高考數(shù)學(xué)一輪難題復(fù)習(xí)推理與證明典型解答題(學(xué)生版+解析)

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁一輪難題復(fù)習(xí)推理與證明典型解答題一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)二、合情推理（一）歸納推理1.歸納推理：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理。簡(jiǎn)言之，歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理。2.歸納推理的一般步驟：第一步，通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)；第二步，從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般命題（猜想）。題型1：用歸納推理發(fā)現(xiàn)規(guī)律（1）觀察：對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，試寫出使成立的一個(gè)條件可以是____.（2）蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖。其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以表示第幅圖的蜂巢總數(shù)。則（二）類比推理1.類比推理：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理。簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊到特殊的推理。2.類比推理的一般步驟：第一步：找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似特征；第二步：用一類對(duì)象的已知特征去推測(cè)另一類對(duì)象的特征，從而得出一個(gè)猜想.題型2：用類比推理猜想新的命題（1）已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的，把這個(gè)結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論是______.（三）合情推理1.定義：歸納推理和類比推理都有是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理。簡(jiǎn)言之，合情推理就是合乎情理的推理。2.推理的過程：思考探究：（1）歸納推理與類比推理有何區(qū)別與聯(lián)系?

①歸納推理是由部分到整體，從特殊到一般的推理。通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法。②類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。三、演繹推理（一）含義：1.演繹推理是從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論。演繹推理又叫邏輯推理。2.演繹推理的特點(diǎn)是由一般到特殊的推理。（二）演繹推理的模式1.演繹推理的模式采用“三段論”：（1）大前提——已知的一般原理(M是P)；（2）小前提——所研究的特殊情況(S是M)；（3）結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷(S是P)。2.從集合的角度看演繹推理：（1）大前提：x∈M且x具有性質(zhì)P；（2）小前提：y∈S且SM（3）結(jié)論：y具有性質(zhì)P（三）演繹推理與合情推理合情推理與演繹推理的關(guān)系：1.從推理形式上看，歸納是由部分到整體、個(gè)別到一般的推理，類比是由特殊到特說的推理；演繹推理是由一般到特殊的推理。2.從推理所得的結(jié)論來看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待進(jìn)一步證明；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確。四、直接證明與間接證明（一）三種證明方法：綜合法、分析法、反證法分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件。綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題。對(duì)于解答證明來說，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導(dǎo)因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應(yīng)用十分廣泛。反證法：它是一種間接的證明方法。用這種方法證明一個(gè)命題的一般步驟：（1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立；（2）根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，直到推理中導(dǎo)出矛盾為止

（3）斷言假設(shè)不成立（4）肯定原命題的結(jié)論成立用反證法證明一個(gè)命題的步驟，大體上分為：（1）反設(shè)；（2）歸謬；（3）結(jié)論。重難點(diǎn)：在函數(shù)、三角變換、不等式、立體幾何、解析幾何等不同的數(shù)學(xué)問題中，選擇好證明方法并運(yùn)用三種證明方法分析問題或證明數(shù)學(xué)命題考點(diǎn)1：綜合法在銳角三角形中，求證：考點(diǎn)2：分析法已知，求證考點(diǎn)3：反證法已知，證明方程沒有負(fù)數(shù)根五、數(shù)學(xué)歸納法1.數(shù)學(xué)歸納法的定義：一般地，當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)N的所有正整數(shù)n都成立時(shí)，可以用以下兩個(gè)步驟：（1）證明當(dāng)時(shí)命題成立；（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，證明n=k+1時(shí)命題也成立。在完成了這兩個(gè)步驟后，就可以斷定命題對(duì)于不小于的所有正整數(shù)都成立。這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法。2.數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)：無窮的歸納→有限的演繹（遞推關(guān)系）3.數(shù)學(xué)歸納法步驟：（1）（遞推奠基）：當(dāng)n取第一個(gè)值結(jié)論正確；（2）（遞推歸納）：假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論正確；（歸納假設(shè)）證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確。（歸納證明）由（1），（2）可知，命題對(duì)于從開始的所有正整數(shù)n都正確。題型1：

已知n是正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，若已假設(shè)時(shí)命題為真，則還需證明（

）A.n=k+1時(shí)命題成立

B.n=k+2時(shí)命題成立C.n=2k+2時(shí)命題成立

D.n=2（k+2）時(shí)命題成立題型2：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例題1．（1）求證：橢圓中斜率為的平行弦的中點(diǎn)軌跡必過橢圓中心；（2）用作圖方法找出下面給定橢圓的中心；（3）我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”，其中，，.如圖，設(shè)點(diǎn)，，是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，，和，是“果圓”與，軸的交點(diǎn).連結(jié)“果圓”上任意兩點(diǎn)的線段稱為“果圓”的弦.試研究：是否存在實(shí)數(shù)，使斜率為的“果圓”平行弦的中點(diǎn)軌跡總是落在某個(gè)橢圓上？若存在，求出所有可能的值，若不存在，說明理由.例題2．（1）證明：；（2）證明：對(duì)任何正整數(shù)n，存在多項(xiàng)式函數(shù)，使得對(duì)所有實(shí)數(shù)x均成立，其中均為整數(shù)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；（3）利用（2）的結(jié)論判斷是否為有理數(shù)？例題3．對(duì)于數(shù)列：、、、、，若不改變，僅改變、、、中部分項(xiàng)的符號(hào)（可以都不改變），得到的新數(shù)列稱為數(shù)列的一個(gè)生成數(shù)列，如僅改變數(shù)列、、、、的第二、三項(xiàng)的符號(hào)，可以得到一個(gè)生成數(shù)列：、、、、.已知數(shù)列為數(shù)列的生成數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）寫出的所有可能的值；（2）若生成數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求；（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于給定的，的所有可能值組成的集合為.例題4．已知正整數(shù)數(shù)列滿足：，，（）.（1）已知，，試求、的值；（2）若，求證：；（3）求的取值范圍.試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁一輪難題復(fù)習(xí)推理與證明典型解答題一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)二、合情推理（一）歸納推理1.歸納推理：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理。簡(jiǎn)言之，歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理。2.歸納推理的一般步驟：第一步，通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)；第二步，從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般命題（猜想）。題型1：用歸納推理發(fā)現(xiàn)規(guī)律（1）觀察：對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，試寫出使成立的一個(gè)條件可以是____.點(diǎn)撥：前面所列式子的共同特征特征是被開方數(shù)之和為22，故（2）蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖。其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以表示第幅圖的蜂巢總數(shù)。則【解題思路】找出的關(guān)系式[解析]總結(jié)：處理“遞推型”問題的方法之一是尋找相鄰兩組數(shù)據(jù)的關(guān)系（二）類比推理1.類比推理：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理。簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊到特殊的推理。2.類比推理的一般步驟：第一步：找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似特征；第二步：用一類對(duì)象的已知特征去推測(cè)另一類對(duì)象的特征，從而得出一個(gè)猜想.題型2：用類比推理猜想新的命題（1）已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的，把這個(gè)結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論是______.【解題思路】從方法的類比入手[解析]原問題的解法為等面積法，即，類比問題的解法應(yīng)為等體積法，即正四面體的內(nèi)切球的半徑是高總結(jié)：①不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比。②類比推理常見的情形有：平面向空間類比；低維向高維類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；實(shí)數(shù)集的性質(zhì)向復(fù)數(shù)集的性質(zhì)類比；圓錐曲線間的類比等（三）合情推理1.定義：歸納推理和類比推理都有是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理。簡(jiǎn)言之，合情推理就是合乎情理的推理。2.推理的過程：思考探究：（1）歸納推理與類比推理有何區(qū)別與聯(lián)系?

①歸納推理是由部分到整體，從特殊到一般的推理。通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法。②類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。三、演繹推理（一）含義：1.演繹推理是從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論。演繹推理又叫邏輯推理。2.演繹推理的特點(diǎn)是由一般到特殊的推理。（二）演繹推理的模式1.演繹推理的模式采用“三段論”：（1）大前提——已知的一般原理(M是P)；（2）小前提——所研究的特殊情況(S是M)；（3）結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷(S是P)。2.從集合的角度看演繹推理：（1）大前提：x∈M且x具有性質(zhì)P；（2）小前提：y∈S且SM（3）結(jié)論：y具有性質(zhì)P（三）演繹推理與合情推理合情推理與演繹推理的關(guān)系：1.從推理形式上看，歸納是由部分到整體、個(gè)別到一般的推理，類比是由特殊到特說的推理；演繹推理是由一般到特殊的推理。2.從推理所得的結(jié)論來看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待進(jìn)一步證明；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確。四、直接證明與間接證明（一）三種證明方法：綜合法、分析法、反證法分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件。綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題。對(duì)于解答證明來說，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導(dǎo)因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應(yīng)用十分廣泛。反證法：它是一種間接的證明方法。用這種方法證明一個(gè)命題的一般步驟：（1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立；（2）根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，直到推理中導(dǎo)出矛盾為止

（3）斷言假設(shè)不成立（4）肯定原命題的結(jié)論成立用反證法證明一個(gè)命題的步驟，大體上分為：（1）反設(shè)；（2）歸謬；（3）結(jié)論。重難點(diǎn)：在函數(shù)、三角變換、不等式、立體幾何、解析幾何等不同的數(shù)學(xué)問題中，選擇好證明方法并運(yùn)用三種證明方法分析問題或證明數(shù)學(xué)命題考點(diǎn)1：綜合法在銳角三角形中，求證：[解析]考點(diǎn)2：分析法已知，求證[解析]總結(jié)：注意分析法的“格式”是“要證—只需證—”，而不是“因?yàn)椤浴笨键c(diǎn)3：反證法已知，證明方程沒有負(fù)數(shù)根【解題思路】“正難則反”，選擇反證法，因涉及方程的根，可從范圍方面尋找矛盾[解析]總結(jié)：否定性命題從正面突破往往比較困難，故用反證法比較多五、數(shù)學(xué)歸納法1.數(shù)學(xué)歸納法的定義：一般地，當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)N的所有正整數(shù)n都成立時(shí)，可以用以下兩個(gè)步驟：（1）證明當(dāng)時(shí)命題成立；（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，證明n=k+1時(shí)命題也成立。在完成了這兩個(gè)步驟后，就可以斷定命題對(duì)于不小于的所有正整數(shù)都成立。這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法。2.數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)：無窮的歸納→有限的演繹（遞推關(guān)系）3.數(shù)學(xué)歸納法步驟：（1）（遞推奠基）：當(dāng)n取第一個(gè)值結(jié)論正確；（2）（遞推歸納）：假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論正確；（歸納假設(shè)）證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確。（歸納證明）由（1），（2）可知，命題對(duì)于從開始的所有正整數(shù)n都正確。題型1：

已知n是正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，若已假設(shè)時(shí)命題為真，則還需證明（

）A.n=k+1時(shí)命題成立

B.n=k+2時(shí)命題成立C.n=2k+2時(shí)命題成立

D.n=2（k+2）時(shí)命題成立[解析]

因n是正偶數(shù)，故只需證等式對(duì)所有偶數(shù)都成立，因k的下一個(gè)偶數(shù)是k+2，故選B總結(jié)：用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，要注意觀察幾個(gè)方面：（1）n的范圍以及遞推的起點(diǎn)（2）觀察首末兩項(xiàng)的次數(shù)（或其它），確定n=k時(shí)命題的形式（3）從的差異，尋找由k到k+1遞推中，左邊要加（乘）上的式子題型2：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式[解析]總結(jié)：（1）數(shù)學(xué)歸納法證明命題，格式嚴(yán)謹(jǐn)，必須嚴(yán)格按步驟進(jìn)行；（2）歸納遞推是證明的難點(diǎn)，應(yīng)看準(zhǔn)“目標(biāo)”進(jìn)行變形；（3）由k推導(dǎo)到k+1時(shí)，有時(shí)可以“套”用其它證明方法，如：比較法、分析法等，表現(xiàn)出數(shù)學(xué)歸納法“靈活”的一面。例題1．（1）求證：橢圓中斜率為的平行弦的中點(diǎn)軌跡必過橢圓中心；（2）用作圖方法找出下面給定橢圓的中心；（3）我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”，其中，，.如圖，設(shè)點(diǎn)，，是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，，和，是“果圓”與，軸的交點(diǎn).連結(jié)“果圓”上任意兩點(diǎn)的線段稱為“果圓”的弦.試研究：是否存在實(shí)數(shù)，使斜率為的“果圓”平行弦的中點(diǎn)軌跡總是落在某個(gè)橢圓上？若存在，求出所有可能的值，若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）作圖見解析；（3）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)差法可求出平行弦的中點(diǎn)的軌跡方程為，顯然直線經(jīng)過橢圓中心原點(diǎn)；（2）由（1）知，平行弦的中點(diǎn)軌跡必過橢圓中心，所以作出兩組平行弦的中點(diǎn)軌跡所在直線，兩條直線的交點(diǎn)即為橢圓的中心；（3）由（1）的結(jié)論可知，．設(shè)出直線和弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得中點(diǎn)所在的軌跡方程為橢圓方程．當(dāng)或時(shí)，平行弦的軌跡可以在直線上，不總在橢圓上．【詳解】（1）證明：設(shè)斜率為的直線與橢圓交于點(diǎn)兩點(diǎn)，．中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以，，作差得，，即有，即，再根據(jù)中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以，即，解得．故平行弦的中點(diǎn)的軌跡方程為，，所以橢圓中斜率為的平行弦的中點(diǎn)軌跡過橢圓中心．（2）如圖所示，點(diǎn)即為橢圓中心．（3）由（1）的結(jié)論可知，．設(shè)交“果圓”于兩點(diǎn)，中點(diǎn)為，則，，則，即．易證，當(dāng)或時(shí)，“果圓”的平行弦的軌跡可以在直線上，不總在橢圓上．所以，當(dāng)時(shí)，“果圓”的平行弦的中點(diǎn)軌跡總是落在某個(gè)橢圓上．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)差法求中點(diǎn)弦的軌跡方程，以及中點(diǎn)弦的軌跡應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模能力，屬于難題．例題2．（1）證明：；（2）證明：對(duì)任何正整數(shù)n，存在多項(xiàng)式函數(shù)，使得對(duì)所有實(shí)數(shù)x均成立，其中均為整數(shù)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；（3）利用（2）的結(jié)論判斷是否為有理數(shù)？【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）不是【解析】【分析】（1），利用兩角和的正弦和二倍角公式，進(jìn)行證明；（2）對(duì)分奇偶，即和兩種情況，結(jié)合兩角和的余弦公式，積化和差公式，利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，將表示出來，然后判斷其每一項(xiàng)都為無理數(shù)，從而得到答案.【詳解】（1）所以原式得證.（2）為奇數(shù)時(shí)，時(shí)，，其中，成立時(shí)，，其中，成立時(shí)，，其中，成立，則當(dāng)時(shí)，所以得到因?yàn)榫鶠檎麛?shù)，所以也均為整數(shù)，故原式成立；為偶數(shù)時(shí)，時(shí)，，其中，時(shí)，，其中，成立，時(shí)，，其中，成立，則當(dāng)時(shí)，所以得到其中，因?yàn)榫鶠檎麛?shù)，所以也均為整數(shù)，故原式成立；綜上可得：對(duì)任何正整數(shù)，存在多項(xiàng)式函數(shù)，使得對(duì)所有實(shí)數(shù)均成立，其中，均為整數(shù)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；（3）由（2）可得其中均為有理數(shù)，因?yàn)闉闊o理數(shù)，所以均為無理數(shù)，故為無理數(shù)，所以不是有理數(shù).【點(diǎn)睛】本題考查利三角函數(shù)的二倍角的余弦公式，積化和差公式，數(shù)學(xué)歸納法證明，屬于難題.例題3．對(duì)于數(shù)列：、、、、，若不改變，僅改變、、、中部分項(xiàng)的符號(hào)（可以都不改變），得到的新數(shù)列稱為數(shù)列的一個(gè)生成數(shù)列，如僅改變數(shù)列、、、、的第二、三項(xiàng)的符號(hào)，可以得到一個(gè)生成數(shù)列：、、、、.已知數(shù)列為數(shù)列的生成數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）寫出的所有可能的值；（2）若生成數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求；（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于給定的，的所有可能值組成的集合為.【答案】（1）、、、；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)生成數(shù)列定義，可知當(dāng)時(shí)，，、分別為、中取值，由此給出的所有可能的情況，即可計(jì)算出的所有可能值；（2）利用，分、、三種情況討論，利用分組求和與等比數(shù)列的求和公式即可求得；（3）利用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時(shí)命題成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，，證明出，結(jié)合歸納原理即可證明出結(jié)論成立.【詳解】（1）由題意得，