專題09 特殊的平行四邊形中的最值模型之將軍飲馬模型（解析版）

專題09特殊的平行四邊形中的最值模型之將軍飲馬模型“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩人李頎《古從軍行》里的一句詩，由此卻引申出一系列非常有趣的數(shù)學(xué)問題，通常稱為“將軍飲馬”。將軍飲馬問題從本質(zhì)上來看是由軸對稱衍生而來，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以中高檔題為主，本專題就特殊的平行四邊形背景下的將軍飲馬問題進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。在解決將軍飲馬問題主要依據(jù)是：兩點(diǎn)之間，線段最短；垂線段最短；涉及的基本方法還有：利用軸對稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。模型1.求兩條線段和的最小值（將軍飲馬模型）【模型解讀】在一條直線m上，求一點(diǎn)P，使PA+PB最??；（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：（2）點(diǎn)A、B在直線同側(cè)：【最值原理】兩點(diǎn)之間線段最短。上圖中A’是A關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)。例1．（2023·山西運(yùn)城·九年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形的對角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是直線上一動點(diǎn)．若，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查軸對稱最短路徑，勾股定理的綜合，理解圖示，作出對稱點(diǎn)，運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．作點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，其與的交點(diǎn)即為點(diǎn)E，過點(diǎn)O作于點(diǎn)F，，O，E在同一條線上的時(shí)，最小，此時(shí)：，再結(jié)合正方形的性質(zhì)和勾股定理，即可求解．【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，其與的交點(diǎn)即為點(diǎn)E，過點(diǎn)O作于點(diǎn)F，∴，，O，E在同一條線上的時(shí)，最小，此時(shí)：，∵正方形，點(diǎn)O為對角線的交點(diǎn)，∴，∴，∵A與關(guān)于對稱，∴，∴，在中，，故選：D．例2．（2023·廣東廣州·八年級?？计谥校┤鐖D，正方形中，，連接，的平分線交于點(diǎn)E，在上截取，連接，分別交于點(diǎn)G，H，點(diǎn)P是線段上的動點(diǎn)，于點(diǎn)Q，連接，以下結(jié)論：①；②；③；④的最小值是，其中正確的結(jié)論有（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題綜合考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，能夠合理選擇正方形的性質(zhì)找到全等三角形是解題的關(guān)鍵.①利用正方形的性質(zhì)證明得到進(jìn)而可證；②利用正方形的性質(zhì)證明，得到，證明，進(jìn)而可證；③求得的長度，然后求出，進(jìn)而可證；④證明垂直平分，過點(diǎn)作，利用垂線段最短可知的長度為最小值，利用等面積法可求.【詳解】∵正方形，∴，，∴，在和中,，∴，∴，，∴，∴，故①正確；∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∵正方形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故②正確；∵，∴，，，即，結(jié)論③錯(cuò)誤；，，，∴垂直平分，，當(dāng)時(shí)，有最小值，過點(diǎn)作，則的長度為的最小值，，即的最小值為，故④正確．正確的為:①②④，個(gè)數(shù)為3故選：C例3．（2022·湖南婁底·中考真題）菱形的邊長為2，，點(diǎn)、分別是、上的動點(diǎn)，的最小值為______．【答案】【分析】過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，交BD于G，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題以及垂線段最短可知CE為FG+CG的最小值，當(dāng)P與點(diǎn)F重合，Q與G重合時(shí)，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，交BD于G，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題以及垂線段最短可知CE為FG+CG的最小值，當(dāng)P與點(diǎn)F重合，Q與G重合時(shí)，PQ+QC最小，菱形的邊長為2，，中，PQ+QC的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查菱形性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，掌握軸對稱的性質(zhì)求線段和的最小值是解題關(guān)鍵．例4．（2023下·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，已知菱形的面積為20，邊長為5，點(diǎn)、分別是邊、上的動點(diǎn)，且，連接、，、和點(diǎn)不重合，則的最小值為（

）

A． B． C．10 D．【答案】D【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)．過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長到點(diǎn)，使，根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理可得，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，垂直于方向?yàn)檩S，建立平面直角坐標(biāo)系，可得，，，，，然后證明，可得，連接，，，由，可得，，三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，所以的最小值的最小值，利用勾股定理即可解決問題．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長到點(diǎn)，使，四邊形是菱形，，，菱形的面積為20，邊長為5，，在中，根據(jù)勾股定理得：，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，垂直于方向?yàn)檩S，建立平面直角坐標(biāo)系，

，，，，，，，，在和中，，，，連接，，，，，，三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，的最小值的最小值．但是當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)不在邊上，．故選：D．例5．（2023上·福建漳州·九年級校考期中）如圖，矩形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)．點(diǎn)為對角線上的一動點(diǎn)．則的最小值等于（）

A． B．6 C． D．8【答案】B【分析】作點(diǎn)于直線的對稱點(diǎn)，連接、、，在取一點(diǎn)，使得點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線成抽對稱，則,，，，當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，利用勾股定理及等邊三角形的性質(zhì)求出即可．【詳解】解：作點(diǎn)于直線的對稱點(diǎn)，連接、、，在取一點(diǎn)，使得點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線成抽對稱，則,，，，當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，

∵四邊形是矩形，∴,,∵,∴，，∴,,∴是等邊三角形，∵，∴,∴,∴的最小值等于故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對稱和最短路線問題，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理等知識點(diǎn)，確定點(diǎn)的位置是解答本題的關(guān)鍵．例6．（2022上·重慶大渡口·九年級?？计谀┤鐖D，在矩形中，，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在上，且，連結(jié)，則的最小值為．

【答案】【分析】證得，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，則，據(jù)此即可求解．【詳解】解：連接，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接由題意得：

∵∴∴∵∴∴的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)等．通過證全等和作對稱得出是解題關(guān)鍵．例7．（2023上·福建龍巖·九年級?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)E是邊上且．F是邊上的一個(gè)動點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接、，則的最小值．【答案】【分析】取得中點(diǎn)N，連接，，，作交的延長線于點(diǎn)H，先求出，，，再說明是等邊三角形，根據(jù)“”證明≌，可求，即可得出點(diǎn)G的運(yùn)動軌跡是射線，然后證明≌，可確定的最小值，根據(jù)勾股定理求出答案即可．【詳解】解：如圖，取得中點(diǎn)N，連接，，，作交的延長線于點(diǎn)H．由題意，得，，．∵點(diǎn)N是的中點(diǎn)，∴，∴．∵，∴是等邊三角形，∴，，，∴．∵，，∴，∴，∴，∴點(diǎn)G的運(yùn)動軌跡是射線．∵，，，∴，∴，∴．在中，，，，∴，，∴．根據(jù)勾股定理，得，∴，∴的最小值是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形與旋轉(zhuǎn)的綜合問題，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形三邊關(guān)系，勾股定理等，確定點(diǎn)G的運(yùn)動軌跡是解題的關(guān)鍵．模型2.求多條線段和（周長）最小值【模型解讀】在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)：（2）一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè)：（3）兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：（4）臺球兩次碰壁模型1）已知點(diǎn)A、B位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點(diǎn)D、E點(diǎn)，使得圍成的四邊形ADEB周長最短.2）已知點(diǎn)A位于直線m,n的內(nèi)側(cè),在直線m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)PA+PQ+QA周長最短.【最值原理】兩點(diǎn)之間線段最短。例1．（2023·四川廣元·一模）如圖，已知正方形邊長為3，點(diǎn)E在邊上且，點(diǎn)P，Q分別是邊，的動點(diǎn)（均不與頂點(diǎn)重合），當(dāng)四邊形的周長取最小值時(shí)，四邊形的面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作E關(guān)于BC的對稱點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，四邊形的周長最小，根據(jù)，即可解．【詳解】解：如圖1所示，作E關(guān)于BC的對稱點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，四邊形的周長最小，∵，，∴，．∵，D是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，，∵，∴，∴，即，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，找出四邊形的周長最小時(shí)，P、Q的位置．例2．（2023.無錫市初三數(shù)學(xué)期中試卷）方法感悟：如圖①，在矩形中，，是否在邊上分別存在點(diǎn)G、H，使得四邊形的周長最??？若存在，求出它周長的最小值；若不存在，請說明理由．問題解決：【答案】（1）存在得四邊形的周長最小，最小值為；（2）當(dāng)所裁得的四邊形部件為四邊形時(shí)，裁得了符合條件的最大部件，這個(gè)部件的面積為，【分析】作E關(guān)于的對稱點(diǎn)，作F關(guān)于BC的對稱點(diǎn)，連接，交于G，交于H，連接，得到此時(shí)四邊形的周長最小，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到，于是得到，求出即可得到結(jié)論；【詳解】解：（1）存在，理由：作E關(guān)于的對稱點(diǎn)，作F關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，交于G，交于H，連接，∴，則此時(shí)四邊形的周長最小，由題意得：，∴，

∴，∴四邊形的周長的最小值2，∴在邊上分別存在點(diǎn)G、H，使得四邊形的周長最小，最小值為；例3．（2023春·湖北黃石·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，、分別是和上的兩個(gè)動點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則的最小值是________；【答案】/【分析】延長作點(diǎn)D的關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)，延長作點(diǎn)M的關(guān)于點(diǎn)C對稱點(diǎn)，作，且，即為最小值；【詳解】解：如下圖所示，延長作點(diǎn)D的關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)，延長作點(diǎn)M的關(guān)于點(diǎn)C對稱點(diǎn)，作，且，可得，∴，∴的最小值為，∵，且，四邊形為矩形，∴四邊形為矩形，∵為的中點(diǎn)∴，，∴；【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱-最短路線問題、矩形的性質(zhì)，根據(jù)題意找到使所求線段的和最小時(shí)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．例4．（2022上·山東臨沂·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，是邊的中點(diǎn)，，，，若，則線段長度的最大值是．【答案】14【分析】作關(guān)于的對稱點(diǎn)，關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，，，，，得出是等邊三角形，當(dāng)、、、共線時(shí)的值最大，最大值為．【詳解】解：作關(guān)于的對稱點(diǎn)，關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，，，，，如圖所示：∴，∴，，，同理可證：，，，是邊的中點(diǎn)，，，，．．．是等邊三角形．，，即，當(dāng)、、、共線時(shí)的值最大，最大值為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．模型3.求兩條線段差最大值【模型解讀】在一條直線m上，求一點(diǎn)P，使PA與PB的差最大；（1）點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：延長AB交直線m于點(diǎn)P，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此時(shí)最大，因此點(diǎn)P為所求的點(diǎn)。（2）點(diǎn)A、B在直線m異側(cè)：過B作關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)B’,連接AB’交點(diǎn)直線m于P,此時(shí)PB=PB’，PA-PB最大值為AB’【最值原理】三角形兩邊之差小于第三邊。例1．（2023·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）四邊形ABCD是軸對稱圖形，對稱軸為直線BD，AB＝AD＝4，∠ABD＝30°，點(diǎn)M、N分別為BD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q分別是線段AB、MN上的動點(diǎn)，則AP﹣PQ的最大值為．【答案】2【分析】如圖，連接CM，CP，CQ．證明△CMN是邊長為2的等邊三角形，再證明PA=PC，推出PA-PQ=PC-PQ≤CQ，求出CQ的最大值，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接CM，CP，CQ．∵四邊形ABCD是軸對稱圖形，對稱軸為直線BD，∴AB=BC，AD=DC，∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB，∵AB=AD=4，∠ABD=30°，∴AB=BC=AD=DC=4，∠ABD=∠CBD=∠CDB=30°，∴四邊形ABCD是菱形，∠BCD=120°，∵CB=CD=4，BM=DM，∴CM⊥BD，∴CM=BC=2，∵BN=CN，∴MN=BN=NC=2，∴CM=CN=MN=2，∴△CMN是等邊三角形，∵A，C關(guān)于BD對稱，∴PA=PC，∴PA-PQ=PC-PQ≤CQ，∵點(diǎn)Q在線段MN上，∴當(dāng)點(diǎn)Q與M或N重合時(shí)，CQ的值最大，最大值為2，∴PA-PQ≤2，∴PA-PQ的最大值為2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱最短問題，菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．例2．（2023春·湖南永州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，O為對角線的中點(diǎn)，點(diǎn)P在邊上，且，點(diǎn)Q在邊上，連接與，則的最大值為____________，的最小值為__________．【答案】【分析】①連接并延長交于點(diǎn)Q，則這個(gè)點(diǎn)Q滿足使的值最大，最大值為的長度，證明四邊形是矩形可得，，，再利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可；②過點(diǎn)O作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)Q，的值最小，的最小值為的長度，延長交于點(diǎn)G，根據(jù)對稱的性質(zhì)可得，再根據(jù)，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，可得，從而求得，再利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：①連接并延長交于點(diǎn)Q，則這個(gè)點(diǎn)Q滿足使的值最大，最大值為的長度，∵四邊形是矩形，∴，，∴，∵點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∴，又∵，∴，∴，，∵，∴，過點(diǎn)P作于點(diǎn)P，∵，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∴；②過點(diǎn)O作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)Q，的值最小，的最小值為的長度，延長交于點(diǎn)G，∵，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∴，∴，，∴，，∴，∴的最小值為：，故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及軸對稱?最短路徑，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·福建福州·八年級?？计谥校┤鐖D，四邊形中，，，點(diǎn)為直線左側(cè)平面上一點(diǎn)，的面積為則的最大值為．【答案】10【分析】如圖，過點(diǎn)F作FH⊥EC于H.過點(diǎn)F作直線l//EC，作點(diǎn)C關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)C'，連接AC'交直線l于F'，此時(shí)|F'A?F'C'|的值最大，即|FA?FC|的值最大，最大值為線段AC'的長．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)F作FH⊥EC于H．∵△CFE的面積為8，即EC?FH=8，CE=8，∴FH=2，過點(diǎn)F作直線l//EC，作點(diǎn)C關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)C'，連接AC'交直線l于F'，此時(shí)|F'A?F'C'|的值最大，即|FA?FC|的值最大，最大值為線段AC'的長，過點(diǎn)C'作C'K⊥AB于K．∵∠C'KB=∠KEC=∠ECC'=90°，∴四邊形CEKC'是矩形，∴CC'=EK=4，EC=KC'=8，∵AE=10，∴AK=AE?EK=10?4=6，∴AC'=，∴|FA?FC|的最大值為10．故答案為10．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱?最短問題，三角形的面積，直角梯形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱解決課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長為2，點(diǎn)P是對角線AC上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為邊AD、DC的中點(diǎn)，則PE+PF的最小值是（）A．2 B． C．1.5 D．【答案】A【分析】取AB中點(diǎn)G點(diǎn)，根據(jù)菱形的性質(zhì)可知E點(diǎn)、G點(diǎn)關(guān)于對角線AC對稱，即有PE=PG，則當(dāng)G、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PF=PG+PF最小，再證明四邊形AGFD是平行四邊形，即可求得FG=AD．【詳解】解：取AB中點(diǎn)G點(diǎn)，連接PG，如圖，∵四邊形ABCD是菱形，且邊長為2，∴AD=DC=AB=BC=2，∵E點(diǎn)、G點(diǎn)分別為AD、AB的中點(diǎn)，∴根據(jù)菱形的性質(zhì)可知點(diǎn)E、點(diǎn)G關(guān)于對角線AC軸對稱，∴PE=PG，∴PE+PF=PG+PF，即可知當(dāng)G、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PF=PG+PF最小，且為線段FG，如下圖，G、P、F三點(diǎn)共線，連接FG，∵F點(diǎn)是DC中點(diǎn)，G點(diǎn)為AB中點(diǎn)，∴，∵在菱形ABCD中，，∴，∴四邊形AGFD是平行四邊形，∴FG=AD=2，故PE+PF的最小值為2，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，找到E點(diǎn)關(guān)于AC的對稱點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．2．（2022下·廣東廣州·八年級?？计谀┤鐖D，菱形中，P為對角線上一動點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為中點(diǎn)，若，，則的最小值為（

）

A．3 B． C．5 D．【答案】C【分析】設(shè)交于O，作點(diǎn)E關(guān)于的對稱點(diǎn)N，連接，交于P，則此時(shí)的值最小，根據(jù)菱形的性質(zhì)推出N是中點(diǎn)，P與O重合，推出，根據(jù)勾股定理求出的長即可．【詳解】設(shè)交于O，作點(diǎn)E關(guān)于的對稱點(diǎn)N，連接，交于P，則此時(shí)的值最小，∴，∵四邊形是菱形，

∴，∵E為的中點(diǎn)，∴N在上，且N為的中點(diǎn)，∵，∴，∵，N為中點(diǎn)，F(xiàn)為中點(diǎn)，∴，在和中，，，∴，∴，即P為中點(diǎn)，∵O為中點(diǎn)，∴P、O重合，即過O點(diǎn)，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵菱形，，，∴，，∴，則的最小值為5．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱-最短問題，勾股定理，菱形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是理解題意確定出P的位置和求出，題目比較典型，綜合性比較強(qiáng)．3．（2023上·廣東佛山·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知正方形的邊長為4，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對角線上的動點(diǎn)，則的最小值是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，，由得就是的最小值，求出即可．【詳解】解：如圖，連接，，

∵，，，∴，∴，∵，∴就是的最小值，∵正方形的邊長為4，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，∴，，∴，∴的最小值是．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、最短路徑問題、全等三角形的判定與性質(zhì)，解決此題的關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)化為．4．（2023春·福建廈門·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在?ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，點(diǎn)P、Q分別是AC和BC上的動點(diǎn)，在點(diǎn)P和點(diǎn)Q運(yùn)動的過程中，PB+PQ的最小值為（）A．4 B．3 C．2 D．4【答案】C【分析】取BC的中點(diǎn)G，連接AG．首先證明∠BAC＝90°，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)F，連接GF，證FG⊥BC，則FG的長即為PB+PQ的最小值．【詳解】解：取BC的中點(diǎn)G，連接AG．在?ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，∴AB＝BG＝2，∠ABG＝∠D＝60°，∴△ABG是等邊三角形，∴AG＝GC＝2，∠AGB＝∠BAG＝60°，∴∠GAC＝∠GCA＝30°，∴∠BAC＝90°，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)F，連接GF，

交AC于點(diǎn)P，由對稱可知，B、A、F在一條直線上，AG＝AF，∵∠BAG＝∠F+∠AGF＝60°，∴∠F＝∠AGF＝30°，∴∠FGB＝90°，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)G重合時(shí)，PB+PQ=PF+PG=FG，F(xiàn)G的長即為PB+PQ的最小值，∵∠F＝∠AGF＝30°，AG＝GC＝2，∴BF＝4，，∴BP+PQ的最小值為2．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)垂線段最短作出輔助線，確定點(diǎn)P，Q的位置是解答此題的關(guān)鍵．5．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且，連結(jié)，，則的最小值為（

）A．26 B．25 C．24 D．22【答案】A【分析】先連接，將轉(zhuǎn)化為，再利用將軍飲馬解決問題即可．【詳解】解：如圖，連接，∵四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∴，∴，如圖，作點(diǎn)關(guān)于A點(diǎn)的對稱點(diǎn)，連接，即為的最小值，∵，，∴，，∴，∴的最小值為26，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、勾股定理、將軍飲馬問題、全等三角形的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，綜合性較強(qiáng)，將轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵．6．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在上，且，點(diǎn)G為直線上一動點(diǎn)，的最大值是．

【答案】【分析】取的中點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)作于H點(diǎn)．解直角三角形求出，根據(jù)可得結(jié)論．【詳解】解：取的中點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)作于H點(diǎn)．

∵四邊形是菱形，，，∴，，∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，，∵四邊形是菱形，，且，，∴點(diǎn)E與點(diǎn)關(guān)于對稱，∴，∵，，∴，，∴，∴在中，，∵，當(dāng)且僅當(dāng)F、G、三點(diǎn)共線時(shí)取等號，∴，∴的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱﹣?zhàn)疃虇栴}，解直角三角形，勾股定理以及菱形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱解決最值問題，屬于中考?？碱}型．7．（2023春·成都市九年級期中）如圖，在矩形ABCD中，，，E、F分別是邊AB、BC上的動點(diǎn)，且，M為EF中點(diǎn)，P是邊AD上的一個(gè)動點(diǎn)，則的最小值是______．【答案】11【分析】作點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)G，連接PG、GD、BM、GB，則當(dāng)點(diǎn)P、M在線段BG上時(shí)，GP+PM+BM最小，從而CP+PM最小，在Rt△BCG中由勾股定理即可求得BG的長，從而求得最小值．【詳解】如圖，作點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)G，連接PG、GD、BM、GB由對稱的性質(zhì)得：PC=PG，GD=CD∵GP+PM+BM≥BG∴CP+PM=GP+PM≥BG－BM則當(dāng)點(diǎn)P、M在線段BG上時(shí)，CP+PM最小，且最小值為線段BG－BM∵四邊形ABCD是矩形∴CD=AB=6，∠BCD=∠ABC=90°

∴CG=2CD=12∵M(jìn)為線段EF的中點(diǎn)，且EF=4∴在Rt△BCG中，由勾股定理得：∴GM=BG－BM=13－2=11即CP+PM的最小值為11．【點(diǎn)睛】本題是求兩條線段和的最小值問題，考查了矩形性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，兩點(diǎn)間線段最短，勾股定理等知識，有一定的綜合性，關(guān)鍵是作點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)及連接BM，GP+PM+BM的最小值轉(zhuǎn)化為線段CP+PM的最小值．8．（2023下·四川達(dá)州·八年級?？计谀┤鐖D，，在的同側(cè)，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，則的最大值是．

【答案】【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，由，可推出為等邊三角形，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可推出結(jié)論．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，，，，，

，，∴，∴，∵，∴為等邊三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，∵，的最大值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識，正確作出輔助線利用三角形的三邊關(guān)系求解是解題的關(guān)鍵．9．（2023·湖北孝感·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，四邊形是矩形紙片，，對折矩形紙片，使與重合，折痕為．展平后再過點(diǎn)B折疊矩形紙片，使點(diǎn)A落在上的點(diǎn)N，折痕與相交于點(diǎn)Q，再次展平，延長交與點(diǎn)G，P為線段上一動點(diǎn)，有如下結(jié)論①；②；③是等邊三角形；④若H是的中點(diǎn)，則的最小值是．其中正確結(jié)論是（填序號）【答案】①③④【分析】本題是幾何變換綜合題，考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短．①首先根據(jù)垂直平分，可得；然后根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得，據(jù)此判斷出為等邊三角形，即可得出的度數(shù)；②首先根據(jù)，，求出；然后在中，根據(jù)，即可求出求出的長度；③根據(jù)，，推得，即可作出判定；④點(diǎn)H是的中點(diǎn)，根據(jù)折疊可知E點(diǎn)和H點(diǎn)關(guān)于稱可得，因此P與Q重合時(shí)，，據(jù)此求出的最小值是多少即可．【詳解】①如圖，連接，

∵對折矩形紙片，使與重合，折痕為，∴垂直平分，即點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，∵過點(diǎn)B折疊矩形紙片，使點(diǎn)A落在上的點(diǎn)N，折痕與相交于點(diǎn)Q，∴，，，，∴，∴為等邊三角形．∴，，即結(jié)論①正確；②∵，，，∴，∴，即結(jié)論②不正確；③∵，，∴，∴，∴，∴，∴為等邊三角形，即結(jié)論③正確．④如圖，連接，∵點(diǎn)H是的中點(diǎn)，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，

又∵過點(diǎn)B折疊矩形紙片，使點(diǎn)A落在上的點(diǎn)N，折痕與相交于點(diǎn)Q，即和關(guān)于對稱，∴點(diǎn)E和點(diǎn)H關(guān)于對稱，∴，∴點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，的值最小，此時(shí)，∵，∴的最小值是，即結(jié)論④正確；∴正確結(jié)論的序號是①③④．故答案為：①③④．10．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考二模）如圖，矩形中，，點(diǎn)E、F分別邊上的點(diǎn)，且，點(diǎn)G為的中點(diǎn)，點(diǎn)P為上一動點(diǎn)，則的最小值為．

【答案】4【分析】此題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，軸對稱最短路徑問題，先利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到，作A關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，交于P，當(dāng)點(diǎn)，P，G，D共線時(shí)，的值最小，最小值為的長；勾股定理求出，減去即可得到答案，熟練掌握各知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵四邊形是矩形，∴，點(diǎn)G為的中點(diǎn)，∴，作A關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，交于P，當(dāng)點(diǎn)，P，G，D共線時(shí)，的值最小，最小值為的長；

，，，，∴，∴；∴的最小值為4；故答案為：4．12．（2023上·江蘇泰州·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）長方形中，，E為邊上的動點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，連接，則的最小值為．

【答案】20【分析】作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn),則的長即為的最小值，然后利用勾股定理解題即可.【詳解】作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn),則的長即為的最小值.

長方形中,,為的中點(diǎn),，，，即的最小值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱一最短路線問題，矩形的性質(zhì)，正確的找出點(diǎn)E，的位置是解題的關(guān)鍵.13．（2023·廣西梧州·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)，點(diǎn)P是對角線上的一個(gè)動點(diǎn)，已知，則的最小值是_________________【答案】【分析】點(diǎn)B的對稱點(diǎn)是點(diǎn)D，連接，交于點(diǎn)P，再得出即為最小值，解答即可．【詳解】解：連接，如圖，∵四邊形是菱形，∴垂直平分，∴點(diǎn)B的對稱點(diǎn)是點(diǎn)D，連接交于點(diǎn)P，連接，∴，∴即為的最小值，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)，∴故答案為【點(diǎn)睛】此題考查菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)得出距離．14．（2022·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，，，AH是的平分線，于點(diǎn)E，點(diǎn)P是直線AB上的一個(gè)動點(diǎn)，則的最小值是________．【答案】/【分析】作點(diǎn)O關(guān)于AB的對稱點(diǎn)F，連接OF交AB于G，連接PE交直線AB于P，連接PO，則PO=PF，此時(shí)，PO+PE最小，最小值=EF，利用菱形的性質(zhì)與直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，求出OF，OE長，再證明△EOF是直角三角形，然后由勾股定理求出EF長即可．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)O關(guān)于AB的對稱點(diǎn)F，連接OF交AB于G，連接PE交直線AB于P，連接PO，則PO=PF，此時(shí)，PO+PE最小，最小值=EF的長，∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AD=AB=3，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴BD=AB=3，∠BAO=30°，∴OB==，∴OA=，∴點(diǎn)O關(guān)于AB的對稱點(diǎn)F，∴OF⊥AB，OG=FG，∴OF=2OG=OA=，∠AOG=60°，∵CE⊥AH于E，OA=OC，∴OE=OC=OA=，∴∠AEC=∠CAE，∵AH平分∠BAC，∴∠CAE=15°，∴∠AEO=∠CAE=15°，∴∠COE=∠AEO+∠CAE=30°，∴∠COE+∠AOG=30°+60°=90°，∴∠FOE=90°，∴由勾股定理，得EF=,∴PO+PE最小值=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，利用軸對稱求最短距離問題，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，作點(diǎn)O關(guān)于AB的對稱點(diǎn)F，連接OF交AB于G，連接PE交直線AB于P，連接PO，則PO=PF，則PO+PE最小，最小值=EF的長是解題的關(guān)鍵．15．（遼寧省鐵嶺市2022-2023學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在矩形的各邊上，且，，則四邊形周長的最小值為．【答案】【分析】先證明四邊形是平行四邊形，延長，使得，連接，，則E和關(guān)于對稱，由得，當(dāng)、F、G共線時(shí)取等號，此時(shí)，最小，最小值為的長，過G作于P，則四邊形是矩形，進(jìn)而可得，，由勾股定理求得，則最小值為，由四邊形周長為求解即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，，∵，，∴，，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，延長，使得，連接，，則E和關(guān)于對稱，∴，∴，當(dāng)、F、G共線時(shí)取等號，此時(shí)，最小，最小值為的長，過G作于P，則，∴四邊形是矩形，∴，，在中，，由勾股定理得，∴最小值為，則四邊形周長的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性、最短路徑問題、勾股定理等知識，證明四邊形是平行四邊形，以及為的最小值是解答的關(guān)鍵．16．（2023·廣東惠州·校考三模）如圖，正方形的邊長為，點(diǎn)，分別是對角線的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一動點(diǎn)，則的最小值是________.

【答案】【分析】作點(diǎn)關(guān)于邊所在直線的對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，此時(shí)有最小值，利用正方形的性質(zhì)得出，再利用勾股定理求解．【詳解】解析：如圖，作點(diǎn)關(guān)于邊所在直線的對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，

此時(shí)有最小值，∵四邊形是正方形，關(guān)于邊所在直線的對稱點(diǎn)，∴，∴，∴，∵點(diǎn)，分別是對角線的三等分點(diǎn)，∴，∴的最小值，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是最短路線問題及正方形的性質(zhì)、勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．17．（2023·陜西銅川·統(tǒng)考三模）如圖，正方形的對角線相交于點(diǎn)，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是上一動點(diǎn)，則的最小值為______．【答案】【分析】過點(diǎn)作的對稱點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)，連接則此時(shí)為的最小值，最后利用勾股定理及正方形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：過點(diǎn)作的對稱點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)，∵在正方形中，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴四邊形是正方形，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴的最小值為；故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱—最短路徑問題，勾股定理，正方形的性質(zhì)，正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵．18．（2023·山東德州·校考一模）如圖，在菱形中，，，，分別是邊和對角線上的動點(diǎn)，且，則的最小值為______．【答案】【分析】在的下方作，截取，使得，連接，．證明，推出，，根據(jù)求解即可．【詳解】解：如圖，的下方作，截取，使得，連接，．四邊形是菱形，，，，，，，，，，，，，，，的最小值為，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．19．（2023·北京海淀·九年級人大附中?？奸_學(xué)考試）如圖，中，，過A點(diǎn)作的平行線與的平分線交于點(diǎn)，連接．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)過點(diǎn)作的平行線交直線于點(diǎn)，連接，，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，若，請直接寫出的最小值．【答案】(1)證明見解析部分；(2)【分析】（1）兩條全等三角形的性質(zhì)證明，推出四邊形是平行四邊形，可得結(jié)論；（2）