第六章《計數(shù)原理》章末復(fù)習(xí)提升與檢測（原卷版）

第六章《計數(shù)原理》章末復(fù)習(xí)提升與檢測知識體系能力整合一、兩個計數(shù)原理1．分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理是本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，在進(jìn)行計數(shù)過程中，常因分類不明導(dǎo)致增(漏)解，因此在解題中既要保證類與類的互斥性，又要關(guān)注總數(shù)的完備性．2．掌握兩個計數(shù)原理，提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．【例1】（1）設(shè)4名學(xué)生報名參加同一時間安排的3項課外活動的方案有a種，這4名學(xué)生在運動會上共同爭奪100米、跳遠(yuǎn)、鉛球3項比賽的冠軍的可能結(jié)果有b種，則(a，b)為()A．(34，34) B．(43，34)C．(34，43) D．(Aeq\o\al(3,4)，Aeq\o\al(3,4))(2)“回文數(shù)”是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)．如22,121,3443,94249等．顯然2位“回文數(shù)”有9個：11,22,33，…，99；3位“回文數(shù)”有90個：101,111,121，…，191,202，…，999；則①4位“回文數(shù)”有________個；②2n＋1(n∈N*)位“回文數(shù)”有________個．【通性通法】應(yīng)用兩個計數(shù)原理計數(shù)的四個步驟(1)明確完成的這件事是什么．(2)思考如何完成這件事．(3)判斷它屬于分類還是分步，是先分類后分步，還是先分步后分類．(4)選擇計數(shù)原理進(jìn)行計算．【跟蹤訓(xùn)練】1.用紅、黃、藍(lán)、綠、橙五種不同顏色給如圖所示的5塊區(qū)域A，B，C，D，E涂色，要求同一區(qū)域用同一種顏色，相鄰區(qū)域使用不同顏色，則共有涂色方法()A．120種 B．720種C．840種 D．960種2.《九章算術(shù)》、《數(shù)書九章》、《周髀算經(jīng)》是中國古代數(shù)學(xué)著作，甲、乙、丙三名同學(xué)計劃每人從中選擇一種來閱讀，若三人選擇的書不全相同，則不同的選法有種．二、排列與組合的綜合應(yīng)用1．排列、組合是兩類特殊的計數(shù)求解方式，在計數(shù)原理求解中起著舉足輕重的作用，解決排列與組合的綜合問題要遵守先選后排，特殊元素(特殊位置)優(yōu)先的原則．2．明確排列和組合的運算，重點提升數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng)．【例2】（1）（2023?新高考Ⅰ）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．（2）（2023?甲卷（理））有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則兩天中恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為A．120 B．60 C．40 D．30【通性通法】解決排列、組合綜合問題要注意以下幾點(1)首先要分清該問題是排列問題還是組合問題．(2)對于含有多個限制條件的復(fù)雜問題，應(yīng)認(rèn)真分析每個限制條件，再考慮是分類還是分步，分類時要不重不漏，分步時要步步相接．(3)對于含有“至多”“至少”的問題，常采用間接法，此時要考慮全面，排除干凈．【跟蹤訓(xùn)練】1.（2023?新高考Ⅱ）某學(xué)校為了了解學(xué)生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有A．種 B．種 C．種 D．種2.（2023?乙卷（理））甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有A．30種 B．60種 C．120種 D．240種三、二項式定理及其應(yīng)用1．二項式定理有比較廣泛的應(yīng)用，可用于代數(shù)式的化簡、變形、證明整除、近似計算、證明不等式等，其原理可以用于二項式相應(yīng)展開式項的系數(shù)求解．2．二項式定理所體現(xiàn)的是一種數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．角度1二項展開式的“賦值問題”【例3】（2022?北京）若，則A．40 B．41 C． D．【通性通法】在二項展開式中應(yīng)用“賦值法”的一般步驟(1)觀察：先觀察二項展開式左右兩邊式子的結(jié)構(gòu)特征．(2)賦值：結(jié)合待求和上述特征，對變量x賦值，常見的賦值有x＝－1，x＝0，x＝1等等，具體視情況而定．(3)解方程：賦值后結(jié)合待求建立方程(組)，求解便可．【跟蹤訓(xùn)練】（2022?浙江）已知多項式，則．角度2二項展開式的特定項問題【例4】（1）（2022?新高考Ⅰ）的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．（2）（2023?天津）在的展開式中，項的系數(shù)為．【通性通法】二項式特定項的求解策略(1)確定二項式中的有關(guān)元素：一般是根據(jù)已知條件，列出等式，從而可解得所要求的二項式中的有關(guān)元素．(2)確定二項展開式中的常數(shù)項：先寫出其通項，令未知數(shù)的指數(shù)為零，從而確定項數(shù)，然后代入通項，即可確定常數(shù)項．(3)求二項展開式中條件項的系數(shù)：先寫出其通項，再由條件確定項數(shù)，然后代入通項求出此項的系數(shù)．(4)確定二項展開式中的系數(shù)最大或最小項：求展開式中系數(shù)最大項與求二項式系數(shù)最大項是【跟蹤訓(xùn)練】1.（2023?北京）的展開式中，的系數(shù)是A． B．40 C． D．802.（2022?天津）的展開式中的常數(shù)項為．章末檢測(時間：120分鐘，滿分：150分)一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．（2024·晉城第一中學(xué)校高二月考）（

）A．74 B．98 C．124 D．1482．某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，要求這2名學(xué)生來自不同年級，則不同的選擇方法共有（

）A．4種 B．6種 C．8種 D．12種3．設(shè)直線的方程是，從1，2，3，4這四個數(shù)中每次取兩個不同的數(shù)作為A、B的值，則所得不同的直線的條數(shù)是（

）A．6 B．8 C．10 D．124．的展開式中，的系數(shù)為（

）A． B．10 C． D．405．近期浙江大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、南京大學(xué)三所學(xué)校發(fā)布了2024年冬令營招生簡章，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)報名，每位同學(xué)只能選一所大學(xué)，每所大學(xué)至少有一名同學(xué)報名，且甲同學(xué)不報南京大學(xué)，則不同的報名方法共有（

）A．16種 B．20種 C．24種 D．28種6．2023年5月21日，中國羽毛球隊在2023年蘇迪曼杯世界羽毛球混合團(tuán)體錦標(biāo)賽決賽中以總比分戰(zhàn)勝韓國隊，實現(xiàn)蘇迪曼杯三連冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷賽后在現(xiàn)場合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必須相鄰，則不同的站法共有（

）A．18種 B．24種 C．30種 D．36種7．中國傳統(tǒng)木構(gòu)建筑的窗欞是框架結(jié)構(gòu)設(shè)計，它是傳統(tǒng)建筑中最重要的構(gòu)成要素之一，也是建筑的審美中心.如圖中矩形是某窗欞的一部分，圖中與矩形邊平行的橫線與豎線構(gòu)成矩形（

）個

A．24 B．27 C．36 D．608．若的展開式中不含項，則實數(shù)m的值為（

）A． B． C．0 D．1二、多項選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得6分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)9．現(xiàn)有不同的黃球5個，黑球6個，藍(lán)球4個，則下列說法正確的是（

）A．從中任選1個球，有15種不同的選法B．若每種顏色選出1個球，有120種不同的選法C．若要選出不同顏色的2個球，有31種不同的選法D．若要不放回地選出任意的2個球，有240種不同的選法10．已知二項式的展開式中各項的系數(shù)和為64，則下列說法正確的是（

）A．B．展開式中所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為32C．展開式中的常數(shù)項為540D．展開式中二項式系數(shù)最大的項是第四項11．某班準(zhǔn)備舉行一場小型班會，班會有3個歌唱節(jié)目和2個語言類節(jié)目，現(xiàn)要排出一個節(jié)目單，則下列說法正確的是（

）A．若3個歌唱節(jié)目排在一起，則有6種不同的排法B．若歌唱節(jié)目與語言類節(jié)目相間排列，則有12種不同的排法C．若2個語言類節(jié)目不排在一起，則有72種不同的排法D．若前2個節(jié)目中必須要有語言類節(jié)目，則有84種不同的排法三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在題中橫線上)12．若，則.13．早在11世紀(jì)中葉，我國宋代數(shù)學(xué)家賈憲在其著作《釋鎖算數(shù)》中就給出了二、三、四、五、六次冪的二項式系數(shù)表．已知的展開式中的系數(shù)為，則實數(shù)；展開式中各項系數(shù)之和為．（用數(shù)字作答）14．甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)參加某種技術(shù)競賽，得出了第一名到第五名的五個名次，甲、乙去詢問成績，組織者對甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍．”對乙說：“你當(dāng)然不會是最差的．”從組織者的回答分析，這五個人的名次排列的不同情況共有種．四、解答題(本大題共5小題，共77分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15．（本小題滿分13分）8人圍圓桌開會，其中正、副組長各1人，記錄員1人．(1)若正、副組長相鄰而坐，有多少種坐法？(2)若記錄員坐于正、副組長之間（三者相鄰），有多少種坐法？16．（本小題滿分15分）某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生5名，外科醫(yī)生4名，現(xiàn)要派4名醫(yī)生參加賑災(zāi)醫(yī)療隊，（1）一共有多少種選法？（2）其中某內(nèi)科醫(yī)生甲必須參加，某外科醫(yī)生乙因故不能參加，有幾種選法？（3）內(nèi)科醫(yī)生和外科醫(yī)生都要有人參加，有幾種選法？17．（本小題滿分15分）已知集合.(1)從中取出個不同的元素組成三位數(shù)，則可以組成多少個？(2)從集合中取出個元素，從集合中取出個元素，可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字且比大的正整數(shù)？18．（本小題滿分17分）在二項式的展開式中，.給出下列條件：①若展開式前三項的二項式系數(shù)和等于46；②所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為256；③若展開式中第7項為常數(shù)項.試在上面三個條件中選擇一個補(bǔ)充在上面的橫線上，并且完