數(shù)學(xué)學(xué)案：第三章第節(jié)綜合法與分析法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§3綜合法與分析法1．了解直接證明的兩種基本方法：綜合法和分析法．2．了解綜合法和分析法的思考過程與特點，能熟練運用綜合法和分析法證明命題．1．綜合法從命題的______出發(fā)，利用______________________，通過______推理，一步一步地接近要證明的結(jié)論，直到完成命題的證明．我們把這樣一種思維方法稱為________．【做一做1】已知p＝a＋eq\f(1，a－2)(a＞2)，q＝2－a2＋4a－2(a＞2），則(）．A．p＞q B．p＜qC．p≥q D．p≤q 2．分析法從求證的______出發(fā)，一步一步地探索保證前一個結(jié)論成立的______條件，直到歸結(jié)為這個命題的______，或者歸結(jié)為__________________等．我們把這樣一種思維方法稱為________．綜合法：(1)綜合法是“由因到果”,即由已知條件出發(fā)，推導(dǎo)出所要證明的等式或不等式成立．（2)綜合法格式-—從已知條件出發(fā)，順著推證，由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”,逐步推出求證的結(jié)論，這就是順推法的格式,它的常見書面表達式是“∵，∴”或“?"．分析法：（1)分析法是“執(zhí)果索因”，一步步尋求上一步成立的充分條件，因此分析法又叫作逆證法或執(zhí)果索因法．(2）分析法格式——與綜合法正好相反，它是從要求證的結(jié)論出發(fā)，倒著分析，由未知想需知,由需知逐漸地靠近已知（已知條件,已經(jīng)學(xué)過的定義、定理、公理、公式、法則等)．這種證明方法的關(guān)鍵在于需保證分析過程的每一步都是可以逆推的,它的常見書寫表達式是“要證明……需要證明……”或“?”．【做一做2】已知函數(shù)f(x)＝lgeq\f（1－x，1＋x)，若f（a)＝b，則f（－a）等于（）．A．b B．－bC.eq\f（1,b） D．－eq\f(1,b）答案：1．條件定義、公理、定理及運算法則演繹綜合法【做一做1】A∵a＞2,∴p＝a＋eq\f（1，a－2）＝a－2＋eq\f(1,a－2）＋2≥2＋2＝4。而－a2＋4a－2＝－（a－2)2＋2＜∴q＝2－a2＋4a－2＜4.∴p＞q2．結(jié)論充分條件定義、公理、定理分析法【做一做2】Bf（－a)＝lgeq\f（1＋a，1－a)＝lgeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1－a，1＋a）)）－1＝－lgeq\f(1－a,1＋a）＝－f（a)＝－b.1．如何選擇綜合法或分析法證明不等式？剖析：（1)綜合法是證明不等式的最基本、最常用的方法，由條件或一些重要不等式入手，難度不大的不等式證明多直接采用綜合法，但對于比較復(fù)雜的不等式的證明還需要結(jié)合分析法等其他方法及技巧才能完成．(2）對于一些條件復(fù)雜、結(jié)論簡單的等式或不等式的證明經(jīng)常用綜合法；對于一些條件簡單、結(jié)論復(fù)雜的不等式的證明常用分析法．2．用分析法證題時過程的寫法剖析:(1）證明不等式時往往誤用分析法,把“逆求”作“逆推”，分析法過程沒有必要“步步可逆"，僅需尋求充分條件即可，而不是充要條件．（2)用分析法證明時，要正確使用一些聯(lián)結(jié)關(guān)聯(lián)詞，如“要證明"“只需證明”“即證”等．題型一用綜合法證明不等式【例題1】已知x＞0，y＞0，x＋y＝1，求證:eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1＋\f(1,x)))eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（1＋\f(1,y））)≥9.分析:觀察要證明的不等式，可以由條件入手，將x＋y＝1代入要證明的不等式，用綜合法可證；也可從基本不等式入手，用綜合法證明不等式．反思：用綜合法證明不等式時，可以從條件出發(fā)，也可以從基本不等式出發(fā)，通過換元、拼湊等方法構(gòu)造定值，但若連續(xù)兩次或兩次以上利用基本不等式，需要注意幾次利用基本不等式時等號成立的條件是否相同．題型二用分析法證明不等式【例題2】已知a＞b＞0，求證：eq\f(a－b2，8a)＜eq\f（a＋b，2）－eq\r（ab)＜eq\f（a－b2，8b)。分析:本題條件較為簡單，結(jié)論比較復(fù)雜，我們可以從要證的結(jié)論入手，一步步探求結(jié)論成立的充分條件，即用分析法．反思:由于題目中條件比較簡單，結(jié)論比較復(fù)雜，用綜合法比較困難，可以從結(jié)論出發(fā),逐步反推，尋求使當(dāng)前命題成立的充分條件．題型三用分析法探索命題成立的條件【例題3】給出一個不等式eq\f(x2＋1＋c,\r(x2＋c)）≥eq\f(1＋c,\r(c））（x∈R），經(jīng)驗證：當(dāng)c＝1,2，3時，對于x取一切實數(shù)，不等式都成立．試問：當(dāng)c取任何正數(shù)時，不等式對任何實數(shù)x是否都成立?若能成立，請給出證明；若不成立，請求出c的取值范圍，使不等式對任何實數(shù)x都能成立．反思：探索性問題，可以探索條件，探索結(jié)論,探索方法，而分析法是用來探索條件的重要手段． 答案：【例題1】證法1：∵x＋y＝1，∴eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（1＋\f（1，x)）)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1，y)））＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1＋\f（x＋y，x)））eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（1＋\f（x＋y,y）））＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2＋\f（y,x)））eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（2＋\f（x，y)))＝5＋2eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(y，x)＋\f(x，y））)。又∵x＞0，y＞0,∴eq\f（y,x)＞0，eq\f（x，y)＞0?！鄀q\f(y,x)＋eq\f（x,y)≥2，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(y,x)＝eq\f（x,y）,即x＝y(tǒng)＝eq\f（1,2）時取等號．則有eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1＋\f（1,x）))eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,y）））≥5＋2×2＝9成立．證法2：∵x＞0,y＞0,1＝x＋y≥2eq\r(xy)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝eq\f（1，2）時取等號，∴xy≤eq\f（1,4）。則有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（1＋\f（1，x)））eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f（1,y）））＝1＋eq\f(1,x）＋eq\f（1，y)＋eq\f(1，xy)＝1＋eq\f（x＋y，xy)＋eq\f（1,xy）＝1＋eq\f(2,xy)≥1＋8＝9成立．【例題2】證明：因為a＞b＞0，所以要證eq\f(a－b2，8a)＜eq\f(a＋b，2)－eq\r（ab）＜eq\f(a－b2,8b）成立，即證eq\f（a－b2，4a）＜(eq\r(a）－eq\r(b)）2＜eq\f（a－b2,4b）成立．只需證eq\f(a－b，2\r(a）)＜eq\r(a)－eq\r(b)＜eq\f(a－b，2\r(b）)成立．只需證eq\f(\r（a)＋\r（b)，2\r(a)）＜1＜eq\f（\r(a)＋\r（b）,2\r(b))成立，即證eq\r（a）＋eq\r（b)＜2eq\r(a）且eq\r（a)＋eq\r(b)＞2eq\r（b），即eq\r(b）＜eq\r（a).∵a＞b＞0,∴eq\r(b）＜eq\r(a)成立．∴eq\f(a－b2，8a）＜eq\f(a＋b,2)－eq\r（ab)＜eq\f（a－b2,8b）成立．【例題3】解：不成立．設(shè)f(x）＝eq\f（x2＋1＋c,\r（x2＋c）)，令μ＝x2＋c,則μ≥c,則f(x)＝eq\f（μ＋1,\r（μ))（μ≥c），∴f(x）－eq\f（c＋1，\r(c））＝eq\f（μ＋1，\r(μ）)－eq\f（c＋1，\r(c)）＝eq\f(\r(c）μ＋1－\r（μ）c＋1,\r(μc））＝eq\f(\r（cμ)－1\r(μ）－\r（c），\r（μc）)?！嘁共坏仁絜q\f(x2＋1＋c,\r（x2＋c)）≥eq\f(1＋c，\r(c)）對任何實數(shù)x都成立,即f(x）－eq\f（c＋1,\r（c）)≥0成立．∵eq\r(μ)≥eq\r(c），∴只需eq\r（cμ)－1≥0,即cμ≥1。∴μ≥eq\f（1,c)（c＞0)，也就是x2＋c≥eq\f(1，c），即x2≥eq\f（1，c）－c對任意的x都成立．∴只需eq\f（1，c)－c≤0，又c＞0，∴c≥1時原不等式對一切實數(shù)x都能成立．1設(shè)函數(shù)y＝f（x)(x∈R)的圖像關(guān)于直線x＝0及直線x＝1對稱，且x∈［0,1］時，f(x)＝x2，則等于（)．A. B. C。 D.答案：B由于函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝0及直線x＝1對稱,所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù),且f(1＋a）＝f（1－a),所以要求，只需求出，即求，而＝，即求,而.此題用了綜合法與分析法相結(jié)合的方法．2已知a，b是不相等的正數(shù),，，則x，y的關(guān)系是()．A．x＞y B．x＜y C．x＞y D．不確定答案：B∵x＞0，y＞0,∴要比較x，y的大小，只需比較x2，y2的大小，即比較與a＋b的大小．∵a，b為不相等的正數(shù)，∴＜a＋b?！啵糰＋b,即x2＜y2.∴x＜y。3已知不等邊三角形的三邊按從小到大的順序排列成等比數(shù)列，則公比q的取值范圍是(）．A。＜q＜1 B．1＜q＜C。＜q＜ D．0＜q＜答案：B設(shè)三角形的三邊長為a，b，c,且a＜b＜c,則b＝aq,c＝aq2.∴∵a＞0,∴1＜q＜。4若sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，則cos(α－β)＝________.答案：觀察已知條件中有三個角α，β，γ，而所求結(jié)論中只有兩個角α,β，所以我們只需將已知條件中的角γ消去即可，依據(jù)sin2γ＋cos2γ＝1消去γ.由已知，得sinγ＝－(sinα＋sinβ)，co