高中數(shù)學(xué)第一章解三角形1.2應(yīng)用舉例三導(dǎo)學(xué)案新人教A版必修5

1.2應(yīng)用舉例（三）學(xué)習(xí)目標1.能夠運用正弦、余弦定理解決航海測量中的實際問題.2.駕馭三角形的面積公式的簡潔推導(dǎo)和應(yīng)用．教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情景老師首先提出問題：通過學(xué)生對課本的預(yù)習(xí)，讓學(xué)生與大家共享自己對航海測量學(xué)問的了解。通過舉例說明和相互溝通，做好老師對學(xué)生的活動的梳理引導(dǎo)，并賜予主動評價.二、自主學(xué)習(xí)1．三角形的面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha＝eq\f(1,2)b·hb＝eq\f(1,2)c·hc(ha，hb，hc分別表示a，b，c邊上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)；(3)S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r為內(nèi)切圓半徑)．提示：（2）bcsinAcasinB2．三角形中常用的結(jié)論(1)A＋B＝，eq\f(A＋B,2)＝；(2)在三角形中大邊對大角，反之亦然；(3)隨意兩邊之和大于第三邊，隨意兩邊之差小于第三邊；提示：（1）π－Ceq\f(π,2)－eq\f(C,2)三、合作探究探究點1：航海中的測量問題問題1：:在浩瀚無垠的海面上航行，最重要的是定位和保持航向．閱讀教材，看看船只是如何表達位置和航向的？提示：用方向角和方位角．例1如圖，一艘海輪從A動身，沿北偏東75°的方向航行67.5nmile后到達海島B，然后從B動身，沿北偏東32°的方向航行54.0nmile后到達海島C.假如下次航行干脆從A動身到達C，此船應(yīng)當(dāng)沿怎樣的方向航行，須要航行多少距離？(角度精確到0.1°，距離精確到0.01nmile)解在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，依據(jù)余弦定理，AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC)＝eq\r(67.52＋54.02－2×67.5×54.0×cos137°)≈113.15.依據(jù)正弦定理，eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，sin∠CAB＝eq\f(BCsin∠ABC,AC)≈eq\f(54.0sin137°,113.15)≈0.3255，所以∠CAB＝19.0°，75°－∠CAB＝56.0°.答此船應(yīng)當(dāng)沿北偏東56.0°的方向航行，須要航行113.15nmile.名師點評：解決航海問題一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不動點(三角形頂點)，然后依據(jù)條件，畫出示意圖，轉(zhuǎn)化為解三角形問題．探究點2：三角形面積公式的應(yīng)用問題:1：假如已知底邊和底邊上的高，可以求三角形面積．那么假如知道三角形兩邊及夾角，有沒有方法求三角形面積？提示：在△ABC中，假如已知邊AB、BC和角B，邊BC上的高記為ha，則ha＝ABsinB．從而可求面積．例2在△ABC中，依據(jù)下列條件，求三角形的面積S.(精確到0.1cm2)(1)已知a＝14.8cm，c＝23.5cm，B＝148.5°；(2)已知B＝62.7°，C＝65.8°，b＝3.16cm；(3)已知三邊的長分別為a＝41.4cm，b＝27.3cm，c＝38.7cm.解：(1)應(yīng)用S＝eq\f(1,2)casinB，得S＝eq\f(1,2)×23.5×14.8×sin148.5°≈90.9(cm2)．(2)依據(jù)正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得c＝eq\f(bsinC,sinB)，S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)b2eq\f(sinCsinA,sinB)，A＝180°－(B＋C)＝180°－(62.7°＋65.8°)＝51.5°，S＝eq\f(1,2)×3.162×eq\f(sin65.8°sin51.5°,sin62.7°)≈4.0(cm2)．(3)依據(jù)余弦定理的推論，得cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)＝eq\f(38.72＋41.42－27.32,2×38.7×41.4)≈0.7697，sinB＝eq\r(1－cos2B)≈eq\r(1－0.76972)≈0.6384.應(yīng)用S＝eq\f(1,2)casinB，得S≈eq\f(1,2)×38.7×41.4×0.6384≈511.4(cm2)．名師點評：三角形面積公式S＝eq\f(1,2)absinC，S＝eq\f(1,2)bcsinA，S＝eq\f(1,2)acsinB中含有三角形的邊角關(guān)系．因此求三角形的面積，與解三角形有親密的關(guān)系．首先依據(jù)已知，求出所需，然后求出三角形的面積．例3在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，已知c＝2，C＝eq\f(π,3).若△ABC的面積等于eq\r(3)，求a，b.解由余弦定理及已知條件，得a2＋b2－ab＝4，又因為△ABC的面積等于eq\r(3)，所以eq\f(1,2)absinC＝eq\r(3)，得ab＝4，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2－ab＝4，,ab＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝2.))名師點評：題目條件或結(jié)論中若涉及三角形的面積，要依據(jù)題意敏捷選用三角形的面積公式．四、當(dāng)堂檢測1．一艘海輪從A處動身，以40nmile/h的速度沿南偏東40°方向直線航行，30min后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處視察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處視察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是()A．10eq\r(2)nmile B．10eq\r(3)nmileC．20eq\r(2)nmile D．20eq\r(3)nmile2．已知三角形面積為eq\f(1,4)，外接圓面積為π，則這個三角形的三邊之積為()A．1B．2C.eq\f(1,2)D．43．在△ABC中，已知a＝3eq\r(2)，cosC＝eq\f(1,3)，S△ABC＝4eq\r(3)，則b＝________.提示：1．A2.A3.2eq\r(3)五、課堂小結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)過哪些學(xué)問內(nèi)容?提示：1．在求解三角形中，我們可以依據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩個解，但作為有關(guān)現(xiàn)實生活的應(yīng)用題，必需檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解．2．解三角形的應(yīng)用題時，通常會遇到兩種狀況：(1)已知量與未知量全部集中在一個三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．(2)已知量與未知量涉及兩個或幾個三角形，這時須要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先探討，再逐步在其余的三角形中求出問題的解．六、課例點評數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)之一，數(shù)學(xué)模型搭建了數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式。數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的基本手段