數(shù)學(xué)成長(zhǎng)訓(xùn)練第二講三直線的參數(shù)方程

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精主動(dòng)成長(zhǎng)夯基達(dá)標(biāo)1。下列可以作為直線2x—y+1=0的參數(shù)方程的是（）A。(t為參數(shù)）B.（t為參數(shù))C.（t為參數(shù)）D。（t為參數(shù)）解析一:根據(jù)所給的方程可知直線的斜率為2,而所給直線的參數(shù)方程中，A選項(xiàng)的斜率是1,B選項(xiàng)的斜率是—2，C選項(xiàng)的斜率是2，D選項(xiàng)的斜率是。所以只有C符合條件,這里C雖然不是標(biāo)準(zhǔn)式的參數(shù)方程，但是只有C能化成2x—y+1=0。解析二：化各參數(shù)方程為普通方程，再去比較.答案：C2。已知參數(shù)方程（a、b、λ均不為零,0≤θ≤2π）。當(dāng)(1）t是參數(shù);（2)λ是參數(shù)；（3）θ是參數(shù),則下列結(jié)論中成立的是(）A.（1）(2）（3)均為直線B.只有（2）是直線C.（1）(2）是直線,(3）是圓D.(2)是直線，（1）（3）是圓錐曲線解析：若t是參數(shù),a、b、λ、θ為常數(shù)，消去t得一個(gè)關(guān)于x、y的二元一次方程，故t是參數(shù)時(shí),參數(shù)方程表示直線,若λ是參數(shù),a、b、t、θ是常數(shù)，消λ后方程化為關(guān)于x、y的二元一次方程,故λ是參數(shù)時(shí),參數(shù)方程仍表示直線;若θ是參數(shù)，a、b、t、λ是常數(shù),消θ后方程化為（x-at）2+(y-bt)2=λ2,參數(shù)方程表示圓.答案：C3.兩條曲線的參數(shù)方程分別是（θ為參數(shù)),(t為參數(shù)），則其交點(diǎn)個(gè)數(shù)為(）A。0B。1C。0或1D。2解析：兩個(gè)參數(shù)方程分別表示線段x—y+2=0(-1≤x≤0,1≤y≤2）和橢圓=1，所以?xún)汕€只有一個(gè)交點(diǎn)。答案:B4.若(λ為參數(shù)）與（t為參數(shù))表示同一條直線,則λ與t的關(guān)系是（)A.λ=5tB.λ=-5tC。t=5λD。t=—5λ解析：依題意，由x—x0，得-3λ=tcosα，由y—y0,得4λ=tsinα,消去α的三角函數(shù),得25λ2=t2，得t=±5λ，借助于直線的斜率可排除D。答案：C5.直線(t為參數(shù)）被圓x2+(y-1）2=9所截得的線段長(zhǎng)等于（)A.3B。6C。9D。與α的值無(wú)關(guān)解析:把x=tcosα,y=1+sinα代入圓的方程，得t2cos2α+t2sin2α=9，得t2=9,得t1=3，t2=-3,線段長(zhǎng)為｜t1—t2｜=6。答案：B6。直線（t為參數(shù)）的傾斜角α等于（)A。30°B.60°C.—45°D。135°解析:由x=-2+tcos30°,得t=∴y=3—·sin60°=-x+1.答案：D7.按照規(guī)律(t是參數(shù)）運(yùn)動(dòng)后,質(zhì)點(diǎn)從時(shí)間t1到t2經(jīng)過(guò)的距離是_________.解析:時(shí)間t1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A的坐標(biāo)是(a+t1cosθ，b+t1sinθ),時(shí)間t2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B的坐標(biāo)是(a+t2cosθ,b+t2sinθ），利用兩點(diǎn)距離公式可以求得質(zhì)點(diǎn)從時(shí)間t1到t2經(jīng)過(guò)的距離|AB|===|t1-t2|。答案：|t1-t2|8。直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M0（1，5），傾斜角為，且交直線x-y—2=0于M點(diǎn)，則｜MM0｜=_________.解析：直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)),代入方程x—y-2=0中得1+t-(5+t)—2=0t=6(-1）。根據(jù)t的幾何意義即得｜MM0|=6(—1).答案:6（—1)9。已知直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)）,其中實(shí)數(shù)α的范圍是（0，)，則直線l的傾斜角是_________.解析：首先要根據(jù)α的范圍把直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)式結(jié)合α的范圍得出直線的傾斜角。答案:—α10.過(guò)點(diǎn)A（1,1）作直線,被橢圓所截得的弦被此點(diǎn)平分，則此直線方程為_(kāi)_________________。解析：設(shè)直線為（t為參數(shù)）代入橢圓方程并整理得（4cos2α+9sin2α)t2+（8cosα+18sinα）t—23=0?！遲1+t2=0,∴8cosα+18sinα=0.∴tanα=-。∴直線方程為4x+9y-13=0.答案:4x+9y—13=011.下表是一條直線上的點(diǎn)和對(duì)應(yīng)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)值：參數(shù)t262橫坐標(biāo)x2-12-30縱坐標(biāo)y5+65+37根據(jù)數(shù)據(jù)可知直線的參數(shù)方程是_________,轉(zhuǎn)化為普通方程是（一般式)_________，直線被圓（x-2）2+（y-5）2=8截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)________。解析：這是一個(gè)由統(tǒng)計(jì)、直線參數(shù)方程和普通方程、圓的知識(shí)組成的綜合問(wèn)題.充分考查了這幾部分知識(shí)的靈活運(yùn)用.首先,根據(jù)統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí),觀察分析所給數(shù)據(jù)的特點(diǎn)給出直線的參數(shù)方程（t為參數(shù)）,然后把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程x+y—7=0，而由參數(shù)方程可知直線一定過(guò)點(diǎn)(2，5)，恰好是所給圓的圓心,所以直線被圓所截的弦長(zhǎng)恰好是圓的直徑，易知直徑長(zhǎng)為4.答案:(t為參數(shù))x+y—7=0412.給出兩條直線l1和l2,斜率存在且不為0,如果滿足斜率互為相反數(shù)，且在y軸上的截距相等,那么直線l1和l2叫做“孿生直線"。(1）現(xiàn)在給出4條直線的參數(shù)方程如下:(t為參數(shù));（t為參數(shù)）；(t為參數(shù))；(t為參數(shù)）.其中構(gòu)成“孿生直線”的是_________。(2）給出由參數(shù)方程表示的直線(t為參數(shù))，直線（t為參數(shù))，那么,根據(jù)定義，直線l1、直線l2構(gòu)成“孿生直線"的條件是_________.解析:根據(jù)條件,兩條直線構(gòu)成“孿生直線”意味著它的斜率存在不為0,互為相反數(shù)，且在y軸的截距相等，也就是在y軸上交于同一點(diǎn)。對(duì)于題(1）,首先可以判斷出其斜率分別為—1,1,—1，1，斜率互為相反數(shù)條件很明顯，再判斷在y軸上的截距。令x=0得出相應(yīng)的t值,代入y可得只有直線l1和直線l4在y軸上的截距相等，而其斜率又恰好相反,可以構(gòu)成“孿生直線”.對(duì)于題（2）首先寫(xiě)出相應(yīng)斜率分別是tanα1和tanα2,因此要tanα1=—tanα2,即tanα1+tanα2=0;然后再考慮在y軸上的截距，首先在l1的參數(shù)方程中,令x=x1+tcosα1=0,可得t=-代入得y=y1—x1tanα1。同理,可得直線l2在y軸上的截距是y=y2-x2tanα2.由定義中的條件“截距相等”可得y1-x1tanα1=y2—x2tanα2,即y1-y2=x1tanα1-x2tanα2。如果把tanα1=—tanα2代入式子還可以進(jìn)一步得到y(tǒng)1-y2=x1tanα1+x2tanα1，即y1—y2=(x1+x2）tanα1。答案:（1)直線l1和直線l4（2）tanα1+tanα2=0且y1-y2=x1tanα1+x2tanα2〔也可以寫(xiě)成y1—y2=(x1+x2)tanα1〕13。過(guò)原點(diǎn)作直線l,交直線2x—y-1=0于A，交2x+y+3=0于B,若原點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn),求l的方程。解:設(shè)l的傾斜角為α,則l的參數(shù)方程為（t為參數(shù))。將方程分別代入兩直線方程中，2tcosα—tsinα=1，得t1=2tcosα+tsinα+3=0，得t2=-∵O(0,0)為AB中點(diǎn)，∴t1+t2=0。4cosα=4sinα。∴k=tanα=1,所求l的方程為y=x.14。直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，)斜率為2,交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求AB中點(diǎn)到點(diǎn)（0，5)的距離。解：由k=2=tanα,∴sinα=，cosα=,直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù))。代入橢圓方程9（）2+4（+)2—36=05t2+16t—16=0.所求距離d=|t1+t2|=|—|=。15。已知直線l過(guò)點(diǎn)P（-1,1),傾斜角為θ，與拋物線y2=—8x交于A、B兩點(diǎn).（1）求｜PA|·｜PB｜的最小值及此時(shí)l的方程;（2）若P（-1,1）平分線段AB，求l的方程；(3）若線段AB被P（-1,1)三等分，求l的方程。解析:由于題目所求部分有明確幾何意義,可考慮用直線的參數(shù)方程.解:設(shè)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)），代入拋物線方程并整理得t2sin2α+2tsinα+8tcosα-7=0。∵Δ=(2sinα+8cosα）2+28sin2α=48+8sin（2α+）>0，∴它的兩根t1、t2為AB對(duì)應(yīng)的參數(shù)值.(1)|PA|·｜PB｜=|t1｜·|t2|=｜t1t2|=（α≠kπ，否則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)）當(dāng)sinα=±1時(shí)，|PA|｜PB｜有最小值7,此時(shí)直線方程為x=-1.（2)若P為中點(diǎn),則t1+t2=0,∴=0.∴k=tanα=-4.直線l的方程為4x+y+3=0.(3)為AB的三等分點(diǎn),不妨設(shè)｜PA|=2｜PB|，即t1=-2t2,∴t1+t2=-t2,t1t2=—2t22?！唷?(t1+t2）2=t1t2.由韋達(dá)定理知=-2·，整理得(3sinα+8cosα)(sinα+8cosα）=0。∴k1=tanα1=-,k2=tanα2=—8.故所求直線l的方程為8x+3y+5=0或8x+y+7=0。走近高考1。(2006江西六校聯(lián)考二)已知點(diǎn)（x0，y0）在直線ax+by=0(a、b為常數(shù))上,則的最小值為_(kāi)________。解析:由題意知最小值為點(diǎn)（a,b)到直線ax+by=0的距離.答案：2。（經(jīng)典回放)直線（t為參數(shù)）的傾斜角是(）A。20°B.70°C。110°D。160°解析一：把直線參數(shù)方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式,為∴直線的傾斜角為110°。解析二:化直線參數(shù)方程為=—cot20°，即=tan110°,∴直線的傾斜角是110°.答案：C評(píng)析:這一試題的考查方向是求參數(shù)方程表示直線的傾斜角?？疾榈闹R(shí)點(diǎn)是直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式以及參數(shù)方程化普通方程等;主要考查由直線參數(shù)方程求傾斜角以及三角變換的能力等。3.過(guò)點(diǎn)B（0，—a）作雙曲線x2—y2=a2右支的割線BCD，又過(guò)右焦點(diǎn)F作平行于BD的直線,交雙曲線于G、H兩點(diǎn)。（1)求證：(2）設(shè)M為弦CD的中點(diǎn)，S△MBF=a2，求割線BD的傾斜角.（1)證明：當(dāng)a>0時(shí),設(shè)割線的傾斜角為α，則它的參數(shù)方程為（t為參數(shù)). ①則過(guò)焦點(diǎn)F且平行于BD的直線GH的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）. ②將①代入雙曲線方程,得t2cos2α+2atsinα—2a2設(shè)方程的解為t1