新高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)+題型專項(xiàng)千題百練(新高考適用)專題19立體幾何綜合小題必刷100題(原卷版+解析)

專題19立體幾何綜合小題必刷100題任務(wù)一:善良模式(基礎(chǔ))1-30題一、單選題1．已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)均為2，則該正四棱錐的體積為（）A． B． C． D．2．已知，為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，則3．如圖，空間四邊形中，點(diǎn)在線段上，且，為的中點(diǎn)，，則，，的值分別為（）A．，， B．，， C．，， D．，，4．已知，，是三個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線，下列命題為真命題的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則5．已知四棱錐的正視圖和側(cè)視圖均為邊長(zhǎng)為2（單位：cm）的正三角形，俯視圖為正方形，則該四棱錐的體積（單位：）是（）A． B． C． D．6．在正方體中，則直線與直線所成角大小為（）A． B． C． D．7．正方體的棱長(zhǎng)為，為側(cè)面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則△面積的最小值為（）A． B． C． D．8．在直三棱柱中，.、分別是、的中點(diǎn)，，則與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．9．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．BD∥平面CB1D1 B．AD⊥平面CB1D1C．AC1⊥BD D．異面直線AD與CB1所成的角為45°10．已知向量＝(2m＋1，3，m－1)，＝(2，m，－m)，且，則實(shí)數(shù)m的值等于（）A． B．－2C．0 D．或－211．正方體ABCD--A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點(diǎn)，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是（）A．相交 B．異面C．平行 D．垂直12．已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B．0 C． D．13．把一個(gè)皮球放入如圖所示的由8根長(zhǎng)均為20cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點(diǎn)（皮球不變形），則皮球的半徑為（）A．cm B．10cmC．cm D．30cm14．一種特殊的四面體叫做“鱉臑”，它的四個(gè)面均為直角三角形.如圖，在四面體PABC中，設(shè)E，F(xiàn)分別是PB，PC上的點(diǎn)，連接AE，AF，EF（此外不再增加任何連線），則圖中直角三角形最多有（）A．6個(gè) B．8個(gè)C．10個(gè) D．12個(gè)15．在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，且，則四棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．二、多選題16．給出下列命題，其中正確的有（）A．空間任意三個(gè)向量都可以作為一組基底B．已知向量，則、與任何向量都不能構(gòu)成空間的一組基底C．已知空間向量，，則D．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是17．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4，以下結(jié)論正確的是（）A．直線與是異面直線B．直線與平行C．直線與垂直D．三棱錐的體積為18．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則下列說法正確的是（）A．存在點(diǎn)，使面B．二面角的平面角大小為C．的最小值是D．到平面的距離最大值是19．已知、是兩條不同的直線，、、是三個(gè)不同的平面.下列說法中正確的是（）A．若，，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，，則20．在下列條件中，不能使M與A，B，C一定共面的是（）A．＝2－－； B．；C．； D．＋＋＋＝0；21．如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是（）A． B．C． D．22．設(shè)一空心球是在一個(gè)大球(稱為外球)的內(nèi)部挖去一個(gè)有相同球心的小球(稱為內(nèi)球)，已知內(nèi)球面上的點(diǎn)與外球面上的點(diǎn)的最短距離為1，若某正方體的所有頂點(diǎn)均在外球面上?所有面均與內(nèi)球相切，則（）A．該正方體的核長(zhǎng)為2 B．該正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為C．空心球的內(nèi)球半徑為 D．空心球的外球表面積為23．在正三棱柱中，，，與交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．存在點(diǎn)，使得C．三棱錐的體積為D．直線與平面所成角的余弦值為第II卷（非選擇題）三、填空題24．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，M、N分別為BB1、BC的中點(diǎn)，則三棱錐N-DMC1的體積為___________.25．已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)是，側(cè)棱與底面所成角為，則此三棱錐的體積為__．26．如圖，在直三棱柱中，∠ACB＝90°，，則異面直線與AC所成角的余弦值是__________________．27．已知圓臺(tái)上底半徑為1，下底半徑為3，高為2，則此圓臺(tái)的外接球的表面積為______．28．如圖，已知平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)為3，且，則__.29．如圖，在空間四邊形OABC中，，點(diǎn)M在OA上，且，N為BC的中點(diǎn)，則用向量表示向量________．30．已知四棱錐P﹣ABCD的頂點(diǎn)都在球O的球面上，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，且PA⊥平面ABCD.若四棱錐P﹣ABCD的體積為，則球O的表面積為___________.任務(wù)二:中立模式(中檔)1-40題一、單選題1．在三棱錐P－ABC中，，△PAB，△PAC，△PBC的面積分別記為，且，則此三棱錐的內(nèi)切球的半徑為（）A． B．C． D．2．在立體幾何探究課上，老師給每個(gè)小組分發(fā)了一個(gè)正四面體的實(shí)物模型，同學(xué)們?cè)谔骄康倪^程中得到了一些有趣的結(jié)論.已知直線平面，直線平面，F(xiàn)是棱BC上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)有下列三個(gè)結(jié)論：①若分別為棱的中點(diǎn)，則直線平面；②在棱BC上存在點(diǎn)F，使平面；③當(dāng)F為棱BC的中點(diǎn)時(shí)，平面平面.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A．③ B．①③ C．①② D．②③3．已知圓臺(tái)上底面半徑為3，下底面半徑為4，高為7，若點(diǎn)A、B、C在下底面圓的圓周上，且，點(diǎn)Р在上底面圓的圓周上，則的最小值為（）A．246 B．226 C．208 D．1984．北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和，例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為，則四棱錐的總曲率為（）A． B． C． D．5．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且，則三棱錐的體積為（）A． B． C． D．不確定6．如圖已知正方體，點(diǎn)是對(duì)角線上的一點(diǎn)且，，則（）A．當(dāng)時(shí)，平面 B．當(dāng)時(shí)，平面C．當(dāng)為直角三角形時(shí)， D．當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，7．如圖所示，已知空間四邊形的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)E、F、G分別為AB、AD、DC的中點(diǎn)，則a2等于（）A．2? B．2? C．2? D．2?8．如圖一，矩形中，，交對(duì)角線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．現(xiàn)將沿翻折至的位置，如圖二，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則下列判斷一定成立的是（）A． B．平面C．平面 D．平面平面9．點(diǎn)M是棱長(zhǎng)為3的正方體中棱的中點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且平面，則的長(zhǎng)度范圍為（）A． B． C． D．10．如圖，在正方體中，點(diǎn)M在線段(不包含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)，則下列判斷中正確的是（）①平面；②異面直線與所成角的取值范圍是；③平面恒成立；④三棱錐的體積不是定值．A．①③ B．①② C．①②③ D．②④11．在四面體中，平面，，，，則該四面體的外接球的表面積是（）A． B．100π C． D．20π12．已知圓錐的母線長(zhǎng)為，側(cè)面展開圖的圓心角為，則該圓錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．13．如圖，四棱錐的底面為矩形，底面，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過，，三點(diǎn)的平面與平面的交線為，則下列結(jié)論中正確的有（）（1）平面；（2）平面；（3）直線與所成角的余弦值為；（4）平面截四棱錐所得的上、下兩部分幾何體的體積之比為．A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)14．在四棱錐中，平面平面，且是邊長(zhǎng)為2的正三角形，是正方形，則四棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．15．已知在正四面體ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，P是棱AC上的一動(dòng)點(diǎn)，BP＋PE的最小值為，則該四面體內(nèi)切球的體積為（）A．π B．πC．4π D．π16．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)，，，分別為棱，，，的中點(diǎn)，若平面平面，且平面與棱，，分別交于點(diǎn)，，，其中點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則三棱錐的體積為（）A．1 B． C． D．17．已知球，過其球面上，，三點(diǎn)作截面，若點(diǎn)到該截面的距離是球半徑的一半，且，，則球的表面積為（）（注：球的表面積公式A． B． C． D．18．如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CC1，P是A1C1的中點(diǎn)，則異面直線BC與AP所成角的余弦值為（）A．0 B． C． D．19．一個(gè)四棱錐和一個(gè)三棱錐恰好可以拼接成一個(gè)三棱柱，這個(gè)四棱錐的底面為正方形，且底面邊長(zhǎng)與各側(cè)棱長(zhǎng)相等，這個(gè)三棱錐的底面邊長(zhǎng)與各側(cè)棱長(zhǎng)也都相等．設(shè)四棱錐、三棱錐、三棱柱的高分別為、、，則（）A． B． C． D．20．如圖，二面角的大小是，線段．，與所成的角為．直線與平面所成的角的正弦值是（）A． B． C． D．二、多選題21．如圖，已知正方體，則四個(gè)推斷正確的是（）A． B．C．平面平面 D．平面平面22．正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)，G分別為的中點(diǎn)，則（）A．直線與直線垂直 B．直線與平面平行C．平面截正方體所得的截面面積為 D．點(diǎn)C到平面的距離為23．正四棱錐的所有棱長(zhǎng)為2，用垂直于側(cè)棱的平面截該四棱錐，則（）A．截面可以是三角形B．與底面所成的角為C．與底面所成的角為D．當(dāng)平面經(jīng)過側(cè)棱中點(diǎn)時(shí)，截面分四棱錐得到的上下兩部分幾何體體積之比為3：124．如圖，等腰直角三角形的斜邊為正四面體的側(cè)棱，，直角邊繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，下列說法正確的是（）A．三棱錐體積的最大值為B．三棱錐體積的最小值為C．存在某個(gè)位置，使得D．設(shè)二面角的平面角為，且，則25．如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6，且它們彼此的夾角都是60°，下列說法中不正確的是（）A．B．平面C．向量與的夾角是60°D．直線與AC所成角的余弦值為26．正方體中，是棱的中點(diǎn)，在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面.以下命題正確的有（）A．側(cè)面上存在點(diǎn)，使得B．直線與直線所成角可能為C．平面與平面所成銳二面角的正切值為D．設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則過點(diǎn)，，的平面截正方體所得的截面面積最大為27．如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)M，N分別在正方形對(duì)角線AC和BF上移動(dòng)，且.則下列結(jié)論中正確的有（）A．當(dāng)時(shí)，ME與CN相交B．MN始終與平面BCE平行C．異面直線AC與BF所成的角為D．當(dāng)時(shí)，MN的長(zhǎng)最小，最小為28．(多選)如圖，ABCD-A1B1C1D1為正方體，下面結(jié)論正確的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．異面直線AD與CB1所成的角為60°29．已知四邊形ABCD為正方形，GD⊥平面ABCD，四邊形DGEA與四邊形DGFC也都為正方形，連接EF，F(xiàn)B，BE，H為BF的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．DE⊥BFB．EF與CH所成角為C．EC⊥平面DBFD．BF與平面ACFE所成角為30．下圖中正方體邊長(zhǎng)為2，則下列說法正確的是（）A．平面平面B．正方體外接球與正四面體外接球半徑相等均為C．正四面體內(nèi)切球半徑為D．四面體內(nèi)切球半徑為第II卷（非選擇題）三、填空題31．空間四面體中，，，，直線和所成的角為，則該四面體的外接球的表面積為__.32．如圖，A、B、C、D、P是球O上5個(gè)點(diǎn)，ABCD為正方形，球心O在平面ABCD內(nèi)，，，則PA與CD所成角的余弦值為______．33．已知圓錐、圓柱的底面半徑和體積都相等，則它們的軸截面的面積之比的比值是___________34．中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.下左圖是南北朝官員獨(dú)孤信的印信，它是由正方形和正三角形圍成.右圖是根據(jù)這只印信作出的直觀圖，直觀圖的所有頂點(diǎn)都在一正方體的表面上（如果一個(gè)正八邊形的八個(gè)頂點(diǎn)都在這個(gè)正方體同一個(gè)側(cè)面的四條棱上，那么這個(gè)八邊形的邊長(zhǎng)就等于這個(gè)直觀圖的棱長(zhǎng)）.若這個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)都在半徑為的球面上，則這只印信的表面積為__________.35．如圖，在直三棱柱中，，，已知G與E分別為和的中點(diǎn)，D和F分別為線段AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若，則線段DF的長(zhǎng)度的平方取值范圍為__________.36．如圖，在長(zhǎng)方體中，已知，點(diǎn)，分別在棱，上.二面角的大小為30°.若三棱錐的體積為，則三棱錐的外接球的表面積為___________.37．異面直線a、b所成角為，直線c與a、b垂直且分別交于A、B，點(diǎn)C、D分別在直線a、b上，若，，，則________．38．已知四棱錐S﹣ABCD的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，SD⊥面ABCD，點(diǎn)M、N分別是AD、CD的中點(diǎn)，P為SD上一點(diǎn)，且SD＝3PD＝3，H為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若SH∥面PMN，則SH的最小值為__．39．如圖，在中，，，是棱的中點(diǎn)，以為折痕把折疊，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，則當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，其外接球的表面積為___________.40．在如圖所示的實(shí)驗(yàn)裝置中，正方形框架的邊長(zhǎng)都是，且平面平面，活動(dòng)彈子分別在正方形對(duì)角線上移動(dòng)，若，則長(zhǎng)度的最小值為__________．任務(wù)三:邪惡模式(困難)1-30題一、單選題1．已知四面體ABCD的所有棱長(zhǎng)均為，M，N分別為棱AD，BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱AB上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)．有下列結(jié)論：①線段MN的長(zhǎng)度為1；②若點(diǎn)G為線段MN上的動(dòng)點(diǎn)，則無論點(diǎn)F與G如何運(yùn)動(dòng)，直線FG與直線CD都是異面直線；③的余弦值的取值范圍為；④周長(zhǎng)的最小值為．其中正確結(jié)論的為（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④2．已知三棱錐，其中平面，，，.已知點(diǎn)為棱（不含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，若光線從點(diǎn)出發(fā)，依次經(jīng)過平面與平面反射后重新回到點(diǎn)，則光線經(jīng)過路徑長(zhǎng)度的取值范圍為（）A． B．C． D．3．如圖，已知銳二面角的大小為，，，，，，，C，D為AB，MN的中點(diǎn)，若，記AN，CD與半平面所成角分別為，，則（）A．， B．，C．， D．，4．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是對(duì)角線上的點(diǎn)（點(diǎn)與不重合），有以下四個(gè)結(jié)論：①存在點(diǎn)，使得平面平面；②存在點(diǎn)，使得平面；③若的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，則L的最小值為；④若的面積為，則．則正確的結(jié)論為（）A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②④5．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)P是正方體棱上一點(diǎn)，若滿足的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為4，則d的取值范圍為（）A． B． C． D．6．在三棱錐中，，點(diǎn)在面上的投影是的垂心，二面角的平面角記為，二面角的平面角記為，二面角的平面角記為，則（）A． B．C． D．7．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，是的中點(diǎn)，是棱上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．三棱錐的體積為定值B．存在點(diǎn)，使得直線與直線相交C．當(dāng)是棱的中點(diǎn)時(shí)，直線與直線所成的角為D．平面截正方體所得的截面是五邊形8．如圖，在等邊三角形中，分別是線段上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，且，現(xiàn)將三角形沿直線折起，使平面平面，當(dāng)從滑動(dòng)到的過程中，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（）A．的大小不會(huì)發(fā)生變化 B．二面角的平面角的大小不會(huì)發(fā)生變化C．與平面所成的角變大 D．與所成的角先變小后變大9．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圓”等，“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動(dòng)，類似今日的踢足球活動(dòng).如圖所示，已知某“鞠”的表面上有四個(gè)點(diǎn)，，，滿足，，則該“鞠”的表面積為（）A． B．C． D．10．已知在中，斜邊，，若將沿斜邊上的中線折起，使平面平面，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．11．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則平面與平面所成的銳二面角正切的最小值是（）A． B．C． D．12．已知正方體的棱長(zhǎng)為，M，N為體對(duì)角線的三等分點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在三角形內(nèi)，且三角形的面積，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．13．已知半球與圓臺(tái)有公共的底面，圓臺(tái)上底面圓周在半球面上，半球的半徑為1，則圓臺(tái)側(cè)面積取最大值時(shí)，圓臺(tái)母線與底面所成角的余弦值為（）A． B． C． D．14．如圖，等腰直角中，，點(diǎn)為平面外一動(dòng)點(diǎn)，滿足，，給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在點(diǎn)，使得平面平面；②存在點(diǎn)，使得平面平面；③設(shè)的面積為，則的取值范圍是；④設(shè)二面角的大小為，則的取值范圍是.其中正確結(jié)論是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④15．已知AB、CD是圓O的兩條直徑，且，如圖1，沿AB折起，使兩個(gè)半圓面所在的平面垂直，折到點(diǎn)位置，如圖2．設(shè)直線與直線OC所成的角為，則（）A．且 B．且C．且 D．且二、多選題16．如圖，底面ABCD為邊長(zhǎng)是4的正方形，半圓面底面ABCD．點(diǎn)P為半圓弧(不含A，D點(diǎn))一動(dòng)點(diǎn)．下列說法正確的是（）A．三梭錐P—ABD的每個(gè)側(cè)面三角形都是直角三角形B．三棱錐P—ABD體積的最大值為C．三棱錐P—ABD外接球的表面積為定值D．直線PB與平面ABCD所成最大角的正弦值為17．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)在正方形內(nèi)，則（）A．若，則三棱錐的的外接球表面積為B．若平面，則不可能垂直C．若平面，則點(diǎn)的位置唯一D．若點(diǎn)為中點(diǎn)，則三棱錐的體積是三棱錐體積的一半18．為弘揚(yáng)中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某學(xué)校組織了《誦經(jīng)典，獲新知》的演講比賽，本次比賽的冠軍獎(jiǎng)杯由一個(gè)銅球和一個(gè)托盤組成，如圖①，已知球的體積為，托盤由邊長(zhǎng)為的正三角形銅片沿各邊中點(diǎn)的連線垂直向上折疊而成，如圖②.則下列結(jié)論正確（）A．經(jīng)過三個(gè)頂點(diǎn)的球的截面圓的面積為B．異面直線與所成的角的余弦值為C．多面體的體積為D．球離球托底面的最小距離為19．已知邊長(zhǎng)為的菱形中，，將沿翻折，下列說法正確的是（）A．在翻折的過程中，直線，始終不可能垂直B．在翻折的過程中，三棱錐體積最大值為C．在翻折過程中，三棱錐表面積最大時(shí)，其內(nèi)切球表面積為D．在翻折的過程中，點(diǎn)在面上的投影為，為棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的最小值為20．如圖，是由具有公共直角邊的兩塊直角三角板組成的三角形，，.現(xiàn)將沿斜邊翻折成△不在平面內(nèi)）.若，分別為和的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列結(jié)論正確的是（）A．平面B．與不可能垂直C．二面角正切值的最大值為D．直線與所成角的取值范圍為21．已知邊長(zhǎng)為的菱形中，，將沿翻折，下列說法正確的是（）A．在翻折的過程中，直線，可能相互垂直B．在翻折的過程中，三棱錐體積最大值為C．在翻折的過程中，三棱錐表面積最大時(shí)，其內(nèi)切球表面積為D．在翻折的過程中，點(diǎn)在面上的投影為，為棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的最小值為22．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，是底面的中心，是棱上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），則（）A．平面截正方體所得截面一定是梯形B．存在點(diǎn)，使得三棱錐的體積為C．存在點(diǎn)，使得與相交D．當(dāng)是棱的中點(diǎn)時(shí)，平面截正方體外接球所得截面圓的面積23．在四面體中，，，直線，所成的角為60°，，，則四面體的外接球表面積為（）A． B． C． D．第II卷（非選擇題）三、填空題24．已知一正三棱錐的體積為，設(shè)其側(cè)面與底面所成銳二面角為，則當(dāng)?shù)扔赺_____時(shí)，側(cè)面積最?。?5．球面幾何學(xué)是幾何學(xué)的一個(gè)重要分支，在航海、航空、衛(wèi)星定位等面都有廣泛的應(yīng)用，如圖，A，B，C是球面上不同的大圓（大圓是過球心的平面與球面的交線）上的三點(diǎn)，經(jīng)過這三個(gè)點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的大圓的劣弧分別為，由這三條劣弧圍成的圖形稱為球面．已知地球半徑為R，北極為點(diǎn)N，P，Q是地球表面上的兩點(diǎn)若P，Q在赤道上，且，則球面的面積為________；若，則球面的面積為________．26．如圖，在矩形中，是邊的中點(diǎn)，將沿直線折成，使得二面角的平面角為銳角，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)(包括端點(diǎn))，當(dāng)直線與平面所成角最大時(shí)，在底面內(nèi)的射影面積為___________.27．已知三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，與底面成角，是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則的最小值是________.28．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)，若，，則的最小值為_________．29．在棱長(zhǎng)為的正方體中，過對(duì)角線的一個(gè)平面交于，交于，得四邊形，給出下列結(jié)論：①四邊形有可能為梯形；②四邊形有可能為菱形；③四邊形在底面內(nèi)的投影一定是正方形；④四邊形有可能垂直于平面；⑤四邊形面積的最小值為.其中正確結(jié)論的序號(hào)是_____________30．在棱長(zhǎng)為4的正方體中，E，F(xiàn)分別是和的中點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A，E，F(xiàn)的平面把正方體截成兩部分，則截面的周長(zhǎng)為________.專題19立體幾何綜合小題必刷100題任務(wù)一:善良模式(基礎(chǔ))1-30題一、單選題1．已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)均為2，則該正四棱錐的體積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】計(jì)算出正四棱錐的底面積，然后利用錐體的體積公式可求出該正四棱錐的體積．【詳解】正四棱錐的底面積為，正四棱錐的高為因此，該正四棱錐的體積為．故選：A．2．已知，為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，則【答案】D【分析】利用線面平行、面面平行的判定、性質(zhì)定理，依次分析即得解【詳解】選項(xiàng)A：有可能出現(xiàn)的情況；選項(xiàng)B：和有可能異面；選項(xiàng)C：和有可能相交；選項(xiàng)D：由，，得直線和平面沒有公共點(diǎn)，所以，故選：D3．如圖，空間四邊形中，點(diǎn)在線段上，且，為的中點(diǎn)，，則，，的值分別為（）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】B【分析】利用空間向量的基本定理求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，?故選：B.4．已知，，是三個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線，下列命題為真命題的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】C【分析】利用空間中點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系即可對(duì)每個(gè)選項(xiàng)做出判斷，從而選出正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若，，則與平行或相交，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B：若，，則與可平行、異面、或相交，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C：若，，則，垂直于同一平面的兩個(gè)直線平行，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若，，則與平行或相交，故選項(xiàng)D不正確.故選：C5．已知四棱錐的正視圖和側(cè)視圖均為邊長(zhǎng)為2（單位：cm）的正三角形，俯視圖為正方形，則該四棱錐的體積（單位：）是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)四棱錐是正四棱錐求解.【詳解】如圖所示：由題意知：四棱錐是正四棱錐，因?yàn)樗睦忮F的正視圖和側(cè)視圖均為邊長(zhǎng)為2（單位：cm）的正三角形，所以，則正四棱錐的高為：，又因?yàn)楦┮晥D為正方形，所以，故選：B6．在正方體中，則直線與直線所成角大小為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，連接，證明可得或其補(bǔ)角即為直線與直線所成角，在中求即可求解.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，連接，因?yàn)榍?，所以四邊形是平行四邊形，可得，所以或其補(bǔ)角即為直線與直線所成角，在中，，所以，所以直線與直線所成角大小為，故選：C.7．正方體的棱長(zhǎng)為，為側(cè)面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則△面積的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)由，得出點(diǎn)的軌跡方程，由幾何性質(zhì)求得，再根據(jù)垂直關(guān)系求出△面積的最小值．【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，設(shè)所以，得，所以因?yàn)槠矫?，所以故△面積的最小值為故選：B8．在直三棱柱中，.、分別是、的中點(diǎn)，，則與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CB、CA、方向分別為x、y、z軸正方向，建立空間坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，分別求出的坐標(biāo)，根據(jù)空間向量的數(shù)量積求出即可.【詳解】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CB、CA、方向分別為x、y、z軸正方向，建立空間坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則，所以，故選：D9．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．BD∥平面CB1D1 B．AD⊥平面CB1D1C．AC1⊥BD D．異面直線AD與CB1所成的角為45°【答案】B【分析】利用直線與平面平移以及垂直的關(guān)系，結(jié)合異面直線所成角判斷命題的真假即可.【詳解】解：A，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，①BD∥B1D1，B1D1?平面CB1D1；BD?平面CB1D1；所以BD∥平面CB1D1；A正確；B，；AD∥A1D1，且⊥平面，所以⊥平面，又平面與平面CB1D1不平行，所以AD與平面CB1D1不平行，；B不正確；C，AC1在底面ABCD上的射影AC，BD⊥AC；所以AC1⊥BD；C正確；D，根據(jù)正方體的性質(zhì)可得所以異面直線AD與CB1所成的角即為直線與CB1所成的角,由，所以異面直線AD與CB1所成的角為45°；D正確故選：B.10．已知向量＝(2m＋1，3，m－1)，＝(2，m，－m)，且，則實(shí)數(shù)m的值等于（）A． B．－2C．0 D．或－2【答案】B【分析】利用空間向量平行的坐標(biāo)表示，即可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)m＝0時(shí)，=(1，3，－1)，＝(2，0，0)，與不平行，∴m≠0，∵，∴，解得m＝－2.故選：B11．正方體ABCD--A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點(diǎn)，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是（）A．相交 B．異面C．平行 D．垂直【答案】A【分析】連接與交于點(diǎn)F，易得是平行四邊形，根據(jù)平面的基本性質(zhì)即可判斷直線與直線的位置關(guān)系.【詳解】如圖所示，連接與交于點(diǎn)F，由題意，易得四邊形是平行四邊形，在平行四邊形中，E，F(xiàn)分別是線段的中點(diǎn)，∴，又且共面，則直線與直線相交.故選：A.12．已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B．0 C． D．【答案】B【分析】先用余弦定理求出，再由勾股定理可證，可所以兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)以及、的坐標(biāo)，利用空間向量夾角公式計(jì)算即可求解.【詳解】因?yàn)橹比庵?，，，，在中，由余弦定理可得：，所以，所以，所以，進(jìn)而可得兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，設(shè)異面直線與所成角的平面角為，則異面直線與所成角的余弦值為：，故選：B.13．把一個(gè)皮球放入如圖所示的由8根長(zhǎng)均為20cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點(diǎn)（皮球不變形），則皮球的半徑為（）A．cm B．10cmC．cm D．30cm【答案】B【分析】判斷出球心的位置，由此計(jì)算出球的半徑.【詳解】依題意可知該四棱錐是正四棱錐，且平面，則.，，所以，到的距離都是，在等腰直角三角形中，到的距離為，同理可得到的距離也是.所以是皮球的球心，且皮球的半徑為.故選：B14．一種特殊的四面體叫做“鱉臑”，它的四個(gè)面均為直角三角形.如圖，在四面體PABC中，設(shè)E，F(xiàn)分別是PB，PC上的點(diǎn)，連接AE，AF，EF（此外不再增加任何連線），則圖中直角三角形最多有（）A．6個(gè) B．8個(gè)C．10個(gè) D．12個(gè)【答案】C【分析】由題設(shè)，若四面體PABC為“鱉臑”，應(yīng)用線面、面面垂直的判定、性質(zhì)只需AE⊥EF、AE⊥PC、EF⊥PC，即PAEF也是“鱉臑”，即可保證直角三角形最多，進(jìn)而確定個(gè)數(shù)即可.【詳解】為使題圖中有盡可能多的直角三角形，設(shè)四面體PABC為“鱉臑”，其中PA⊥面ABC，BC面ABC，則PA⊥BC，又AB⊥BC，ABPA=A，∴CB⊥面PAB.若AE⊥PB，EF⊥PC：由CB⊥面PAB，BC面PBC，則面PAB⊥面PBC，又AE面PAB，面PAB∩面PBC=PB，∴AE⊥面PBC，EF、PC面PBC，則AE⊥EF且AE⊥PC，又EF⊥PC，∴四面體PAEF也是“鱉臑”，則10個(gè)三角形全是直角三角形，故選：C.15．在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，且，則四棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用勾股定理判斷平面，過正方形的中心作垂線，再過中點(diǎn)作此垂線的垂線，交點(diǎn)即為外接球的球心，求出外接球半徑，由表面積公式即可求解.【詳解】由題意可知，，所以，，又，所以平面，過正方形的中心作垂線，再過中點(diǎn)作此垂線的垂線，交點(diǎn)為，此點(diǎn)即為外接球的球心，則外接球半徑，所以四棱錐外接球的表面積.故選：C二、多選題16．給出下列命題，其中正確的有（）A．空間任意三個(gè)向量都可以作為一組基底B．已知向量，則、與任何向量都不能構(gòu)成空間的一組基底C．已知空間向量，，則D．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是【答案】BD【分析】對(duì)選項(xiàng)A，B，根據(jù)空間向量基底概念即可判斷A錯(cuò)誤，B正確，對(duì)選項(xiàng)C，根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷C錯(cuò)誤，對(duì)選項(xiàng)D，根據(jù)投影向量概念求解即可.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，因?yàn)榭臻g中只有不共面的三個(gè)向量可以作為一組基底，故A錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)B，因?yàn)?，則、與任何向量都是共面向量，故B正確.對(duì)選項(xiàng)C，，，因?yàn)?，所以、不平行，故C錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)D，，，所以向量在向量上的投影向量為.故D正確.故選：BD17．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4，以下結(jié)論正確的是（）A．直線與是異面直線B．直線與平行C．直線與垂直D．三棱錐的體積為【答案】AD【分析】A選項(xiàng)結(jié)合異面直線的定義即可判斷；B證得即可判斷；C由直線與是矩形的兩條對(duì)角線即可判斷；D用正方體的體積減去四個(gè)三棱錐的體積即可求出結(jié)果判斷.【詳解】直線在平面內(nèi)與沒有交點(diǎn)，所以直線與是異面直線，故A項(xiàng)正確；因?yàn)椋遥运倪呅螢槠叫兴倪?，因此，又因?yàn)?，所?故B項(xiàng)錯(cuò)誤；直線與是矩形的兩條對(duì)角線，不垂直，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；．故D項(xiàng)正確．故選：AD.18．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則下列說法正確的是（）A．存在點(diǎn)，使面B．二面角的平面角大小為C．的最小值是D．到平面的距離最大值是【答案】AC【分析】對(duì)于A，當(dāng)與重合時(shí)可得結(jié)論，對(duì)于B，二面角就是二面角，從而可求出結(jié)果，對(duì)于C，如圖沿棱展開面為面，利用兩點(diǎn)之間線段最短判斷，對(duì)于D，當(dāng)與重合時(shí)，點(diǎn)到面的距離最大，從而可求得結(jié)果【詳解】對(duì)于A，當(dāng)與重合時(shí)，，根據(jù)線面平行的判定，可得使面，故正確；對(duì)于B，二面角就是二面角，其平面角大小為.故錯(cuò)；對(duì)于C，如圖沿棱展開面為面，使點(diǎn)，，，，，共面，則的最小值為，故正確；對(duì)于D，當(dāng)與重合時(shí)，垂直平面，此時(shí)點(diǎn)到面距離最大值為，故錯(cuò).故選：AC.19．已知、是兩條不同的直線，、、是三個(gè)不同的平面.下列說法中正確的是（）A．若，，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，，則【答案】ACD【分析】對(duì)于A，利用線面平行的性質(zhì)定理判斷，對(duì)于B，利用線面平行的判定定理判斷，對(duì)于C，利用線面垂直的判定定理判斷即可，對(duì)于D，利用面面平行的判定方法判斷【詳解】由線面平行的性質(zhì)定理可知，A正確；若∥∥，則∥或，即B錯(cuò)誤；設(shè)的法向量分別為，若，則，又，則∥，∥，所以，即C正確；若，則∥，又∥，則∥，即D正確.故選：ACD20．在下列條件中，不能使M與A，B，C一定共面的是（）A．＝2－－； B．；C．； D．＋＋＋＝0；【答案】ABD【分析】根據(jù)四點(diǎn)共面的條件對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng)．【詳解】與，，一定共面的充要條件是，對(duì)于A選項(xiàng)，由于，所以不能得出共面，對(duì)于B選項(xiàng)，由于，所以不能得出共面，對(duì)于C選項(xiàng)，由于，則為共面向量，所以共面，對(duì)于D選項(xiàng)，由得，而，所以不能得出共面．故選：ABD21．如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線構(gòu)造所考慮的線線角后可判斷AD的正誤.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，對(duì)于A，如圖（1）所示，連接，則，故（或其補(bǔ)角）為異面直線所成的角，在直角三角形，，，故，故不成立，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，如圖（2）所示，取的中點(diǎn)為，連接，，則，，由正方體可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正確.對(duì)于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，故，故C正確.對(duì)于D，如圖（4），取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)?，故，故，所以或其補(bǔ)角為異面直線所成的角，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D錯(cuò)誤.故選：BC.22．設(shè)一空心球是在一個(gè)大球(稱為外球)的內(nèi)部挖去一個(gè)有相同球心的小球(稱為內(nèi)球)，已知內(nèi)球面上的點(diǎn)與外球面上的點(diǎn)的最短距離為1，若某正方體的所有頂點(diǎn)均在外球面上?所有面均與內(nèi)球相切，則（）A．該正方體的核長(zhǎng)為2 B．該正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為C．空心球的內(nèi)球半徑為 D．空心球的外球表面積為【答案】BD【分析】設(shè)內(nèi)外球半徑分別為r，R，利用正方體的對(duì)角線求得，根據(jù)兩球上點(diǎn)的距離最小值為，求解后得到r，R，進(jìn)而求得正方體的對(duì)角線和外接球的表面積.【詳解】設(shè)內(nèi)外球半徑分別為r，R，則正方體的棱長(zhǎng)為，體對(duì)角線長(zhǎng)為，∴，又由題知，所以，，∴正方體棱長(zhǎng)為，體對(duì)角線長(zhǎng)為，∴外接球表面積為，故選：BD.23．在正三棱柱中，，，與交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．存在點(diǎn)，使得C．三棱錐的體積為D．直線與平面所成角的余弦值為【答案】AC【分析】A.利用空間向量運(yùn)算求解判斷；B.利用空間向量運(yùn)算求解判斷；C.利用等體積法求解判斷；D.利用線面角的求解判斷.【詳解】由題意，畫出正三棱柱如圖所示，向量，故A正確；假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，，所以.因?yàn)?，所?解得.故B錯(cuò)誤；因?yàn)檎庵?，所以，所以，所以，故C正確；設(shè)中點(diǎn)為，所以，三棱柱是正三棱柱，所以平面，所以即與平面所成的角，.故D錯(cuò)誤.故選：AC.第II卷（非選擇題）三、填空題24．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，M、N分別為BB1、BC的中點(diǎn)，則三棱錐N-DMC1的體積為___________.【答案】1【分析】利用等體法以及三棱錐的體積公式即可求解.【詳解】.故答案為：125．已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)是，側(cè)棱與底面所成角為，則此三棱錐的體積為__．【答案】【分析】過作平面交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于，在中，求得，根據(jù)平面，得到，求得，結(jié)合體積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，過作平面交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于，所以點(diǎn)是的中心，所以是等邊的一條高，其中邊長(zhǎng)為，所以，可得，因?yàn)槠矫?，所以，在直角中，可得，由的邊長(zhǎng)為，可得，所以三棱錐的體積為.故答案為：.26．如圖，在直三棱柱中，∠ACB＝90°，，則異面直線與AC所成角的余弦值是__________________．【答案】【分析】由AC∥，知是異面直線與AC所成角（或所成角的補(bǔ)角），由此能求出異面直線與AC所成角的余弦值．【詳解】解：連結(jié)，∵AC∥，∴是異面直線與AC所成角（或所成角的補(bǔ)角），∵在直三棱柱中，∠ACB＝90°，，∴，，，，∴∴異面直線與AC所成角的余弦值為．故答案為：．27．已知圓臺(tái)上底半徑為1，下底半徑為3，高為2，則此圓臺(tái)的外接球的表面積為______．【答案】【分析】先畫出圓臺(tái)的軸截面，利用圓心到上底圓周上一點(diǎn)等于外接球半徑，圓心到下底圓周上一點(diǎn)等于外接球半徑，建立方程，解出外接球半徑，求出外接球表面積.【詳解】如圖所示，設(shè)外接球半徑為r，球心到上底的距離為h，則球心到下底的距離為則有，，解得，．所以外接球的表面積為．故答案為：28．如圖，已知平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)為3，且，則__.【答案】【分析】由空間向量的加法法則有，然后平方，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算可得．【詳解】平行六面體中，，..故答案為：．29．如圖，在空間四邊形OABC中，，點(diǎn)M在OA上，且，N為BC的中點(diǎn)，則用向量表示向量________．【答案】【分析】根據(jù)，由此能求出結(jié)果．【詳解】∵在空間四邊形OABC中，，點(diǎn)M在OA上，且，N為BC的中點(diǎn)，∴．故答案為：．30．已知四棱錐P﹣ABCD的頂點(diǎn)都在球O的球面上，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，且PA⊥平面ABCD.若四棱錐P﹣ABCD的體積為，則球O的表面積為___________.【答案】【分析】由題意，畫出示意圖，四棱錐P﹣ABCD的體積，，，，球O的半徑，進(jìn)而求解.【詳解】解：由題意，畫出示意圖如圖：則正方形ABCD面積S=4，∵四棱錐P﹣ABCD的體積，∴，，球O的半徑球O的表面積：.故答案為：任務(wù)二:中立模式(中檔)1-40題一、單選題1．在三棱錐P－ABC中，，△PAB，△PAC，△PBC的面積分別記為，且，則此三棱錐的內(nèi)切球的半徑為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形面積公式求出面積，聯(lián)立方程求出棱長(zhǎng)，再求出棱錐高得出棱錐體積，由等體積法求出內(nèi)切球的半徑即可.【詳解】，，，解得，，由余弦定理可得，，取的中點(diǎn)，連接，，如圖，可得，，，，，所以，所以平面ABC，內(nèi)切球半徑，故選：B2．在立體幾何探究課上，老師給每個(gè)小組分發(fā)了一個(gè)正四面體的實(shí)物模型，同學(xué)們?cè)谔骄康倪^程中得到了一些有趣的結(jié)論.已知直線平面，直線平面，F(xiàn)是棱BC上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)有下列三個(gè)結(jié)論：①若分別為棱的中點(diǎn)，則直線平面；②在棱BC上存在點(diǎn)F，使平面；③當(dāng)F為棱BC的中點(diǎn)時(shí)，平面平面.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A．③ B．①③ C．①② D．②③【答案】A【分析】將正四面體放在正方體中，如圖，由正方體的性質(zhì)判斷各選項(xiàng)．【詳解】可將正四面體放在正方體中研究，如圖，對(duì)于①，由直線平面，直線平面，知平面是與左右兩個(gè)側(cè)面平行的平面，是前后兩個(gè)側(cè)面的中心（對(duì)角線交點(diǎn)），則直線平面或直線平面，故①錯(cuò)誤.對(duì)于②，正方體的左、右兩個(gè)側(cè)面與平面平行，因此，與平面垂直的直線只能是與其四條側(cè)棱平行或重合的直線，故②錯(cuò)誤.對(duì)于③，平面就是平面，由與側(cè)面垂直，得面面垂直，故③正確，故選：A．3．已知圓臺(tái)上底面半徑為3，下底面半徑為4，高為7，若點(diǎn)A、B、C在下底面圓的圓周上，且，點(diǎn)Р在上底面圓的圓周上，則的最小值為（）A．246 B．226 C．208 D．198【答案】D【分析】問題可轉(zhuǎn)化為三棱錐且三棱錐有外接球，求轉(zhuǎn)化為求的最值，再轉(zhuǎn)化為利用向量求解即可.【詳解】如圖，ABC的外心是AC中點(diǎn)，點(diǎn)P到底面ABC的距離為7，設(shè)Р所在截面圓的圓心為，此截面與平面ABC平行，球心在上，，則，設(shè)P在平面ABC上的射影為Q，則Q在以為圓心，3為半徑的圓，因?yàn)镻Q⊥平面ABC，所以PQ與平面ABC內(nèi)所有直線都垂直，PQ=7,所以，當(dāng)反向時(shí)，取得最小值-12，所以的最小值故選：D4．北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和，例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為，則四棱錐的總曲率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題中給出的定義，由多面體的總曲率計(jì)算求解即可．【詳解】解：由題意，四棱錐的總曲率等于四棱錐各頂點(diǎn)的曲率之和，因?yàn)樗睦忮F有5個(gè)頂點(diǎn)，5個(gè)面，其中4個(gè)三角形，1個(gè)四邊形，所以四棱錐的表面內(nèi)角和由4個(gè)三角形和1個(gè)四邊形組成，所以面角和為，故總曲率為．故選：B.5．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且，則三棱錐的體積為（）A． B． C． D．不確定【答案】A【分析】根據(jù)題意可知平面，而，在線段上運(yùn)動(dòng)，則平面，從而得出點(diǎn)到直線的距離不變，求出的面積，再根據(jù)線面垂直的判定定理可證出平面，得出點(diǎn)到平面的距離為，最后利用棱錐的體積公式求出三棱錐的體積.【詳解】解：由題可知，正方體的棱長(zhǎng)為1，則平面，又，在線段上運(yùn)動(dòng)，平面，點(diǎn)到直線的距離不變，由正方體的性質(zhì)可知平面，則，而，，故的面積為，又由正方體可知，，，且，平面，則平面，設(shè)與交于點(diǎn)，則平面，點(diǎn)到平面的距離為，.故選：A.6．如圖已知正方體，點(diǎn)是對(duì)角線上的一點(diǎn)且，，則（）A．當(dāng)時(shí)，平面 B．當(dāng)時(shí)，平面C．當(dāng)為直角三角形時(shí)， D．當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法一一計(jì)算可得；【詳解】解：由題可知，如圖令正方體的棱長(zhǎng)為1，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，因?yàn)?，所以，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以對(duì)于A：若平面，則，則，解得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若平面，則，即，解得，故B錯(cuò)誤；當(dāng)為直角三角形時(shí)，有，即，解得或（舍去），故C錯(cuò)誤；設(shè)到的距離為，則，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，，故正確．故選：．7．如圖所示，已知空間四邊形的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)E、F、G分別為AB、AD、DC的中點(diǎn)，則a2等于（）A．2? B．2? C．2? D．2?【答案】B【分析】由條件利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)中式子進(jìn)行運(yùn)算，可得結(jié)論．【詳解】由題意可得，22a?a?cos（π﹣∠BAD）＝2a2?（﹣cos60°）＝﹣a2，故排除A．∵2?2?a?a?cos60°＝a2，故B滿足條件．∵2?2??a?cosπ＝﹣a2，故排除C．∵2?2??a?cos60°，故排除D，故選：B8．如圖一，矩形中，，交對(duì)角線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．現(xiàn)將沿翻折至的位置，如圖二，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則下列判斷一定成立的是（）A． B．平面C．平面 D．平面平面【答案】D【分析】利用反證法可判斷A選項(xiàng)；由二面角的變化可判斷B選項(xiàng)；利用反證法結(jié)合面面平行的性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；利用面面垂直的判定定理可判斷D選項(xiàng).【詳解】翻折前，，，翻折后，對(duì)應(yīng)地有，，，，則平面，平面，故平面平面，D選項(xiàng)一定成立；對(duì)于B選項(xiàng)，由上可知，二面角的平面角為，在翻折的過程中，會(huì)發(fā)生變化，則與不一定垂直，即與平面不一定垂直，故B選項(xiàng)不一定成立；對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)，在圖一中，，所以，，可得，，因?yàn)?，則，故，所以，，在圖二中，過點(diǎn)在平面內(nèi)作交于點(diǎn)，連接，則，故，則，又因?yàn)?，故不為的中點(diǎn)，因?yàn)?，，則，若，且，則平面，平面，則，由于、平面，且，故，由于為的中點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，與已知條件矛盾，A選項(xiàng)不成立；對(duì)于C選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，因?yàn)椋矫?，平面，所以，平面，若平面，，則平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，則，由于為的中點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，與已知條件矛盾，C選項(xiàng)不成立.故選：D.9．點(diǎn)M是棱長(zhǎng)為3的正方體中棱的中點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且平面，則的長(zhǎng)度范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】以D為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面與于，取中點(diǎn)F，在上取點(diǎn)H，使，在上取點(diǎn)G，使，可得截面，【詳解】解：以D為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)平面與于，連接，由平面平面，是截面與這兩個(gè)平面的交線，因此，取中點(diǎn)F，在上取點(diǎn)H，使，在上取點(diǎn)G，使，連接，易得，所以，又，所以，所以，而平面，平面，所以平面，易知，，，，，∴，，，，，所以，共面，，，所以，同理得平面，是平面內(nèi)兩相交直線，則平面平面，∵動(dòng)點(diǎn)P在正方形（含邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且平面，∴P點(diǎn)的軌跡是線段，又點(diǎn)C到線段的距離，∴的長(zhǎng)度的最小值為，，，∴長(zhǎng)度的最大值為.∵的長(zhǎng)度范圍為．故選：B.10．如圖，在正方體中，點(diǎn)M在線段(不包含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)，則下列判斷中正確的是（）①平面；②異面直線與所成角的取值范圍是；③平面恒成立；④三棱錐的體積不是定值．A．①③ B．①② C．①②③ D．②④【答案】B【分析】根據(jù)給定條件證得平面平面可判斷①；由及正可判斷②；取特殊位置說明與不垂直判斷③；利用等體積法轉(zhuǎn)化可判斷④即可作答.【詳解】在正方體中，連接，如圖，因?qū)敲鍭BC1D1是矩形，則AD1//BC1，而平面ACD1，平面ACD1，于是得BC1//平面ACD1，同理，A1B//平面ACD1，而，平面，因此，平面平面，又平面，故有平面，①正確；因，即異面直線與所成角即為與所成角，而是正三角形，點(diǎn)M在線段(不包含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角范圍為，②正確；當(dāng)M為的中點(diǎn)時(shí)，直線過點(diǎn)C，，即此時(shí)與不垂直，平面不恒成立，③錯(cuò)誤；因BC1//平面ACD1，則，即三棱錐的體積是定值，④錯(cuò)誤.故選：B11．在四面體中，平面，，，，則該四面體的外接球的表面積是（）A． B．100π C． D．20π【答案】D【分析】由題知，，，設(shè)為三角形的外心，進(jìn)而得，過作三角形的垂線，球心在上，且，進(jìn)而得外接球半徑，再計(jì)算表面積即可得答案.【詳解】如圖：因?yàn)槠矫?，，所以，，因?yàn)?，由余弦定理可解得，設(shè)為三角形的外心，則由正弦定理得三角形外接圓半徑為2，即，過作三角形的垂線，球心在上，則，可求外接球半徑，故該四面體的外接球的表面積是，故選：D.12．已知圓錐的母線長(zhǎng)為，側(cè)面展開圖的圓心角為，則該圓錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由圓錐側(cè)面展開圖的圓心角可構(gòu)造方程求得圓錐底面半徑，在中，利用勾股定理可構(gòu)造關(guān)于圓錐外接球半徑的方程，解方程求得，根據(jù)球的表面積公式即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，由題意得：，解得：.如圖，是圓錐的一條母線，由圓錐的性質(zhì)知其外接球的球心在上，連接，，設(shè)圓錐的外接球的半徑為，則，則，，即，解得：，圓錐的外接球的表面積為.故選：C.13．如圖，四棱錐的底面為矩形，底面，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過，，三點(diǎn)的平面與平面的交線為，則下列結(jié)論中正確的有（）（1）平面；（2）平面；（3）直線與所成角的余弦值為；（4）平面截四棱錐所得的上、下兩部分幾何體的體積之比為．A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】對(duì)A，取的中點(diǎn)，連接，證明平面，即平面，可判斷A；對(duì)B，若平面，則，結(jié)合，可判斷B；對(duì)C，根據(jù)，故判斷C；對(duì)D，連接，分別求出兩部分的體積即可判斷D.【詳解】對(duì)A，取的中點(diǎn)，連接，則，即，，，四點(diǎn)共面，即為，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，即平面，故A正確；對(duì)B：由，若平面．則必有，即四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)椋?，所以矛盾，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：與所成角，即與所成角，即與所成角，由底面得．則，故C正確；對(duì)D：連接，由A知截面就是平面，下半部分分為四棱錐和三棱錐.，，由底面得，又，，平面，所以平面，即平面.所以，即下半部分體積為.所以上半部分體積與下半部分體積之比為，故D正確．因此正確的結(jié)論有3個(gè).故選：C．14．在四棱錐中，平面平面，且是邊長(zhǎng)為2的正三角形，是正方形，則四棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接AC交BD于F，球心O在底面的射影必為點(diǎn)F,取AD的中點(diǎn)E,在截面PEF中，利用勾股定理求出球的半徑，即可求四棱錐P-ABCD的外接球的體積.【詳解】連接AC交BD于F，球心O在底面的射影必為點(diǎn)F，取AD的中點(diǎn)E,在截面PEF中，連結(jié)，如圖，在等邊中，AD的中點(diǎn)為E，所以,又平面平面,是交線，所以平面,且，設(shè)，外接球半徑為R,則在正方形中，，在中，，而在截面中，，由可得：解得，所以,所以.故選：D15．已知在正四面體ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，P是棱AC上的一動(dòng)點(diǎn)，BP＋PE的最小值為，則該四面體內(nèi)切球的體積為（）A．π B．πC．4π D．π【答案】D【分析】首先設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，將側(cè)面和沿邊展開成平面圖形，根據(jù)題意得到的最小值為，從而得到，根據(jù)等體積轉(zhuǎn)化得到內(nèi)切球半徑，再計(jì)算其體積即可.【詳解】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，將側(cè)面和沿邊展開成平面圖形，如圖所示：則的最小值為，解得.如圖所示：為正四面體的高，，正四面體高.所以正四面體的體積.設(shè)正四面體內(nèi)切球的球心為，半徑為，如圖所示：則到正四面體四個(gè)面的距離相等，都等于，所以正四面體的體積，解得.所以內(nèi)切球的體積.故選：D16．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)，，，分別為棱，，，的中點(diǎn)，若平面平面，且平面與棱，，分別交于點(diǎn)，，，其中點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則三棱錐的體積為（）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合面面平行的性質(zhì)定理可確定出，根據(jù)點(diǎn)的位置可確定出的位置，由此可計(jì)算出三棱錐的體積.【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，由正方體結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可知：，所以六點(diǎn)共面，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以，由為所在邊中點(diǎn)可知為中點(diǎn)，同理可知：為的中點(diǎn)，所以，且，，兩兩垂直，所以三棱錐的體積為，故選：D.17．已知球，過其球面上，，三點(diǎn)作截面，若點(diǎn)到該截面的距離是球半徑的一半，且，，則球的表面積為（）（注：球的表面積公式A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件先計(jì)算出外接圓的半徑，然后根據(jù)球的半徑、球心到截面的距離、外接圓的半徑構(gòu)成直角三角形的三邊，由此列出方程可求外接球的半徑，則球的表面積可求.【詳解】如圖，設(shè)球的半徑為，是的外心，外接圓的半徑為，則平面，在中，，，則，由正弦定理可得，即，在中，有，得．球的表面積為．故選：A．18．如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CC1，P是A1C1的中點(diǎn)，則異面直線BC與AP所成角的余弦值為（）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】取的中點(diǎn)Q，連接.先證明即異面直線與所成的角或其補(bǔ)角.在三角形APQ中，由余弦定理求出異面直線BC與AP所成角的余弦值.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)Q，連接.因?yàn)?，所以即異面直線與所成的角或其補(bǔ)角.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,設(shè)，則，在三角形APQ中，由余弦定理得：.故選：D19．一個(gè)四棱錐和一個(gè)三棱錐恰好可以拼接成一個(gè)三棱柱，這個(gè)四棱錐的底面為正方形，且底面邊長(zhǎng)與各側(cè)棱長(zhǎng)相等，這個(gè)三棱錐的底面邊長(zhǎng)與各側(cè)棱長(zhǎng)也都相等．設(shè)四棱錐、三棱錐、三棱柱的高分別為、、，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題設(shè)易知，設(shè)利用正方形、正三角形的性質(zhì)及勾股定理求出、、，即可知它們的比例關(guān)系.【詳解】設(shè)四棱錐為，三棱錐為，則三棱錐為正四面體，四棱錐為正四棱錐，顯然．設(shè)，正方形的中心為，正三角形的中心為，連接，，，，則，，，，即，，．故選：C20．如圖，二面角的大小是，線段．，與所成的角為．直線與平面所成的角的正弦值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，在內(nèi)過作的垂線．垂足為連接，由三垂線定理可知，故為二面角的平面角為，在即可得到答案；【詳解】解：過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，在內(nèi)過作的垂線．垂足為連接，由三垂線定理可知，故為二面角的平面角為又由已知，連接，則為與平面所成的角，設(shè)，則，，直線與平面所成的角的正弦值．故選：．二、多選題21．如圖，已知正方體，則四個(gè)推斷正確的是（）A． B．C．平面平面 D．平面平面【答案】BCD【分析】對(duì)于A，與成角；對(duì)于B，由，，得；對(duì)于C，由，，得平面平面；對(duì)于D，由，，得平面平面．【詳解】在正方體中，對(duì)于A，由正方體的性質(zhì)可知，所以即為異面直線與所成的角，在中顯然，所以與成角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，故B正確；對(duì)于C，，，、平面，、平面，∴平面，平面，又，平面平面，故C正確；對(duì)于D，，，，平面，所以平面，又平面平面平面，故D正確．故選：BCD．22．正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)，G分別為的中點(diǎn)，則（）A．直線與直線垂直 B．直線與平面平行C．平面截正方體所得的截面面積為 D．點(diǎn)C到平面的距離為【答案】BCD【分析】A.設(shè)，易證平面AEF判斷；B.取的中點(diǎn)，連接，證明平面平面AEF判斷；C.接，易證，得到截面為等腰梯形求解判斷；D.利用等體積法，由求解判斷.【詳解】A.若，因?yàn)槠矫鍭BCD，則，又，所以平面AEF，則，則，故錯(cuò)誤；B.如圖所示：取的中點(diǎn)，連接，易知，又平面AEF，平面AEF，所以平面AEF，同理平面AEF，又，所以平面平面AEF，因?yàn)槠矫?，所以平面AEF，故正確；C.如圖所示：連接，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則，所以共面，則截面為等腰梯形，又，等腰梯形的高為，所以等腰梯形的面積為，故正確；D.因?yàn)?，且，所以點(diǎn)C到平面的距離為，故正確.故選：BCD23．正四棱錐的所有棱長(zhǎng)為2，用垂直于側(cè)棱的平面截該四棱錐，則（）A．截面可以是三角形B．與底面所成的角為C．與底面所成的角為D．當(dāng)平面經(jīng)過側(cè)棱中點(diǎn)時(shí)，截面分四棱錐得到的上下兩部分幾何體體積之比為3：1【答案】ACD【分析】對(duì)于A：取PC的中點(diǎn)E，連結(jié)BE、DE、BD.可以證明面BDE，即可判斷A；對(duì)于B、C：作為與底面所成的角.即可求得；對(duì)于D：分別求出上下兩部分幾何體的體積，即可判斷.【詳解】對(duì)于A:取PC的中點(diǎn)E，連結(jié)BE、DE、BD.因?yàn)檎睦忮F的所有棱長(zhǎng)為2，所以△PBC、△PBC為正三角形，所以又,則面BDE，即△BDE為截面.故A正確；對(duì)于B、C:過P作底面ABCD于O，則O為AC中點(diǎn).則即為與底面所成的角.因?yàn)檎睦忮F的所有棱長(zhǎng)為2，所以,所以,所以.故B錯(cuò)誤，C正確；對(duì)于D:由A的推導(dǎo)過程可知：平面經(jīng)過側(cè)棱中點(diǎn)時(shí)，平面即為平面BDE.此時(shí).因?yàn)?所以,所以.故D正確故選：ACD24．如圖，等腰直角三角形的斜邊為正四面體的側(cè)棱，，直角邊繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，下列說法正確的是（）A．三棱錐體積的最大值為B．三棱錐體積的最小值為C．存在某個(gè)位置，使得D．設(shè)二面角的平面角為，且，則【答案】AC【分析】是的中點(diǎn)﹐點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)（圓錐的底面圓），作出圖形，觀察到平面距離的最大值和最小值，計(jì)算體積判斷AB，把去掉，作出圖形，分析與所成角，二面角的大小判斷CD．【詳解】在圖1中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)﹐點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，易知當(dāng)三點(diǎn)共線，且在之間時(shí)，三棱錐的體積最大，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到的位置時(shí)，的體積最小.在中，.設(shè)到平面的距離分別為，則，所以三棱錐體積的最大值為，最小值為，A正確，B錯(cuò)誤.如圖2，因?yàn)橹本€與旋轉(zhuǎn)軸所成的角為，母線與旋轉(zhuǎn)軸所成的角為﹐所以直線與所成角的范圍為，即，因?yàn)?，所以存在夾角為的情況，又因?yàn)榫€線角的取值范圍不包含鈍角，所以直線與所成角的范圍為，即可得出C正確.如圖2，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，二面角的平面角為，在與中，所以，所以，所以，即，D錯(cuò)誤.故選：AC25．如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6，且它們彼此的夾角都是60°，下列說法中不正確的是（）A．B．平面C．向量與的夾角是60°D．直線與AC所成角的余弦值為【答案】AC【分析】根據(jù)題意，利用空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，對(duì)選項(xiàng)中的命題分析，判斷正誤即可．【詳解】解：對(duì)于，，所以，選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，所以，即，，所以，即，因?yàn)?，平面，所以平面，選項(xiàng)正確；對(duì)于：向量與的夾角是，所以向量與的夾角也是，選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，所以，，同理，可得，所以，所以選項(xiàng)正確．故選：AC．26．正方體中，是棱的中點(diǎn)，在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面.以下命題正確的有（）A．側(cè)面上存在點(diǎn)，使得B．直線與直線所成角可能為C．平面與平面所成銳二面角的正切值為D．設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則過點(diǎn)，，的平面截正方體所得的截面面積最大為【答案】ACD【分析】由面面平行的性質(zhì)可得出點(diǎn)的軌跡，再找出點(diǎn)，使得可判斷A；由異面直線所成的角的定義求出角的范圍可判斷B；計(jì)算二面角的平面角可判斷C；求出最大截面的面積可判斷D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A:取和的中點(diǎn)分別為，，連接，，，則，，，，所以面面，因?yàn)樵趥?cè)面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面，所以點(diǎn)在線段上，因?yàn)槭钦襟w，所以，若為線段的中點(diǎn)，可得，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：因?yàn)椋耘c直線所成角即為與直線所成角，則即為異面直線所成的角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，在中，，若所成的角為，則，而最大為，所以，所以所成角不可能為，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C：因?yàn)槊婷?，所以平面與平面所銳二面角，即為平面與平面所成銳二面角，因?yàn)槊婷?，，，?dāng)為線段的中點(diǎn)，可得，，所以即為二面角的平面角，且，，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D:當(dāng)為與的交點(diǎn)時(shí)過點(diǎn)，，的平面截正方體所得的截面面積最大，取的中點(diǎn)，，，則截面為菱形，，，其面積為故選項(xiàng)D正確，故選：ACD.27．如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)M，N分別在正方形對(duì)角線AC和BF上移動(dòng)，且.則下列結(jié)論中正確的有（）A．當(dāng)時(shí)，ME與CN相交B．MN始終與平面BCE平行C．異面直線AC與BF所成的角為D．當(dāng)時(shí)，MN的長(zhǎng)最小，最小為【答案】BD【分析】以B為原點(diǎn)，BA，BE，BC所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.證明向量不共面可判斷選項(xiàng)A錯(cuò)誤；判斷與平面BCE的法向量垂直可判斷選項(xiàng)B；利用向量法可求異面直線所成的角，從而判斷選項(xiàng)C；利用兩點(diǎn)間的距離公式及二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)D.【詳解】以B為原點(diǎn)，BA，BE，BC所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，，若ME與CN相交，則四點(diǎn)共面，設(shè)，則，該方程無解，所以ME與CN不相交，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；平面BCE的法向量為，此時(shí)，所以MN始終與平面BCE平行，故B正確；，設(shè)異面直線AC與BF所成的角為，所以，所以異面直線AC與BF所成的角為60°，故C錯(cuò)誤；，所以當(dāng)時(shí)，MN的長(zhǎng)最小，最小為，故D正確.故選：BD.28．(多選)如圖，ABCD-A1B1C1D1為正方體，下面結(jié)論正確的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．異面直線AD與CB1所成的角為60°【答案】ABC【分析】由的射影、、，結(jié)合線面垂直的判定即可知B、C的正誤；構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，結(jié)合C選項(xiàng)即可判斷A的正誤，再利用線線角的向量求法求AD與CB1所成角.【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在方向?yàn)閤，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由在面、面、面的射影、、，即，，，又，則AC1⊥面CB1D1，∴B、C正確；設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，易知＝(－1,－1,0)，＝(－1,1,1)，∴，即BD∥面CB1D1，故A正確；∵＝(－1,0,0)，＝(1,0,1)，∴，∴AD與CB1所成的角為45°，故D錯(cuò)，故選：ABC．29．已知四邊形ABCD為正方形，GD⊥平面ABCD，四邊形DGEA與四邊形DGFC也都為正方形，連接EF，F(xiàn)B，BE，H為BF的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．DE⊥BFB．EF與CH所成角為C．EC⊥平面DBFD．BF與平面ACFE所成角為【答案】ABC【分析】根據(jù)題意，將幾何體補(bǔ)形為正方體，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系，通過空間向量的運(yùn)算得到答案.【詳解】由題意得，所得幾何體可以補(bǔ)形成一個(gè)正方體，如圖所示．以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DG所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AD＝DC＝DG＝2，則D(0，0，0)，C(0，2，0)，E(2，0，2)，F(xiàn)(0，2，2)，B(2，2，0)，H(1，2，1)．對(duì)A，，所以，則，正確；對(duì)B，，設(shè)所成角為，所以，正確；對(duì)C，，設(shè)是平面DBF的一個(gè)法向量，所以，令x=1，則，所以，則EC⊥平面DBF，正確；對(duì)D，由題意，EA⊥平面ABCD，則EA⊥DB，易得：DB⊥AC，EA與AC交于A，則DB⊥平面ACFE，則是平面ACFE的一個(gè)法向量，設(shè)BF與平面ACFE所成的角為，所以，錯(cuò)誤.故選：ABC.30．下圖中正方體邊長(zhǎng)為2，則下列說法正確的是（）A．平面平面B．正方體外接球與正四面體外接球半徑相等均為C．正四面體內(nèi)切球半徑為D．四面體內(nèi)切球半徑為【答案】BCD【分析】取的中點(diǎn)，連接和，計(jì)算二面角的平面角即可判斷A；由正四面體與正方體有同一個(gè)外接球可判斷B，利用等體積求內(nèi)切球的半徑可判斷CD，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A：因?yàn)檎襟w的邊長(zhǎng)為，所以，所以和是等邊三角形，取的中點(diǎn)，連接和，則，，所以即為二面角的平面角，因?yàn)?，，因?yàn)椋圆坏扔?，即二面角的平面角不等于，所以平面平面不成立，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B：正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都是正方體的頂點(diǎn)，所以正四面體與正方體有同一個(gè)外接球，且外接球的半徑為，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：正四面體內(nèi)切球半徑為，正四面體的高為，由體積相等可得：，可得，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：設(shè)四面體內(nèi)切球半徑為，由體積相等可得：，即，解得：，故選項(xiàng)D正確；故選：BCD.第II卷（非選擇題）三、填空題31．空間四面體中，，，，直線和所成的角為，則該四面體的外接球的表面積為__.【答案】/11.5π【分析】將該四面體的六條棱看成某長(zhǎng)方體的六個(gè)面的對(duì)角線，然后該長(zhǎng)方體的外接球即為該四面體的外接球，最后求出外接球的表面積【詳解】如圖所示，因?yàn)?，，，先將四面體的六條棱看成該長(zhǎng)方體如圖所示的六條面對(duì)角線，下面驗(yàn)證直線和所成的角為，易知，，且，互相平分于點(diǎn)，所以，設(shè)長(zhǎng)方體的三邊長(zhǎng)為，，，則，解得，故是等邊三角形，則，即直線和所成的角為，即成立，故四面體的六條棱看成該長(zhǎng)方體如圖所示的六條面對(duì)角線，四面體的外接球即為該長(zhǎng)方體的外接球，所以外接球的直徑，故外接球的表面積為.故答案為：.32．如圖，A、B、C、D、P是球O上5個(gè)點(diǎn)，ABCD為正方形，球心O在平面ABCD內(nèi)，，，則PA與CD所成角的余弦值為______．【答案】【分析】由題可得∠PAB即為所求，設(shè)球O的半徑為r，則可得，，在等腰三角形PAB中，即得.【詳解】∵ABCD為正方形，∴AB∥CD，∴∠PAB即為異面直線PA與CD所成角，設(shè)球O的半徑為r，球心O在平面ABCD內(nèi)，則O為正方形ABCD的中心，由題可知，又，∴，又，∴，在等腰三角形PAB中，.故答案為：.33．已知圓錐、圓柱的底面半徑和體積都相等，則它們的軸截面的面積之比的比值是___________【答案】【分析】利用公式分別求出圓錐和圓柱的體積以及他們的軸截面面積，然后結(jié)合已知條件求出圓錐與圓柱的高的比值，進(jìn)而求出它們的軸截面的面積之比的比值.【詳解】由題意，設(shè)圓錐、圓柱的底面半徑為，高分別為、，體積分別為、，軸截面面積為、，從而，，，，因?yàn)閳A錐、圓柱的體積相等，所以，即，故，從而圓錐、圓柱的軸截面的面積之比的比值是.故答案為：.34．中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.下左圖是南北朝官員獨(dú)孤信的印信，它是由正方形和正三角形圍成.右圖是根據(jù)這只印信作出的直觀圖，直觀圖的所有頂點(diǎn)都在一正方體的表面上（如果一個(gè)正八邊形的八個(gè)頂點(diǎn)都在這個(gè)正方體同一個(gè)側(cè)面的四條棱上，那么這個(gè)八邊形的邊長(zhǎng)就等于這個(gè)直觀圖的棱長(zhǎng)）.若這個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)都在半徑為的球面上，則這只印信的表面積為__________.【答案】/【分析】根據(jù)正方體外接球的半徑可確定其棱長(zhǎng)為；根據(jù)正八邊形的八個(gè)頂點(diǎn)都在這個(gè)正方體同一個(gè)側(cè)面的四條棱上可構(gòu)造方程求得正八邊形的邊長(zhǎng)，即為直觀圖的棱長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)直觀圖的構(gòu)成可求得表面積.【詳解】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，正方體的所有頂點(diǎn)都在半徑為的球面上，，解得：；設(shè)正八邊形的邊長(zhǎng)為，則，整理可得：，解得：，即直觀圖棱長(zhǎng)為；由直觀圖可知：印信是由個(gè)正方形，個(gè)等邊三角形拼接而成，印信的表面積.故答案為：.35．如圖，在直三棱柱中，，，已知G與E分別為和的中點(diǎn)，D和F分別為線段AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若，則線段DF的長(zhǎng)度的平方取值范圍為__________.【答案】.【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題設(shè)條件可得，再表示出，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案.【詳解】解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，∵，∴，∴，又，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最小值，即為，顯然線段DF長(zhǎng)度的最大值是1，但不包括端點(diǎn)，故不能取1，綜上，線段DF長(zhǎng)度的平方取值范圍為.故答案為：.36．如圖，在長(zhǎng)方體中，已知，點(diǎn)，分別在棱，上.二面角的大小為30°.若三棱錐的體積為，則三棱錐的外接球的表面積為___________.【答案】【分析】由題條件可求，再利用長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得三棱錐的外接球的半徑，即求.【詳解】如圖過D作DE⊥MN于E，連D1E，則，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知，DD1⊥平面ABCD，∴DD1⊥MN，DD1∩DE=D，∴MN⊥平面DED1∴∠D1ED為二面角的平面角，∴∠D1ED，又，∴，又三棱錐的體積為，∴，∴，∴，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為R，則，∴三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：37．異面直線a、b所成角為，直線c與a、b垂直且分別交于A、B，點(diǎn)C、D分別在直線a、b上，若，，，則________．【答案】或【分析】過B作BE//AC且過D作DE⊥BE于E，連接BE、CE，要注意E、C在AB的同側(cè)或異側(cè)兩種情況，結(jié)合已知有，再過C作CF⊥BE于F，求出DE、EC的長(zhǎng)度，在Rt△DEC中