甘肅省隴南市禮縣第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高二第一次階段性檢測數(shù)學(xué)試卷

2024—2025禮縣第二中學(xué)第一次階段性檢測高二數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C.3 D.52.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（）A. B.C. D.3.已知，，則（）A. B. C. D.4.已知，，則（）A. B. C. D.5.已知平面上三個(gè)單位向量滿足，則（）A. B. C. D.6.已知橢圓：的離心率為，則（）A. B.或 C.8或2 D.87.閱讀材料：數(shù)軸上，方程可以表示數(shù)軸上的點(diǎn)；平面直角坐標(biāo)系中，方程（不同時(shí)為0）可以表示坐標(biāo)平面內(nèi)的直線；空間直角坐標(biāo)系中，方程（不同時(shí)為0可以表示坐標(biāo)空間內(nèi)的平面.過點(diǎn)一個(gè)法向量為平面方程可表示為.閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.8.已知過點(diǎn)直線l與x軸正半軸交于點(diǎn)A，與y軸正半軸交于點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為（）A.12 B.8 C.6 D.4二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.若圓上至多存在一點(diǎn)，使得該點(diǎn)到直線的距離為2，則實(shí)數(shù)可能為（）A.5 B.6 C.7 D.810.已知函數(shù)，，下列說法正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞減B.函數(shù)的最小正周期為C.函數(shù)的值域?yàn)镈.函數(shù)的一條對稱軸為11.在邊長為2的正方體中，為邊的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（）A.與所成角的余弦值為B.過，，三點(diǎn)的正方體的截面面積為3C.當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值為3D.若為正方體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，分別為的三等分點(diǎn)，則的最小值為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.直線過點(diǎn)，兩點(diǎn)，直線過點(diǎn)，兩點(diǎn)，若，則______.13.已知在正四棱臺(tái)中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為__________.14.對任意兩個(gè)非零的平面向量和，定義：，，若平面向量，滿足，且和都在集合中，則__________，__________．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值，將該指標(biāo)大于的人判定為陽性，小于或等于的人判定為陰性．此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布．（1）當(dāng)漏診率時(shí)，求臨界值和誤診率；（2）已知一次調(diào)查抽取的未患病者樣本容量為100，且該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)檢查完全符合上面頻率分布直方圖（圖2），臨界值，從樣本中該醫(yī)學(xué)指標(biāo)在上的未患病者中隨機(jī)抽取2人，則2人中恰有一人為被誤診者的概率是多少？16.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求的值；（2）若，，求的面積.17.如圖，已知斜三棱柱中，，，，，，點(diǎn)O是與的交點(diǎn)．（1）用向量，，表示向量；（2）求異面直線AO與BC所成的角的余弦值；（3）判定平面ABC與平面的位置關(guān)系．18.設(shè)A是由若干個(gè)正整數(shù)組成的集合，且存在3個(gè)不同的元素a，b，，使得，則稱A為“等差集”．（1）若集合，，且B是“等差集”，用列舉法表示所有滿足條件的B；（2）若集合是“等差集”，求m的值；（3）已知正整數(shù)，證明：不是“等差集”．19.對于一組向量（且），令，如果存在，使得，那么稱，是該向量組的“向量”．（1）設(shè)，若是向量組，，的“向量”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，向量組，，，，是否存在“向量”？若存在求出所有的“向量”，若不存在說明理由；（3）已知，，均是向量組，，的“向量”，其中，，求證：可以寫成一個(gè)關(guān)于的二次多項(xiàng)式與一個(gè)關(guān)于的二次多項(xiàng)式的乘積．1.B∵，∴..故選B.2.C因?yàn)椋瑒t故向量在向量上的投影向量是故選：C.3.A因?yàn)?又因?yàn)?所以,所以.故選：A.4.A因?yàn)椋瑒t，且，可得，則，，所以，故選：A.5.C由題意知平面上三個(gè)單位向量滿足，則，即，則，故，故選：C6.C橢圓：的離心率為，可得或，解得或.故選C.7.B根據(jù)材料可知，由平面的方程為，得為平面的法向量，同理可知，與分別為平面與的法向量.設(shè)直線的方向向量，則，即，取，則.設(shè)直線與平面所成角為，則.故選：B.8.B由題意知直線的斜率存在．設(shè)直線的斜率為，直線方程為，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).所以的最小值為.故選：B.9.BCD圓即圓,需滿足，則圓心為，半徑為圓心到直線的距離為，要使圓上至多存在一點(diǎn)，使得該點(diǎn)到直線的距離為2，需滿足，解得，結(jié)合選項(xiàng)可知6，7，8符合題意，故選：BCD10.BCA選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，而在上不單調(diào)，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，函數(shù)，而，所以的最小正周期為，故B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，所以，當(dāng)時(shí)，，，所以，綜上，函數(shù)的值域?yàn)?，故C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)?，，，所以不是的一條對稱軸.故選：BC11.AC以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，∴，，∴，∴與所成角的余弦值為，故A正確；取的中點(diǎn)，連接，，，則，故梯形為過點(diǎn)，，的該正方體的截面，∵，，，∴梯形的高為，∴梯形的面積為，故B錯(cuò)誤；由對稱性可知，，故，又由于，，，四點(diǎn)共面，故，當(dāng)為與的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，故C正確，設(shè)點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，連接，當(dāng)與平面的交點(diǎn)為時(shí)，最小，過點(diǎn)作的平行線，過點(diǎn)作的平行線，兩者交于點(diǎn)，此時(shí)，，，故D錯(cuò)誤.故選AC.12.0或5當(dāng)直線斜率不存在，直線斜率為0時(shí)，滿足，此時(shí)，解得；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，因?yàn)椋?，解得；綜上，或.故答案為：0或513.，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：14.①.##0.25②.或設(shè)與的夾角為，因?yàn)楹投荚诩现?，所以其取值可能為，因?yàn)?，則，可得，因?yàn)?，即，可得，所以；又因?yàn)?，即，解得，因?yàn)?，可得，即?，當(dāng)且時(shí)，即且，可得，所以；當(dāng)且時(shí)，即且，可得，所以；綜上所述：或.故答案：；或.15.（1）依題可知，圖1第一個(gè)小矩形的面積為，所以，所以，解得，．（2）由題可知，100個(gè)未患病者中，該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)在中的有人，其中被誤診者有人，記隨機(jī)抽取的2人恰有一人為被誤診者為事件A．分別用a，b，c，d，E，F(xiàn)表示這6人，E，F(xiàn)代表被誤診的2人，樣本空間，事件，故，，，故2人中恰有一人為被誤診者的概率是．16.（1）由正弦定理得，所以，所以，化簡得，又，所以，因此.（2）由，得，由余弦定理及，又，得，解得，從而.又因?yàn)?，且，所?因此.17.（1）由題意可知：點(diǎn)O是的中點(diǎn)，則，所以．（2）設(shè)，則，．所以．又因?yàn)椋?，．所以．所以異面直線與所成的角的余弦值為．（3）取的中點(diǎn)，連接，則．因?yàn)?，為的中點(diǎn)，則．又，即．且，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面?8.（1）因?yàn)榧?，，存?個(gè)不同的元素a，b，，使得，則或或.（2）因?yàn)榧鲜恰暗炔罴?，所以或?計(jì)算可得或或或，又因?yàn)檎麛?shù),所以.（3）假設(shè)是“等差集”，則存在,成立，化簡可得,因?yàn)?所以,所以x=1與集合的互異性矛盾，所以不是“等差集”．19.（1）由題意可得：，因?yàn)?，則，，則，即，整理得，解得，所