專題06 將軍飲馬模型（解析版）

專題06.將軍飲馬模型將軍飲馬模型在考試中，無論是解答題，還是選擇、填空題，都是學(xué)生感覺有困難的地方，也恰是學(xué)生能力區(qū)分度最重要的地方，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以中高檔題為主。在解決幾何最值問題主要依據(jù)是：①兩點之間，線段最短；②垂線段最短，涉及的基本方法還有：利用軸對稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。希望通過本專題的講解讓大家對這類問題有比較清晰的認(rèn)識。將軍飲馬模型在上學(xué)期（北師大版七年級下冊）已經(jīng)涉及，但是由于缺乏計算工具（勾股定理），所以只能是作出相關(guān)圖形，很難進(jìn)行相關(guān)最值的計算。模型1、將軍飲馬--兩定一動求線段和的最小值【模型探究】A，B為定點，m為定直線，P為直線m上的一個動點，求AP+BP的最小。（1）如圖1，點A、B在直線m兩側(cè)：輔助線：連接AB交直線m于點P，則AP+BP的最小值為AB.（2）如圖2，點A、B在直線同側(cè)：輔助線：過點A作關(guān)于定直線m的對稱點A’，連接A’B交直線m于點P，則AP+BP的最小值為A’B.圖1圖2例1．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）要在街道旁修建一個奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，小聰根據(jù)實際情況，以街道旁為x軸，測得A點的坐標(biāo)為(0，3)，B點的坐標(biāo)為(6，5)，則從A、B兩點到奶站距離之和的最小值是____．【答案】10【分析】作A點關(guān)于x軸的對稱點A'，連接A'B與x軸交于點P，連接AP，則A'B即為所求．【詳解】解：作A點關(guān)于x軸的對稱點A'，連接A'B與x軸交于點P，連接AP，∵AP＝A'P，∴AP+BP＝A'P+BP＝A'B，此時P點到A、B的距離最小，∵A（0，3），∴A'（0，﹣3），∵B（6，5），5-（-3）=8，6-0=6∴A'B＝=10，∴P點到A、B的距離最小值為10，故答案為：10．【點睛】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法，會根據(jù)兩點坐標(biāo)求兩點間距離是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·河南南陽·八年級階段練習(xí)）如圖，等邊的邊長為4，點是邊的中點，點是的中線上的動點，則的最小值是_____．【答案】【分析】當(dāng)連接BE，交AD于點P時，EP+CP=EP+PB=EB取得最小值．【詳解】解：連接BE∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分線，∴點C關(guān)于AD的對應(yīng)點為點B，∴BE就是EP+CP的最小值．∵△ABC是等邊三角形，E是AC邊的中點，∴BE是△ABC的中線，∴CE＝AC＝2，∴即EP+CP的最小值為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了軸對稱-最短路線問題以及等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握等邊三角形和軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例4．（2022·湖北江夏初二月考）在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的頂點A在x軸上，點A的坐標(biāo)為（4，0），∠AOB=30°，點E的坐標(biāo)為（1，0），點P為斜邊OB上的一個動點，則PA+PE的最小值為_____．【答案】【分析】作A關(guān)于OB的對稱點D，連接ED交OB于P，連接AP，過D作DN⊥OA于N，則此時PA+PC的值最小，求出AM和AD，再求出DN、EN，根據(jù)勾股定理求出ED，即可得出答案．【解析】作A關(guān)于OB的對稱點D，連接ED交OB于P，連接AP，過D作DN⊥OA于N，則此時PA+PC的值最小，∵DP=PA，∴PA+PE=PD+PE=ED，∵點A的坐標(biāo)為（4，0），∠AOB=30°，∴OA=4，∴AM=OA=2，∴AD=2×2=4，∵∠AMB=90°，∠B=60°，∴∠BAM=30°，∵∠DNO=∠OAB=90°，∴DN∥AB，∴∠NDA=∠BAM=30°，∴AN=AD=2，由勾股定理得：DN===2，∵E（1，0），∴EN=4﹣1﹣2=1，在Rt△DNE中，由勾股定理得：DE===，即PA+PC的最小值是．故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱確定最短路線問題，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握最短路徑的確定方法找出點P的位置以及表示PA+PE的最小值的線段是解題的關(guān)鍵．例4.（2023·廣東·八年級期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，∠A的平分線交BC于點D，若點P、Q分別是AC和AD上的動點，則CQ+PQ的最小值是．【解答】解：如圖，作點P關(guān)于直線AD的對稱點P′，連接CP′交AD于點Q，則CQ+PQ＝CQ+P′Q＝CP′．∵根據(jù)對稱的性質(zhì)知△APQ≌△AP′Q，∴∠PAQ＝∠P′AQ．又∵AD是∠A的平分線，點P在AC邊上，點Q在直線AD上，∴∠PAQ＝∠BAQ，∴∠P′AQ＝∠BAQ，∴點P′在邊AB上．∵當(dāng)CP′⊥AB時，線段CP′最短．∵在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，∴AB＝4，且當(dāng)點P′是斜邊AB的中點時，CP′⊥AB，此時CP′＝AB＝2，即CQ+PQ的最小值是2．故填：2．例5．（2023·江陰市八年級月考）某班級在探究“將軍飲馬問題”時抽象出數(shù)學(xué)模型：直線同旁有兩個定點、，在直線上存在點，使得的值最?。夥ǎ喝鐖D1，作點關(guān)于直線的對稱點，連接，則與直線的交點即為，且的最小值為．請利用上述模型解決下列問題：（1）幾何應(yīng)用：如圖2，中，，，是的中點，是邊上的一動點，則的最小值為；（2）幾何拓展：如圖3，中，，，若在、上各取一點、使的值最小，畫出圖形，求最小值并簡要說明理由．【答案】（1）；（2），圖和理由見解析【分析】（1）作點A關(guān)于BC的對稱點A′，連接A′E交BC于P，此時PA+PE的值最小．連接BA′，先根據(jù)勾股定理求出BA′的長，再判斷出∠A′BA=90°，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；（2）作點C關(guān)于直線AB的對稱點C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，連接AC′，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答．【詳解】解：（1）如圖2所示，作點A關(guān)于BC的對稱點A′，連接A′E交BC于P，此時PA+PE的值最小．連接BA′．由勾股定理得，BA′=BA===2，∵是的中點，∴BE=BA=，∵，，∴∠A′BC=∠ABC=45°，∴∠A′BA=90°，∴PA+PE的最小值=A′E===．故答案為：；（2）如圖3，作點C關(guān)于直線AB的對稱點C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，連接AC′，則C′A=CA=2，∠C′AB=∠CAB=30°，∴△C′AC為等邊三角形，∴∠AC′N=30°，∴AN=C′A=1，∴CM+MN的最小值為C′N==．【點睛】本題考查的是軸對稱--最短路線問題、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短，解這類問題的關(guān)鍵是將所給問題抽象或轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段．模型2、將軍飲馬--兩動一定求線段和的最小值【模型探究】已知定點A位于定直線m,n的內(nèi)側(cè),在直線m、n分別上求點P、Q點PA+PQ+QA周長最短.輔助線：過點A作關(guān)于定直線m、n的對稱點A’、A’’，連接A’A’’交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QA的最小值為A’A’’.例1．（2022·上虞市初二月考）如圖，點P是∠AOB內(nèi)任意一點，OP=6cm，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，若△PMN周長的最小值是6cm，則∠AOB的度數(shù)是（）A．15 B．30 C．45 D．60【答案】B【分析】分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，由對稱的性質(zhì)得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，證出△OCD是等邊三角形，得出∠COD=60°，即可得出結(jié)果．【解析】分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，如圖所示：∵點P關(guān)于OA的對稱點為D，關(guān)于OB的對稱點為C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵點P關(guān)于OB的對稱點為C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，∵△PMN周長的最小值是6cm，∴PM+PN+MN=6，∴DM+CN+MN=6，即CD=6=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等邊三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°，故選：B．【點睛】此題考查軸對稱的性質(zhì)，最短路線問題，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·江蘇九年級一模）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，AC邊上的動點，則△DEF的周長的最小值是（）A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6【答案】C【分析】如圖作D關(guān)于直線AC的對稱點M，作D關(guān)于直線BC的對稱點N，連接CM，CN，CD，EN，F(xiàn)M，DN，DM．由∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠MCD+∠NCD=180°，可得M、B、N共線，由DF+DE+EF=FM+EN+EF，F(xiàn)M+EN+EF≥MN，可知當(dāng)M、F、E、N共線時，且CD⊥AB時，DE+EF+FD的值最小，最小值=2CD，求出CD的值即可解決問題．【詳解】解：如圖，作D關(guān)于直線AC的對稱點M，作D關(guān)于直線BC的對稱點N，連接CM，CN，CD，EN，F(xiàn)M，DN，DM．∴DF=FM，DE=EN，CD=CM，CD=CN，∴CD=CM=CN，∵∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠MCD+∠NCD=180°，∴M、C、N共線，∵DF+DE+EF=FM+EN+EF，∵FM+EN+EF≥MN，∴當(dāng)M、F、E、N共線時，且CD⊥AB時，DE+EF+FD的值最小，最小值為MN=2CD，∵CD⊥AB，∴?AB?CD=?AB?AC，∴CD===2.4，∴DE+EF+FD的最小值為4.8．故選：C．【點睛】本題考查了軸對稱-最短問題、兩點之間線段最短、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用軸對稱以及垂線段最短解決最短問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．例3.（2023.山東八年級期末）如圖所示，在四邊形ABCD中，∠A＝90o，∠C＝90o，∠D＝60o，AD＝3，AB＝，若點M、N分別為邊CD，AD上的動點，則△BMN的周長最小值為（） A. B. C.6 D.3【答案】C【解析】作點B關(guān)于CD、AD的對稱點分別為點B'和點B''，連接B'B''交DC和AD于點M和點N，連接MB、NB；再DC和AD上分別取一動點M’和N’（不同于點M和N），連接M'B，M'B'，N’B和N'B''，如圖1所示：∵B'B''＜M'B'＋M'N'＋N'B"，B'M'＝BM'，B"N'＝BN'，∴BM'＋M'N'＋BN'＞B'B"，又∵B'B"＝B'M＋MN＋NB"，MB＝MB'，NB＝NB''，∴NB＋NM＋BM＜BM'＋M’N'＋BN'，＝NB＋NM＋BM時周長最?。贿B接DB，過點B'作B'H⊥DB''于B’’D的延長線于點H，如圖示2所示：在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝，，∴∠2＝30o，∴∠5＝30o，DB＝DB''，又∵∠ADC＝∠1＋∠2＝60o，∴∠1＝30o，∴∠7＝30o，DB'＝DB，∴∠B'DB''＝∠1＋∠2＋∠5＋∠7＝120o，DB'＝DB''＝DB＝，又∵∠B'DB"＋∠6＝180o，∴∠6＝60o，∴HD＝，HB'＝3，在Rt△B'HB''中，由勾股定理得：B'B"＝，∴＝NB＋NM＋BM＝6，故選C.模型3、將軍飲馬--兩動兩定求線段和的最小值【模型探究】A，B為定點，在定直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）如圖1，兩個點都在直線外側(cè)：輔助線：連接AB交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QB的最小值為AB.（2）如圖2，一個點在內(nèi)側(cè)，一個點在外側(cè)：輔助線：過點B作關(guān)于定直線n的對稱點B’，連接AB’交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QB的最小值為AB’.圖1圖2（3）如圖3，兩個點都在內(nèi)側(cè)：輔助線：過點A、B作關(guān)于定直線m、n的對稱點A’、B’，連接A’B’交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QA的最小值為A’B’.（4）如圖4，臺球兩次碰壁模型：輔助線：同圖3輔助線作法。圖3圖4例1．（2023.浙江八年級期中）如圖所示，∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，OM＝12，ON＝4．點P、Q分別是OA、OB上動點，則MQ+PQ+NP的最小值是．【解答】解：如圖，作點N關(guān)于OA的對稱點N′，則NP＝N′P，作點M關(guān)于OB的對稱點M′，則MQ＝M′Q，∴MQ+PQ+NP＝M′Q+PQ+N′P，當(dāng)N′M′在同一條直線上時取最小值，連接ON′，OM′，∵∠AOB＝50°，∠BOC＝30°則∠N′OA＝∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝20°，∠BOM′＝∠BOA＝50°，∴∠N′OM′＝2×20°+30°+50°＝120°，∵ON′＝ON＝4，OM′＝OM＝12，∴∠AON＝∠AOB﹣∠BOC＝50°﹣30°＝20°，先作射線ON'與射線ON關(guān)于OA對稱，由對稱的性質(zhì)可知∠AON'＝20°，PN＝PN'，同理作射線OM'與射線OM關(guān)于OB對稱，同理∠BOM'＝50°，QM＝QM′，當(dāng)N'、P、Q、M'四點共線時，MQ+PQ+NP最小，則∠N′OM′＝∠N′OP+∠AOB+∠BPM′＝20°+50°+50°＝120°，作N'垂直O(jiān)M'的延長線交于點E，∴∠EON'＝60°，∴ON'＝ON＝4，在Rt△N'OE中，∠EN'O＝30°，根據(jù)30°角所對的直角邊是斜邊的一半可知OE＝2，則EN'＝2，OM＝OM'＝12，∴EM′＝OE+OM′＝12+2＝14，則N′M＝＝＝4．故答案為：4．例2．（2022·山東泰安·中考真題）如圖，，點M、N分別在邊上，且，點P、Q分別在邊上，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作M關(guān)于OB的對稱點M′，作N關(guān)于OA的對稱點N′，連接M′N′，即為MP+PQ+QN的最小值；證出△ONN′為等邊三角形，△OMM′為等邊三角形，得出∠N′OM′=90°，由勾股定理求出M′N′即可．【詳解】解：作M關(guān)于OB的對稱點M′，作N關(guān)于OA的對稱點N′，如圖所示：連接M′N′，即為MP+PQ+QN的最小值．根據(jù)軸對稱的定義可知：，，∠N′OQ=∠M′OB=30°，∴∠NON′=60°，，∴△ONN′為等邊三角形，△OMM′為等邊三角形，∴∠N′OM′=90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′=．故選：A．【點睛】本題考查了軸對稱--最短路徑問題，根據(jù)軸對稱的定義，找到相等的線段，得到等邊三角形是解題的關(guān)鍵．例3．（2022·湖北武漢市·九年級期中）如圖，點A在y軸上，G、B兩點在x軸上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC與GB關(guān)于y軸對稱，∠GAH＝60°，P、Q分別是AG、AH上的動點，則BP＋PQ＋CQ的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】分別作B、C關(guān)于AG和AH對稱的點、，連接BP、CQ、、，PQ，得出BP＋PQ＋CQ的最小值為，再依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和判定和軸對稱的性質(zhì)分別求得和即可求得．【詳解】解：分別作B、C關(guān)于AG和AH對稱的點、，連接BP、CQ、、，PQ∵HC與GB關(guān)于y軸對稱，∴GO=HO,BO=CO,∵x軸⊥y軸，∴AG=AH，、關(guān)于y軸對稱，∴當(dāng)、，P、Q在同一條直線上時，最小，此時軸，∵∠GAH＝60°，∴△AGH為等邊三角形，∴∠AGO=60°，∵軸，B、關(guān)于AG對稱，∴,，∴△BPG為等邊三角形，過作PM⊥GO交x軸與M，∵G（﹣3，0），B（﹣2，0），∴BG=1，BO=2，∴，∴，同理可得,即．故選：B．【點睛】本題考查軸對稱的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判斷，坐標(biāo)與圖形變化．能借助軸對稱的性質(zhì)正確變形將折線的長化成一條線段的長是解題關(guān)鍵．例4．（2022·湖北青山·八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC為邊向左作等邊△BCE，點D為AB中點，連接CD，點P、Q分別為CE、CD上的動點．（1）求證：△ADC為等邊三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．【答案】（1）證明見解析；（2）4．【分析】（1）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等邊三角形的判定即可得證；（2）連接，先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得垂直平分，然后根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，同樣的方法可得，從而可得，最后根據(jù)兩點之間線段最短即可得出答案．【詳解】證明：（1）在中，，，點是斜邊的中點，，是等邊三角形；（2）如圖，連接，和都是等邊三角形，，，，垂直平分，，同理可得：垂直平分，，，由兩點之間線段最短可知，當(dāng)點共線時，取得最小值，故的最小值為4．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識點，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．模型4、將軍飲馬--線段差的最大值【模型探究】A，B為定點，在定直線m上分別找兩點P，使PA與PB的差最大。（1）如圖1，點A、B在直線m同側(cè)：輔助線：延長AB交直線m于點P，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此時最大，因此點P為所求的點。（2）如圖2，點A、B在直線m異側(cè)：輔助線：過B作關(guān)于直線m的對稱點B’,連接AB’交點直線m于P,此時PB=PB’，PA-PB最大值為AB’圖1圖2例1．（2022·福建福州·八年級期中）如圖，在等邊中，E是邊的中點，P是的中線上的動點，且，則的最大值是________．【答案】3【分析】連接PC，則BP=CP，=CP-PE，當(dāng)點P與點A重合時，CP-PE=CE，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：連接PC，∵在等邊中，，P是的中線上的動點，∴AD是BC的中垂線，∴BP=CP，∴=CP-PE，∵在中，CP-PE＜CE，∴當(dāng)點P與點A重合時，CP-PE=CE，∵E是邊的中點，∴的最大值=6÷2=3．故答案是：3．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形三邊長關(guān)系，連接CP，得到=CP-PE，是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·重慶·八年級專題練習(xí)）如圖，四邊形中，，，點為直線左側(cè)平面上一點，的面積為則的最大值為___．【答案】10【分析】如圖，過點F作FH⊥EC于H.過點F作直線l//EC，作點C關(guān)于直線l的對稱點C'，連接AC'交直線l于F'，此時|F'A?F'C'|的值最大，即|FA?FC|的值最大，最大值為線段AC'的長．【詳解】解：如圖，過點F作FH⊥EC于H．∵△CFE的面積為8，即EC?FH=8，CE=8，∴FH=2，過點F作直線l//EC，作點C關(guān)于直線l的對稱點C'，連接AC'交直線l于F'，此時|F'A?F'C'|的值最大，即|FA?FC|的值最大，最大值為線段AC'的長，過點C'作C'K⊥AB于K．∵∠C'KB=∠KEC=∠ECC'=90°，∴四邊形CEKC'是矩形，∴CC'=EK=4，EC=KC'=8，∵AE=10，∴AK=AE?EK=10?4=6，∴AC'=，∴|FA?FC|的最大值為10．故答案為10．【點睛】本題考查軸對稱?最短問題，三角形的面積，直角梯形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱解決最值問題，屬于中考填空題中的壓軸題．例3．（2022·重慶大渡口·七年級期末）如圖，，∠ACB＝90°，BC＝AC＝4，平面內(nèi)直線BC的左側(cè)有一點P，連接BP，CP，，將沿BC翻折至同一平面得到，連接．若取得最大值時，則______．【答案】12【分析】如圖1中，過點P作PH⊥BC于點H．求出PH＝2，推出點P在BC的中垂線上運動，由翻折變換的性質(zhì)可知，BP＝BP′，推出|AP′﹣PB|＝|AP′﹣BP′|≥AB＝4，推出當(dāng)A，B，P′共線時，|AP′﹣PB|的值最小，如圖2中，設(shè)BC的中垂線交AC于點M，交AB于點N．則NM＝AM＝MC＝2，PN＝PP′＝4，求出PM，即可解決問題．【詳解】解：如圖1中，過點P作PH⊥BC于點H．∵AB＝CB＝4，∠ACB＝90°，∴ABBC＝4，∵S△BCP＝4，∴4×PH＝4，∴PH＝2，∴點P在BC的中垂線上運動，由翻折變換的性質(zhì)可知，BP＝BP′，∴|AP′﹣PB|＝|AP′﹣BP′|≥AB＝4，∴當(dāng)A，B，P′共線時，|AP′﹣PB|的值最小，如圖2中，設(shè)BC的中垂線交AC于點M，交AB于點N．則NM＝AM＝MC＝2，PN＝PP′＝4，∴PM＝4+2＝6，∴S△ACP′AC×PM4×6＝12，故答案為：12．【點睛】本題考查翻折變換，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找點P的運動軌跡，屬于中考填空題中的壓軸題．課后專項訓(xùn)練1．（2022·安徽亳州·一模）如圖，在銳角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分線交AC于點D，點P，Q分別是BD，AB上的動點，則AP＋PQ的最小值為（

）A．6 B．6 C．3 D．3【答案】D【分析】在BC上取E，使BE＝BQ，這樣AP＋PQ轉(zhuǎn)化為AP＋PE即可得出答案．【詳解】解：如圖，在BC上取E，使BE＝BQ，連接PE，過A作AH⊥BC于H，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠CBD，∵BP＝BP，BE＝BQ，∴△BPQ≌△BPE（SAS），∴PE＝PQ，∴AP＋PQ的最小即是AP＋PE最小，當(dāng)AP＋PE＝AH時最小，在Rt△ABH中，AB＝6，∠ABC＝60°，∴AH＝，∴AP＋PQ的最小為，故選：D．【點睛】本題考查兩條線段和的最小值，解題的關(guān)鍵是作輔助線把PQ轉(zhuǎn)化到BD的另一側(cè)．2．（2023·安徽九年級一模）如圖，在銳角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分線交AC于點D，點P，Q分別是BD，AB上的動點，則AP＋PQ的最小值為（）A．6 B．6 C．3 D．3【答案】D【分析】在BC上取E，使BE＝BQ，這樣AP＋PQ轉(zhuǎn)化為AP＋PE即可得出答案．【詳解】解：如圖，在BC上取E，使BE＝BQ，連接PE，過A作AH⊥BC于H，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠CBD，∵BP＝BP，BE＝BQ，∴△BPQ≌△BPE（SAS），∴PE＝PQ，∴AP＋PQ的最小即是AP＋PE最小，當(dāng)AP＋PE＝AH時最小，在Rt△ABH中，AB＝6，∠ABC＝60°，∴AH＝＝，∴AP＋PQ的最小為，故選：D．【點睛】本題考查兩條線段和的最小值，解題的關(guān)鍵是作輔助線把PQ轉(zhuǎn)化到BD的另一側(cè)．3.（2023?綿陽八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是BC、DC上的點，當(dāng)△AEF的周長最小時，∠EAF的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．70°【分析】據(jù)要使△AEF的周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對稱點A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝70°，進(jìn)而得出∠AEF+∠AFE＝2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．【答案】解：作A關(guān)于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于E，交CD于F，則A′A″即為△AEF的周長最小值．作DA延長線AH，∵∠C＝70°，∴∠DAB＝110°，∴∠HAA′＝70°，∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝70°，∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF＝70°，∴∠EAF＝110°﹣70°＝40°，故選：B．【點睛】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，涉及到平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出E，F(xiàn)的位置是解題關(guān)鍵．4．（2022·江蘇·無錫市東林中學(xué)八年級期末）如圖，已知∠AOB的大小為α，P是∠AOB內(nèi)部的一個定點，且OP＝4，點E、F分別是OA、OB上的動點，若△PEF周長的最小值等于4，則α＝（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】設(shè)點P關(guān)于OA的對稱點為C，關(guān)于OB的對稱點為D，當(dāng)點E、F在CD上時，△PEF的周長為PE+EF+FP=CD，此時周長最小，根據(jù)CD=4可得出△COD是等邊三角形，進(jìn)而可求出α的度數(shù)．【詳解】解：如圖，作點P關(guān)于OA的對稱點C，關(guān)于OB的對稱點D，連接CD，交OA于E，OB于F．此時，△PEF的周長最?。B接OC，OD，PE，PF．∵點P與點C關(guān)于OA對稱，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=4，∴∠COD=2α．又∵△PEF的周長=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4，∴OC=OD=CD=4，∴△COD是等邊三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故選：A．【點睛】本題主要考查了最短路徑問題，本題找到點E和F的位置是解題的關(guān)鍵．要使△PEF的周長最小，通常是把三邊的和轉(zhuǎn)化為一條線段，運用三角形三邊關(guān)系解決．5．（2023·山東山東·八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段所在直線的解析式為，是的中點，是上一動點，則的最小值是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】作點關(guān)于的對稱點，連接，與的交點，即符和條件的點，再求出，的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出的值，即為的最小值．【詳解】作點關(guān)于的對稱點，連接交于，此時，的值最小，最小值為的長，∵線段所在直線的解析式為，∴，，∴，，是的中點，∴，∵是點關(guān)于的對稱點，∴，，，∴四邊形是正方形，∴，∴的最小值是．故選：C．【點睛】本題考查一次函數(shù)求點的坐標(biāo)和性質(zhì)，軸對稱最短路徑問題，勾股定理，掌握軸對稱最短路徑的確定方法是解題的關(guān)鍵．如圖，在四邊形ABCD中，DA⊥AB，DA＝6，∠B＋∠C＝150o，CD與BA的延長線交于E點，A剛好是EB中點，P、Q分別是線段CE、BE上的動點，則BP＋PQ最小值是() A.12 B.15 C.16 D.18【答案】D【解析】如圖，作點B關(guān)于CE的對稱點F，連接BF，EF，則EB＝EF，∵∠B＋∠C＝150o，∴∠BEC＝30o，∴∠BEF＝60o，∴△BEF是等邊三角形，連接BP，PF，PQ，則BP＝FP，∴BP＋QP＝FP＋PQ，當(dāng)F，P，Q在同一直線上且FQ⊥EB時，BP＋PQ的最小值為FQ的長，此時，Q為EB的中點，故與A重合，∵DA⊥AB.DA＝6，∴AE＝，∴Rt△QEF中，F(xiàn)Q＝AE＝18，∴BP＋PQ最小值值為18，故選D.8．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，點P是線段AC上一動點，點M在線段AB上，當(dāng)AM＝AB時，PB+PM的最小值為（）A．3 B．2 C．2+2 D．3+3【解答】解：作B點關(guān)于AC的對稱點B'，連接B'M交AC于點P，∴BP＝B'P，∴PB+PM＝B'P+PM≥B'M，∴PB+PM的最小值為B'M的長，過點B'作B'H⊥AB于H點，∵∠A＝30°，∠C＝90°，∴∠CBA＝60°，∵AB＝6，∴BC＝3，∴BB'＝6，在Rt△BB'H中，B'H＝B'B?sin60°＝6×＝3，HB＝B'B?cos60°＝6×＝3，∴AH＝3，∵AM＝AB，∴AM＝2，∴MH＝1，在Rt△MHB'中，B'M＝＝＝2，∴PB+PM的最小值為2，故選：B．9．（2022·重慶大渡口·七年級期末）如圖，，∠ACB＝90°，BC＝AC＝4，平面內(nèi)直線BC的左側(cè)有一點P，連接BP，CP，，將沿BC翻折至同一平面得到，連接．若取得最大值時，則______．【答案】12【分析】如圖1中，過點P作PH⊥BC于點H．求出PH＝2，推出點P在BC的中垂線上運動，由翻折變換的性質(zhì)可知，BP＝BP′，推出|AP′﹣PB|＝|AP′﹣BP′|≥AB＝4，推出當(dāng)A，B，P′共線時，|AP′﹣PB|的值最小，如圖2中，設(shè)BC的中垂線交AC于點M，交AB于點N．則NM＝AM＝MC＝2，PN＝PP′＝4，求出PM，即可解決問題．【詳解】解：如圖1中，過點P作PH⊥BC于點H．∵AB＝CB＝4，∠ACB＝90°，∴ABBC＝4，∵S△BCP＝4，∴4×PH＝4，∴PH＝2，∴點P在BC的中垂線上運動，由翻折變換的性質(zhì)可知，BP＝BP′，∴|AP′﹣PB|＝|AP′﹣BP′|≥AB＝4，∴當(dāng)A，B，P′共線時，|AP′﹣PB|的值最小，如圖2中，設(shè)BC的中垂線交AC于點M，交AB于點N．則NM＝AM＝MC＝2，PN＝PP′＝4，∴PM＝4+2＝6，∴S△ACP′AC×PM4×6＝12，故答案為：12．【點睛】本題考查翻折變換，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找點P的運動軌跡，屬于中考填空題中的壓軸題．10.如圖，兩點A、B在直線MN外的同側(cè)，A到MN的距離AC＝16，B到MN的距離BD＝10，CD＝8，點P在直線MN上運動，則|PA﹣PB|的最大值等于．【解答】解：延長AB交MN于點P′，∵P′A﹣P′B＝AB，AB＞|PA﹣PB|，∴當(dāng)點P運動到P′點時，|PA﹣PB|最大，∵BD＝10，CD＝8，AC＝16，過點B作BE⊥AC，則BE＝CD＝8，AE＝AC﹣BD＝16﹣10＝6，∴AB＝＝＝10，∴|PA﹣PB|的最大值等于10，故答案為：10．11.（2022·貴州黔東南·八年級期末）如圖，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，EF是BC的垂直平分線．點P是EF上的動點，則|PA-PB|的最大值為_______________【答案】3【分析】由三角形三邊關(guān)系可知當(dāng)點P在BA的延長線上時|PA-PB|的值最大．【詳解】解：如圖所示，延長BA交直線EF于點P，此時|PA-PB|=AB=3最大，故答案為：3．【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，確定P的位置是解題的關(guān)鍵．12．如圖，∠AOB＝45°，P是∠AOB內(nèi)的一點，PO＝10，點Q，R分別在∠AOB的兩邊上，△PQR周長的最小值是．【解答】解：如圖所示，分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點P'、P''，連接P'P''交OA、OB于點Q、R，此時，△PQR的周長最小，最小即為P'P''的長．連接OP'，OP''．根據(jù)軸對稱性可得：∠P''OB＝∠BOP，∠P'OA＝∠AOP，OP＝OP'＝OP''＝10，∵∠AOB＝45°，∴∠P'OP''＝90°，∴P'P''＝＝＝．故答案為：10．13．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M、N、P分別是邊AB、AC、BC上的動點，連接PM、PN和MN，則PM+PN+MN的最小值是．【解答】解：如圖，作點P關(guān)于AB，AC的對稱點E，F(xiàn)，連接PE，PF，PA，EM，F(xiàn)N，AE，AF．∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，∴BC＝＝＝5，由對稱的性質(zhì)可知，AE＝AP＝AF，∠BAP＝∠BAE，∠CAP＝∠CAF，∵∠PAB+∠PAC＝∠BAC＝90°，∴∠EAF＝180°，∴E，A，F(xiàn)共線，∵M(jìn)E＝MP，NF＝NP，∴PM+MN+PN＝EM+MN+NF，∵EM+MN+NF≥EF，∴EF的值最小時，PM+MN+PN的值最小，∵EF＝2PA，∴當(dāng)PA⊥BC時，PA的值最小，此時PA＝＝，∴PM+MN+PN≥，∴PM+MN+PN的最小值為．故答案為：．14．（2022·河南南陽·八年級階段練習(xí)）如圖，等邊的邊長為4，點是邊的中點，點是的中線上的動點，則的最小值是_____．【答案】【分析】當(dāng)連接BE，交AD于點P時，EP+CP=EP+PB=EB取得最小值．【詳解】解：連接BE∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分線，∴點C關(guān)于AD的對應(yīng)點為點B，∴BE就是EP+CP的最小值．∵△ABC是等邊三角形，E是AC邊的中點，∴BE是△ABC的中線，∴CE＝AC＝2，∴即EP+CP的最小值為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了軸對稱-最短路線問題以及等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握等邊三角形和軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2022·江蘇南通·一模）平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點P（m，m＋2），點Q（n，0），點M（1，1），則PQ＋QM最小值為_________．【答案】【分析】根據(jù)點P（m，m＋2）可知，點P在一次函數(shù)的圖像上移動，作出圖示，并作M關(guān)于x軸的對稱