專題08 相似模型之梅涅勞斯（定理）模型與塞瓦（定理）模型（解析版）

專題08相似模型之梅涅勞斯（定理）模型與塞瓦（定理）模型梅內(nèi)勞斯（Menelaus，公元98年左右），是希臘數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家，梅涅勞斯定理是平面幾何中的一個重要定理。梅涅勞斯（定理）模型：如圖1，如果一條直線與的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點，那么．這條直線叫的梅氏線，叫梅氏三角形．梅涅勞斯定理的逆定理：如圖1，若F、D、E分別是的三邊AB、BC、CA或其延長線的三點，如果，則F、D、E三點共線．圖1圖2塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利數(shù)學(xué)家兼水利工程師．他在1678年發(fā)表了一個著名的定理，后世以他的名字來命名，叫做塞瓦定理。塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC內(nèi)任取一點G，延長AG、BG、CG分別交對邊于D、E、F，如圖2，則。注意：①梅涅勞斯（定理）與塞瓦（定理）區(qū)別是塞瓦定理的特征是三線共點，而梅涅勞斯定理的特征是三點共線；②我們用梅涅勞斯（定理）與塞瓦（定理）解決的大部分問題，也添加輔助線后用平行線分線段成比例和相似來解決。例1.如圖，在中，D為AC中點，，求證：．【解析】∵HFC是的梅氏線，∵直線AE是的梅氏線，∴．∴，∴，∵直線AF是的梅氏線，∴，∴，．∴．【點睛】這道題也是梅氏定理的直接應(yīng)用，但是對于梅氏定理的應(yīng)用的難點，在于找梅氏線．例2.如圖，在中，，，AD、BE交于點，求．【解析】∵HFC是的梅氏線，由AFD截可得，又，，∴．【點睛】這道題也是梅氏定理的直接應(yīng)用，但是對于梅氏定理的應(yīng)用的難點，在于找梅氏線．例3.如圖所示，被通過它的三個頂點與三角形內(nèi)一點O的三條直線分為6個小三角形，其中三個小三角形的面積如圖所示，求的面積．【解析】有題意知：，對和截線，由梅氏定理得：，即，∴，∴∴【點睛】這道題主要考查梅氏定理和面積問題．例4.已知AD是的高，點D在線段BC上，且，，作于點E，于點F，連接EF并延長，交BC的延長線于點G，求CG．【解析】如圖，設(shè)，EFG是的梅氏線．則由梅涅勞斯定理．顯然的，，于是，得．【點睛】這道題主要考查梅內(nèi)勞斯定理和射影模型的綜合．例5.如圖所示，△ABC的三條外角平分線BE、AD、CF，與對邊所在直線交于E、D、F三點，求證：D、E、F三點共線。【解析】由外角平分線性質(zhì)定理可得:；；．所以由梅涅勞斯定理的逆定理可得D、E、F三點共線?！军c睛】這道題主要考查梅氏定理和角平分線定理的綜合應(yīng)用．例6．（2023·山西·期中聯(lián)考）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．梅涅勞斯（Menelaus）是公元一世紀(jì)時的希臘數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家，著有幾何學(xué)和三角學(xué)方面的許多書籍．梅涅勞斯發(fā)現(xiàn)，三角形各邊（或其延長線）被一條不過任何一個頂點也不與任何一條邊平行的直線所截，這條直線可能與三角形的兩條邊相交（一定還會與一條邊的延長線相交），也可能與三條邊都不相交（與三條邊的延長線都相交）．他進行了深入研究并證明了著名的梅涅勞斯定理（簡稱梅氏定理）：設(shè)，，依次是的三邊，，或其延長線上的點，且這三點共線，則滿足．這個定理的證明步驟如下：情況①：如圖1，直線交的邊于點，交邊于點，交邊的延長線與點．過點作交于點，則，（依據(jù)），∴，∴，即．情況②：如圖2，直線分別交的邊，，的延長線于點，，．…(1)情況①中的依據(jù)指：；(2)請你根據(jù)情況①的證明思路完成情況②的證明；(3)如圖3，，分別是的邊，上的點，且，連接并延長，交的延長線于點，那么【答案】(1)兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例(2)證明過程見詳解(3)【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理解決問題即可；（2）如圖2中，作交于，模仿情況①的方法解決問題即可；（3）利用梅氏定理即可解決問題．【詳解】（1）解：情況①中的依據(jù)是：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例．故答案為：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例．（2）證明：如圖2中，作交于，則有，∴，∴，則，變形得，∴，∵，∴，∴，∴，∴．（3）解：∵，，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．例7．如圖：P，Q，R分別是△ABC的BC，CA，AB邊上的點．若AP，BQ，CR相交于一點M，求證：．證明：如圖，由三角形面積的性質(zhì)，有，，．以上三式相乘，得．例8.如圖，設(shè)M為△ABC內(nèi)的一點，BM與AC交于點E，CM與AB交于點F，若AM通過BC的中點，求證：EF//BC?！驹斀狻孔C明：在中，∵點D為邊BC的中點，∴．對△ABC和點M應(yīng)用賽瓦定理可得：．∴，∴．即EF//BC；點評：本題考查了賽瓦定理，要熟練掌握定理的內(nèi)容，是解此題的關(guān)鍵．例8.如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD，在CD上取一點E，BE與AC相交于F，延長DF交BC于G。求證：∠GAC=∠EAC。解答：證明：如圖，連接BD交AC于H，過點C作AB的平行線交AG的延長線于I，過點C作AD的平行線交AE的延長線于J．對△BCD用塞瓦定理，可得①

因為AH是∠BAD的角平分線，由角平分線定理知．代入①式得②

因為CI∥AB，CJ∥AD，則．代入②式得．

從而CI=CJ．又由于∠ACI=180°-∠BAC=180°-∠DAC=∠ACJ，

所以△ACI≌△ACJ，故∠IAC=∠JAC，即∠GAC=∠EAC．點評：本題難度較大，考查了賽瓦定理，要熟練掌握定理的內(nèi)容，是解此題的關(guān)鍵．例9.如圖，四邊形ABCD的對邊AB和CD，AD、BC分別相交于L、K，對角線AC與BD交于點M，直線KL與BD，AC分別交于F、G，求證：.對△DKL和點B應(yīng)用賽瓦定理可得：．①對和截線，由梅氏定理得：②由①②得：點評：本題考查了賽瓦定理，要熟練掌握定理的內(nèi)容，是解此題的關(guān)鍵．例10．（2022·山西晉中·統(tǒng)考一模）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)：塞瓦定理：塞瓦定理載于1678年發(fā)表的《直線論》，是意大利數(shù)學(xué)家塞瓦的重大發(fā)現(xiàn)．塞瓦是意大利偉大的水利工程師，數(shù)學(xué)家．定理內(nèi)容：如圖1，塞瓦定理是指在內(nèi)任取一點，延長AO，BO，CO分別交對邊于D，E，F(xiàn)，則．?dāng)?shù)學(xué)意義：使用塞瓦定理可以進行直線形中線段長度比例的計算，其逆定理還可以用來進行三點共線、三線共點等問題的判定方法，是平面幾何學(xué)以及射影幾何學(xué)中的一項基本定理，具有重要的作用．任務(wù)解決：(1)如圖2，當(dāng)點D，E分別為邊BC，AC的中點時，求證：點F為AB的中點；(2)若為等邊三角形（圖3），，，點D是BC邊的中點，求BF的長，并直接寫出的面積．【答案】(1)證明見解析(2)；的面積為【分析】（1）根據(jù)塞瓦定和中點的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)塞瓦定和等邊三角形的性質(zhì)即可求出BF，然后過點F作FG⊥BC于G，證明，可求出OD，從而求出△BOC的面積，然后根據(jù)可求△BCF的面積，從而得解．【詳解】（1）證明：在中，∵點D，E分別為邊BC，AC的中點，∴，．由賽瓦定理可得：．∴，∴．即點F為AB的中點；（2）解：∵為等邊三角形，，∴∵點D是BC邊的中點，∴，∵，∴．由賽瓦定理可得：；過點F作FG⊥BC于G，∴，，∴CG=BC-BG=8，∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴，∴，∴，即，∴，∴，∵AB=12，BF=8，∴AF=AB-BF=4，∴，∴又，∴，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、中點的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，讀懂題意，學(xué)會運用塞瓦定理是解題的關(guān)鍵．課后專項訓(xùn)練1．如圖，在△ABC中，M是AC的中點，E是AB上一點，AE＝AB，連接EM并延長，交BC的延長線于D，則＝（）A． B．2 C． D．解：法1：對和截線，由梅氏定理得：，∵M是AC的中點，E是AB上一點，AE＝AB，∴，∴，∴，∴，故選B.法2：如圖，過C點作CP∥AB，交DE于P，∵PC∥AE，∴△AEM∽△CPM，∴＝，∵M是AC的中點，∴AM＝CM，∴PC＝AE，∵AE＝AB，∴CP＝AB，∴CP＝BE，∵CP∥BE，∴△DCP∽△DBE，∴＝＝，∴BD＝3CD，∴BC＝2CD，即＝2．故選：B．2.如圖，D、E、F內(nèi)分正△ABC的三邊AB、BC、AC均為1：2兩部分，AD、BE、CF相交成的△PQR的面積是△ABC的面積的（）A． B． C． D．解：對△ADC用梅涅勞斯定理可以得：??＝1，則＝．設(shè)S△BCF＝，S△BCQ＝S△BCE＝，SBPRF＝S△ABD＝，∴S△PQR＝S△BCF﹣S△BCQ﹣SBPRF＝S△ABC．故選：D．3．（廣東2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，，，，，垂足為D，E為的中點，與交于點F，則的長為．

【答案】【分析】過點F作于H，根據(jù)勾股定理求得的值，根據(jù)三角形的面積求得的值，根據(jù)勾股定理求得的值，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得，設(shè)，，，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可求得k的值，即可求得和的值，根據(jù)勾股定理求得的值，即可求解．【詳解】解：如圖，過點F作于H．

在中，，，則，∵，∴，即解得：，在中，，，，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，設(shè)，，，∵，，，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理，三角形的面積，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022年山西中考一模數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，，，．是邊上的中線．將沿方向平移得到．與相交于點，連接并延長，與邊相交于點．當(dāng)點為的中點時，的長為．

【答案】/【分析】則E為的中點，得為的中點，證明，推出，在中，利用勾股定理求得，再根據(jù)相似比即可求解．【詳解】解：∵由平移的性質(zhì)得，，∴E為的中點，，∴，∴為的中點，∵D是邊上的中點，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，在中，，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平移的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．5.如圖，等邊△ABC的邊長為2，F(xiàn)為AB中點，延長BC至D，使CD＝BC，連接FD交AC于E，則四邊形BCEF的面積為．解：∵DEF是△ABC的梅氏線，∴由梅涅勞斯定理得，??＝1，即??＝1，則＝，連FC，S△BCF＝S△ABC，S△CEF＝S△ABC，于是SBCEF＝S△BCF+S△CEF＝S△ABC＝××2×2sin60°＝×＝．故答案為．6.如圖，在中，AD、CE交于點F，若，，求．【解析】∵直線是的梅氏線，∴，又，，∴，∴，∴．【點睛】這道題也是梅氏定理的直接應(yīng)用，但是對于梅氏定理的應(yīng)用的難點，在于找梅氏線．7.P是平行四邊形ABCD內(nèi)任意一點，過P作AD的平行線，分別交AB于E，交CD于F；又過P作AB的平行線，分別交AD于G，交BC于H，又CE，AH相交于Q．求證：D，P，Q三點共線．【解析】對和截線DPQ，由梅涅勞斯定理的逆定理得：，故D，P，Q三點共線．【點睛】這道題主要是考查梅氏定理逆定理判定三點共線．8.（2023.湖北九年級期中）梅涅勞斯定理梅涅勞斯（Menelaus）是古希臘數(shù)學(xué)家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內(nèi)容是：如圖（1），如果一條直線與△ABC的三邊AB，BC，CA或它們的延長線交于F、D、E三點，那么一定有??＝1．下面是利用相似三角形的有關(guān)知識證明該定理的部分過程：證明：如圖（2），過點A作AG∥BC，交DF的延長線于點G，則有＝．任務(wù)：（1）請你將上述材料中的剩余的證明過程補充完整；（2）如圖（3），在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，點D為BC的中點，點F在AB上，且BF＝2AF，CF與AD交于點E，則AE＝．解：（1）補充的證明過程如下：∵AG∥BD，∴△AGE∽△CDE．∴，∴；（2）根據(jù)梅涅勞斯定理得：．又∵，，∴DE＝AE．在Rt△ABD中，AB＝13，BD＝5，∠ADB＝90°，則由勾股定理知：AD＝＝＝12．∴AE＝6．故答案是：6．9．（江蘇2022-2023學(xué)年九年級月考）如圖1，在中，D是邊上的一點，過點D的直線分別與、的延長線交于點M、N．問題引入：若點D是的中點，，求的值；如圖2，可以過點C作，交于點P；如圖3，也可以過點A作，交延長線于點Q．探索研究：（1）如圖4，若點D為上任意一點，求證：．

拓展應(yīng)用：（2）如圖5，P是內(nèi)任意一點，，則_______，____．【答案】（1）見詳解；（2），【分析】（1）過點C作CP∥AB交MN于點P，由題意易得，，則有，，然后問題可求證；（2）過點D分別作DG∥AB，DH∥AC，由題意易得，，，，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可進行求解．【詳解】（1）證明：過點C作CP∥AB交MN于點P，如圖所示：∴，，∴，，∴；（2）過點D分別作DG∥AB，DH∥AC，如圖所示：∴，，∴，，∵，∴，，∴，∴；∵DH∥AC，∴，，∴，，∴，∴；故答案為，．【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．10．（2023·四川內(nèi)江·中考模擬）如圖，在△ABC中，D是BC邊上的點（不與點B、C重合），連結(jié)AD．問題引入：（1）如圖①，當(dāng)點D是BC邊上的中點時，S△ABD：S△ABC=；當(dāng)點D是BC邊上任意一點時，S△ABD：S△ABC=（用圖中已有線段表示）．探索研究：（2）如圖②，在△ABC中，O點是線段AD上一點（不與點A、D重合），連結(jié)BO、CO，試猜想S△BOC與S△ABC之比應(yīng)該等于圖中哪兩條線段之比，并說明理由．拓展應(yīng)用：（3）如圖③，O是線段AD上一點（不與點A、D重合），連結(jié)BO并延長交AC于點F，連結(jié)CO并延長交AB于點E，試猜想的值，并說明理由．【答案】（1）1：2，BD：BC；（2）S△BOC：S△ABC=OD：AD，理由見解析；（3）=1，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式，兩三角形等高時，可得兩三角形底與面積的關(guān)系，可得答案；（2）根據(jù)三角形的面積公式，兩三角形等底時，可得兩三角形的高與面積的關(guān)系，可得答案；（3）根據(jù)三角形的面積公式，兩三角形等底時，可得兩三角形的高與面積的關(guān)系，再根據(jù)分式的加減，可得答案．【詳解】解：（1）如圖①，當(dāng)點D是BC邊上的中點時，S△ABD：S△ABC=1：2；當(dāng)點D是BC邊上任意一點時，S△ABD：S△ABC=BD：BC，故答案為：1：2，BD：BC；（2）S△BOC︰S△ABC＝OD︰AD．理由如下：如圖，分別過點O、A作OM⊥BC于M，AN⊥BC于N．∴OM∥AN．∴△OMD∽△AND，∴．∵，∴．（3）．理由如下：由（2）得，同理可得，．∴＝1．【點睛】本題考查了相似形綜合題，利用了等底的三角形面積與高的關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)．11．（2023·重慶·八年級期中）如圖，的面積為，、分別是，上的點，且,．連接,交于點,連接并延長交于點．則四邊形的面積為．【答案】.【分析】先畫出圖形,再作DJ∥EC交AB于J,交AH于K，作DG∥BC交AH于G，由題推出EF:FC=1:3，BH:CH=1:2，求出△BEF,△BFH的面積即可．【詳解】根據(jù)題意畫出圖形:作DJ∥EC交AB于J,交AH于K作DG∥BC交AH于G，∵DJ∥EC,AD=DC，∴AJ=JE,AK=KF，∴EF=2JK,DJ=2EF,CF=2DK，設(shè)JK=m,則EF=2m,DJ=4m,DK=3m,CF=6m，∴EF: