第5章生活中的軸對稱（學生版）

第5章生活中的軸對稱知識點01：軸對稱圖形1、如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁部分能夠完全重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。2、理解軸對稱圖形要抓住以下幾點：（1）指一個圖形；（2）存在一條直線（對稱軸）；（3）圖形被直線分成兩部分互相重合；（4）軸對稱圖形對稱軸有只有一條，有則存在多條；（5）線段、角、長方形、正方形、菱形、等腰三角形、圓都是軸對稱圖形；知識點02：軸對稱1、對于兩個圖形，如果沿一條直線對折后，它們能互相重合，那么稱這兩個圖形成軸對稱，這條直線就是對稱軸?？梢哉f成：這兩個圖形關(guān)于某條直線對稱。2、理解軸對稱應(yīng)注意：（1）有兩個圖形；（2）沿某一條直線對折后能夠完全重合；（3）軸對稱兩個圖形一定是全等形，但兩個全等圖形一定是軸對稱圖形；（4）對稱軸是直線而是線段；軸對稱圖形軸對稱區(qū)別是一個圖形自身對稱特性是兩個圖形之間對稱關(guān)系對稱軸可能止一條對稱軸只有一條共同點沿某條直線對折后都能夠互相重合如果軸對稱兩個圖形看作一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形；如果把軸對稱圖形分成兩部分（兩個圖形），那么這兩部分關(guān)于這條對稱軸成軸對稱。知識點03：角平分線性質(zhì)1、角平分線所在直線是該角對稱軸。2、性質(zhì)：角平分線上點到這個角兩邊距離相等。知識點04：線段垂直平分線1、垂直于一條線段并且平分這條線段直線叫做這條線段垂直平分線，又叫線段中垂線。2、性質(zhì)：線段垂直平分線上點到這條線段兩端點距離相等。知識點05：等腰三角形1、有兩條邊相等三角形叫做等腰三角形；2、相等兩條邊叫做腰；另一邊叫做底邊；3、兩腰夾角叫做頂角，腰與底邊夾角叫做底角；4、三條邊都相等三角形也是等腰三角形。5、等腰三角形是軸對稱圖形，有一條對稱軸（等邊三角形除外），其底邊上高或頂角平分線，或底邊上中線所在直線都是它對稱軸。6、等腰三角形三條重要線段是它對稱軸，它們所在直線才是等腰三角形對稱軸。7、等腰三角形底邊上高，底邊上中線，頂角平分線互相重合，簡稱為“三線合一”。8、“三線合一”是等腰三角形所特有性質(zhì)，一般三角形具備這一重要性質(zhì)。9、“三線合一”是等腰三角形特有性質(zhì)，是指其頂角平分線，底邊上高和中線，這三線，并非其他。10、等腰三角形兩個底角相等，簡寫成“等邊對等角”。11、判定一個三角形是等腰三角形常用兩種方法：（1）兩條邊相等三角形是等腰三角形；（2）如果一個三角形有兩個角相等，那么它們所對邊也相等相等，簡寫為“等角對等邊”。知識點06：等邊三角形1、等邊三角形是指三邊都相等三角形，又稱正三角形，是最特殊三角形。2、等邊三角形是底與腰相等等腰三角形，所以等邊三角形具備等腰三角形所有性質(zhì)。3、等邊三角形有三條對稱軸，三角形高、角平分線和中線所在直線都是它對稱軸。4、等邊三角形三邊都相等，三個內(nèi)角都是600。圖形定義性質(zhì)等腰三角形有兩邊相等三角形1、兩腰相等，兩底角相等。2、頂角=18002×底角。底角=（1800頂角）/2。3、頂角平分線、底邊上中線和高“三線合一”。4、軸對稱圖形，有一條對稱軸。等邊三角形（又叫正三角形）三邊都相等三角形1、三邊都相等，三內(nèi)角相等，且每個內(nèi)角都等于600。2、具有等腰三角形所有性質(zhì)。3、軸對稱圖形，有三條對稱軸。知識點07：軸對稱性質(zhì)1、兩個圖形沿一條直線對折后，能夠重合點稱為對應(yīng)點（對稱點），能夠重合線段稱為對應(yīng)線段，能夠重合角稱為對應(yīng)角。2、關(guān)于某條直線對稱兩個圖形是全等圖形。3、如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對應(yīng)點所連線段被對稱軸垂直平分。4、如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對應(yīng)線段、對應(yīng)角都相等。5、類似地，軸對稱圖形性質(zhì)有：（1）軸對稱圖形對應(yīng)點所連線段被對稱軸垂直平分。（2）軸對稱圖形對應(yīng)線段、對應(yīng)角相等。（3）根據(jù)軸對稱圖形性質(zhì)可求作軸對稱圖形對應(yīng)點、對應(yīng)線段或?qū)?yīng)角，并由此能補全軸對稱圖形。知識點08：圖案設(shè)計1、作出簡單平面圖形經(jīng)過軸對稱后圖形，實際上是軸對稱圖形性質(zhì)靈活運用。2、作出簡單平面圖形經(jīng)過軸對稱后圖形步驟:（1）首先要確定一個簡單平面圖形上幾個特殊點；（2）然后利用軸對稱性質(zhì)，作出其相應(yīng)對稱點（對應(yīng)點所連線段被對稱軸垂直平分）。（3）分別連接其對稱點，則可得其對稱圖形。3、表達方式（以點M為例）：（1）過點M作對稱軸垂線，垂足為A；（2）延長MA到M’到，使M’A=MA，則點M’就是點M關(guān)于直線對稱點。（3）在復(fù)雜作圖中，也可以敘述為：作出點M關(guān)于直線對稱點M’.4、在運用軸對稱設(shè)計圖案時，就注意以下幾點：（1）要有明確設(shè)計意圖；（2）創(chuàng)意要新穎獨特；（3）設(shè)計出圖案要符合要求；（4）能清楚地表達自己設(shè)計意圖和制作過程。5、圖案設(shè)計除采用對稱手段外，通常還綜合采用旋轉(zhuǎn)、倒置、重復(fù)等手段和形式。6、設(shè)計圖案要美觀、大方，積極向上，反映時代特色。知識點09：鏡面對稱1、鏡面對稱有關(guān)性質(zhì)：（1）任何一個平面圖形（物體）在鏡子中像與它是可以重合。因此，一個軸對稱圖形在鏡子中像仍是軸對稱圖形。（2）若一個平面圖形正對鏡面，則其左（右）側(cè)在鏡中像是其右（左）側(cè)；（3）若一個平面圖形（物體）垂直于鏡面擺放，則靠近鏡面部分，其像也靠近鏡面；2、關(guān)于數(shù)字0、1、3、8在鏡面中像兩個結(jié)論：（1）如果寫數(shù)字紙條垂直于鏡面擺放，則紙條上寫0、1、3、8所成像與原來數(shù)字完全一樣。（2）如果紙條正對鏡面擺放，則紙條上寫0、1、8這三個數(shù)字在鏡中像和原來數(shù)字完全一樣。3、像與物體到鏡面距離相等。4、像與物體對應(yīng)點連線被鏡面垂直平分。5、由鏡中時間來判斷真實時間是近幾年來中考一個熱點。時間表示有用一般數(shù)字表示，也有直接用鐘表來表示。在判斷時，大家要注意靈活利用鏡面對稱知識來加以解決。一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2022春?沙坪壩區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，點E、F分別是AD、AB上的動點，若∠BAC＝50°，當BE+EF的值最小時，∠AEB的度數(shù)為（）A．105° B．115° C．120° D．130°2．（2分）（2022春?廣饒縣期末）如圖，已知AD是△ABC的角平分線，AD的中垂線交AB于點F，交BC的延長線于點E．以下四個結(jié)論：（1）∠EAD＝∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠FDE＝90°；（4）∠B＝∠CAE．恒成立的結(jié)論有（）A．（1）（2） B．（2）（3）（4） C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3）（4）3．（2分）（2018春?官渡區(qū)期末）如圖，有一條寬紙帶，F(xiàn)G∥PH，沿折痕AB進行折疊，BD交FG于點E，∠1＝50°，則下列說法正確的有（）個．①∠CAF＝50°；②∠BAG＝∠2+50°；③∠EBP＝∠HBA；④∠AEB＝∠ABE；⑤∠2＝65°．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個4．（2分）（2018春?沙坪壩區(qū)期末）如圖，點D為△ABC邊BC的延長線上一點．∠ABC的角平分線與∠ACD的角平分線交于點M，將△MBC以直線BC為對稱軸翻折得到△NBC，∠NBC的角平分線與∠NCB的角平分線交于點Q，若∠A＝48°，則∠BQC的度數(shù)為（）A．138° B．114° C．102° D．100°5．（2分）（2018秋?前郭縣校級期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠A＝36°，P是△ABC內(nèi)一點，且∠1＝∠2，則∠BPC的度數(shù)為（）A．72° B．108° C．126° D．144°6．（2分）（2022春?龍崗區(qū)期末）如圖，分別以△ABC的邊AB，AC所在直線為對稱軸作△ABC的對稱圖形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，線段BD與CE相交于點O，連接BE、ED、DC、OA．有如下結(jié)論：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④EA＝ED；⑤BP＝EQ．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個7．（2分）（2022春?和平區(qū)期末）將一張長方形紙片ABCD按如圖所示方式折疊，AE、AF為折痕，點B、D折疊后的對應(yīng)點分別為B′、D′，若∠B′AD′＝8°，則∠EAF的度數(shù)為（）A．40° B．40.5° C．41° D．42°8．（2分）（2021秋?河東區(qū)期末）如圖，在2×2的方格紙中有一個以格點為頂點的△ABC，則與△ABC成軸對稱且以格點為頂點三角形共有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個9．（2分）（2020春?崇川區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABDC中，對角線AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，則∠ADB的度數(shù)為（）A．54° B．50° C．48° D．46°10．（2分）（2020?黃巖區(qū)模擬）如圖所示，在△ABC中，內(nèi)角∠BAC與外角∠CBE的平分線相交于點P，BE＝BC，PB與CE交于點H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，連接CP．下列結(jié)論：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中，正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2022秋?曲靖期末）如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA長分別為30，40，50．其三條角平分線交于點O，則S△ABO：S△BCO：S△CAO＝．12．（2分）（2022春?張家川縣期末）如圖，在△ACE中，AE＝7，AC＝9，CE＝12，點B、D分別在邊CE、AE上，若△ACD與△BCD關(guān)于CD所在直線對稱，則△BDE的周長為．13．（2分）（2022春?榆林期中）如圖，△AOB與△COB關(guān)于邊OB所在的直線成軸對稱，AO的延長線交BC于點D．若∠BOD＝46°，∠C＝20°，則∠ADC＝°．14．（2分）（2022秋?睢陽區(qū)期末）已知△ABC為等邊三角形，AB＝10，M在AB邊所在直線上，點N在AC邊所在直線上，且MN＝MC，若AM＝16，則CN的長為．15．（2分）（2021春?渠縣期末）如圖，∠AOB＝30°，點M、N分別在邊OA、OB上，且OM＝，ON＝6，點P、Q分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是．16．（2分）（2023春?東臺市月考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝70°，D是AB的中點，點E在邊AC上一動點，將△ADE沿DE翻折，使點A落在點A′處，當A′E∥BC時，則∠ADE＝．17．（2分）（2022春?菏澤期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，兩銳角的角平分線交于點P，點E、F分別在邊BC、AC上，且都不與點C重合，若∠EPF＝45°，連接EF，當AC＝6，BC＝8，AB＝10時，則△CEF的周長為．18．（2分）（2021春?靜安區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，E是BC邊上一點，將△ABE沿AE翻折，點B落到點D的位置，AD邊與BC邊交于點F，如果AE＝AF＝DE，那么∠BAC＝度．19．（2分）（2021秋?璧山區(qū)校級期中）在四邊形ABCD中，∠ADC與∠BCD的角平分線交于點E，∠DEC＝115°，過點B作BF∥AD交CE于點F，CE＝2BF，∠CBF＝∠BCE，連接BE，S△BCE＝4，則CE＝．20．（2分）（2022春?即墨區(qū)期末）在△ABC中，AB＝AC＝10，AD是△ABC的角平分線，E在AB的垂直平分線上，AE：EC＝3：2，F(xiàn)為AD上的動點，則EF+CF的最小值為．三．解答題（共7小題，滿分60分）21．（8分）（2023?龍巖模擬）如圖，已知△ABC中，∠DAB＝∠ABC，AC＝BD．（1）求作點D關(guān)于直線AB的對稱點E；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下連接AE，BE，求證：∠AEB+∠C＝180°．22．（8分）（2023春?工業(yè)園區(qū)校級期中）如圖，O是△ABC的三條角平分線的交點，OG⊥BC，垂足為G．∠DOB＝50°，求∠GOC的度數(shù)．?23．（8分）（2023?岳池縣模擬）認真觀察下面四幅圖中陰影部分構(gòu)成的圖案，回答下列問題．（1）請你寫出這四個圖案都具有的兩個共同特征：特征1：；特征2：．（2）請你借助下面的網(wǎng)格，設(shè)計出三個不同圖案，使它也具備你所寫出的上述特征．（注意：新圖案與以上四幅圖中的圖案不能相同）24．（8分）（2022秋?翔安區(qū)期末）如圖，在△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，D是AC上一點，AE⊥BD交BD的延長線于點E，且AE＝BD，求證：BD是∠ABC的角平分線．25．（8分）（2022秋?茶陵縣期末）在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α．（1）如圖1，將AD、EB延長，延長線相交于點O：①求證：BE＝AD；②用含α的式子表示∠AOB的度數(shù)（直接寫出結(jié)果）；如圖2，當α＝45°時，連接BD、AE，作CM⊥AE于M點，延長MC與BD交于點N，求證：N是BD的中點．26．（10分）（2022秋?遂平縣期末）閱讀材料：如圖，△ABC中，AB＝AC，P為底邊BC上任意一點，點P到兩腰的距離分別為r1，r2，腰上的高為h，連接AP，則S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：，∴r1+r2＝h（定值）．（1）類比與推理如果