必修二課件第一章立體幾何初步1.1.1-1

棱柱、棱錐和棱臺(tái)第1章

1.1

空間幾何體學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過觀察實(shí)例，概括出棱柱、棱錐、棱臺(tái)的定義.2.掌握棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征及相關(guān)概念.3.能說出棱柱、棱錐、棱臺(tái)的性質(zhì)，并會(huì)畫簡(jiǎn)單的棱柱、棱錐、棱臺(tái).題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問題導(dǎo)學(xué)思考

知識(shí)點(diǎn)一棱柱的結(jié)構(gòu)特征觀察下列多面體，有什么共同特點(diǎn)？答案答案(1)有兩個(gè)面是全等的多邊形，且對(duì)應(yīng)邊互相平行；(2)其余各面都是平行四邊形.棱柱的結(jié)構(gòu)特征梳理名稱定義圖形及表示相關(guān)概念分類棱柱

由一個(gè)平

面多邊形

沿某一方

向平移形

成的空間

幾何體叫

做棱柱

如圖可記作：

棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′

底面：平移起止位

置的兩個(gè)面，側(cè)面：

多邊形的邊平移所

形成的面，

側(cè)棱：相鄰側(cè)面的

公共邊，

頂點(diǎn)：側(cè)面與底面

的公共頂點(diǎn)

底面為三角形、

四邊形、五邊

形……的棱柱

分別稱為三棱

柱、四棱柱、

五棱柱……思考

知識(shí)點(diǎn)二棱錐的結(jié)構(gòu)特征觀察下列多面體，有什么共同特點(diǎn)？答案答案(1)有一個(gè)面是多邊形；(2)其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形.梳理棱錐的結(jié)構(gòu)特征名稱定義圖形及表示相關(guān)概念分類棱錐

當(dāng)棱柱的一

個(gè)底面收縮

為一點(diǎn)時(shí)，

得到的幾何

體叫做棱錐

如圖可記作：棱錐S—ABCD

底面(底)：多邊形面，

側(cè)面：有公共頂點(diǎn)的

各個(gè)三角形面，

側(cè)棱：相鄰側(cè)面的

，

頂點(diǎn)：由棱柱的一個(gè)

底面收縮而成

按底面多邊形

的邊數(shù)分：三

棱錐、四棱錐、

……公共邊知識(shí)點(diǎn)三棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征思考

答案答案(1)區(qū)別：有兩個(gè)面相互平行.(2)聯(lián)系：用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，其底面和截面之間的部分即為該幾何體.觀察下列多面體，分析其與棱錐有何區(qū)別與聯(lián)系？棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征梳理名稱定義圖形及表示相關(guān)概念分類棱臺(tái)

用一個(gè)______

的平

面去截棱錐，

得到兩個(gè)幾何

體，一個(gè)仍然

是棱錐，另一

個(gè)我們稱之為

棱臺(tái)

如圖可記作：

棱臺(tái)ABCD—A′B′C′D′上底面：原棱錐的截面，下底面：原棱錐的底面，側(cè)面：其余各面，側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊，頂點(diǎn)：側(cè)面與上(下)底面的公共頂點(diǎn)由三棱錐、四棱錐、五棱錐、……截得的棱臺(tái)分別叫做三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)、……平行于棱錐底面知識(shí)點(diǎn)四多面體思考

答案答案多面體是由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體.圍成多面體的各個(gè)多邊形叫多面體的面；相鄰兩個(gè)面的公共邊叫多面體的棱；棱和棱的公共點(diǎn)叫多面體的頂點(diǎn).一般地，怎樣定義多面體？圍成多面體的各個(gè)多邊形，相鄰兩個(gè)多邊形的公共邊，以及這些公共邊的公共點(diǎn)分別叫什么名稱？梳理類別多面體定義由一些

圍成的幾何體圖形相關(guān)概念

面：圍成多面體的各個(gè)

，

棱：相鄰兩個(gè)面的

，

頂點(diǎn)：棱與棱的公共點(diǎn)平面多邊形多邊形公共邊題型探究命題角度1棱柱的結(jié)構(gòu)特征例1

下列關(guān)于棱柱的說法：①所有的面都是平行四邊形；②每一個(gè)面都不會(huì)是三角形；③兩底面平行，并且各側(cè)棱也平行；④被平行于底面的平面截成的兩部分可以都是棱柱.其中正確說法的序號(hào)是______.類型一棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征③④答案解析解析①錯(cuò)誤，底面可以不是平行四邊形；②錯(cuò)誤，底面可以是三角形；③正確，由棱柱的定義可知；④正確，被平行于底面的平面截成的兩部分可以都是棱柱.關(guān)于棱柱的辨析(1)緊扣棱柱的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行有關(guān)概念辨析.①兩個(gè)面互相平行；②其余各面是四邊形；③相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行.(2)多注意觀察一些實(shí)物模型和圖片便于反例排除.特別提醒：求解與棱柱相關(guān)的問題時(shí)，首先看是否有兩個(gè)平行的面作為底面，再看是否滿足其他特征.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練1

關(guān)于棱柱，下列說法正確的是____.(填序號(hào))①有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱；②棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)相等，側(cè)面都是平行四邊形；③上、下底面是菱形，各側(cè)面是全等的正方形的四棱柱一定是正方體.②答案解析解析①不正確，反例如圖所示.②正確，由棱柱定義可知，棱柱的側(cè)棱相互平行且相等，所以側(cè)面均為平行四邊形.③不正確，上、下底面是菱形，各側(cè)面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方體.命題角度2棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征例2

(1)判斷如圖所示的物體是不是棱錐，為什么？解答解該物體不是棱錐.因?yàn)槔忮F的定義中要求：各側(cè)面有一個(gè)公共頂點(diǎn)，但側(cè)面ABC與側(cè)面CDE沒有公共頂點(diǎn)，所以該物體不是棱錐.(2)如圖所示的多面體是不是棱臺(tái)？解答解根據(jù)棱臺(tái)的定義，可以得到判斷一個(gè)多面體是棱臺(tái)的標(biāo)準(zhǔn)有兩個(gè)：一是共點(diǎn)，二是平行.即各側(cè)棱的延長(zhǎng)線要交于一點(diǎn)，上、下兩個(gè)底面要平行，二者缺一不可.據(jù)此，圖①中多面體側(cè)棱延長(zhǎng)線不相交于同一點(diǎn)，故不是棱臺(tái)；圖②中多面體不是由棱錐截得的，不是棱臺(tái)；圖③中多面體雖是由棱錐截得的，但截面與底面不平行，因此也不是棱臺(tái).棱錐、棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征問題的判斷方法(1)舉反例法結(jié)合棱錐、棱臺(tái)的定義舉反例直接說明關(guān)于棱錐、棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征的某些說法不正確.反思與感悟(2)直接法

棱錐棱臺(tái)定底面只有一個(gè)面是多邊形，此面即為底面兩個(gè)互相平行的面，即為底面看側(cè)棱相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)后相交于一點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練2

下列關(guān)于棱錐、棱臺(tái)的說法：①棱臺(tái)的側(cè)面一定不會(huì)是平行四邊形；②由四個(gè)平面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；③棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐.其中正確說法的序號(hào)是_____.①②答案解析解析①正確，棱臺(tái)的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形；②正確，由四個(gè)平面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；③錯(cuò)誤，如圖所示四棱錐被陰影部分所在的平面截成的兩部分是兩個(gè)三棱錐.例3

畫出一個(gè)三棱柱和一個(gè)四棱臺(tái).類型二棱柱、棱錐、棱臺(tái)的畫法解答解畫三棱柱可分以下三步完成：第一步，畫上底面——畫一個(gè)三角形；第二步，畫側(cè)棱——從三角形的每一個(gè)頂點(diǎn)畫平行且相等的線段；第三步，畫下底面——順次連結(jié)這些線段的另一個(gè)端點(diǎn)(如圖所示).(2)畫四棱臺(tái)可分以下三步完成：第一步，畫一個(gè)四棱錐；第二步，在它的一條側(cè)棱上取一點(diǎn)，然后從這點(diǎn)開始，順次在各個(gè)側(cè)面內(nèi)畫出與底面對(duì)應(yīng)邊平行的線段；第三步，將多余的線段擦去(如圖所示).在平面幾何中，虛線表示作的輔助線，但在空間圖形中，虛線表示被遮擋的線.在空間圖形中作輔助線時(shí)，被遮擋的線作成虛線，看得見的線仍作成實(shí)線.作圖時(shí)要使用鉛筆、直尺等，力求準(zhǔn)確.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練3

畫一個(gè)六面體.(1)使它是一個(gè)四棱柱；解答解如圖所示.圖1是一個(gè)四棱柱.(2)使它是由兩個(gè)三棱錐組成；解答解圖2是一個(gè)由兩個(gè)三棱錐組成的幾何體.(3)使它是五棱錐.解答解圖3是一個(gè)五棱錐.例4

如圖所示，在側(cè)棱長(zhǎng)為2的正三棱錐V—ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，過A作截面AEF，求截面△AEF周長(zhǎng)的最小值.類型三空間問題與平面問題的轉(zhuǎn)化解答解將三棱錐沿側(cè)棱VA剪開，并將其側(cè)面展開平鋪在一個(gè)平面上，如圖所示.線段AA1的長(zhǎng)為所求△AEF周長(zhǎng)的最小值.取AA1的中點(diǎn)D，則VD⊥AA1，∠AVD＝60°，可知AD＝3，則AA1＝6.即截面△AEF周長(zhǎng)的最小值為6.求幾何體表面上兩點(diǎn)間的最小距離的步驟(1)將幾何體沿著某棱剪開后展開，畫出其側(cè)面展開圖.(2)將所求曲線問題轉(zhuǎn)化為平面上的線段問題.(3)結(jié)合已知條件求得結(jié)果.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練4

如圖所示，在所有棱長(zhǎng)均為1的直三棱柱上，有一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，圍著三棱柱的側(cè)面爬行一周到達(dá)點(diǎn)A1，則爬行的最短路程為_____.解析將三棱柱側(cè)面沿AA1展開如圖所示，答案解析當(dāng)堂訓(xùn)練1.有下列三個(gè)命題：①用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺(tái)；②兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)；③有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái).其中正確的有____個(gè).答案234510解析解析①中的平面不一定平行于底面，故①錯(cuò)；②③可用反例去檢驗(yàn)，如圖所示，側(cè)棱延長(zhǎng)線不能相交于一點(diǎn)，故②③錯(cuò).2.三棱錐的四個(gè)面中可以作為底面的有____個(gè).答案234514解析解析三棱錐的每一個(gè)面均可作為底面.3.下列說法錯(cuò)誤的是_____.(填序號(hào))①多面體至少有四個(gè)面；②九棱柱有9條側(cè)棱，9個(gè)側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形；③長(zhǎng)方體、正方體都是棱柱；④三棱柱的側(cè)面為三角形.答案23451④解析解析由于三棱柱的側(cè)面為平行四邊形，故④錯(cuò).4.下列幾何體中，________是棱柱，_____是棱錐，____是棱臺(tái).(僅填相應(yīng)序號(hào))答案23451①③④⑥⑤解析結(jié)合棱柱、棱錐和棱臺(tái)的定義可知，①③④是棱柱，⑥是棱錐，⑤是棱臺(tái).解析5.下圖中不可能圍成正方體的是______.(填序號(hào))答案23451④規(guī)律與方法1.棱柱、棱錐及棱臺(tái)定義的關(guān)注點(diǎn)(1)棱柱的定義有以下兩個(gè)要點(diǎn)，缺一不可：①有兩個(gè)平面(底面)互相平行.②其余各面(側(cè)面)每相鄰兩個(gè)面的公共邊(側(cè)棱)都互相平行.(