專題01 全等模型-倍長(zhǎng)中線與截長(zhǎng)補(bǔ)短（解析版）

專題01全等模型-倍長(zhǎng)中線與截長(zhǎng)補(bǔ)短全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就全等三角形中的重要模型（倍長(zhǎng)中線模型、截長(zhǎng)補(bǔ)短模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.倍長(zhǎng)中線模型【模型解讀】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時(shí)，常常采用“倍長(zhǎng)中線法”添加輔助線．所謂倍長(zhǎng)中線法，就是將三角形的中線延長(zhǎng)一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來解決問題的方法．（注：一般都是原題已經(jīng)有中線時(shí)用，不太會(huì)有自己畫中線的時(shí)候）。【常見模型及證法】1、基本型：如圖1，在三角形ABC中，AD為BC邊上的中線.證明思路：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使得AD=DE.若連結(jié)BE，則；若連結(jié)EC，則；2、中點(diǎn)型:如圖2，為的中點(diǎn).證明思路：若延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連結(jié)，則;若延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連結(jié)，則.3、中點(diǎn)+平行線型：如圖3,，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).證明思路：延長(zhǎng)交于點(diǎn)(或交延長(zhǎng)線于點(diǎn))，則.例1．（2023·成都市·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）【閱讀理解】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連結(jié)BE．請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：(1)由已知和作圖能得到的理由是（

）．A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．ASA(2)AD的取值范圍是（

）．A．

B．

C．

D．(3)【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中．【問題解決】如圖，AD是△ABC的中線，BE交AC于點(diǎn)E，交AD于F，且AE＝EF．求證：AC＝BF．【答案】(1)B(2)C(3)見解析【分析】（1）根據(jù)AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可；（2）根據(jù)全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三邊關(guān)系定理得出8-6＜2AD＜8+6，求出即可；（3）延長(zhǎng)AD到M，使AD=DM，連接BM，根據(jù)SAS證△ADC≌△MDB，推出BM=AC，∠CAD=∠M，根據(jù)AE=EF，推出∠CAD=∠AFE=∠BFD，求出∠BFD=∠M，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出即可．（1）∵在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），故選B；（2）∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE=AC=6，AE=2AD，∵在△ABE中，AB=8，由三角形三邊關(guān)系定理得：8-6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故選：C．（3）延長(zhǎng)AD到點(diǎn)M，使AD＝DM，連接BM．∵AD是△ABC中線∴CD＝BD∵在△ADC和△MDB中∴∴BM＝AC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）∠CAD＝∠M（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE（等邊對(duì)等角）∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠M，∴BF＝BM（等角對(duì)等邊）又∵BM＝AC，∴AC＝BF．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線，三角形的三邊關(guān)系定理，等腰三角形性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力．例2．（2022·河南南陽·中考模擬）【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第69頁的部分內(nèi)容：如圖，在中，D是邊BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)C畫直線CE，使，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求證：證明∵（已知）∴，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．在與中，∵，（已證），（已知），∴，∴（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．（1）【方法應(yīng)用】如圖①，在中，，，則BC邊上的中線AD長(zhǎng)度的取值范圍是______．（2）【猜想證明】如圖②，在四邊形ABCD中，，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是的平分線，試猜想線段AB、AD、DC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）【拓展延伸】如圖③，已知，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段AE上，，若，，求出線段DF的長(zhǎng)．【答案】（1）1＜AD＜5；（2）AD=AB+DC．理由見解析；（3）DF=3．【分析】（1）延長(zhǎng)AD到E，使AD=DE，連接BE，證△ADC≌△EDB，推出AC=BE=4，在△ABE中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出AB-BE＜AE＜AB+BE，代入求出即可；（2）結(jié)論：AD=AB+DC．延長(zhǎng)AE，DC交于點(diǎn)F，證明△ABE≌△FEC（AAS），推出AB=CF，再證明DA=DF即可解決問題；（3）如圖③，延長(zhǎng)AE交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，證明AB=DF+CF，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）延長(zhǎng)AD到E，使AD=DE，連接BE，∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE=4，在△ABE中，AB-BE＜AE＜AB+BE，∴6-4＜2AD＜6+4，∴1＜AD＜5，故答案為：1＜AD＜5；（2）結(jié)論：AD=AB+DC．理由：如圖②中，延長(zhǎng)AE，DC交于點(diǎn)F，∵AB∥CD，∴∠BAF=∠F，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴CF=AB，∵AE是∠BAD的平分線，∴∠BAF=∠FAD，∴∠FAD=∠F，∴AD=DF，∵DC+CF=DF，∴DC+AB=AD；（3）如圖③，延長(zhǎng)AE交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵E是BC的中點(diǎn)，∴CE=BE，∵AB∥CF，∴∠BAE=∠G，在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC（AAS），∴AB=GC，∵∠EDF=∠BAE，∴∠FDG=∠G，∴FD=FG，∴AB=DF+CF，∵AB=5，CF=2，∴DF=AB-CF=3．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．例3．（2022·貴州畢節(jié)·二模）課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：(1)如圖1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考幫小明完成解答過程．(2)如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．請(qǐng)判昕AC與BF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)AC=BF，理由見解析【解析】（1）解：如圖，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE，在△ADC和△EDB中∵，∴△ADC≌△EDB（SAS）．∴BE=AC=3．∵AB-BE<AE<AB+BE∵2<AE<8．∵AE=2AD∴1<AD<4．（2）AC=BF，理由如下：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G，使GD=AD，連接BG，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（SAS）．∴BG=AC，∠G=∠DAC．．∵AE=EF∴∠AFE=∠FAE．∴∠DAC=∠AFE=∠BFG∴∠G=∠BFG∴BG=BF∴AC=BF．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形判定與性質(zhì)，三角形三邊的關(guān)系，作輔助線：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．例4．（2022·山東·安丘市一模）閱讀材料：如圖1，在中，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，小亮在證明“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時(shí)，通過延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使，連接CF，證明，再證四邊形DBCF是平行四邊形即得證．類比遷移：（1）如圖2，AD是的中線，E是AC上的一點(diǎn)，BE交AD于點(diǎn)F，且，求證：．小亮發(fā)現(xiàn)可以類比材料中的思路進(jìn)行證明．證明：如圖2，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)M，使，連接MC，……請(qǐng)根據(jù)小亮的思路完成證明過程．方法運(yùn)用：（2）如圖3，在等邊中，D是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)），連接AD．把線段CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段DE，F(xiàn)是線段BE的中點(diǎn)，連接DF、CF．請(qǐng)你判斷線段DF與AD的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．【答案】（1）證明見解析；（2），證明見解析【分析】(1)延長(zhǎng)AD至M，使，連接MC，證明，結(jié)合等角對(duì)等邊證明即可．(2)延長(zhǎng)DF至點(diǎn)M，使，連接BM、AM，證明，△ABM是等邊三角形，代換后得證．【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)AD至M，使，連接MC．在和中，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴．（2）線段DF與AD的數(shù)量關(guān)系為：．證明如下：延長(zhǎng)DF至點(diǎn)M，使，連接BM、AM，如圖2所示：∵點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)，∴在和中，∵，∴∴，，∴∵線段CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段DE∴，，∴∵是等邊三角形∵，，∴∵，∴在和中，∵，∴∴，，∴∴是等邊三角形，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．模型2.截長(zhǎng)補(bǔ)短模型【模型解讀】截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系。該類題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關(guān)鍵詞句，可以采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形來完成證明過程，截長(zhǎng)補(bǔ)短法（往往需證2次全等）。截長(zhǎng)：指在長(zhǎng)線段中截取一段等于已知線段；補(bǔ)短：指將短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于已知線段。【常見模型及證法】（1）截長(zhǎng)：在較長(zhǎng)線段上截取一段等于某一短線段，再證剩下的那一段等于另一短線段。例：如圖，求證BE+DC=AD方法：=1\*GB3①在AD上取一點(diǎn)F，使得AF=BE，證DF=DC；=2\*GB3②在AD上取一點(diǎn)F，使DF=DC，證AF=BE（2）補(bǔ)短：將短線段延長(zhǎng)，證與長(zhǎng)線段相等例：如圖，求證BE+DC=AD方法：=1\*GB3①延長(zhǎng)DC至點(diǎn)M處，使CM=BE，證DM=AD；=2\*GB3②延長(zhǎng)DC至點(diǎn)M處，使DM=AD，證CM=BE例1．（2022秋·山東八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，平分平分；（1）求與的數(shù)量關(guān)系，并說明你的理由．（2）若把條件去掉，則（1）中與的數(shù)量關(guān)系還成立嗎?并說明你的理由．【答案】（1），見解析；（2）成立，見解析【分析】（1）先寫出數(shù)量關(guān)系，過作于，然后證明和，便可得結(jié)論了．（2）成立,在上截取證明和，便可得到結(jié)論．【詳解】理由是：過作于∵CE為角平分線同理可證成立理由：在上截取∵CE為角平分線

又又是角平分線例2．（2022秋·重慶市·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，平分．（1）如圖1，若，求證：；（2）如圖2，若，求的度數(shù)；（3）如圖3，若，求證：．【答案】（1）見詳解；（2）108°；（3）見詳解【分析】（1）如圖1，過D作DM⊥AB于M，由CA＝CB，，得是等腰直角三角形，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CD＝MD，∠ABC＝45°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC＝AM，于是得到結(jié)論；（2）如圖2，設(shè)∠ACB＝α，則∠CAB＝∠CBA＝90°?α，在AB上截取AK＝AC，連結(jié)DK，根據(jù)角平分線的定義得到∠CAD＝∠KAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ACD＝∠AKD＝α，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；（3）如圖3，在AB上截取AH＝AD，連接DH，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAB＝∠CBA＝40°，根據(jù)角平分線的定義得到∠HAD＝∠CAD＝20°，求得∠ADH＝∠AHD＝80°，在AB上截取AK＝AC，連接DK，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到DH＝BH，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）如圖1，過D作DM⊥AB于M，∴在中，，∴∠ABC＝45°，∵∠ACB＝90°，AD是角平分線，∴CD＝MD，∴∠BDM＝∠ABC＝45°，∴BM＝DM，∴BM＝CD，在RT△ADC和RT△ADM中，，∴RT△ADC≌RT△ADM（HL），∴AC＝AM，∴AB＝AM＋BM＝AC＋CD，即AB＝AC＋CD；（2）設(shè)∠ACB＝α，則∠CAB＝∠CBA＝90°?α，在AB上截取AK＝AC，連結(jié)DK，如圖2，∵AB＝AC＋BD，AB=AK+BK∴BK＝BD，∵AD是角平分線，∴∠CAD＝∠KAD，在△CAD和△KAD中，∴△CAD≌△KAD（SAS），∴∠ACD＝∠AKD＝α，∴∠BKD＝180°?α，∵BK＝BD，∴∠BDK＝180°?α，∴在△BDK中，180°?α＋180°?α＋90°?α＝180°，∴α＝108°，∴∠ACB＝108°；（3）如圖3，在AB上截取AH＝AD，連接DH，∵∠ACB＝100°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝40°，∵AD是角平分線，∴∠HAD＝∠CAD＝20°，∴∠ADH＝∠AHD＝80°，在AB上截取AK＝AC，連接DK，由（1）得，△CAD≌△KAD，∴∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，∴∠DKH＝80°＝∠DHK，∴DK＝DH＝CD，∵∠CBA＝40°，∴∠BDH＝∠DHK-∠CBA=40°，∴DH＝BH，∴BH＝CD，∵AB＝AH＋BH，∴AB＝AD＋CD．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·廣西·九年級(jí)專題練習(xí)）在四邊形ABDE中，C是BD邊的中點(diǎn)．(1)如圖（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，則線段AE、AB、DE的長(zhǎng)度滿足的數(shù)量關(guān)系為；（直接寫出答案）；(2)如圖（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，則線段AB、BD、DE、AE的長(zhǎng)度滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明．【答案】(1)AE=AB+DE；(2)猜想：AE=AB+DE+BD，證明見解析．【分析】（1）在AE上取一點(diǎn)F，使AF=AB，由三角形全等的判定可證得△ACB≌△ACF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BC=FC，∠ACB=∠ACF，根據(jù)三角形全等的判定證得△CEF≌△CED，得到EF=ED，再由線段的和差可以得出結(jié)論；（2）在AE上取點(diǎn)F，使AF=AB，連接CF，在AE上取點(diǎn)G，使EG=ED，連接CG，根據(jù)全等三角形的判定證得△ACB≌△ACF和△ECD≌△ECG，由全等三角形的性質(zhì)證得CF=CG，進(jìn)而證得△CFG是等邊三角形，就有FG=CG=BD，從而可證得結(jié)論．【詳解】（1）AE=AB+DE；理由：在AE上取一點(diǎn)F，使AF=AB．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS），∴BC=FC，∠ACB=∠ACF．∵C是BD邊的中點(diǎn)，∴BC=CD，∴CF=CD．∵∠ACE=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°，∴∠ECF=∠ECD．在△CEF和△CED中，，∴△CEF≌△CED（SAS），∴EF=ED．∵AE=AF+EF，∴AE=AB+DE．故答案為：AE=AB+DE；（2）猜想：AE=AB+DE+BD．證明：在AE上取點(diǎn)F，使AF=AB，連結(jié)CF，在AE上取點(diǎn)G，使EG=ED，連結(jié)CG．∵C是BD邊的中點(diǎn)，∴CB=CD=BD．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS），∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA，同理可證：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE．∵CB=CD，∴CG=CF．∵∠ACE=120°，∴∠BCA+∠DCE=180°﹣120°=60°，∴∠FCA+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，∴△FGC是等邊三角形，∴FG=FC=BD．∵AE=AF+EG+FG，∴AE=AB+DE+BD．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，能熟練應(yīng)用三角形全等的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．例4．（2022秋·綿陽市·八年級(jí)期末）（1）閱讀理解：?jiǎn)栴}：如圖1，在四邊形中，對(duì)角線平分，．求證：．思考：“角平分線+對(duì)角互補(bǔ)”可以通過“截長(zhǎng)、補(bǔ)短”等構(gòu)造全等去解決問題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題；方法2：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題．結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．（2）問題解決：如圖2，在（1）的條件下，連接，當(dāng)時(shí)，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）問題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)E，請(qǐng)直接寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）證明見解析；（2）；理由見解析；（3）．【分析】（1）方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題；方法2：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題；（2）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，證明，可得，即（3）連接，過點(diǎn)作于，證明，，進(jìn)而根據(jù)即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）方法1：在上截，連接，如圖．平分，．在和中，，，，．，．．，．方法2：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，如圖．平分，．在和中，，．，．，．，，．（2）、、之間的數(shù)量關(guān)系為：．（或者：，）．延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，如圖2所示．由（1）可知，．為等邊三角形．，．，．．，為等邊三角形．，．，，即．在和中，，．，，．（3），，之間的數(shù)量關(guān)系為：．（或者：，）解：連接，過點(diǎn)作于，如圖3所示．，．．在和中，，，，．在和中，，．，，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練：1．（2022·四川成都·八年級(jí)期中）如圖中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，則的面積是______．【答案】30【分析】延長(zhǎng)至，使，連接CE，得到，證明，得到，進(jìn)而證明，即可求出△ABC面積．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)至，使，連接CE，∴，∴在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，．故答案為：30【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的全等，勾股定理逆定理等知識(shí)，根據(jù)中點(diǎn)的意義添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．2．（2022·北京·中考真題）在中，，D為內(nèi)一點(diǎn)，連接，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得(1)如圖1，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，，若，求證：；(2)連接，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，依題意補(bǔ)全圖2，若，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)見解析(2)；證明見解析【分析】（1）先利用已知條件證明，得出，推出，再由即可證明；（2）延長(zhǎng)BC到點(diǎn)M，使CM＝CB，連接EM，AM，先證，推出，通過等量代換得到，利用平行線的性質(zhì)得出，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可得到．(1)證明：在和中，，∴，∴，∴，∵，∴．(2)解：補(bǔ)全后的圖形如圖所示，，證明如下：延長(zhǎng)BC到點(diǎn)M，使CM＝CB，連接EM，AM，∵，CM＝CB，∴垂直平分BM，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆用，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等，第二問有一定難度，正確作輔助線，證明是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，與有一條公共邊AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，則∠BAD=________．（用含有x的代數(shù)式表示）【答案】180°-2x【分析】在CD上截取CE=CB，證明△ABC≌△AEC得AE=AB，∠B=∠AEC,可進(jìn)一步證明∠D+∠B=180°,再根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理可得結(jié)論．【詳解】解：在CD上截取CE=CB，如圖所示，在△ABC和△AEC中，∴△ABC≌△AEC(SAS)∴AE=AB，∠B=∠AEC,∵AB=AD，∴AD=AE，∴∠D=∠AED，∵∠AED+∠AEC=180°，∴∠D+∠B=180°，∵∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°∴∠DAB+∠BCD=360°-∠ABC-∠CDA=360°-180°=180°，∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=x+x=2x∴∠DAB=180°-∠BCD=180°-2x故答案為：180°-2x【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及四邊形的內(nèi)角和等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解答此題的難點(diǎn)．4．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)階段練習(xí)）我們規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補(bǔ)的兩個(gè)三角形叫兄弟三角形．如圖，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列問題：(1)求證：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)“取BD的中點(diǎn)P，連接OP，試說明AC＝2OP．”聰明的小王同學(xué)根據(jù)所要求的結(jié)論，想起了老師上課講的“中線倍長(zhǎng)”的輔助線構(gòu)造方法，解決了這個(gè)問題，按照這個(gè)思路回答下列問題．①請(qǐng)?jiān)趫D中通過作輔助線構(gòu)造△BPE≌△DPO，并證明BE＝OD；②求證：AC＝2OP．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②見解析【分析】（1）證出∠AOC+∠BOD=180°，由兄弟三角形的定義可得出結(jié)論；（2）①延長(zhǎng)OP至E，使PE=OP，證明△BPE≌△DPO（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出BE=OD；②證明△EBO≌△COA（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出OE=AC，則可得出結(jié)論．（1）證明：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC+∠BOD=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°，又∵AO=OB，OC=OD，∴△OAC和△OBD是兄弟三角形；（2）①證明：延長(zhǎng)OP至E，使PE=OP，∵P為BD的中點(diǎn)，∴BP=PD，又∵∠BPE=∠DPO，PE=OP，∴△BPE≌△DPO（SAS），∴BE=OD；②證明：∵△BPE≌△DPO，∴∠E=∠DOP，∴BEOD，∴∠EBO+∠BOD=180°，又∵∠BOD+∠AOC=180°，∴∠EBO=∠AOC，∵BE=OD，OD=OC，∴BE=OC，又∵OB=OA，∴△EBO≌△COA（SAS），∴OE=AC，又∵OE=2OP，∴AC=2OP．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了新定義兄弟三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．5．（2022·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在中，是邊的中線，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，．（1）求證；（2）如圖2，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，求的值．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，可證，由全等三角形的性質(zhì)從而得出，根據(jù)題目已知，可證，由全等三角形的性質(zhì)從而得出，等量代換即可得出答案；（2）如圖所示，作，可證，由全等三角形的性質(zhì)相等角從而得出，進(jìn)而得出，故可證等量轉(zhuǎn)化即可求出的值．【詳解】（1）如圖1所示，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，在與中，，，，，，在與中，,，，；（2）如圖所示，，，平分，，，，，，作，在與中，，，，，在與中，，，，，，設(shè)，，，．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的綜合應(yīng)用，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022·浙江臺(tái)州·八年級(jí)階段練習(xí)）八年級(jí)一班數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動(dòng)，請(qǐng)你和他們一起活動(dòng)吧．(1)【閱讀理解】如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍．小聰同學(xué)是這樣思考的：延長(zhǎng)至E，使，連接．利用全等將邊轉(zhuǎn)化到，在中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線的取值范圍．在這個(gè)過程中小聰同學(xué)證三角形全等用到的判定方法是______；中線的取值范圍是______．(2)【理解與應(yīng)用】如圖2，在中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)M在邊上，點(diǎn)N在邊上，若．求證：．(3)【問題解決】如圖3，在中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，，其中，連接，探索與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)；(2)證明見解析(3)，理由見解析【分析】（1）由證明得出，在中，由三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接、，同（1）得：，由全等三角形的性質(zhì)得出，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出，在中，由三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；（3）延長(zhǎng)至，使，連接，由（1）得：，由全等三角形的性質(zhì)得出，，證出，證明得出，則．（1）解：延長(zhǎng)至E，使，連接，是邊上的中線，，在和中，，，，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，，即，，，；故答案為：；；（2）證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接、，如圖2所示：同（1）可證：，，，，∴MD是線段NF的垂直平分線，，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，；（3）解：，理由如下：延長(zhǎng)至，使，連接，如圖3所示：由（1）得：，，，，，即，，，∵，，∴，在和中，，，，．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，解題的關(guān)鍵是通過作輔助線證明三角形全等．7．（2022·山東臨沂·八年級(jí)期末）（1）問題解決：如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．①如圖1，若α＝90°，根據(jù)教材中一個(gè)重要性質(zhì)直接可得AD＝CD，這個(gè)性質(zhì)是；②在圖2中，求證：AD＝CD；（2）拓展探究：根據(jù)（1）的解題經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)解決如下問題：如圖3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求證BD+AD＝BC．【答案】（1）①角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等；②見解析；（2）見解析．【分析】（1）①根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可解決問題；②如圖2中，作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F．只要證明△DEA≌△DFC即可解決問題；（2）如圖3中，在BC時(shí)截取BK=BD，BT=BA，連接DK．首先證明DK=CK，再證明△DBA≌△DBT，推出AD=DT，∠A=∠BTD=100°，推出∠DTK=∠DKT=80°，推出DT=DK=CK，由此即可解決問題；【詳解】（1）①根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可知AD＝CD．所以這個(gè)性質(zhì)是角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等．故答案為：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等．②如圖2中，作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F．∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，∴DE＝DF，∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠C，∵∠E＝∠DFC＝90°，∴△DEA≌△DFC，∴DA＝DC．（2）如圖3中，在BC上截取BK＝BD，BT＝BA，連接DK．∵AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ABC＝∠C＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBK＝∠ABC＝20°，∵BD＝BK，∴∠BKD＝∠BDK＝80°，∵∠BKD＝∠C+∠KDC，∴∠KDC＝∠C＝40°，∴DK＝CK，∵BD＝BD，BA＝BT，∠DBA＝∠DBT，∴△DBA≌△DBT，∴AD＝DT，∠A＝∠BTD＝100°，∴∠DTK＝∠DKT＝80°，∴DT＝DK＝CK，∴BD+AD＝BK+CK＝BC．【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合題、等腰三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，具體的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．8．（2022·北京·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在三角形中，，，是邊的高線，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接交于點(diǎn)F．(1)依題意補(bǔ)全圖形，寫出____________°(2)求和的度數(shù)；(3)用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)圖見解析，°(2)，(3)，證明見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，補(bǔ)全圖形即可；（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，求得∠BAD=∠BAC，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠ABE=∠E，由三角形內(nèi)角和定理在△ABE中，∠ABE+∠E+∠BAC=180°-∠CAE，便可求得∠BAF+∠ABF，再由三角形外角的性質(zhì)可得∠FBC；（3）在EF上取點(diǎn)M，使EM=BF，連接AM，由△ABF≌△AEM求得AF=AM，∠BAF=∠EAM，再由∠CAE=60°可得△AFM是等邊三角形，便可解答；（1）解：如圖分別以A，C為圓心，以AC為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E，連接BE交AD于點(diǎn)F，則∠CAE=60°；（2）解：∵，是邊的高線，∴，∵線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，又，∴，在中，，∴∴又∵是邊的高線，∴∵∠BFD=∠BAF+∠ABF，∴．（3）解：如圖，在EF上取點(diǎn)M，使EM=BF，連接AM，∵AB=AE，∠ABF=∠AEM，BF=EM，∴△ABF≌△AEM（SAS），∴AF=AM，∠BAF=∠EAM，∵∠DAC=∠BAF，∴∠DAC=∠EAM，∵∠CAE=60°，∴∠FAM=60°，∴△AFM是等邊三角形，∴FM=AF，∴AF+BF=EF；【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形判定的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)；熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．9．（2022·吉林·公主嶺市范家屯鎮(zhèn)第二中學(xué)校九年級(jí)期末）我們定義：如圖1，在中，把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．當(dāng)時(shí)，我們稱是的“旋補(bǔ)三角形”，邊上的中線叫做的“旋補(bǔ)中線”，點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”．特例感知：（1）在圖2，圖3中，是的“旋補(bǔ)三角形”，是的“旋補(bǔ)中線”．①如圖2，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系為________；②如圖3，當(dāng)時(shí)，則長(zhǎng)為___________．猜想論證：（2）在圖1中，當(dāng)為任意三角形時(shí)，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【答案】（1）①；②4；（2），見解析【分析】（1）①根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)解答；②證明△AB′C′≌△ABC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到B′C′=BC，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算；（2）證明四邊形AB′EC′是平行四邊形，得到B′E=AC′，∠BAC′+∠AB′E=180°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=BC，得到答案．【詳解】（1）①∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=60°，∵△AB′C′是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”，∴∠B′AC′=120°，AB=AB′，AC=AC′，∴AB′=AC′，∴∠AB′D=30°，∴AD=AB′，∴AD=BC，故答案為；②∵△AB′C′是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”，∴∠B′AC′=∠BAC=90°，AB=AB′，AC=AC′，在△AB′C′和△ABC中，，∴△AB′C′≌△ABC（SAS）∴B′C′=BC=8，∵∠B′AC′=90°，AD是△ABC的“旋補(bǔ)中線”，∴AD=B′C′=4，故答案為4；（2）猜想．證明：如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)E使得，連接B′E、C′E，∵AD是△AB′C’的中線，∴B′D=C′D，∵DE=AD，∴四邊形AB′EC′是平行四邊形，∴B′E=AC′，∠B′AC′+∠AB′E=180°，∵α+β=180°，∴∠B′AC′+∠BAC=180°，∴∠EB′A=∠BAC，在△EB′A和△CAB中，

∴△EB′A≌△CAB（SAS），∴AE=BC，∴AD=BC．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、理解“旋補(bǔ)三角形”的定義是解題的關(guān)鍵．10．（2022·湖北孝感·八年級(jí)期中）（1）感知：如圖1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB，DC數(shù)量關(guān)系為：．（2）探究：如圖2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)作出判斷并給予證明．（3）應(yīng)用：如圖3，在四邊形ABCD中，DB＝DC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，DE⊥AB于點(diǎn)E，試判斷AB，AC，BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）BD＝CD；（2）成立，證明詳見解析；（3）AB＝AC+2BE，證明詳見解析．【分析】（1）結(jié)論：BD＝CD．只要證明△ADC≌△ADB即可；（2）結(jié)論成立．如圖②中，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，只要證明△ADC≌△ADB即可；（3）如圖③中，連接AD．作DF⊥AC于F．首先證明△DFC≌△DEB（AAS），再證明Rt△ADF≌Rt△ADE（HL）即可解決問題.【詳解】解：（1）結(jié)論：DB＝DC．理由：∵∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠DAC＝∠DAB，AD＝AD，∴△ADC≌△ADB．∴BD＝CD．故答案為BD＝CD．（2）結(jié)論成立．理由：如圖②中，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠FCD＝180°，∴∠B＝∠FCD，在△DFC和△EDB中，，∴△DFC≌△DEB，∴DC＝DB．（3）結(jié)論：AB＝AC+2BE．理由：如圖③中，連接AD．作DF⊥AC于F．∵∠B+∠ACD＝180°，∠ACD+∠FCD＝180°，∴∠B＝∠FCD，在△DFC和△DEB中，，∴△DFC≌△DEB（AAS），∴DF＝DE，CF＝BE，在Rt△ADF和Rt△ADE中，，∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），∴AF＝AE，∴AB＝AE+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE．【點(diǎn)睛】此題考查的是全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握利用角平分線構(gòu)造全等三角形是解決此題的關(guān)鍵.11．（2022·遼寧大連·八年級(jí)期末）已知點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)，連接AD，BD，CD，．(1)【特例體驗(yàn)】如圖1，AB＝BC，α＝60°，則∠ADB的度數(shù)為；(2)【類比探究】如圖2，AB＝BC，求證：∠ADB＝∠BDC；(3)【拓展遷移】如圖3，α＝60°，∠ACB+∠BCD＝180°，CE⊥BD于點(diǎn)E，AC＝kDE，直接寫出的值（用k的代數(shù)式表示）．【答案】(1)60°(2)證明見解析；(3)．【分析】（1）在BD上取點(diǎn)E，使BE=CD，證明△ABE≌△ACD(SAS)，由全等三角形的性質(zhì)得出∠BAE=∠CAD，AE=AD，由等邊三角形的性質(zhì)可得出答案；（2）在DC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)H，使BD=BH，證明△ABD≌△CBH(SAS)，由全等三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論；（3）延長(zhǎng)DC至H，使CH=AC，連接BH，證明△ABC≌△HBC(SAS)，由全等三角形的性質(zhì)得出AB=BH，，證出△BDH為等邊三角形，在Rt△CED中，設(shè)ED=m，則CE=2m，由等邊三角形的性質(zhì)得出DH=BH=AB=km+2m，則可得出答案．（1）解：在BD上取點(diǎn)E，使BE=CD，如圖1所示：∵，，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∵∠BAC=∠BDC，∠AOB=∠COD，∴∠ABE=∠ACD，在△ABE和△ACD中，，∴（SAS），∴，，∴，∴△AED是等邊三角形，∴∠ADB=60°；故答案為：60°；（2）證明：在DC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)H，使，如圖2所示：∴，∵，，∴，∵AB＝BC，，∴，又∵，即，∴，在△ABD和△CDH中，∴(SAS)，∴，∴；（3）解：延長(zhǎng)DC至H，使CH=AC，連接BH，如圖3所示：圖3∵∠ACB+∠BCD=180°，∠BCH+∠BCD=180°，∴∠ACB=∠BCH，∵AC=CH，BC=BC，∴（SAS），∴，，∵，∴，∴，設(shè)，則，∵∴，∴，又∵，∴△BDH為等邊三角形，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，能夠準(zhǔn)確作出輔助線構(gòu)造出全等三角形以及等邊三角形性質(zhì)的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋·重慶八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在中，BE，CD為的角平分線，BE，CD交于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）已知．①如圖1，若，，求CE的長(zhǎng)；②如圖2，若，求的大小．【答案】（1）證明見解析；（2）2.5；（3）100°．【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理和角平分線得出的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理可求出的度數(shù)，（2）在BC上取一點(diǎn)G使BG=BD，構(gòu)造（SAS），再證明，即可得，由此求出答案；（3）延長(zhǎng)BA到P，使AP=FC，構(gòu)造（SAS），得PC=BC，，再由三角形內(nèi)角和可求，，進(jìn)而可得．【詳解】解：（1）、分別是與的角平分線，，，，（2）如解（2）圖，在BC上取一點(diǎn)G使BG=BD，由（1）得，，，∴，在與中，，∴（SAS）∴，∴，∴，∴在與中，，，，，；∵，，∴（3）如解（3）圖，延長(zhǎng)BA到P，使AP=FC，，∴，在與中，，∴（SAS）∴，，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，，∴，【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．13．（2022秋·遼寧鞍山·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，線段AC與AD關(guān)于直線AP對(duì)稱，E是線段BD與直線AP的交點(diǎn)．（1）若∠DAE＝15°，求證：△ABD是等腰直角三角形；（2）連CE，求證：BE＝AE+CE．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）首先根據(jù)題意確定出△ABC是等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)推出∠BAC＝60°，再根據(jù)線段AC與AD關(guān)于直線AP對(duì)稱，以及∠DAE＝15°，推出∠BAD＝90°，即可得出結(jié)論；（2）利用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的方法在BE上取點(diǎn)F，使BF＝CE，連接AF，根據(jù)題目條件推出△ABF≌△ACE，得出AF＝AE，再進(jìn)一步推出∠AEF