專題7.9三角形的內(nèi)角（舉一反三）（蘇科版）（原卷版）2

專題7.9三角形的內(nèi)角【十大題型】【蘇科版】TOC\o"13"\h\u【題型1三角形內(nèi)角和定理的證明】 1【題型2應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理求角度】 3【題型3三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應(yīng)用】 3【題型4三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合應(yīng)用】 4【題型5三角形折疊中的角度問題】 5【題型6應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理解決三角板問題】 7【題型7應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關(guān)系】 8【題型8三角形內(nèi)角和定理與新定義問題綜合】 10【題型9直角三角形的判定】 11【題型10應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)倒角】 12【知識(shí)點(diǎn)1三角形的內(nèi)角及內(nèi)角和定理】（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．【題型1三角形內(nèi)角和定理的證明】【例1】（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）定理：三角形的內(nèi)角和是180°．已知：∠CED、∠C、∠D是△CED的三個(gè)內(nèi)角．求證：∠C+∠D+∠CED=180°．有如下四個(gè)說法：①*表示內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；②@表示∠BEC；③上述證明得到的結(jié)論，只有在銳角三角形中才適用；④上述證明得到的結(jié)論，適用于任何三角形．其中正確的是（

）

A．①② B．②③ C．②④ D．①③【變式11】（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖,將鉛筆放置在三角形ABC的邊AB上，筆尖方向?yàn)辄c(diǎn)A到點(diǎn)B的方向，把鉛筆依次繞點(diǎn)A、點(diǎn)C、點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)∠A、∠C、∠B的度數(shù)，觀察筆尖方向的變化，該操作說明了．【變式12】（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）在探究證明“三角形的內(nèi)角和是180°”時(shí)，綜合實(shí)踐小組的同學(xué)作了如圖所示的四種輔助線，其中能證明“△ABC的內(nèi)角和是180°”的有（

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式13】（2023春·福建南平·七年級(jí)福建省南平第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在證明“三角形內(nèi)角和等于180”這一命題時(shí)，小彬的思路如下．請(qǐng)寫出“求證”部分，補(bǔ)充第一步推理的依據(jù)并按他的思路完成后續(xù)證明．已知：如圖，△ABC求證：證明：如圖，在BC邊上取點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF∥AC交AB于點(diǎn)F．∵DE∥AB，∴∠A＝∠1，∠B＝∠2（依據(jù)：）．∵DF∥AC，∴∠1＝∠3【題型2應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理求角度】【例2】（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為60°，那么這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為【變式21】（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）若△ABC的三個(gè)內(nèi)角之比為1:3:5，那么△ABC中最大角的度數(shù)為．【變式22】（2023春·廣東江門·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，∠C=40°，且∠B:∠A=4:3，則∠B的度數(shù)為【變式23】（2023春·廣東梅州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度數(shù)．

【題型3三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應(yīng)用】【例3】（2023春·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC經(jīng)過平移得到△DEF，DE分別交BC，AC于點(diǎn)G，H，若∠B=97°，∠C=40°，則∠GHC的度數(shù)為（）

A．147° B．40° C．97° D．43°【變式31】（2023春·山東濟(jì)寧·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖是A、B、C三島的平面圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向．從C島看A、B島的視角∠ACB為多少？【變式33】（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，點(diǎn)B、C在線段AD的異側(cè)，點(diǎn)E、F分別是線段AB、CD上的點(diǎn)，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC．（1）求證：AB//CD；（2）若∠AGE+∠AHF=180°，求證：∠B=∠C；（3）在（2）的條件下，若∠BFC=4∠C，求∠D的度數(shù)．【題型4三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合應(yīng)用】【例4】（2023春·廣東惠州·七年級(jí)惠州一中?？计谥校┤鐖D，∠A=70°，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，則∠BPC的度數(shù)為（）

A．105° B．115° C．125° D．135°【變式41】（2023春·廣東東莞·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的平分線，∠EAD=5°，∠C=50°，求∠B的度數(shù)．

【變式42】（2023春·黑龍江大慶·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在CB的延長(zhǎng)線上，AB與EF交于點(diǎn)G，∠AGE=∠CED，ED平分∠CEF．(1)求證：AB∥(2)若∠F=30°，∠AGE=50°，求∠C的度數(shù)．【變式43】（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分線于點(diǎn)P，CP與DE相交于點(diǎn)G，∠ACF的平分線CQ與DP相交于點(diǎn)Q．(1)若∠A=50°，∠B=60°，則∠DPC=____________°，∠Q=____________(2)若∠A=50°，當(dāng)∠B的度數(shù)發(fā)生變化時(shí)，∠DPC、∠Q的度數(shù)是否發(fā)生變化？并說明理由；(3)若∠A=x°，則∠DPC=____________°，∠Q=____________°；（用含x的代數(shù)式表示）；(4)若△PCQ中存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的三倍，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的∠A的度數(shù)．【題型5三角形折疊中的角度問題】【例5】（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，∠A=20°，點(diǎn)D在邊AC上（如圖1），先將△ABD沿著BD翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，A′B交AC于點(diǎn)E（如圖2），再將△BCE沿著BE翻折，點(diǎn)C恰好落在BD上的點(diǎn)C′處，此時(shí)∠CA．66° B．23° C．46° D．69°【變式51】（2023春·河南南陽·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠A=60°，將△ABC沿DE翻折后，點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A′處．若∠A′EC=70°，則∠A′DE的度數(shù)為（

）A．55° B．60° C．65° D．70°【變式52】（2023春·甘肅定西·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，將點(diǎn)A與點(diǎn)B分別沿MN和EF折疊，使點(diǎn)A、A．22° B．21° C．20° D．19°【變式53】（2023·全國·七年級(jí)假期作業(yè)）已知，在△ABC中，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)D是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將∠B沿E、D所在直線進(jìn)行翻折得到∠EFD．(1)如圖，若∠B=50°，則∠AEF+∠FDC=______；(2)在圖中細(xì)心的小明發(fā)現(xiàn)了∠AEF，∠FDC，∠B之間的關(guān)系，請(qǐng)您替小明寫出這個(gè)數(shù)量關(guān)系并證明．【題型6應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理解決三角板問題】【例6】（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，a∥b，一塊含45°的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)落在直線b上，若∠1=58°54A．103°6′ B．104°6′ C．【變式61】（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，有一塊直角三角板DEF（足夠大），其中∠EDF=90°，把直角三角板DEF放置在銳角△ABC上，三角板DEF的兩邊DE、DF恰好分別經(jīng)過B、C．(1)若∠A=40°，則∠ABC+∠ACB=°，∠DBC+∠DCB=°，∠ABD+∠ACD=°．(2)若∠A=55°，則∠ABD+∠ACD=°．(3)請(qǐng)你猜想一下∠ABD+∠ACD與∠A所滿足的數(shù)量關(guān)系．【變式62】（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合按如圖放置，∠C=45°，∠D=30°，小明得到下列結(jié)論：①如果∠2=30°，則AC∥②∠BAE+∠CAD=180°；③如果BC∥AD，則④如果∠CAD=150°，則∠4=∠C．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式63】（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）小宋對(duì)三角板在平行線間的擺放進(jìn)行了探究(1)如圖（1），已知a∥b，小宋把三角板的直角頂點(diǎn)放在直線b上．若∠1=40°，直接寫出∠2的度數(shù)；若∠1=m°，直接寫出∠2的度數(shù)（用含(2)如圖（2），將一副三角板和一張對(duì)邊平行的紙條按下列方式擺放，兩個(gè)三角板的一直角邊重合，含30°角的直角三角板的直角頂點(diǎn)與45°角的頂點(diǎn)重合于點(diǎn)A，含30°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊b重合，含45°角的三角板的另一個(gè)頂點(diǎn)在紙條的另一邊a上，求∠1的度數(shù)．【題型7應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關(guān)系】【例7】（2023春·廣東潮州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC，F(xiàn)為射線AE上一點(diǎn)（不與點(diǎn)E重合），且FD⊥BC于D；

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，且∠C=50°，∠B=30°時(shí)，求∠EFD的度數(shù)；(2)如果點(diǎn)F在線段AE上（不與點(diǎn)A重合）時(shí)，如圖2，直接寫出∠EFD、∠C、∠B的數(shù)量關(guān)系．【變式71】（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB∥CD，E為線段CD上一點(diǎn)，∠BAD＝n°，n＝15xy，且x?1+(1)求n的值．(2)求證：∠PEC﹣∠APE＝135°．(3)若P點(diǎn)在射線DA上運(yùn)動(dòng)，直接寫出∠APE與∠PEC之間的數(shù)量關(guān)系．（不考慮P與A、D重合的情況）【變式72】（2023春·河南漯河·七年級(jí)校考期末）已知△ABC．（1）如圖（1），∠C>∠B，若AD⊥BC于點(diǎn)D，AE平分∠BAC，你能找出∠EAD與∠B，∠C之間的數(shù)量關(guān)系嗎？并說明理由．（2）如圖（2），AE平分∠BAC，F(xiàn)為AE上一點(diǎn)，F(xiàn)M⊥BC于點(diǎn)M，∠EFM與∠B，∠C之間有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【變式73】（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，連結(jié)CE．(1)如圖1，若CE平分∠ACD，過點(diǎn)E作EM⊥CE交CD于點(diǎn)M，試說明∠A＝2∠CME；(2)如圖2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度數(shù)．(3)如圖3，過點(diǎn)E作EM⊥CE交∠DCE的平分線于點(diǎn)M，MN⊥CM交AB于點(diǎn)N，CH⊥AB，垂足為H．若∠ACH＝12∠ECH請(qǐng)直接寫出∠MNB與∠A【題型8三角形內(nèi)角和定理與新定義問題綜合】【例8】（2023春·福建廈門·七年級(jí)廈門一中?？计谥校┬露x：在△ABC中，若存在最大內(nèi)角是最小內(nèi)角度數(shù)的n倍(n為大于1的正整數(shù))，則稱△ABC為“n倍角三角形”.例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，則∠C＝30°，因?yàn)椤螦最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC為“3倍角三角形”.(1)在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，則△DEF為“_______倍角三角形”.(2)如圖，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分線相交于點(diǎn)D，若△ABD為“6倍角三角形”，請(qǐng)求出∠ABD的度數(shù).【變式81】（2023春·安徽六安·七年級(jí)校考期中）定義：當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角α是另一個(gè)內(nèi)角的兩倍時(shí)，我們稱此三角形為“倍角三角形”，其中α稱為“倍角”，如果一個(gè)“倍角三角形”的一個(gè)內(nèi)角為99°，那么倍角α的度數(shù)是（

）A．99° B．99°或49.5° C．99°或54° D．99°或49.5°或54°【變式82】（2023·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）我們定義：【概念理解】在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的4倍，那么這樣的三角形我們稱之為“完美三角形”．如：三個(gè)內(nèi)角分別為130°，40°，10°的三角形是“完美三角形”.【簡(jiǎn)單應(yīng)用】如圖1，∠MON=72°，在射線OM上找一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥OM交ON于點(diǎn)B，以A為端點(diǎn)作射線AD，交線段OB于點(diǎn)C（點(diǎn)C不與O，B重合）（1）∠ABO＝，△AOB__________（填“是”或“不是”）“完美三角形”；（2）若∠ACB＝90°，求證：△AOC是“完美三角形”．【應(yīng)用拓展】如圖2，點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，連接DC，作∠ADC的平分線交AC于點(diǎn)E，在DC上取點(diǎn)F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B．若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度數(shù)．【變式83】（2023春·江蘇·七年級(jí)期末）定義：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角α與β滿足2α+β=90°，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)互余三角形”．(1)若△ABC是“準(zhǔn)互余三角形”，∠C>90°，∠A=56°，則∠B=_____°；(2)若△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．①如圖，若AD是∠BAC的角平分線，請(qǐng)你判斷△ABD是否為“準(zhǔn)互余三角形”？并說明理由．②點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，△ABE是“準(zhǔn)互余三角形”，若∠B=28°，求∠AEB的度數(shù)．【知識(shí)點(diǎn)2直角三角形的判定】有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形．【題型9直角三角形的判定】【例9】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，∠C=90°，∠1=∠2，求證△ADE是直角三角形．【變式91】（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）若一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比為2:3:5，那么這個(gè)三角形是（

A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形【變式92】（2023春·山東濱州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在下列條件：①∠A+∠B+∠C=180°；②∠A:∠B:∠C=1:2:3；③∠A=∠B=2∠C；④∠A=12∠B=13∠C；A．5個(gè)