人教版九年級數(shù)學上冊重難考點02與旋轉有關的綜合問題通關專練特訓(原卷版+解析)

微專題02與旋轉有關的綜合問題通關專練一、單選題1．（2023春·遼寧丹東·八年級?？计谥校┤鐖D，在等邊△ABC中，D是邊AC上一點，連接BD，將△BCD繞點B逆時針旋轉60°，得到△BAE，連接ED，下列結論正確的有（）個．①△BED是等邊三角形；②AE∥BC；③△ADE的周長等于BD+BC；④∠ADE＝∠DBC．A．1 B．2 C．3 D．42．（2022秋·廣西河池·九年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形ABCD的邊長為1，點A與原點重合，B在y軸正半軸上，D在x軸負半軸上，將正方形ABCD繞著點A逆時針旋轉30°至AB′C′D′，CD與B′A．?1,33 B．?1,12 C．3．（2023春·八年級課時練習）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，將△ABC繞點A逆時針旋轉，使點C落在線段AB上的點E處，點B落在點D處，則B，D兩點間的距離為（

）A．10 B．22 C．3 D．4．（2022秋·福建福州·九年級?？计谀┤鐖D，AB＝BC=2，∠ABC＝90°，EC＝EF，∠FEC＝90°，直線BEA．1 B．2 C．2 D．25．（2022秋·九年級單元測試）直線y=?33x+2與x軸，y軸分別交于A，B兩點，把△AOB繞著A點旋轉180°得到△AO'B'，則點A．(4,?2) B．(4,??2) C．(43,?2) 6．（2022秋·四川德陽·九年級期末）如圖，在邊長為6的等邊三角形ABC中，E是對稱軸AD上的一個動點，連接CE，將線段CE繞點C逆時針旋轉60°得到FC，連接DF．則在點E運動過程中，DF的最小值是（

）A．6 B．3 C．2 D．1.57．（2023·山東青島·中考真題）如圖，若將△ABC繞點O逆時針旋轉90°則頂點B的對應點B1的坐標為（）A． B． C． D．8．（2022秋·九年級課時練習）如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G為對角線BD（不含B點）上任意一點，將△ABG繞點B逆時針旋轉60°得到△EBF，當AG+BG+CG取最小值時EF的長（）A．332 B．233 C．9．（2022秋·山東德州·九年級校考階段練習）如圖1，在正方形ABCD中，點F為對角線BD上一點，F(xiàn)E⊥AB于點E，將△EBF繞點B逆時針旋轉到圖2所示的位置，連接AE、DF，則在圖2中，有以下說法：①FD=2AE；②∠AEB=135°；③S△AEBA．①② B．①③ C．②③ D．③④10．（2022秋·九年級課時練習）如圖，在正方形ABCD中，AB=3，點M在CD的邊上，且DM=1，ΔAEM與ΔADM關于AM所在的直線對稱，將ΔADM按順時針方向繞點A旋轉90°得到ΔABF，連接EF，則線段EF的長為（

）A．3 B．23 C．13 D．二、填空題11．（2022·廣東·九年級專題練習）如圖，將矩形ABCD點A逆時針方向旋轉一定角度后，BC的對應邊B1C1交CD邊于點G，AB1=B1G時，AD=3112．（2022秋·天津南開·九年級?？茧A段練習）如圖，O是邊長為6的等邊△ABC三邊中垂線的交點，將△ABC繞點O逆時針方向旋轉180°，得到△A1B1C1，則圖中陰影部分的面積為．13．（2023春·遼寧錦州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，O是等邊△ABC內一點，OA=3，OB=4，OC=5，以點B為旋轉中心，將線段BO逆時針旋轉60°得到線段BO′，連接AO′．則下列結論：①△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針方向旋轉60°得到；②連接OO′，則OO′=4；③∠AOB=150°；④S四邊形AOBO′=6+43．其中正確的結論是．14．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，AC=4，BC=33，將Rt△ABC以點A為中心，逆時針旋轉60°得到△ADE，則線段BE的長度為．15．（2023春·八年級統(tǒng)考課時練習）如圖，正方形ABCD的邊長為3，F(xiàn)為CD邊上一點，DF=1．將△ADF繞點A順時針旋轉90°，得到△ABE，連接EF，則EF=．16．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，M是正方形ABCD邊CD的中點，P是正方形內一點，連接BP，線段BP以B為中心逆時針旋轉90°得到線段BQ，連接MQ．若AB=4，MP=1，則MQ的最小值為．

三、解答題17．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°AB<AD，△ADE繞點A（1）如圖1，若連接BD、CE，求證：BD=CE,BD⊥CE；（2）如圖2，若連接CD、BE，取BE中點F，連接AF，試探究AF與CD的數(shù)量關系和位置關系，并證明你的結論；（3）在（2）的條件下，當△ADE旋轉到如圖3的位置時，點D落在BC延長線上，若AF=1.5,AC=22，請直接寫出線段AD18．（2022秋·浙江金華·八年級校聯(lián)考階段練習）在平面直角坐標系中，點A的坐標為(-1，0)，點B是直線y=?x+4上的動點，連接AB，設點B的橫坐標為a．(1)如圖1，當a=2時，以AB為直角邊在AB下方作等腰直角三角形ABC，使∠BAC=90°，求點C的坐標．(2)如圖2，把線段AB繞點A順時針旋轉90°得到線段AD，當點B在直線y=?x+4上運動時，點D也隨之運動，連接OD，求△AOD的面積（用含a(3)在圖3中以AB為直角邊作等腰直角三角形ABE，當點E落在直線y=?x?5上時，求a的值．19．（2022秋·湖南岳陽·九年級岳陽市弘毅新華中學校考階段練習）如圖1，△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時BD=CF，BD⊥CF成立．（1）當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉θ（0°＜θ＜90°）時，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．（2）當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉45°時，如圖3，延長BD交CF于點G．①求證：BD⊥CF；②當AB=4，AD=2時，求線段BG的長．20．（2023·江蘇南通·南通田家炳中學?？家荒＃┤鐖D，在Rt△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，正方形BDEF的邊長為2，將正方形BDEF繞點B旋轉一周，連接AE、BE、CD．（1）請判斷線段AE和CD的數(shù)量關系，并說明理由；（2）當A、E、F三點在同一直線上時，求CD的長；（3）設AE的中點為M，連接FM，試求線段FM長的最小值．21．（2022秋·四川成都·九年級成都實外?？茧A段練習）“數(shù)學建模”是中學數(shù)學的核心素養(yǎng)，平時學習過程中能歸納一些幾何模型，解決幾何問題就能起到事半功倍的作用．（1）如圖1，正方形ABCD中，∠EAF=45°，且DE=BF，求證：EG=AG；（2）如圖2，正方形ABCD中，∠EAF=45°，延長EF交AB的延長線于點G，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由；（3）如圖3在（2）的條件下，作GQ⊥AE，垂足為點Q，交AF于點N，連結DN，求證：∠NDC=45°．22．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E分別為邊AB、BC上的一動點（且滿足∠CED<90°），連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得到線段DF，連接EF、BF．(1)如圖1，當點D與點A重合時，求證：①CE=BF；②∠CBF=90°；(2)如圖2，當點D與點A不重合時，結論∠CBF=90°是否仍然成立？請說明理由：(3)如圖3，在（2）的條件下，過點D作DM⊥BF，垂足為M．試探究線段BE、BF、MF之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．23．（2022秋·福建福州·九年級福建省福州第一中學校考期中）已知拋物線方程為y=ax2a>0（1）我們稱F0,14a為拋物線y=ax2a>0的焦點，直線l:y=?1求證：PF=PH；（2）已知拋物線y=ax2過點①求拋物線的解析式，并求拋物線的焦點坐標F；②將M?4,4繞焦點F順時針旋轉90°，得到點N，求△PNF③直線l：y=kx+m與拋物線交于A、B兩點，點O是坐標原點，OA⊥OB．求證：直線AB過定點．24．（2023·山東聊城·統(tǒng)考二模）在△ABC中，AB＝AC，M是平面內任意一點，將線段AM繞點A按順時針方向旋轉與∠BAC相等的角度，得到線段AN，連結NB．【感知】如圖①，若M是線段BC上的任意一點，易證△ABN≌△ACM，可知∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．【探究】（1）如圖②，點E是AB延長線上的點，若點M是∠CBE內部射線BD上任意一點，連結MC，【感知】中的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由．【拓展】（2）如圖③，在△DEF中，DE＝8，∠DEF＝60°，∠EDF＝75°，P是EF上的任意點，連結DP，將DP繞點D按順時針方向旋轉75°，得到線段DQ，連結EQ，則EQ的最小值為．

25．（2022秋·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，直角三角形ABC中，∠C＝90°，CB＝1，∠BAC＝30°．(1）求AB、AC的長；(2）如圖2，將AB繞點A順時針旋轉60°得到線段AE，將AC繞點A逆時針旋轉60°得到線段AD．①連接CE，BD．求證：BD＝EC；②連接DE交AB于F，請你作出符合題意的圖形并求出DE的長

微專題02與旋轉有關的綜合問題通關專練一、單選題1．（2023春·遼寧丹東·八年級?？计谥校┤鐖D，在等邊△ABC中，D是邊AC上一點，連接BD，將△BCD繞點B逆時針旋轉60°，得到△BAE，連接ED，下列結論正確的有（）個．①△BED是等邊三角形；②AE∥BC；③△ADE的周長等于BD+BC；④∠ADE＝∠DBC．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)旋轉的性質得BE=BD，AE=CD，∠DBE=60°，于是可判斷△BDE為等邊三角形，則有DE=BD，所以△AED的周長=BD+AC，且∠C=∠BAE=∠ABC=60°得①②③正確；根據(jù)三角形內角和定理得∠ADE=∠ABE，結合∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=60°，可得④正確.【詳解】∵在等邊△ABC中，△BCD繞點B逆時針旋轉60°得到△BAE，∴BE=BD，AE=CD，∠DBE=60，∠C=∠BAE=60°∴△BDE為等邊三角形，∠ABC=∠BAE=60°∴DE=BD，AE∥BC；∴△AED的周長=DE+AE+AD=BD+CD+AD=BD+AC=BD+BC故①②③正確∵△ABC，△BDE為等邊三角形，∴∠BED=∠BAC=60°又∵對頂角相等∴∠ADE=∠ABE∵∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=60°∴∠ADE＝∠DBC．故④正確故選：D【點睛】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的判定與性質．2．（2022秋·廣西河池·九年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形ABCD的邊長為1，點A與原點重合，B在y軸正半軸上，D在x軸負半軸上，將正方形ABCD繞著點A逆時針旋轉30°至AB′C′D′，CD與B′A．?1,33 B．?1,12 C．【答案】A【分析】連接AE，由旋轉性質知AD=AB′=1、∠BAB′=30°、∠B′AD=60°，證Rt△ADE≌Rt△AB′E得∠DAE=12【詳解】如圖：連接AE∵將邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉30°得到正方形AB∴AD=AB′=1，∠BAB′=30°，∴∠B′AD=60°，在Rt△ADE和Rt△AB′E中，∵AD=A∴Rt△ADE≌Rt△AB′E（HL），∴∠DAE=∠B′AE=12∴DE=ADtan∠DAE=1×33=∴點E的坐標為（-1，33故選：A【點睛】本題考查了正方形的性質、坐標與圖形旋轉．圖形或點旋轉之后要結合旋轉的角度和圖形的特殊性質來求出旋轉后的點的坐標．3．（2023春·八年級課時練習）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，將△ABC繞點A逆時針旋轉，使點C落在線段AB上的點E處，點B落在點D處，則B，D兩點間的距離為（

）A．10 B．22 C．3 D．【答案】A【分析】由旋轉的性質可求得AE、DE，由勾股定理可求得AB，則可求得BE，連接BD，在Rt△BDE中可求得BD的長．【詳解】解：如圖，連接BD．在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵△ABC繞點A逆時針旋轉得到△AED，∴∠DEA=∠C=90°，AE=AC=4，DE=BC=3，∴BE=AB-AE=5-4=1，在Rt△BDE中，由勾股定理可得BD=D即B、D兩點間的距離為10，故選：A．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質和勾股定理．掌握旋轉前后對應線段相等、對應角相等是解題的關鍵．4．（2022秋·福建福州·九年級校考期末）如圖，AB＝BC=2，∠ABC＝90°，EC＝EF，∠FEC＝90°，直線BEA．1 B．2 C．2 D．2【答案】C【分析】根據(jù)等腰直角三角形斜邊與一直角邊的比是2，先證明△ACF∽△BCE，得∠EBC＝∠CAF，根據(jù)8字形和三角形的內角和定理得出【詳解】解：過點B作BG⊥AF于G，如圖，∵AB＝∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°，∵△CEF是等腰直角三角形，∴FCEC=2∴ACBC=FC∴△ACF∽△BCE，∴∠EBC＝∴∠AHB＝∴△BGH是等腰直角三角形，∴BH=2∵BG⊥AF，∴AB≥BG，∵AB=2∴BG≤2∴2BG≤2，即BH≤2∴線段BH的最大值是2．故選：C．【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質與判定，旋轉變換等，解題的關鍵有兩個：①找出BH為最大值的位置，②證明兩個三角形相似．5．（2022秋·九年級單元測試）直線y=?33x+2與x軸，y軸分別交于A，B兩點，把△AOB繞著A點旋轉180°得到△AO'B'，則點A．(4,?2) B．(4,??2) C．(43,?2) 【答案】D【分析】先根據(jù)直線的函數(shù)解析式求得A、B點坐標，則可得到OA=23，OB=2，再根據(jù)旋轉的性質得到AO′=AO=23，O′B′=OB=2，∠AO′B′=∠AOB=90°，然后根據(jù)第二象限點的坐標特征寫出點B'的坐標即可.【詳解】解：當y=0時，?3解得：x=23，即A（23，0），∴OA=23，當x=0時，y=2，則B（0,2），∴OB=2，∵△AOB繞著A點旋轉180°得到△AO'B'∴AO′=AO=23，O′B′=OB=2，∠A′OB′=∠AOB=90°，∴點B′的坐標為(43故選D.【點睛】本題主要考查旋轉的性質，解此題的關鍵在于先根據(jù)題意求得A、B坐標，然后畫出圖象，利用數(shù)形結合進行解答.6．（2022秋·四川德陽·九年級期末）如圖，在邊長為6的等邊三角形ABC中，E是對稱軸AD上的一個動點，連接CE，將線段CE繞點C逆時針旋轉60°得到FC，連接DF．則在點E運動過程中，DF的最小值是（

）A．6 B．3 C．2 D．1.5【答案】D【詳解】解：如圖，取AC的中點G，連接EG，∵旋轉角為60°，∴∠ECD+∠DCF=60°，又∵∠ECD+∠GCE=∠ACB=60°，∴∠DCF=∠GCE，∵AD是等邊△ABC的對稱軸，∴CD=12BC∴CD=CG，又∵CE旋轉到CF，∴CE=CF，在△DCF和△GCE中，CE=CF∠DCF=∠GCE∴△DCF≌△GCE(SAS)，∴DF=EG，根據(jù)垂線段最短，EG⊥AD時，EG最短，即DF最短，此時∵∠CAD=12×60°=30°，AG=12AC=∴EG=12AG=1∴DF=1.5.故答案為：D7．（2023·山東青島·中考真題）如圖，若將△ABC繞點O逆時針旋轉90°則頂點B的對應點B1的坐標為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：將△ABC繞點O逆時針旋轉90°后，圖形如下圖所以B1的坐標為故選B考點：1、同底數(shù)冪的乘除法運算法則；2、積的乘方運算法則；3、冪的乘方運算8．（2022秋·九年級課時練習）如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G為對角線BD（不含B點）上任意一點，將△ABG繞點B逆時針旋轉60°得到△EBF，當AG+BG+CG取最小值時EF的長（）A．332 B．233 C．【答案】D【分析】根據(jù)“兩點之間線段最短”，當G點位于BD與CE的交點處時，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的長．【詳解】解：如圖，∵將△ABG繞點B逆時針旋轉60°得到△EBF，∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，∴△BFG是等邊三角形．∴BF=BG=FG，．∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．根據(jù)“兩點之間線段最短”，∴當G點位于BD與CE的交點處時，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的長，過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F，∴∠EBF=180°-120°=60°，∵BC=4，∴BF=2，EF=23，在Rt△EFC中，∵EF2+FC2=EC2，∴EC=43．∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°，∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG，∴EF=13CE=4故選：D．【點睛】本題考查了旋轉的性質，菱形的性質，等邊三角形的性質，軸對稱最短路線問題，正確的作出輔助線是解題的關鍵．9．（2022秋·山東德州·九年級?？茧A段練習）如圖1，在正方形ABCD中，點F為對角線BD上一點，F(xiàn)E⊥AB于點E，將△EBF繞點B逆時針旋轉到圖2所示的位置，連接AE、DF，則在圖2中，有以下說法：①FD=2AE；②∠AEB=135°；③S△AEBA．①② B．①③ C．②③ D．③④【答案】B【分析】先證△ABE∽△DBF，求得其相似比，再運用相似三角形的性質逐一判斷之．【詳解】如圖2由圖1和已知條件知△EFB為等腰直角三角形∴BEBF由正方形性質易得△ABD為等腰直角三角形∴ABDB∴BE由等腰直角三角形的性質得∠∴∠∴△ABE∽△DBF且相似比為1∴AEFD=得到①FD=2AE、③S△AEB由△ABE∽△DBF和∠EFB=45°知只有當E、F、D三點共線時，∠AEB=∠DFB=135°其它情況下∠AEB不能為135°，故②錯誤；要使AE∥BF，需使∠AEF=∠EFB=45°，又由于∠FEB=90°，所以需使∠AEB=135°，由于②錯誤，得④錯誤．綜上所述知只有①③正確．故選：B．【點睛】此題考查相似三角形的判定和性質，還有旋轉變換的知識，掌握相似三角形的判定和性質是解決問題的關鍵．10．（2022秋·九年級課時練習）如圖，在正方形ABCD中，AB=3，點M在CD的邊上，且DM=1，ΔAEM與ΔADM關于AM所在的直線對稱，將ΔADM按順時針方向繞點A旋轉90°得到ΔABF，連接EF，則線段EF的長為（

）A．3 B．23 C．13 D．【答案】C【分析】連接BM.證明△AFE≌△AMB得FE=MB，再運用勾股定理求出BM的長即可.【詳解】連接BM，如圖，由旋轉的性質得：AM=AF.∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB=BC=CD，∠BAD=∠C=90°,∵ΔAEM與ΔADM關于AM所在的直線對稱，∴∠DAM=∠EAM.∵∠DAM+∠BAM=∠FAE+∠EAM=90°,∴∠BAM=∠EAF,∴△AFE≌△AMB∴FE=BM.在Rt△BCM中，BC=3，CM=CD-DM=3-1=2,∴BM=BC∴FE=13.故選C.【點睛】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質．二、填空題11．（2022·廣東·九年級專題練習）如圖，將矩形ABCD點A逆時針方向旋轉一定角度后，BC的對應邊B1C1交CD邊于點G，AB1=B1G時，AD=31【答案】47【分析】連接AC，AG，AC1，由旋轉可得，AB=AB1，AC=AC1，∠BAB1=∠CAC1，證明ΔABB1～ΔACC1，得出CC1BB1=ACAB，證明ΔAB1G是等腰直角三角形，得出AG=2AB1，設AB=AB1=x，則【詳解】解：連接AC，AG，AC1，如圖所示：由旋轉可得，AB=AB1，AC=AC1，∠BAB1=∠CAC1，∴ABAC∴ΔABB1∴CC1BB1∵AB1=B1G，∠AB1G=∠ABC=90°∴ΔAB1G是等腰直角三角形，∴AG=2設AB=AB1=x，則AG=∵在RtΔADG中，∴312解得：x=4，或x=-10（舍去），∴AB=4，∴在RtΔABC中，∴CC1BB1故答案為：474【點睛】本題考查了翻折變換的性質、相似三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、勾股定理，掌握翻折變換的性質，相似三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、勾股定理是解題的關鍵．12．（2022秋·天津南開·九年級?？茧A段練習）如圖，O是邊長為6的等邊△ABC三邊中垂線的交點，將△ABC繞點O逆時針方向旋轉180°，得到△A1B1C1，則圖中陰影部分的面積為．【答案】63【分析】根據(jù)旋轉的性質，觀察圖形易得，圖中空白部分的小三角形也是等邊三角形，且邊長為2，且面積是△ABC的19．重疊部分的面積是△【詳解】解：根據(jù)旋轉的性質可知，圖中空白部分的小三角形也是等邊三角形，且邊長為13×6＝2，且面積是△ABC的1觀察圖形可得，重疊部分的面積是△ABC與三個小等邊三角形的面積之差，∴△ABC的高是32×6=33∴△ABC的面積是12×6×33＝93，一個小等邊三角形的面積是12×2×3＝所以重疊部分的面積是93﹣3×3＝63．故答案為63．【點睛】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的性質．13．（2023春·遼寧錦州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，O是等邊△ABC內一點，OA=3，OB=4，OC=5，以點B為旋轉中心，將線段BO逆時針旋轉60°得到線段BO′，連接AO′．則下列結論：①△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針方向旋轉60°得到；②連接OO′，則OO′=4；③∠AOB=150°；④S四邊形AOBO′=6+43．其中正確的結論是．【答案】①②③④【詳解】試題解析：如圖，連接OO′；∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC=60°，AB=CB；由題意得：∠OBO′=60°，OB=O′B，∴△OBO′為等邊三角形，∠ABO′=∠CBO，∴OO′=OB=4；∠BOO′=60°，∴選項②正確；在△ABO′與△CBO中，{AB=AC∴△ABO′≌△CBO（SAS），∴AO′=OC=5，△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針方向旋轉60°得到，∴選項①正確；在△AOO′中，∵32+42=52，∴△AOO′為直角三角形，∴∠AOO′=90°，∠AOB=90°+60°=150°，∴選項③正確；∵S四邊形AOBO′=12∴選項④正確．綜上所述，正確選項為①②③④．考點：旋轉的性質．14．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級校考期中）如圖，在Rt△ABC中，AC=4，BC=33，將Rt△ABC以點A為中心，逆時針旋轉60°得到△ADE，則線段BE的長度為．【答案】7【分析】連接CE，作EF⊥BC于F，根據(jù)旋轉變換的性質得到∠CAE=60°，AC=AE，根據(jù)等邊三角形的性質得到CE=AC=4，∠ACE=60°，根據(jù)直角三角形的性質、勾股定理計算即可．【詳解】解：連接CE，作EF⊥BC于F，由旋轉變換的性質可知，∠CAE=60°，AC=AE，∴△ACE是等邊三角形，∴CE=AC=4，∠ACE=60°，∴∠ECF=30°，∴EF=12由勾股定理得，CF=CE2+E∴BF=BC-CF=3，由勾股定理得，BE=EF2+B故答案為7．【點睛】本題考查的是旋轉變換的性質、等邊三角形的判定和性質，掌握旋轉變換對應點到旋轉中心的距離相等、對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角是解題的關鍵．15．（2023春·八年級統(tǒng)考課時練習）如圖，正方形ABCD的邊長為3，F(xiàn)為CD邊上一點，DF=1．將△ADF繞點A順時針旋轉90°，得到△ABE，連接EF，則EF=．【答案】25【分析】根據(jù)旋轉的性質可知∠EAF=90°，AF=AE，然后根據(jù)勾股定理求出AF即可求出EF.【詳解】解：根據(jù)旋轉的性質可知∠EAF=90°，AF=AE∵DF=1，AD=3∴AF=A∴EF=AE故答案為：25【點睛】本題主要考查了旋轉的性質以及勾股定理，根據(jù)旋轉得出∠EAF=90°，AF=AE是解題的關鍵.16．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，M是正方形ABCD邊CD的中點，P是正方形內一點，連接BP，線段BP以B為中心逆時針旋轉90°得到線段BQ，連接MQ．若AB=4，MP=1，則MQ的最小值為．

【答案】2【分析】連接BM，將BM以B中心，逆時針旋轉90°，M點的對應點為E，由P的運動軌跡是以M為圓心，1為半徑的半圓，可得：Q的運動軌跡是以E為圓心，1為半徑的半圓，再根據(jù)“圓外一定點到圓上任一點的距離，在圓心、定點、動點，三點共線時定點與動點之間的距離最短”，所以當M、Q、E三點共線時，MQ的值最小，可求ME=2【詳解】解，如圖，連接BM，將BM以B中心，逆時針旋轉90°，M點的對應點為E，

∵P的運動軌跡是以M為圓心，1為半徑的半圓，∴Q的運動軌跡是以E為圓心，1為半徑的半圓，如圖，當M、Q、E三點共線時，MQ的值最小，∵四邊形ABCD是正方形，∴CD=AB=BC=4，∠C=90°，∵M是CM的中點，∴CM=2，∴BM==2由旋轉得：BM=BE，∴ME=2∴MQ=ME?EQ=210∴MQ的值最小為210故答案：210【點睛】本題考查了正方形的性質，旋轉的性質，勾股定理，動點產生的線段最小值問題，掌握相關的性質，根據(jù)題意找出動點的運動軌跡是解題的關鍵．三、解答題17．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°AB<AD，△ADE繞點A（1）如圖1，若連接BD、CE，求證：BD=CE,BD⊥CE；（2）如圖2，若連接CD、BE，取BE中點F，連接AF，試探究AF與CD的數(shù)量關系和位置關系，并證明你的結論；（3）在（2）的條件下，當△ADE旋轉到如圖3的位置時，點D落在BC延長線上，若AF=1.5,AC=22，請直接寫出線段AD【答案】（1）見解析；（2）CD=2AF,CD⊥AF，證明見解析；（3）29【分析】（1）由“SAS”可證△BAD?△CAE，可得BD=EC,∠ABD=∠ACE，即可得結論；（2）延長EA至H，使AH=AE，連接BH，延長FA交CD于G，由三角形中位線定理可得BH=2AF，BH∕∕AF，由“SAS”可證△ABH?△ACD，可得BH=CD=2AF,∠ADC=∠H，即可得結論；（3）過點A作AN⊥BC于N，由等腰直角三角形的性質可求AN=CN=2，由勾股定理可求解．【詳解】解：（1）證明：如圖1，設EC與BD交于點O，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AD=AE∠BAD=∠CAE∴△BAD?△CAESAS∴BD=EC,∠ABD=∠ACE，∵∠ABD+∠CBD+∠ACB=90°，∴∠CBD+∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BOC=90°，∴BD⊥CE；（2）CD=2AF,CD⊥AF，理由如下：如圖2，延長EA至H，連接BH，∵BF=EF,AE=AH，∴BH=2AF,BH∕∕AF，∴∠EAF=∠H，∵∠DAH=∠BAC=90°，∴∠BAH=∠DAC，又∵AB=AC,DA=AE=AH，∴△ABH?△ACDSAS∴BH=CD,∠ADC=∠H，∴∠EAF=∠ADC,CD=2AF，∵∠EAF+∠DAG=90°，∴∠ADC+∠DAG=90°，∴∠AGD=90°，∴AF⊥CD；（3）如圖3，過點A作AN⊥BC于N，由（2）可知：CD=2AF=3，∵AB=AC=52∴BC=4,AN=BN=CN=2，∴DN=5，∴AD=A【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質等知識，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵．18．（2022秋·浙江金華·八年級校聯(lián)考階段練習）在平面直角坐標系中，點A的坐標為(-1，0)，點B是直線y=?x+4上的動點，連接AB，設點B的橫坐標為a．(1)如圖1，當a=2時，以AB為直角邊在AB下方作等腰直角三角形ABC，使∠BAC=90°，求點C的坐標．(2)如圖2，把線段AB繞點A順時針旋轉90°得到線段AD，當點B在直線y=?x+4上運動時，點D也隨之運動，連接OD，求△AOD的面積（用含a(3)在圖3中以AB為直角邊作等腰直角三角形ABE，當點E落在直線y=?x?5上時，求a的值．【答案】(1)C(2)S=(3)a的值為?72或?12或?3【分析】（1）如圖1，過A作一條平行與y軸的直線DE，作BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，證明△ABD≌△CAEAAS，有AE=BD，EC=AD，進而可表示C（2）如圖2，過A作一條平行與y軸的直線EF，作BE⊥EF于E，DF⊥EF于F，連接OD，可證△ABE≌△DAFAAS，進而可得D（3）①當∠BAE=90°時，AB=AE，如圖①，根據(jù)三角形全等可得E1，E2點坐標，將坐標代入y=?x?5中，計算求解即可；當∠ABE=90°時，AB=BE，如圖②，當∠AEB=90°時，（1）解：∵a=2∴B如圖1，過A作一條平行與y軸的直線DE，作BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，∴D∴BD=3，AD=2∵∠DBA+∠BAD=90°,∠BAD+∠EAC=90°,∴∠DBA=∠EAC在△ABD和△CAE中∵∠DBA=∠EAC∴△ABD≌△CAE∴AE=BD=3，EC=AD=2∴C1,?3（2）解：如圖2，過A作一條平行與y軸的直線EF，作BE⊥EF于E，DF⊥EF于F，連接OD，∴Ba,?a+4，∴BE=a+1，AE=?a+4同（1）可知△ABE≌△DAF∴AF=BE=a+1，F(xiàn)D=AE=?a+4∴D∴S當a<?1時，S△AOD當a≥?1時，S△AOD∴S△AOD（3）解：①當∠BAE=90°時，AB=AE，如圖①，由（2）可知E1?a+3,?a?1將點E1、E2分別代入y=?x?5得?解得a=72和②當∠ABE=90°時，AB=BE，如圖②，由（2）可知E1?1,?2a+3將點E1、E2分別代入y=?x?5得?解得a=72和③當∠AEB=90°時，AE=BE，如圖③，由（2）可知E13將點E1、E2分別代入y=?x?5得?解得a=8和a=9綜上所述，a的值為72或?12或?3或8【點睛】本題考查了一次函數(shù)與幾何綜合，旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，三角形全等的判定與性質．解題的關鍵在于分情況求解．19．（2022秋·湖南岳陽·九年級岳陽市弘毅新華中學?？茧A段練習）如圖1，△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時BD=CF，BD⊥CF成立．（1）當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉θ（0°＜θ＜90°）時，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．（2）當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉45°時，如圖3，延長BD交CF于點G．①求證：BD⊥CF；②當AB=4，AD=2時，求線段BG的長．【答案】解：（1）BD=CF成立．理由見解析；（2）①證明見解析；②8【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，易證得△BAD≌△CAF，根據(jù)全等三角形的對應邊相等，即可證得BD=CF；（2）①由△BAD≌△CAF，可得∠ABM=∠GCM，又由對頂角相等，易證得△BMA∽△CMG，根據(jù)相似三角形的對應角相等，可得BGC=∠BAC=90°，即可證得BD⊥CF；②首先過點F作FN⊥AC于點N，利用勾股定理即可求得AE，BC的長，繼而求得AN，CN的長，又由等角的三角函數(shù)值相等，可求得AM=1【詳解】解（1）BD=CF成立．理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，∵∠BAD=∠BAC-∠DAC，∠CAF=∠DAF-∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中，AB=AC∴△BAD≌△CAF（SAS）．∴BD=CF．（2）①證明：設BG交AC于點M．∵△BAD≌△CAF（已證），∴∠ABM=∠GCM．∵∠BMA=∠CMG，∴△BMA∽△CMG．∴∠BGC=∠BAC=90°．∴BD⊥CF．②過點F作FN⊥AC于點N．∵在正方形ADEF中，AD=DE=2，∴AE=∵在等腰直角△ABC中，AB=4，∴CN=AC-AN=3，BC=∴在Rt△ABM中，tan∴在Rt△ABM中，tan∴AM=∴CM=AC?AM=4?∵△BMA∽△CMG，∴∴∴CG=∴在Rt△BGC中，BG=【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、矩形的性質、勾股定理以及三角函數(shù)等知識．此題綜合性很強，難度較大，注意數(shù)形結合思想的應用，注意輔助線的作法．20．（2023·江蘇南通·南通田家炳中學?？家荒＃┤鐖D，在Rt△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，正方形BDEF的邊長為2，將正方形BDEF繞點B旋轉一周，連接AE、BE、CD．（1）請判斷線段AE和CD的數(shù)量關系，并說明理由；（2）當A、E、F三點在同一直線上時，求CD的長；（3）設AE的中點為M，連接FM，試求線段FM長的最小值．【答案】（1）AE=2CD，理由見解析；（2）14?2或14【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質可證△ABE∽△CBD，再由相似三角形的判性質即可得到結論．（2）根據(jù)相似三角形的性質得到AB=2BC=42，根據(jù)勾股定理得到AF=AB2?BF2=27，接下來分兩種情形：如圖1，當AE在AB左上方時，如圖2，當（3）如圖3，延長EF到G使FG=EF，連接AG，BG，求得△BFG是等腰直角三角形，得到BG=2BF=22，設M為AE的中點，連接MF，根據(jù)三角形中位線的定理得到AG=2FM，根據(jù)三角形的三邊關系即可得到結論．【詳解】解：（1）結論：AE=2CD．理由：∵在Rt△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，∴∠ABC=∠EBD=45°，∴∠ABE=∠CBD，∵四邊形BDEF是正方形，△ABC是等腰直角三角形，∴ABBC=2，BEBD=∴ABBC∴△ABE∽△CBD，∴AECD∴AE=2CD．（2∵AC=BC=4，∠ACB=90°，∴AB=2BC=42，∵當A、E、F三點在一直線上時，∵∠AFB=90°，∴AF=AB=27，如圖1，當AE在AB左上方時，AE=AF﹣EF=27﹣2，∵AE=2CD，∴CD=22AE=14﹣如圖2，當AE在AB右下方時，同理，AE=AF+EF=27+2，∴CD=22AE=14+2綜上所述，當A、E、F三點在一直線上時，CD的長為14﹣2或14+2．（3）如圖3，延長EF到G使FG=EF，連接AG，BG，則△BFG是等腰直角三角形，∴BG=2BF=22，設M為AE的中點，連接MF，∴MF是△AGE的中位線，∴AG=2FM，在△ABG中，∵AB﹣BG≤AG≤AB+BG，∴22≤AG≤62，∴2≤FM≤32，∴FM的最小值為2．【點睛】本題考查了相似形的綜合題，考查了相似三角形的判定和性質，正方形的性質，等腰直角三角形的性質，三角形中位線定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．21．（2022秋·四川成都·九年級成都實外?？茧A段練習）“數(shù)學建?！笔侵袑W數(shù)學的核心素養(yǎng)，平時學習過程中能歸納一些幾何模型，解決幾何問題就能起到事半功倍的作用．（1）如圖1，正方形ABCD中，∠EAF=45°，且DE=BF，求證：EG=AG；（2）如圖2，正方形ABCD中，∠EAF=45°，延長EF交AB的延長線于點G，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由；（3）如圖3在（2）的條件下，作GQ⊥AE，垂足為點Q，交AF于點N，連結DN，求證：∠NDC=45°．【答案】（1）見解析；（2）結論依然成立，理由見解析；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)半角旋轉模型，把△ABF逆時針旋轉90°，則AB與AD重合，設F對應的點為M，即可證明△AME?△AFE，得到∠AEM=∠AEF，再結合∠AEM=∠EAG，可得∠AEM=∠AEF，可得EG=AG；（2）結論依然成立，證明方法與（1）一樣；（3）又等腰三角形三線合一的性質可得GQ垂直平分EA，可得△ANE是等腰直角三角形，可得A、D、E、N四點共圓，根據(jù)圓周角∠NDC=∠EAN=45°【詳解】（1）把△ABF逆時針旋轉90°，則AB與AD重合，設F對應的點為M，∴△AMD?△AFB∴∠MDA=∠FBA=90°,AM=AF,∠MAD=∠FAB∴M、D、C三點共線∵∠EAF=45°∴∠EAD+∠FAB=∠EAD+∠MAD=∠MAE=45°∴△AME?△AFE(SAS)∴∠AEM=∠AEG∵AB∥CD∴∠AEM=∠EAG∴∠AEG=∠EAG∴EG=AG（2）結論依然成立，EG=AG把△ABF逆時針旋轉90°，則AB與AD重合，設F對應的點為M，∴△AMD?△AFB∴∠MDA=∠FBA=90°,AM=AF,∠MAD=∠FAB∴M、D、C三點共線∵∠EAF=45°∴∠EAD+∠FAB=∠EAD+∠MAD=∠MAE=45°∴△AME?△AFE(SAS)∴∠AEM=∠AEG∵AB∥CD∴∠AEM=∠EAG∴∠AEG=∠EAG∴EG=AG（3）連接EN由（2）得EG=AG∵GQ⊥AE∴GQ垂直平分AE∴EN=AN∵∠EAF=45°∴∠ANE=90°=∠ADE∴A、D、E、N四點在以AE為直徑的同一個圓上，∴∠NDC=∠EAN=45°．【點睛】本題考查半角旋轉模型，熟練根據(jù)模型做出輔助線是解題的關鍵．第（3）問根據(jù)四點共圓證明是本題的難點．22．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E分別為邊AB、BC上的一動點（且滿足∠CED<90°），連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得到線段DF，連接EF、BF．(1)如圖1，當點D與點A重合時，求證：①CE=BF；②∠CBF=90°；(2)如圖2，當點D與點A不重合時，結論∠CBF=90°是否仍然成立？請說明理由：(3)如圖3，在（2）的條件下，過點D作DM⊥BF，垂足為M．試探究線段BE、BF、MF之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．【答案】(1)證明見見詳解(2)成立；理由見詳解(3)BF=2MF+BE；理由見詳解【分析】（1）根據(jù)已知條件證明△FAB≌△EAC即可；（2）過D作DH∥AC，可得出△BHD為等腰直角三角形，再根據(jù)第一問的方法證全等即可；（3）過D作DN⊥BC，可得四邊形DNBM是正方形，再證Rt△FDM≌【詳解】（1）∵∠BAC=90°，AB=AC∴∠ABC=∠C=45°∵將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得到線段DF∴AF=AE,∠FAE=∠BAC=90°∴∠FAB=∠EAC∵AB=AC∴△FAB≌△EAC∴CE=BF，∠FBA=∠C=∠ABC=45°∴∠CBF=90°（2）過D作DH∥AC∵DH∥AC∴∠BDH=∠BAC=90°,∠EHD=∠C=45°∴△BHD為等腰直角三角形同理可得：△FDB≌△EDH∴∠FBA=∠EHD=∠HBA=45°∴∠CBF=90°（3）BF=2MF+BE；理由如下：過D作DN⊥BC，∵DN⊥BC，DM⊥BF，∴∠DNB=∠DMB=∠CBF=90°∴四邊形DNBM是矩形∵∠FBA=∠CBA=45°∴四邊形DNBM是正方形∴DN=DM=BM=BN又∵DF=DE∴Rt∴MF=EN∵BM=BN∴BF=2MF+BE【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質、旋轉的性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題．23．（2022秋·福建福州·九年級福建省福州第一中學?？计谥校┮阎獟佄锞€方程為y=ax2a>0（1）我們稱F0,14a為拋物線y=ax2a>0的焦點，直線l:y=?1求證：PF=PH；（2）已知拋物線y=ax2過點①求拋物線的解析式，并求拋物線的焦點坐標F；②將M?4,4繞焦點F順時針旋轉90°，得到點N，求△PNF③直線l：y=kx+m與拋物線交于A、B兩點，點O是坐標原點，OA⊥OB．求證：直線AB過定點．【答案】（1）見解析；（2）①y=14x【分析】（1）PF2=（2）①將點M的坐標代入拋物線表達式得：4=a(?4)2，解得②求出N(3,5)，當N、P、H三點共線時，此時ΔPNF周長最小值=FN+PF+NP=NH+FN，即可求解；③聯(lián)立y=kx+m與y=14x2并整理得：x2?4kx?4m=0，則xAxB【詳解】解：（1）如圖1，設點P(m,am則PF2=而PF=am（2）①將點M的坐標代入拋物線表達式得：4=a(?4)2，解得故拋物線的表達式為y=14x②如圖2，將圖形MFN向下平移1個單位，此時點M(?4,3)，對應點N(3,4)，再將該圖形向上平移1個單位，則此時點N的坐標為(3,5)，即為題干要求點N的位置，即點N(3,5)，由（1）知，PF=PH，而FN為常數(shù)，故當N、P、H三點共線時，PF+NP=NH為最小，此時ΔPNF周長最小值=FN+PF+NP=NH+FN=(5+1)+3③如圖3，聯(lián)立y=kx+m與y=14x