專題06 線段與角的等量代換模型（原卷版）

專題06線段與角的等量代換模型等量代換是數(shù)學變形的最常見方式之一,它以處理問題步驟簡捷、巧妙靈活,給人留下深刻的印象。運用它來解決中學代數(shù)和幾何的有關(guān)問題（本專題主要涉及線段與角度的代換）,還可以避免繁雜運算,具有計算量小的獨特優(yōu)點,因此有著廣泛的應用。模型1.

線段與角度的等量代換模型【模型解讀】“等量代換”是在數(shù)學幾何中常用的一種推理證明方法，應用于角度或線段相等關(guān)系的推導。1）線段的等量代換條件：如圖，已知：EG=HF；結(jié)論：EH=GF.2）角度的等量代換（圖中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4）條件1：如圖，已知∠AOB=∠DOC；結(jié)論：∠1=∠2.條件2：如圖，已知∠AOB=∠DOC=90°；結(jié)論：∠1=∠2，∠3+∠4=180°.利用等量代換我們還可以推導三個重要的性質(zhì)：①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的補角相等；③對頂角相等；例1．（2023·重慶七年級課時練習）如圖，點C,D在線段AB上，若AC=DB,則（

）A．AC=CDB．CD=DBC．AD=2DBD．AD=CB例2．（2023秋·新疆烏魯木齊·七年級?？计谀┤鐖D，點、、在同一直線上，為的中點，為的中點，為的中點，則下列說法：，其中正確的是（）A． B． C． D．例4．（2023秋·河南漯河·七年級校考期末）如圖，D、E順次為線段上的兩點，，C是的中點，則的值是（）A．5 B．6 C．7 D．8例5．（2023·廣東廣州·七年級?？计谀┤鐖D，（1）若，則；（2）若，則．例6．（2023·云南昭通·七年級統(tǒng)考階段練習）如圖所示，已知，，則的度數(shù)是（

）

A．30° B．80° C．40° D．45°例7．（2023秋·福建廈門·七年級統(tǒng)考期末）下列推理錯誤的是（

）A．因為，所以B．因為，所以C．因為，所以D．因為，所以例8．（2023春·廣東佛山·七年級?？茧A段練習）如圖所示，是一條直線，若，則，其理由是（

）A．內(nèi)錯角相等 B．等角的補角相等 C．同角的補角相等 D．等量代換例9．（2023·福建福州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，平面內(nèi)，平分，則以下結(jié)論：①；②；③；④平分．其中正確的是．（填序號）例10．（2023.黑龍江省哈爾濱市七年級期末）如圖，已知．

(1)試說明：；(2)若平分，，，求的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，作射線，，當，時，請正確畫出圖形，并直接寫出的度數(shù)．例11．（2023秋·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）閱讀材料并回答問題．數(shù)學課上，老師提出了如下問題：已知點在直線上，，在同一平面內(nèi)，過點作射線，滿足．當時，如圖1所示，求的度數(shù)．

甲同學：以下是我的解答過程（部分空缺）解：如圖2，∵點O在直線上，∴，∵，∴，，∴平分，∴，∵，，∴．乙同學：“我認為還有一種情況．”請完成以下問題：(1)請將甲同學解答過程中空缺的部分補充完整．(2)判斷乙同學的說法是否正確，若正確，請在圖1中畫出另一種情況對應的圖形，并求的度數(shù)，寫出解答過程；若不正確，請說明理由．(3)將題目中“”的條件改成“”，其余條件不變，當在到之間變化時，如圖3所示，為何值時，成立？請直接寫出此時的值．例12．（2023秋·河南鶴壁·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線，相交于點，．(1)若，，求的度數(shù)；(2)如果，那么與互相垂直嗎？請說明理由．課后專項訓練1．（2023·山西大同·七年級統(tǒng)考期末）如圖，線段AB上有C，D兩點，其中D是BC的中點，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A．AB－AC＝BDB．CD＋BD＝ACC．CD＝ABD．AD－AC＝DB2．（2023·山東聊城·七年級統(tǒng)考期中）如圖，AC>BD，比較線段AB與線段CD的大小（

）A．AB＝CD B．AB>CD C．AB＜CD D．無法比較3．（2023秋·湖北隨州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點C、D是線段AB上任意兩點，點M是AC的中點，點N是DB的中點，若，，則線段CD的長是（

）A． B． C． D．4．（2023·江蘇·七年級階段練習）如圖所示，點P，Q，C都在直線AB上，且P是AC的中點，Q是BC的中點，若AC＝m，BC＝n，則線段PQ的長為（

）A． B． C． D．5．（2023·黑龍江哈爾濱·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，則圖中互補的角共有（

）

A．7對 B．6對 C．5對 D．4對6．（2023云南七年級期末）如圖所示，，且與關(guān)系為（

）A．互補 B．互余 C．和為 D．和為7．（2023春·河南焦作·七年級統(tǒng)考期中）如果，，那么與的關(guān)系是（

）A．互余 B．互補 C．相等 D．無法確定8．（2023秋·山東濱州·七年級統(tǒng)考期末）如圖所示，用量角器度量一些角的度數(shù)．下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．C．與的大小相同D．與互余9．（2023春·山西太原·七年級?？计谥校W完第二章后，同學們對“對頂角相等”進行了如圖所示的推理，其中“”處的依據(jù)為（

）

如圖，因為直線，相交于點，所以與都是平角．所以，．所以（據(jù)：）A．同角的余角相等 B．同角的補角相等 C．同位角相等 D．平角的定義10．（2023秋·廣東深圳·七年級校考期末）如圖所示，將三個大小相同的正方形的一個頂點重合放置，則、、三個角的數(shù)量關(guān)系為（）

A．B．C．D．11．（2023秋·廣東深圳·七年級校考期末）如圖，點在線段的延長線上，且線段，第一次操作：分別取線段和的中點、；第二次操作：分別取線段和的中點，；第三次操作：分別取線段和的中點，；……連續(xù)這樣操作20次，則每次的兩個中點所形成的所有線段之和（

）A． B． C． D．12．（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級?？奸_學考試）在同一平面內(nèi)，，與互余，則為．13．（2023春·廣東佛山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，于點．若，則的度數(shù)是．

14．（2023秋·河北唐山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，線段上有、兩點，且，是的中點，若，則．

15．（2023春·陜西寶雞·七年級統(tǒng)考期中）如圖，和都是直角，則（填，，）．16．（2023秋·湖南婁底·七年級統(tǒng)考期末）如圖，C，D是線段上兩點，若，，且D是的中點，則．

17．（2023秋·山東菏澤·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點在線段上，且，點E是線段的中點，若，則的長為．18．（2023·福建莆田·七年級?？奸_學考試）如圖，點C、D為線段AB上兩點，AC+BD＝8，AD+BC＝AB，則CD等于．19．（2023秋·山西長治·七年級統(tǒng)考期末）如圖，C，D是線段AB上兩點，且點C在點D的左側(cè)，M，N分別是線段，的中點．若，，則AB的長為．20．（2023.湖北武漢江岸區(qū)七年級期末）已知點A、B、C都在直線l上，點C是線段的三等分點，D、E分別為線段中點，直線l上所有線段的長度之和為91，則．22．（2023秋·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，過點作射線，，使，則．23．（2023春·河北滄州·七年級?？茧A段練習）如圖，直線AB和直線CD相交于點O，，有下列結(jié)論：①與互為余角；②；③；④與互為補角；⑤與互為補角；⑥與互為余角，其中錯誤的有（填序號）．24．（2023春·綿陽市七年級期中）如圖，O是直線上一點，平分，且．(1)圖中存在____________組互補的角；與互補的角為____________；(2)求證：平分．下面給出平分的證明過程，請你將過程補充完整．證明：∵平分，∴____________（

）．∵O是直線上一點，∴（

）．∵，∴．∵，∵，∴____________（

）．∴平分．25．（2022秋·北京·七年級校考期末）完成下列說理過程（括號中填寫推理的依據(jù)）：已知：如圖，直線，相交于點，平分，．求證：．證明：平分，．（①），．直線，相交于點，．．②．（③）直線，相交于，，．④．（⑤）．26．（2023·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）閱讀材料并回答問題：數(shù)學課上，老師給出了如下問題：如圖1，，OC平分．若，請你補全圖形，并求的度數(shù)．同學一：以下是我的解答過程（部分空缺）解：如圖2，∵，OC平分，∴（1）°∵，∴（2）=（3）°．同學二：“符合題目要求的圖形還有一種情況．”請你完成以下問題：(1)將同學一的解答過程空缺部分補充完整．(2)判斷同學二的說法是否正確，若不正確，請說明理由；若正確，請你在圖1中畫出另一種情況對應的圖形，并求的度數(shù)．(3)若，直接寫出的度數(shù)27．（2023·廣東七年級課時練習）問題：如圖，點C是線段AB的中點，點D在線段CB上，點E是線段AD的中點，若EC=3，求線段DB的長．請補全以下解答過程．解：因為點C是線段AB的中點，_________，所以_________，AD=2AE．因為DB=AB?_________，所以DB=_________?2AE=2(AC?AE)=2EC．因為EC=3，所以DB=_________．28．（2023·重慶萬州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，長度為的線段上有兩點C、D，這兩點將線段分成．(1)求線段的長；(2)點M為線段的中點，點N為線段的中點，求線段的長度．29．（2023.湖北省蘄春縣七年級期末）已知C為線段AB的中點，D是線段AC的中點．（1）畫出相應的圖形，并寫出圖中線段的條數(shù)和名稱；（2）若圖中所有線段的長度和為26，求線段AC的長度；（3）若E為線段BC上的點，M為EB的中點，，求線段AB的長度（用含的代數(shù)式表示）．30．（2023·廣東珠?！て吣昙夐_學考試）對“如果和都是的余角，那么”的說理過程，在括號內(nèi)填上依據(jù)．理由：因為（已知），所以（等式的性質(zhì)）．因為，所以（

）．所以（

）．31．（2023春·貴州銅仁·七年級統(tǒng)考期中）已知，在內(nèi)部，．

(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，若平分，請說明：；(3)如圖3，若在的外部分別作，的余角，，求的度數(shù)．32．（2023秋·湖南益陽·七年級?？计谀╅喿x材料并回答問題：數(shù)學課上，老師給出了如下問題：已知，如圖1，，平分．若，請你補全圖形，并求的度數(shù)．同學一的解答如下：解：如圖2，作因為，平分，所以______________，因為，所以___________________________，同學二說：“符合題目要求的圖形還有一種情況．”請你完成以下問題：(1)將同學一的解答過程空缺部分補充完整；(2)判斷同學二的說法是否正確，若不正確，請說明理由；若正確，請你在圖中畫出另一種情況對應的圖形，并求的度數(shù)．33．（2023秋·陜西寶雞·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，為銳角，平分，射線在內(nèi)部．(1)圖中共有多少個小于平角的角？(2)若，，求的度數(shù)．(3)若，，請通過計算判斷與的關(guān)系．34．（2023秋·湖北鄂州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，，平分，（）．(1)求的度數(shù)（用含的式子表示）；請將以下解答過程補充完整