材料有限元分析課件-5

4.3.幾何非線性4.3.1.問題的提出大位移和大變形使得研究對象的平衡方程(應(yīng)力同體力的關(guān)系)與幾何方程(應(yīng)變同位移的關(guān)系)不滿足線性特征。幾何非線性：由物體內(nèi)結(jié)點的大位移和大轉(zhuǎn)動引起的非線性問題。大變形、大位移舉例（板料彎曲）求解幾何非線性問題的基本思路：增量分析法（1）完全Lagrange格式增量計算的參考點恒定。即，整個分析過程中參考位形保持不變。位形：分析對象的位置和形狀。（2）更新Lagrange格式增量計算的參考點為上一步分析結(jié)果。設(shè)：物體內(nèi)任一點P在t=0時刻的坐標(biāo)為；與P相鄰的點Q之坐標(biāo)為。由于外力的作用，在t時刻，P、Q點的坐標(biāo)分別為和。4.3.2.大變形下的應(yīng)變和應(yīng)力（1）應(yīng)變度量如圖，一物體在某種外力的作用下連續(xù)地改變其位形（物體中所有質(zhì)點瞬時位置的集合稱物體的構(gòu)形或位形）。

從坐標(biāo)變換的角度考慮，t=0和t=t兩個時刻的點坐標(biāo)之間存在如下關(guān)系(4-73)存在著唯一的逆變換分別對(4-73)和(4-74)進(jìn)行微分令則(4-75)可表示為利用(4-77)可計算出時刻0和時刻t所對應(yīng)的P、Q兩點的距離(用平方表示)由此可得物體變形前后PQ線段長度的變化值(變形度量)或式中兩種張量之間的關(guān)系ReturnP19為得到應(yīng)變與位移的關(guān)系，特引入位移場或?qū)?4-86)和(4-87)代入(4-81)和(4-82)，得(4-88)和(4-89)即為大變形情況下表示位移與應(yīng)變之間關(guān)系的幾何方程。討論：位移量非常小，(4-88)和(4-89)的二次項可忽略不計，此時如果在大變形情況下則有用Green-Lagrange應(yīng)變張量描述物體剛性轉(zhuǎn)動時，其分量值保持恒定?？陀^張量：在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中不隨剛體運動的對稱張量。（2）應(yīng)力度量如圖，表示當(dāng)內(nèi)力張量dT作用時，物體中的微元在不同時刻的變形情況。

為使變形前后的應(yīng)力張量在數(shù)學(xué)上保持一致，有

Lagrange規(guī)定

Kirchhoff規(guī)定討論：用Kirchhoff應(yīng)力張量描述物體剛性轉(zhuǎn)動時，其分量值保持恒定(客觀張量)。

Jaumann應(yīng)力速率張量(在進(jìn)行非線性增量分析時需要)式中與Jaumann應(yīng)力速率張量對應(yīng)的應(yīng)變速率張量4.3.3.幾何非線性問題的表達(dá)格式（1）虛位移原理假設(shè)：時刻0和時刻t對應(yīng)的位形點坐標(biāo)和位移已經(jīng)求得上述兩式相減，得時刻位移增量它們與時刻 的點坐標(biāo)和位移之間存在關(guān)系現(xiàn)用第一章介紹的虛功原理(方程)求解 的位形點坐標(biāo)與位移(4-101)不能直接求解，因未知。（2）全Lagrange格式思路：(4-101)和(4-102)中的未知量均以時刻0的初值作為參考。具體做法： 引入綜合Green-Lagrange應(yīng)變張量表達(dá)式(4-81)和本節(jié)虛位移原理中介紹的幾個公式，以及(4-104)，可得物體在時刻，其內(nèi)部位形對應(yīng)的與平衡方程等效的虛位移方程(參考于初始位形)可表示為Return22（3）更新的Lagrange格式思路：(4-101)和(4-102)中的未知量均以前一時刻t的位形作為參考，即以物體更新的位形作為參考。仿照全Lagrange格式的推導(dǎo)過程，可得與(4-108)比較，上式中的