專題52 圖形折疊中的等腰三角形存在性問題(解析版)

專題52圖形折疊中的等腰三角形存在性問題【題型演練】一、解答題1．對(duì)于面積為S的三角形和直線l，將該三角形沿直線l折疊，重合部分的圖形面積記為，定義為該三角形關(guān)于直線l的對(duì)稱度．如圖，將面積為S的ABC沿直線l折疊，重合部分的圖形為，將的面積記為，則稱為ABC關(guān)于直線l的對(duì)稱度．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0，3)，B(－3，0)，C(3，0)．（1）過點(diǎn)M(m，0)作垂直于x軸的直線，①當(dāng)時(shí)，ABC關(guān)于直線的對(duì)稱度的值是：②若ABC關(guān)于直線的對(duì)稱度為1，則m的值是．（2）過點(diǎn)N(0，n)作垂直于y軸的直線，求△ABC關(guān)于直線的對(duì)稱度的最大值．（3）點(diǎn)P(－4，0)滿足，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(t，0)，若存在直線，使得APQ關(guān)于該直線的對(duì)稱度為1，寫出所有滿足題意的整數(shù)t的值．【答案】（1）①；②0；（2）；（3）4或1或-9【分析】（1）①作圖，求出，再根據(jù)定義求值即可；②通過數(shù)形結(jié)合的思想即可得到；（2）根據(jù)求△ABC關(guān)于直線的對(duì)稱度的最大值，即是求最大值即可；（3）存在直線，使得APQ關(guān)于該直線的對(duì)稱度為1，即轉(zhuǎn)變?yōu)锳PQ是等腰三角形，需要分類進(jìn)行討論，分；；，同時(shí)需要滿足t的值為整數(shù)．【詳解】解：（1）①當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意作圖如下：，為等腰直角三角形，，，根據(jù)折疊的性質(zhì)，，，關(guān)于直線的對(duì)稱度的值是：，故答案是：；②如圖：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，有,ABC關(guān)于直線的對(duì)稱度為1，故答案是：0；（2）過點(diǎn)N(0，n)作垂直于y軸的直線，要使得△ABC關(guān)于直線的對(duì)稱度的最大值，則需要使得最大，如下圖：當(dāng)時(shí)，取到最大，根據(jù)，可得為的中位線，，，△ABC關(guān)于直線的對(duì)稱度的最大值為：；（3）若存在直線，使得APQ關(guān)于該直線的對(duì)稱度為1，即為等腰三角形即可，①當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，如下圖：，；②當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，當(dāng)Q在P右側(cè)時(shí)，如下圖：，；同理，當(dāng)Q在P左側(cè)時(shí)，t=-9③當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，如下圖：設(shè)，則，根據(jù)勾股定理：，，解得：，（不是整數(shù)，舍去），綜上：滿足題意的整數(shù)的值為：4或1或-9．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的折疊，對(duì)稱類新概念問題、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是讀懂題干信息，搞懂對(duì)稱度的概念，再結(jié)合數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想進(jìn)行求解．2．如圖1，在中，，，D為AC的中點(diǎn)，E為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，將沿DE翻折，點(diǎn)A落在AC上方點(diǎn)F處，連接EF，CF．(1)判斷∠1與∠2是否相等并說明理由；(2)若與以點(diǎn)C，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形全等，求出的度數(shù)：(3)翻折后，當(dāng)和的重疊部分為等腰三角形時(shí)，直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)，理由見解析(2)70°(3)或或70°【分析】（1）由沿翻折可知，可知為等腰三角形，，，計(jì)算求解即可；（2）與全等，分兩種情況討論；①，，，求的值然后判斷此時(shí)與是否全等，若全等，則的值即為所求；②，，，求的值然后判斷此時(shí)與是否全等，若全等，則的值即為所求；（3）分情況討論①由題意知（2）中時(shí)符合題意，②如圖3，重合部分的等腰三角形中，，，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理即，計(jì)算求解即可；③如圖4，重合部分的等腰三角形，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理即，計(jì)算求解即可.【詳解】（1）解：由沿翻折可知∵為的中點(diǎn)∴∴為等腰三角形∴∵∴∴．（2）解：∵，是等腰三角形，與全等∴①如圖1，當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，為等腰三角形∴，∵∴∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在的下方，不符合題意；又∵，∴與不全等，舍去；②如圖2當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，為等腰三角形∴∴∴四邊形AEFD、CDEF均是平行四邊形∴與全等∴∴當(dāng)時(shí)，與全等，；綜上所述，若與以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形全等，的值為．（3）解：①由（2）中圖2可知當(dāng)時(shí)，在內(nèi)，此時(shí)兩個(gè)三角形的重疊部分為等腰三角形；②如圖3，為與重合的等腰三角形∴，∵，∴∴∴；③如圖4，為與重合的等腰三角形∴∵，∴∴∴；綜上所述，當(dāng)和的重疊部分為等腰三角形時(shí)，的值為或或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形，幾何圖形折疊對(duì)稱，三角形全等，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于正確的分析可能存在的情況．3．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組開展實(shí)踐探究活動(dòng)，將三角形ABC紙片沿某條直線折疊，使其中一個(gè)角的頂點(diǎn)落在一邊上．在△ABC中，AB＝9，BC＝6．(1)如圖1，若∠ACB＝90°，將△ABC沿CM折疊，使點(diǎn)B與邊AB上的點(diǎn)N重合，求BM的長(zhǎng)(2)如圖2，若∠ACB＝2∠A，將△ABC沿CM折疊，使點(diǎn)B與邊AC上的點(diǎn)N重合，①求AC的長(zhǎng)；②若O是AC的中點(diǎn)，P為線段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△APM沿PM折疊得到△A′PM，與相交于點(diǎn)，則的取值范圍為．【答案】(1)；(2)①；②．【分析】（1）由題意得，從而可得，然后證明，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可以求出答案，（2）①由∠ACB＝2∠A及將△ABC沿CM折疊，使點(diǎn)B與邊AC上的點(diǎn)N重合，得，從而論證，利用相似三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例求出答案；②利用折疊得到，從而得到，利用相似三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)最長(zhǎng)為OA的長(zhǎng)，最短為AN的長(zhǎng)，從而求出答案.【詳解】（1）解：如圖1，將△ABC沿CM折疊，使點(diǎn)B與邊AB上的點(diǎn)N重合，，，∠ACB＝90°，，，，，AB＝9，BC＝6，，；（2）解：①如圖2，將△ABC沿CM折疊，使點(diǎn)B與邊AC上的點(diǎn)N重合，BC＝6，，∠ACB＝2∠A，，，，，AB＝9，BC＝6，，；，AB＝9，；，AB＝9，BC＝6，，；②如圖4，將△APM沿PM折疊得到△A′PM，，，，，，，P為線段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，最長(zhǎng)，最短，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)定理找到三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．4．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．(1)如圖1，D為線段BC上一點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)C恰好落在AB邊上，求CD的長(zhǎng)；(2)如圖2，E為線段AB上一點(diǎn)，沿CE翻折△CBE得到△CEB′，若EB′∥AC，求證：AE＝AC；(3)如圖3，D為線段BC上一點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱為點(diǎn)C′，是否存在異于圖1的情況的C′、B、D為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出BC′長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）首先勾股定理得AB=5，再由對(duì)稱性得AC'=AC=4，得BC'=1，在Rt△BC'D中，利用勾股定理列方程即可；（2）由翻折得∠B'=∠B，∠B'CE=∠BCE，再根據(jù)∠AEC=∠B+∠BCE，∠ACE=∠B'CA+∠B'CE，可得∠AEC=∠ACE，從而證明結(jié)論；（3）當(dāng)∠C'BD=90°時(shí)，過點(diǎn)A作AE⊥AC，交BC'延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，設(shè)BC'為x，則C'E=4-x，在Rt△AC'E中，由勾股定理得，（4-x）2+32=42，解方程從而解決問題．(1)解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，∵點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)C′恰好落在AB邊上，∴AC'=AC=4，∴BC'=1，在Rt△BC'D中，由勾股定理得，（3-CD）2=12+CD2，解得：CD=；(2)證明：∵沿CE翻折△CBE得到△CEB′，∴∠B'=∠B，∠B'CE=∠BCE，∵EB'∥AC，∴∠B'=∠B'CA=∠B，∴∠AEC=∠B+∠BCE，∠ACE=∠B'CA+∠B'CE，∴∠AEC=∠ACE，∴AE=AC；(3)存在，BC'=，∵∠ADC＞45°，∴∠BDC'不可能為90°，當(dāng)BC'⊥BC時(shí)，過點(diǎn)A作AE⊥AC，交BC'延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵∠C=∠C'BD=90°=∠E，∴四邊形ACBE為矩形，設(shè)BC'為x，則C'E=4-x，∵△ACD翻折后得到△AC'D，∴AC'=AC=4，∵AE=BC=3，在Rt△AC'E中，由勾股定理得，∴（4-x）2+32=42，解得：x=，∵x＜4，∴x=，即BC′長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了翻折變換，勾股定理，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識(shí)，運(yùn)用勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵，同時(shí)滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想．5．如圖1，已知直線y=﹣2x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、C，以O(shè)A、OC為邊在第一象限內(nèi)作長(zhǎng)方形OABC．(1)求點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；(2)將△ABC對(duì)折，使得點(diǎn)A的與點(diǎn)C重合，折痕交AB于點(diǎn)D，求直線CD的解析式（圖2）；(3)在y軸上是否存在一點(diǎn)P（不與C重合），使得是等腰三角形，若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)A（2，0），C（0，4）(2)(3)存在，或或或【分析】(1)已知直線y=?2x+8與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、C，即可求得A和C的坐標(biāo)；(2)根據(jù)題意可知△ACD是等腰三角形，由折疊的性質(zhì)和勾股定理可求出AD長(zhǎng)，即可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，最后即可求出CD的解析式；(3)分三種性質(zhì)分別計(jì)算，即可找出符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)．(1)解：當(dāng)x=0時(shí)，y=4，C（0，4）；當(dāng)y=0時(shí)，-2x+4=0，解得，A（2，0）；(2)解：∵A（2，0），C（0，4），∴OA=2,OC=4，又∵四邊形OABC是矩形，∴BC=OA=2，AB=OC=4，由折疊性質(zhì)可知：CD=AD．設(shè)AD=x，則CD=x，BD=4﹣x，根據(jù)勾股定理得：，得，解得：，此時(shí)，，，設(shè)直線CD為y=kx+4，把代入得，，解得：∴直線CD解析式為；(3)解：存在y軸上的點(diǎn)P）使得是等腰三角形，理由如下：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,m)，則，，由(2)知，①當(dāng)CP=CD時(shí)，，即，解得或，即點(diǎn)P的坐標(biāo)是或；②當(dāng)DC=DP時(shí)，，即，解得或，即點(diǎn)P的坐標(biāo)是或(舍去)；③當(dāng)PC=PD時(shí)，，

即，解得，即點(diǎn)P的坐標(biāo)是；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合題，主要考查了折疊的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象及其性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．6．問題背景折紙是一種將紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動(dòng)，折紙大約起源于公元1世紀(jì)或者2世紀(jì)時(shí)的中國(guó)，6世紀(jì)時(shí)傳入日本，再經(jīng)由日本傳到全世界，折紙與自然科學(xué)結(jié)合在一起，不僅成為建筑學(xué)院的教具，還發(fā)展出了折紙幾何學(xué)，成為現(xiàn)代幾何學(xué)的一個(gè)分支．今天折紙被應(yīng)用于世界各地，其中比較著名的是日本筑波大學(xué)的芳賀和夫發(fā)現(xiàn)的折紙幾何三定理，它已成為折紙幾何學(xué)的基本定理．芳賀折紙第一定理的操作過程及內(nèi)容如下：第一步：如圖1，將正方形紙片ABCD對(duì)折，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合．再將正方形ABCD展開，得到折痕EF；第二步：將正方形紙片的右下角向上翻折，使點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，邊BC翻折至的位置，得到折痕MN，與AB交于點(diǎn)P．則點(diǎn)P為AB的三等分點(diǎn)，即．問題解決如圖1，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2．(1)CM的長(zhǎng)為______；(2)請(qǐng)通過計(jì)算AP的長(zhǎng)度，說明點(diǎn)P是AB的三等分點(diǎn)．類比探究(3)將長(zhǎng)方形紙片按問題背景中的操作過程進(jìn)行折疊，如圖2，若折出的點(diǎn)P也為AB的三等分點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出的值．【答案】(1)(2)說明見解析(3)【分析】（1）設(shè)，則，，在中，由勾股定理可得：，進(jìn)而得出的長(zhǎng)；（2）先證△AEP∽△DME，由（1）可知：，再求得，即可得出結(jié)論；（3）設(shè)，，，由勾股定理可得：，∽，，即，解得，從而得到解得，得到，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)，則，，在中，由勾股定理可得：，即，解得，∴,故答案為；（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD＝2，∴∠DEM＋∠DME＝90°，由折疊的性質(zhì)可知：∠PEM＝∠C＝90°，∴∠AEP＋∠DEM＝180°－∠PEM＝90°，∴∠AEP＝∠DME，又∵∠A＝∠D＝90°，∴△AEP∽△DME，∴，由（1）可知：，∴，∵E是AD的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴．即點(diǎn)P為AB的三等分點(diǎn)．（3）解：設(shè)，，，在中，由勾股定理可得：，即，，，，，又，∽，,即，即，把代入得，，解得，把代入，解得，（舍去）∵AC2=AB2+BC2∴∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是證明三角形相似.7．綜合與實(shí)踐在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們探究等腰直角三角形中的折疊問題．問題情境：如圖，在中，，，點(diǎn)D在邊AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E在邊BC上運(yùn)動(dòng)．探究發(fā)現(xiàn)：(1)如圖2，當(dāng)沿DE折疊，點(diǎn)B落在邊AC的點(diǎn)處，且時(shí)，發(fā)現(xiàn)四邊形是菱形．請(qǐng)證明；探究拓廣：(2)如圖3，奇異小組同學(xué)的折疊方法是沿DE折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)處，延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，，點(diǎn)G在邊BC上運(yùn)動(dòng)，沿FG折疊使點(diǎn)C落在線段的中點(diǎn)處，求線段DF的長(zhǎng)；探究應(yīng)用：(3)沿DE折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊AC的三等分點(diǎn)處，請(qǐng)借助圖1探究，并直接寫出BD的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)DF的長(zhǎng)是(3)或【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可得，，，再由平行和等角對(duì)等邊可證得，即可證明．（2）由（1）可得四邊形和四邊形是菱形，則可得AF、DF都可以用BD進(jìn)行表示，再用三角函數(shù)列出方程求解即可．（3）分成兩種情況：靠近A點(diǎn)的三等分點(diǎn)和靠近C點(diǎn)的三等分點(diǎn)，然后設(shè)未知數(shù)用勾股定理列方程即可求得．（1）證明：∵沿DE折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)處，∴，∴，，，∵，∴，∴，∴．∴，∴四邊形是菱形．（2）∵，∴，∵，∴，由（1）得，四邊形和四邊形是菱形，∴，，∵的中點(diǎn)是點(diǎn)，∴，∴，在中，，，∴，，∵，∴，在中，，，∴．解得，∴，∴線段DF的長(zhǎng)是．（3）當(dāng)在靠近A點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，，∵沿DE折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，∴設(shè)，則，在中，，，即，解得：，當(dāng)在靠近C點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，，∵沿DE折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，∴設(shè)，則，在中，，，即，解得：，或者．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的折疊性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理以及分類討論的思想方法；熟練掌握?qǐng)D像折疊性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在四邊形OABC中，頂點(diǎn)A（0，2），，，且點(diǎn)B在第一象限，△OAB是等邊三角形．(1)如圖①，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)如圖②，將四邊形OABC沿直線EF折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，求點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)；(3)如圖③，若將四邊形OABC沿直線EF折疊，使，設(shè)點(diǎn)A對(duì)折后所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，△AEF與四邊形EOBF的重疊面積為S，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，m）（0＜m＜1），請(qǐng)直接寫出S與m的函數(shù)關(guān)系式．【答案】(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)(2)點(diǎn)E坐標(biāo)為，點(diǎn)F坐標(biāo)為(3)（0＜m＜1）【分析】（1）根據(jù)A的坐標(biāo)得到OA的長(zhǎng)，由B與C的橫坐標(biāo)相同得到BC垂直于x軸，再由三角形ABO為等邊三角形，得到OA=OB=AB=2，且求出∠OBC為30度，在直角三角形OBC中，利用30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出n的值，即可得點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（0，y），在中，根據(jù)勾股定理列方程即可解出y的值，進(jìn)而得出過F作FM垂直于CB，設(shè)MB=x，求出∠MBF為60度，在直角三角形MBF中，利用30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半表示出FB，再利用勾股定理表示出FM，在直角三角形MCF中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，進(jìn)而求出點(diǎn)F坐標(biāo)；（3）當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，m）（0＜m＜1），可判斷出點(diǎn)A'落在四邊形EOBF外，重合部分面積兩等邊三角形與面積之差，表示出S與m關(guān)系式即可．【詳解】（1）解∶∵，，，BC⊥x軸，OA=2，∵△ABO為等邊三角形，∴OA=OB=AB=2，∴在中，∠BOC=30°，OB=2∴，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)．（2）解∶設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，y），由折疊的性質(zhì)可得，在中，，解得：，則點(diǎn)E坐標(biāo)為，作FM⊥CB于點(diǎn)M，如下圖設(shè)，∵，在中，，，在中，根據(jù)勾股定理得：，解得：，，則點(diǎn)F坐標(biāo)為．（3）解：∵EF∥OB，∴為等邊三角形，∴為等邊三角形，∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，m）（0＜m＜1），此時(shí)點(diǎn)A'落在四邊形EOBF外時(shí)，如下圖所示，由題意可得，，∵，又，是等邊三角形，，，，得（0＜m＜1）【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折變換中折疊的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，牢固掌握以上知識(shí)點(diǎn)和會(huì)作輔助線是做出本題的關(guān)鍵，此題是一道綜合性較強(qiáng)的試題．9．如圖，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，點(diǎn)P在直線OA上運(yùn)動(dòng)，連接PB，將△OBP沿直線BP折疊，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為O′．（1）若AP＝AB，則點(diǎn)P到直線AB的距離是；（2）若點(diǎn)O′恰好落在直線AB上，求△OBP的面積；（3）將線段PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到線段PC，直線PC與直線AB的交點(diǎn)為Q，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一位置，使得△PBQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出OP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）4；（2）或；（3）存在，0或4+4或4﹣4或4【分析】（1）接BP，設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為h，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；（2）①當(dāng)P在的右側(cè)，求OP＝O'P＝AO'＝4﹣4，根據(jù)三角形面積公式可得結(jié)論；②當(dāng)P在的左側(cè)，同理可得結(jié)論；（3）分4種情況：①當(dāng)BQ＝QP時(shí)，如圖2，P與O重合，②當(dāng)BP＝PQ時(shí)，如圖3，③當(dāng)PB＝PQ時(shí)，如圖4，此時(shí)Q與C重合；④當(dāng)PB＝BQ時(shí)，如圖5，此時(shí)Q與A重合，則P與A關(guān)于軸對(duì)稱，根據(jù)圖形和等腰三角形的性質(zhì)可計(jì)算OP的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）連接BP，設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為h，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，∴AB＝＝4，∵AP＝AB，∴AP＝AB＝4，∴S△ABP＝AB?h＝AP?OB，∴h＝OB＝4，即點(diǎn)P到直線AB的距離是4，故答案為：4；（2）存在兩種情況：①如圖1，當(dāng)P在的右側(cè)，點(diǎn)O′恰好落在直線AB上，則OP＝O'P，∠BO'P＝∠BOP＝90°，∵OB＝OA＝4，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB＝4，∠OAB＝45°，由折疊得：∠OBP＝∠O'BP，BP＝BP，∴△OBP≌△O'BP（AAS），∴O'B＝OB＝4，∴AO'＝4﹣4，Rt△PO'A中，O'P＝AO'＝4﹣4＝OP，∴S△BOP＝OB?OP＝＝8﹣8；②如圖所示：當(dāng)P在的左側(cè)，由折疊得：∠PO'B＝∠POB＝90°，O'B＝OB＝4，∵∠BAO＝45°，∴PO'＝PO＝AO'＝4+4，∴S△BOP＝OB?OP＝×4×（4+4）＝8+8；（3）分4種情況：①當(dāng)BQ＝QP時(shí)，如圖2，點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，此時(shí)OP＝0；②當(dāng)BP＝PQ時(shí)，如圖3，∵∠BPC＝45°，∴∠PQB＝∠PBQ＝22.5°，∵∠OAB＝45°＝∠PBQ+∠APB，∴∠APB＝22.5°，∴∠ABP＝∠APB，∴AP＝AB＝4，∴OP＝4+4；③當(dāng)PB＝PQ時(shí)，如圖4，此時(shí)Q與C重合，∵∠BPC＝45°，∴∠PBA＝∠PCB＝67.5°，△PCA中，∠APC＝22.5°，∴∠APB＝45+22.5°＝67.5°，∴∠ABP＝∠APB，∴AB＝AP＝4，∴OP＝4﹣4；④當(dāng)PB＝BQ時(shí)，如圖5，此時(shí)Q與A重合，則P與A關(guān)于對(duì)稱，∴此時(shí)OP＝4；綜上，OP的長(zhǎng)是0或4+4或4﹣4或4．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，作出圖形分類討論是解題的關(guān)鍵．10．定義：若a，b，c是△ABC的三邊，且a2+b2＝2c2，則稱△ABC為“方倍三角形”．（1）對(duì)于①等邊三角形②直角三角形，下列說法一定正確的是．A．①一定是“方倍三角形”B．②一定是“方倍三角形”C．①②都一定是“方倍三角形”D．①②都一定不是“方倍三角形”（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜邊AB＝，則該三角形的面積為；（3）如圖，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P為AC邊上一點(diǎn)，將△ABP沿直線BP進(jìn)行折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，連接CD，AD．若△ABD為“方倍三角形”，且AP＝，求△PDC的面積．【答案】（1）A；（2）；（3）－1【分析】（1）根據(jù)“方倍三角形”定義可得，等邊三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”進(jìn)而可以判斷；（2）設(shè)Rt△ABC其余兩條邊為a，b，滿足a2＋b2＝3，根據(jù)“方倍三角形”定義，還滿足：a2＋3＝2b2，即可得a和b的值，進(jìn)而可得直角三角形的面積；（3）根據(jù)題意可得△ABP≌△DBP，根據(jù)“方倍三角形”定義可得△ABD為等邊三角形，從而證明△APD為等腰直角三角形，可得AP＝DP＝，延長(zhǎng)BP交AD于點(diǎn)E，根據(jù)勾股定理求出BE的長(zhǎng)，根據(jù)△PBC為等腰直角三角形，可得PC＝PB＝，進(jìn)而可以求△PDC的面積．【詳解】解：（1）對(duì)于①等邊三角形，三邊相等，設(shè)邊長(zhǎng)為a，則a2＋a2＝2a2，根據(jù)“方倍三角形”定義可知：等邊三角形一定是“方倍三角形”；對(duì)于②直角三角形，三邊滿足關(guān)系式：a2＋b2＝c2，根據(jù)“方倍三角形”定義可知：直角三角形不一定是“方倍三角形”；故答案為：A；（2）設(shè)Rt△ABC其余兩條邊為a，b，則滿足a2＋b2＝3，根據(jù)“方倍三角形”定義，還滿足：a2＋3＝2b2，聯(lián)立解得，則Rt△ABC的面積為：；故答案為：；（3）由題意可知：△ABP≌△DBP，∴BA＝BD，∠ABP＝∠DBP，根據(jù)“方倍三角形”定義可知：BA2+BD2＝2AD2＝2BA2，∴AD＝AB＝BD，∴△ABD為等邊三角形，∠BAD＝60°，∴∠ABP＝∠DBP＝30°，∴∠PBC＝90°，∵∠CPB＝45°，∴∠APB＝180°﹣45°＝135°，∴∠DPC＝90°，∵∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，∴∠BAC＝15°，∴∠CAD＝45°，∴△APD為等腰直角三角形，∴AP＝DP＝，∴AD＝2，延長(zhǎng)BP交AD于點(diǎn)E，如圖，∵∠ABP＝∠PBD，∴BE⊥AD，PE＝AD＝AE＝1，∴BE＝，∴PB＝BE﹣PE＝﹣1，∵∠CPB＝∠PCB＝45°，∴△PBC為等腰直角三角形，∴PC＝PB＝，∴S△PDC＝PC?PD＝（）×＝﹣1．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換、等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形的性質(zhì)．11．如圖1，在中，，，為邊上的中線．（1）求的長(zhǎng)；（2）動(dòng)點(diǎn)的速度為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，若是以為腰的等腰三角形，請(qǐng)你求出所有滿足條件的的值．②如圖3，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，將沿直線對(duì)折，點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，當(dāng)與重疊部分為直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值為_________【答案】（1）；（2）為或，是以為腰的等腰三角形；（3）當(dāng)與重疊部分為直角三角形時(shí)，，，．【分析】（1）由，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得，，根據(jù)勾股定理得出即可；（2）根據(jù)BP=2t,是以為腰的等腰三角形，分兩種情況；當(dāng)時(shí)，，列方程2t=5；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理得到求出，列方程解方程即可；（3）當(dāng)與重疊部分為直角三角形時(shí)，分三種情況，當(dāng)時(shí)，得出，列方程；當(dāng)時(shí)，PE⊥AC，根據(jù)面積，根據(jù)勾股定理，列方程；當(dāng)時(shí)，交AC于G，EG⊥AC，根據(jù)面積，根據(jù)勾股定理，，設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理得到，再列方程，解方程即可．【詳解】解：（1）∵，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴根據(jù)勾股定理得出；（2）∵動(dòng)點(diǎn)的速度為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，∴BP=2t,∵是以為腰的等腰三角形，分兩種情況；當(dāng)時(shí)，，∴2t=5,∴；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理得到，解得，，∴，∴，綜上所述，為或，是以為腰的等腰三角形；（3）當(dāng)與重疊部分為直角三角形時(shí)，分三種情況，當(dāng)時(shí)，∵AE⊥BC，∴，∴，∵折疊，∴，∴，得出，∴，解得；當(dāng)時(shí)，PE⊥AC，∴S△AEC=，即，在Rt△EPC中根據(jù)勾股定理，，解得；當(dāng)時(shí)，交AC于G，EG⊥AC，∴S△AEC=，即，在Rt△EPC中根據(jù)勾股定理，，設(shè)，則，，在Rt△PGC′中根據(jù)勾股定理，得到，解得，，；綜上所述：當(dāng)與重疊部分為直角三角形時(shí)，，，．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形性質(zhì)，勾股定理，直角三角形性質(zhì)，折疊性質(zhì)，分類思想運(yùn)用，解方一元一次方程，圖形動(dòng)點(diǎn)，本題難度不大，涉及知識(shí)較多，掌握以上知識(shí)，根據(jù)點(diǎn)P的位置畫出準(zhǔn)確圖形是解題關(guān)鍵．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（5，0），以原點(diǎn)O為圓心、3為半徑作⊙O，⊙O與x軸交于點(diǎn)B、C．點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿y軸正半軸運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．連結(jié)AP，將△OAP沿AP翻折，得到△APQ．（1）當(dāng)△OAQ為等邊三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若△ABQ為直角三角形時(shí)，請(qǐng)求出t的值；（3）求△APQ有一邊所在直線與⊙O相切時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值．【答案】（1）（0，）；（2）5；（3）或或或15．【分析】（1）如圖，連接OQ，交PA于D，根據(jù)點(diǎn)A坐標(biāo)可得OA的長(zhǎng)，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得PA垂直平分OQ，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得OQ=OA，∠AOQ=60°，可得∠POQ=30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得PQ=OP，利用勾股定理即可求出OP的長(zhǎng)，即可得點(diǎn)P坐標(biāo)；（2）分∠BAQ=90°，∠AQB=90°，∠ABQ=90°三種情況，根據(jù)折疊的性質(zhì)及勾股定理分別求出OP的長(zhǎng)即可得答案；（3）分AQ與⊙O在x軸上方相切、AP與⊙O相切、PQ所在直線與⊙O相切、AQ所在直線與⊙O在x軸下方相切四種情況，根據(jù)三角形面積公式、勾股定理及相似三角形的性質(zhì)分別求出OP的長(zhǎng)即可得答案．【詳解】（1）如圖，連接OQ，交PA于D，∵點(diǎn)A（5，0），∴OA=5，∵將△OAP沿AP翻折，得到△APQ，∴PA垂直平分OQ，∵△OAQ為等邊三角形，∴OQ=OA=5，∠AOQ=60°，OD=OQ=，∴∠POQ=30°，∴PQ=OP，在Rt△POD中，OP2=OD2+PD2，即OP2=（）2+，解得：OP=，∵點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿y軸正半軸運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，）．（2）①如圖，當(dāng)∠BAQ=90°時(shí)，連接OQ，∵將△OAP沿AP翻折，得到△APQ，∴OA=AQ，OP=PQ，∴△OAQ是等腰直角三角形，∴∠AOQ=45°，∴∠POQ=45°，∴∠POQ=∠PQO=45°，∴∠OPQ=90°，∴四邊形POAQ是正方形，∴OP=OA=5，∵點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿y軸正半軸運(yùn)動(dòng)，∴．②當(dāng)∠AQB=90°時(shí)，∵將△OAP沿AP翻折，得到△APQ，∴OA=AQ=5，OP=PQ，∠AQP=∠AOP=90°，∵∠AQB=90°，∴點(diǎn)B、P、Q三點(diǎn)在同一條直線上，∵以原點(diǎn)O為圓心、3為半徑作⊙O，⊙O與x軸交于點(diǎn)B、C，∴OB=3，∴AB=OB+OA=8，∴BQ===，∴BP=BQ-PQ=BQ-OP，在Rt△OBP中，OP2=BP2-OB2，即OP2=（-OP）2-32，解得：OP=，∵點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿y軸正半軸運(yùn)動(dòng)，∴．③當(dāng)∠ABQ=90°時(shí)，∵A（5，0），點(diǎn)P在y軸正半軸，將△OAP沿AP翻折，得到△APQ，∴點(diǎn)Q在第一象限，∴∠ABQ≠90°，不符合題意，綜上所述：t的值為5或．（3）①如圖，當(dāng)AQ與⊙O在x軸上方相切時(shí)，切點(diǎn)為D，連接OQ、OD，OQ交AP于E，∴OD⊥AQ，∵OA=5，OD=3，∴AD==4，∵將△OAP沿AP翻折，得到△APQ，∴OA=AQ=5，AP垂直平分OQ，∴DQ=AQ-AD=1，∴OQ===，∴OE==，∴S△OAP=，即，∴，在△OAP中，AP2=OP2+OA2，即，解得：OP=，（負(fù)值舍去），∴t=．②如圖，當(dāng)AP與⊙O相切時(shí)，切點(diǎn)為D，連接OD，∴OD⊥AP，∴S△OAP=，即，∴AP=，在△OAP中，AP2=OP2+OA2，即，解得：OP=，∴t=．③如圖，當(dāng)PQ所在直線與⊙O相切時(shí)，切點(diǎn)為D，與x軸交于F，∴OQ⊥QF，∵∠AQP=90°，∴OD//AQ，∴△OFD∽△AFQ，∴，即，解得：，∵S△OPF=，即，∴，在Rt△OPF中，PF2=OP2+OF2，即，解得：，∴．④當(dāng)AQ所在直線與⊙O在x軸下方相切時(shí)，切點(diǎn)為D，連接OQ，與AP交于G，∴OD⊥QD，∴AD==4，∴QD=AD+AQ=9，∴OQ==，∵AP垂直平分OQ，∴OG=，∴S△AOP=，即，∴，在Rt△AOP中，AP2=OA2+OP2，即，解得：OP=15，∴t=15．綜上所述：△APQ有一邊所在直線與⊙O相切時(shí)t的值為或或或15．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)、切線的性質(zhì)相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理，靈活運(yùn)用分類討論的思想是解題關(guān)鍵．13．（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖①，在RtABC中，∠C＝2∠B＝90°，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，沿AD折疊ADC，使得點(diǎn)C恰好落在AB上的點(diǎn)E處，請(qǐng)寫出AB、AC、CD之間的關(guān)系？并說明理由．（2）問題解決：如圖②，若（1）中∠C≠90°，其他條件不變，請(qǐng)猜想AB、AC、CD之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）類比探究：如圖③，在四邊形ABCD中，∠B＝120°，∠D＝90°，AB＝BC，AD＝BC，連接AC，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)，沿AE折疊，使得點(diǎn)D正好落在AC上的點(diǎn)F處，若BC＝3，求出DE的長(zhǎng)．【答案】（1），理由見解析；（2），理由見解析；（3）【分析】（1）由翻折的性質(zhì)可知：，，然后證明為等腰直角三角形，從而得到，故此可證得；（2）由翻折的性質(zhì)得到，，，由三角形外角的性質(zhì)可證明，從而得到，于是可證明；（3）過點(diǎn)作，垂足為，由直角三角形性質(zhì)和勾股定理可求得的長(zhǎng)，從而得到的長(zhǎng)，設(shè)，則，，求解即可．根據(jù)，建立方程求解即可．【詳解】解：（1）．理由如下：如圖①，，，由翻折的性質(zhì)可知：，，，∴，，，，，，，，；（2）．理由如下：如圖②，由翻折的性質(zhì)得：，，，，，，，，，；（3）如圖，過點(diǎn)作，垂足為．，，．，，，在中，，，，．．在中，，，，，由折疊得：，，，，，設(shè)，則，，在中，，，解得：，的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題是三邊形綜合題，主要考查的是翻折的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、等腰三角形三線合一的性質(zhì)、直角三角形性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，靈活運(yùn)用相關(guān)圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．我們知道平行四邊形有很多性質(zhì),現(xiàn)在如果我們把平行四邊形沿著它的一條對(duì)角線翻折，會(huì)發(fā)現(xiàn)這其中還有更多的結(jié)論．【發(fā)現(xiàn)與證明】中，，將沿翻折至，連結(jié)．結(jié)論1：與重疊部分的圖形是等腰三角形．結(jié)論2：；……(1)請(qǐng)利用圖1證明結(jié)論1或結(jié)論2；【應(yīng)用與探究】在中，已知，將沿翻折至，連結(jié)．(2)如圖，若，，則_____，_____；(3)已知，當(dāng)長(zhǎng)為多少時(shí)，是直角三角形？請(qǐng)直接寫出答案【答案】(1)證明見解析；(2)45，；(3)2或3或4或6．【分析】(1)結(jié)論1的證明：根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠DAC=∠ACB，根據(jù)折疊對(duì)應(yīng)角相等得到∠ACB=∠ACB’，進(jìn)而得到∠DAC=∠ACB’即可證明；結(jié)論2的證明：由折疊得到CB=CB’，由平行四邊形ABCD得到BC=AD，由此得到CB’=AD，由結(jié)論1得到ED=EB’，由此∠EB’D=∠EDB’，∠EAC=∠ECA，由對(duì)頂角相等得到∠AEC=∠DEB’，由此即可證明；(2)根據(jù)對(duì)折的性質(zhì)求得∠AB’C=30°，從而求得∠CB’D=45°，由于B’D∥AC，得出∠ACB’=∠CB’D=45°，進(jìn)而即可求得∠ACB=45°；作AG⊥BC于G，根據(jù)解直角三角形即可求得BC；(3)分或或三種情況分類討論．【詳解】解：(1)結(jié)論1的證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠EAC=∠ACB，由折疊知，∠ACB=∠ACB'，∴∠EAC=∠ACB'，∴AE=CE，即△ACE是等腰三角形；結(jié)論2的證明：由折疊知，BC=B'C，AD=BC，∴B'C=AD，由結(jié)論1可知：AE=CE，∴DE=B'E，∴，∵，∴，且，∴，∴；(2)在?ABCD中，∠B=30°，將△ABC沿AC翻折至△AB’C，∴∠AB’C=30°，∵∠AB’D=75°，∴∠CB’D=45°，∵B’D∥AC，∴∠ACB’=∠CB’D=45°，∵∠ACB=∠ACB’，∴∠ACB=45°；作AG⊥BC于G，如下圖所示：∴AG=CG，∵∠B=30°，∴，，∴，故答案為：45°，；(3)∵AD=BC，BC=B’C，∴AD=B’C，∵AC∥B’D，∴四邊形ACB’D是等腰梯形，∵∠B=30°，∴∠AB’C=∠CDA=30°，∵△AB’D是直角三角形，當(dāng)∠B’AD=90°，AB＞BC時(shí)，設(shè)∠ADB’=∠CB’D=y，∴∠AB’D=y-30°，∵∠AB’D+∠ADB’=90°，∴y-30°+y=90°，解得y=60°，∴∠AB’D=y-30°=30°，∴AB’=AB=，∴，∴BC=2；當(dāng)∠ADB’=90°，AB＞BC時(shí)，如下圖，∵AD=BC，BC=B’C，∴AD=B’C，∵AC∥B’D，∴四邊形ACB’D是等腰梯形，∵∠ADB’=90°，∴四邊形ACB’D是矩形，∴∠ACB’=90°，∴∠ACB=90°，∵∠B=30°，AB=，∴，當(dāng)∠B’AD=90°且AB＜BC時(shí)，如下圖，∵AD=BC，BC=B’C，∴AD=B’C，∵AC∥B’D，∠B’AD=90°，∴∠B’GC=90°，∵∠B=30°，AB=，∴∠AB′C=30°，∴，G是BC的中點(diǎn)，在Rt△ABG中，，∴BC=6；當(dāng)∠AB’D=90°時(shí)，如下圖所示，∵AD=BC，BC=B’C，∴AD=B’C，∵AC∥B’D，∴四邊形ACDB’是等腰梯形，∵∠AB’D=90°，∴四邊形ACDB’是矩形，∴∠BAC=90°，∵∠B=30°，AB=，∴，∴當(dāng)BC的長(zhǎng)為2或3或4或6時(shí)，△AB’D是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，直角三角形等問題，本題難度較大，熟練掌握折疊圖形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在平行四邊形紙片ABCD中，AD＝6cm，將紙片沿對(duì)角線BD對(duì)折，邊AB的對(duì)應(yīng)邊BF與CD邊交于點(diǎn)E，此時(shí)△BCE恰為等邊三角形．（1）求AB的長(zhǎng)度；（2）重疊部分的面積為；（3）將線段BC沿射線BA方向移動(dòng)，平移后的線段記作B'C'，請(qǐng)直接寫出B'F+C'F的最小值．【答案】（1）12cm；（2）cm2；（3）【分析】（1）證明A，D，F(xiàn)共線，△ABF是等邊三角形即可解決問題．（2）根據(jù)S△DEB=S△DCB求解即可．（3）首先判定四邊形ADC′B′是平行四邊形，得到C′F=B′D，作點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D′，可判斷當(dāng)F，B′，D′共線時(shí)，C′F+B′F最短，即為DF′，過F作FH⊥DG，垂足為H，在△D′HF中利用勾股定理求出D′F的長(zhǎng)即可．【詳解】解：（1）∵△BCE是等邊三角形，∴∠C=60°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A=∠C=60°，CD∥AB，∴∠EDB=∠DBA，由翻折可知，∠ABD=∠DBF，∴∠EDB=∠EBD，∴ED=EB=EC，∴∠DCB=90°，∵AD∥BC，∴BD⊥AF，∴A，D，F(xiàn)共線，AD=DF=6cm，∵BA=BF，∠A=60°，∴△ABF是等邊三角形，∴AB=AF=12cm；（2）∵∠DBC=90°，BC=AD=6cm，∠C=60°，∴BD=BC=cm，∵DE=EC，∴S△DEB=S△DCB=××6×=cm2；（3）由平移可知：BC=B′C′，BC∥B′C′，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC，∴AD=B′C′，AD∥B′C′，∴四邊形ADC′B′是平行四邊形，∴C′F=B′D，作點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D′，則B′D=B′D′，即C′F+B′F=B′D′+B′F，當(dāng)F，B′，D′共線時(shí)，C′F+B′F最短，即為DF′，∵△ABF是等邊三角形，∴∠A=60°，∴AG=3，DG===D′G，過F作FH⊥DG，垂足為H，同理可求：GH=，∴HD′=HG+D′G=，∵AB∥CD，∴∠A=∠FDE=∠F=60°，∴HF=DF=3，∴D′F==，即C′F+B′F的最小值為．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，翻折變換，最短路徑，等邊三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，直角三角形30°角所對(duì)的邊等于斜邊的一半．16．定義：有三個(gè)角相等的四邊形叫做三等角四邊形．（1）在三等角四邊形中，，則的取值范圍為_______；（2）如圖，折疊平行四邊形，使得頂點(diǎn)分別落在邊上的點(diǎn)處，折痕為．求證：四邊形為三等角四邊形；（3）如圖，在三等角四邊形中，，若，，，則的長(zhǎng)度為_______．【答案】（1）；（2）見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和是360°，根據(jù)0＜∠D＜180°即可確定出∠A的范圍；（2）由平行四邊形的性質(zhì)可得∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠E=∠DAE，∠F=∠DCF，再根據(jù)等角的補(bǔ)角相等，判斷出∠DAB=∠DCB=∠ABC即可得結(jié)論；（3）如圖，過點(diǎn)D作DE//BC，交BA延長(zhǎng)線于E，作DF//AB，交BC延長(zhǎng)線于F，作DG⊥BE于G，DH⊥BF于H，可得四邊形DEBF是平行四邊形，根據(jù)及平行四邊形的性質(zhì)可得AD=DE=BF=，CD=DF=7，可求出AE的長(zhǎng)，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得AG=EG=AE=1，CH=HF=CF，利用勾股定理可得DG的長(zhǎng)，利用平行四邊形的面積可求出DH的長(zhǎng)，利用勾股定理可求出CH的長(zhǎng)，進(jìn)而求出CF的長(zhǎng)，即可求出BC的長(zhǎng)．【詳解】（1）∵四邊形的內(nèi)角和為（4-2）×180°=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∵，0＜∠D＜180°，∴180°＜3∠A＜360°，∴，故答案為：（2）∵四邊形為平行四邊形，∴，，∵折疊平行四邊形，使得頂點(diǎn)分別落在邊上的點(diǎn)處，∴DE=DA，DF=DC，∴，∵，，，∴，∴四邊形是三等角四邊形（3）如圖，過點(diǎn)D作DE//BC，交BA延長(zhǎng)線于E，作DF//AB，交BC延長(zhǎng)線于F，作DG⊥BE于G，DH⊥BF于H，∴四邊形DEBF是平行四邊形，∴DE=BF，DF=BE，∠B+∠E=180°，∠B+∠F=180°，∠E=∠F，∵∠DAB=∠B=∠BCD，∠DAE+∠DAB=180°，∠DCB+∠DCF=180°，∴∠DAE=∠E=∠DCF=∠F，∴AD=DE=BF=，CD=DF=7，∴AE=BE-AB=CD-AB=2，∵DG⊥BE，DH⊥BF，∴AG=EG=AE=1，CH=HF=CF，∴DG=，∴S平行四邊形DEBF=BE·DG=BF·DH，即7×5=DH，解得：DH=，∴CH==，∴CF=2CH=，∴BC=BF-CF=．故答案為：【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了三等角四邊形的判定與性質(zhì)，翻折變換-折疊問題，四邊形的內(nèi)角和定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；證明三角形全等和運(yùn)用勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．17．綜合與實(shí)踐，問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖①，在中，，垂足為，為的中點(diǎn)，連接，，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答老師提出的問題；實(shí)踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將沿著（為的中點(diǎn)）所在直線折疊，如圖②，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將沿過點(diǎn)的直線折疊，如圖③，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，使于點(diǎn)，折痕交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．該小組提出一個(gè)問題：若此的面積為20，邊長(zhǎng)，，求圖中陰影部分（四邊形）的面積．請(qǐng)你思考此問題，直接寫出結(jié)果．【答案】（1）；見解析；（2），見解析；（3）．【分析】（1）如圖，分別延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)P，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，利用AAS可證明△PDF≌△BCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得，即可得；（2）根據(jù)折疊性質(zhì)可得∠CFB=∠C′FB=∠CFC′，F(xiàn)C=FC′，可得FD=FC′，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠FDC′=∠FC′D，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠CFC′=∠FDC′+∠FC′D，即可得出∠C′