機取一個數(shù)x，則x∈D的概率是__eq\f(5,9)__．(2)(2024·河南豫北名校聯(lián)盟精英對抗賽)已知函數(shù)f(x)＝sinx＋eq\r(3)cosx，當x∈[0，π]時，f(x)≥1的概率為(D)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,5) D．eq\f(1,2)[解析](1)D＝{x|6＋x－x2≥0}＝[－2,3]，∴所求概率P＝eq\f(3－－2,5－－4)＝eq\f(5,9)．(2)由f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))≥1，x∈[0，π]得x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴所求概率P＝eq\f(\f(π,2),π)＝eq\f(1,2)，故選D．考點二與面積有關(guān)的幾何概型——師生共研角度1與平面圖形有關(guān)的問題例2(1)(2024·河南商丘、周口、駐馬店聯(lián)考)如圖，AC，BD上分別是大圓O的兩條相互垂直的直徑，4個小圓的直徑分別為OA，OB，OC，OD，若向大圓內(nèi)部隨機投擲一點，則該點落在陰影部分的概率為(D)A．eq\f(π,4) B．eq\f(π,8)C．eq\f(1,π) D．eq\f(2,π)(2)設復數(shù)z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，則y≥x的概率為(C)A．eq\f(3,4)＋eq\f(1,2π) B．eq\f(1,2)＋eq\f(1,π)C．eq\f(1,4)－eq\f(1,2π) D．eq\f(1,2)－eq\f(1,π)[解析](1)不妨設大圓的半徑為2，則大圓的面積為4π，小圓的半徑為1，如圖，設圖中陰影部分面積為S，由圖形的對稱性知，S陰影＝8S．又S＝eq\f(1,2)π×12－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)π×12－\f(1,2)×12))×2＝1，則所求概率為eq\f(8,4π)＝eq\f(2,π)，故選D．(2)∵|z|＝eq\r(x－12＋y2)≤1，∴(x－1)2＋y2≤1，其幾何意義表示為以(1,0)為圓心，1為半徑的圓面，如圖所示，而y≥x所表示的區(qū)域如圖中陰影部分，故P＝eq\f(\f(π,4)－\f(1,2),π)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2π)．[引申]本例(1)中圖形改成下圖，則此點取自圖中陰影部分的概率為__eq\f(π－2,2π)__．[解析]不妨設大圓的半徑為2，則小圓的半徑為1，∴所求概率P＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(1,2))),\f(1,4)×4π)＝eq\f(π－2,2π)．角度2與線性規(guī)劃交匯的問題例3在滿意不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－3≤0，,y≥0))的平面點集中隨機取一點M(x0，y0)，設事務A為“y0＜2x0”，那么事務A發(fā)生的概率是(B)A．eq\f(1,4) B．eq\f(3,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)[解析]如圖所示，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0,x＋y－3≤0，,y≥0))表示的平面區(qū)域為△ABC且A(1,2)，B(－1,0)，C(3,0)，明顯直線l：y＝2x過A且與x軸交于O，∴所求概率P＝eq\f(S△AOC,S△ABC)＝eq\f(|OC|,|BC|)＝eq\f(3,4)．選B．名師點撥解決與面積有關(guān)的幾何概型的方法求解與面積有關(guān)的幾何概型時，關(guān)鍵是弄清某事務對應的幾何元素，必要時可依據(jù)題意構(gòu)造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到全部試驗結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解．〔變式訓練2〕(1)(2024·唐山模擬)右圖是一個邊長為4的正方形二維碼，為了測算圖中黑色部分的面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機投擲400個點，其中落入黑色部分的有225個點，據(jù)此可估計黑色部分的面積為(B)A．8 B．9C．10 D．12(2)(2024·四川模擬)以正三角形的頂點為圓心，其邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形被稱為勒洛三角形，它是具有類似于圓的“等寬性”曲線，由德國機械工程專家、數(shù)學家勒洛首先發(fā)覺．如圖，D，E，F(xiàn)為正三角形ABC各邊中點，作出正三角形DEF的勒洛三角形DEF(陰影部分)，若在△ABC中隨機取一點，則該點取自于該勒洛三角形部分的概率為(C)A．eq\f(π－\r(3),2) B．eq\f(2\r(3)π－3,9)C．eq\f(\r(3)π－3,6) D．eq\f(\r(3)π－2,6)[解析](1)依據(jù)面積之比與點數(shù)之比相等的關(guān)系，得黑色部分的面積S＝4×4×eq\f(225,400)＝9，故選B．(2)設△ABC的邊長為2，則正△DEF邊長為1，以D為圓心的扇形面積是eq\f(π×12,6)＝eq\f(π,6)，△DEF的面積是eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)，∴勒洛三角形的面積為3個扇形面積減去2個正三角形面積，即圖中勒洛三角形面積為3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(\r(3),4)))＋eq\f(\r(3),4)＝eq\f(π－\r(3),2)，△ABC面積為eq\r(3)，所求概率P＝eq\f(π－\r(3),2\r(3))＝eq\f(\r(3)π－3,6)．故選C．考點三,與體積有關(guān)的幾何概型——師生共研例4(1)(2024·山西省模擬)以正方體各面中心為頂點構(gòu)成一個幾何體，從正方體內(nèi)任取一點P，則P落在該幾何體內(nèi)的概率為(C)A．eq\f(1,8) B．eq\f(5,6)C．eq\f(1,6) D．eq\f(7,8)(2)(2024·江西撫州臨川一中期末)已知三棱錐S－ABC，在該三棱錐內(nèi)任取一點P，則使VP－ABC≤eq\f(1,3)VS－ABC的概率為(D)A．eq\f(1,3) B．eq\f(4,9)C．eq\f(8,27) D．eq\f(19,27)[解析](1)如圖以正方體各面中心為頂點的幾何體是由兩同底正四棱錐拼成，不妨設正方體棱長為2，則GH＝eq\r(2)，∴所求概率P＝eq\f(VE－GHIJ－F,V正方體)＝eq\f(2×\f(1,3)×\r(2)×\r(2)×1,2×2×2)＝eq\f(1,6)，故選C．(2)作出S在底面△ABC的射影為O，若VP－ABC＝eq\f(1,3)VS－ABC，則三棱錐P－ABC的高等于eq\f(1,3)SO，P點落在平面EFD上，且eq\f(SE,SA)＝eq\f(SD,SB)＝eq\f(SF,SC)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(S△EFD,S△ABC)＝eq\f(4,9)，故VS－EFD＝eq\f(8,27)VS－ABC，∴VP－ABC≤eq\f(1,3)VS－ABC的概率P＝1－eq\f(8,27)＝eq\f(19,27)．故選D．名師點撥求解與體積有關(guān)問題的留意點對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事務的體積(事務空間)，對于某些較困難的問題常轉(zhuǎn)化為其對立事務的概率問題求解．〔變式訓練3〕一只蜜蜂在一個棱長為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個表面的距離均大于1，稱其為“平安飛行”，則蜜蜂“平安飛行”的概率為(C)A．eq\f(4π,81) B．eq\f(81－4π,81)C．eq\f(1,27) D．eq\f(8,27)[解析]由已知條件可知，蜜蜂只能在以正方體的中心為中心棱長為1的小正方體內(nèi)飛行，結(jié)合幾何概型可得蜜蜂“平安飛行”的概率為P＝eq\f(13,33)＝eq\f(1,27)．[引申]若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體8個頂點的距離均大于1，稱其為“平安飛行”，則蜜蜂“平安飛行”的概率為__1－eq\f(4π,81)__．[解析]所求概率P＝eq\f(33－\f(4,3)π,33)＝1－eq\f(4π,81)．考點四,與角度有關(guān)的幾何概型——師生共研例5(1)(2024·南崗區(qū)校級模擬)已知正方形ABCD的邊長為eq\r(3)，以A為頂點在∠BAD內(nèi)部作射線AP，射線AP與正方形ABCD的邊交于點M，則AM＜2的概率為(D)A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(2,3)(2)在等腰Rt△ABC中，過直角頂點C在∠ACB內(nèi)作一條射線CD與線段AB交于點D，則AD＜AC的概率為__eq\f(3,4)__．[解析](1)正方形ABCD的邊長為eq\r(3)，以A為頂點在∠BAD內(nèi)部作射線AP，射線AP與正方形ABCD的邊交于點M，如圖所示：己知AD＝AB＝BC＝CD＝eq\r(3)，DM＝1，所以AM＝eq\r(\r(3)2＋12)＝2．所以∠DAM＝eq\f(π,6)．依據(jù)陰影的對稱性，故P(AM＜2)＝eq\f(\f(π,6)＋\f(π,6),\f(π,2))＝eq\f(2,3)，故選D．(2)在AB上取AC′＝AC，則∠ACC′＝eq\f(180°－45°,2)＝67.5°．設事務A＝{在∠ACB內(nèi)部作一條射線CD，與線段AB交于點D，AD＜AC}．則全部可能結(jié)果的區(qū)域角度為90°，事務A的區(qū)域角度為67.5°，∴P(A)＝eq\f(67.5,90)＝eq\f(3,4)．名師點撥與角度有關(guān)的幾何概型的求解方法(1)若試驗的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用角度來表示，則其概率公式為P(A)＝eq\f(構(gòu)成事務A的區(qū)域角度,試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成區(qū)域的角度)．(2)解決此類問題時留意事務的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域及所求事務的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，然后再利用公式計算．〔變式訓練4〕(1)(2024·山西太原一模)如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝eq\r(3)，BC＝1，在∠DAB內(nèi)任作射線AP，則射線AP與線段BC有公共點的概率為__eq\a\vs4\al(\f(1,3))__．(2)如圖所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝eq\r(3)，在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M，則BM＜1的概率為__eq\f(2,5)__．[解析](1)當點P在BC上時，AP與BC有公共點，此時AP掃過△ABC，所以所求事務的概率P＝eq\f(30,90)＝eq\f(1,3)．(2)因為∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°，在Rt△ABD中，AD＝eq\r(3)，∠B＝60°，所以BD＝eq\f(AD,tan60°)＝1，∠BAD＝30°．記事務N為“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M，使BM＜1”，則可得∠BAM＜∠BAD時事務N由幾何概型的概率公式，得P(N)＝eq\f(30,75)＝eq\f(2,5)．名師講壇·素養(yǎng)提升轉(zhuǎn)化與化歸思想在幾何概型中的應用例6(1)(2024·貴州遵義模擬)在區(qū)間[0,2]上任取兩個數(shù)，則這兩個數(shù)之和大于3的概率是(A)A．eq\f(1,8) B．eq\f(1,4)C．eq\f(7,8) D．eq\f(3,4)(2)(2024·濟寧模擬)甲、乙兩人約定晚6點到晚7點之間在某處見面，并約定甲若早到則等乙半小時，而乙還有其他支配，若乙早到則不需等待，則甲、乙兩人能見面的概率為(A)A．eq\f