第5章生活中的軸對(duì)稱(chēng)（學(xué)生版）

第5章生活中的軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)點(diǎn)01：軸對(duì)稱(chēng)圖形1、如果一個(gè)圖形沿一條直線(xiàn)折疊后，直線(xiàn)兩旁部分能夠完全重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線(xiàn)叫做對(duì)稱(chēng)軸。2、理解軸對(duì)稱(chēng)圖形要抓住以下幾點(diǎn)：（1）指一個(gè)圖形；（2）存在一條直線(xiàn)（對(duì)稱(chēng)軸）；（3）圖形被直線(xiàn)分成兩部分互相重合；（4）軸對(duì)稱(chēng)圖形對(duì)稱(chēng)軸有只有一條，有則存在多條；（5）線(xiàn)段、角、長(zhǎng)方形、正方形、菱形、等腰三角形、圓都是軸對(duì)稱(chēng)圖形；知識(shí)點(diǎn)02：軸對(duì)稱(chēng)1、對(duì)于兩個(gè)圖形，如果沿一條直線(xiàn)對(duì)折后，它們能互相重合，那么稱(chēng)這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)，這條直線(xiàn)就是對(duì)稱(chēng)軸?？梢哉f(shuō)成：這兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)。2、理解軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)注意：（1）有兩個(gè)圖形；（2）沿某一條直線(xiàn)對(duì)折后能夠完全重合；（3）軸對(duì)稱(chēng)兩個(gè)圖形一定是全等形，但兩個(gè)全等圖形一定是軸對(duì)稱(chēng)圖形；（4）對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)而是線(xiàn)段；軸對(duì)稱(chēng)圖形軸對(duì)稱(chēng)區(qū)別是一個(gè)圖形自身對(duì)稱(chēng)特性是兩個(gè)圖形之間對(duì)稱(chēng)關(guān)系對(duì)稱(chēng)軸可能止一條對(duì)稱(chēng)軸只有一條共同點(diǎn)沿某條直線(xiàn)對(duì)折后都能夠互相重合如果軸對(duì)稱(chēng)兩個(gè)圖形看作一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形；如果把軸對(duì)稱(chēng)圖形分成兩部分（兩個(gè)圖形），那么這兩部分關(guān)于這條對(duì)稱(chēng)軸成軸對(duì)稱(chēng)。知識(shí)點(diǎn)03：角平分線(xiàn)性質(zhì)1、角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)是該角對(duì)稱(chēng)軸。2、性質(zhì)：角平分線(xiàn)上點(diǎn)到這個(gè)角兩邊距離相等。知識(shí)點(diǎn)04：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)1、垂直于一條線(xiàn)段并且平分這條線(xiàn)段直線(xiàn)叫做這條線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)，又叫線(xiàn)段中垂線(xiàn)。2、性質(zhì)：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上點(diǎn)到這條線(xiàn)段兩端點(diǎn)距離相等。知識(shí)點(diǎn)05：等腰三角形1、有兩條邊相等三角形叫做等腰三角形；2、相等兩條邊叫做腰；另一邊叫做底邊；3、兩腰夾角叫做頂角，腰與底邊夾角叫做底角；4、三條邊都相等三角形也是等腰三角形。5、等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有一條對(duì)稱(chēng)軸（等邊三角形除外），其底邊上高或頂角平分線(xiàn)，或底邊上中線(xiàn)所在直線(xiàn)都是它對(duì)稱(chēng)軸。6、等腰三角形三條重要線(xiàn)段是它對(duì)稱(chēng)軸，它們所在直線(xiàn)才是等腰三角形對(duì)稱(chēng)軸。7、等腰三角形底邊上高，底邊上中線(xiàn)，頂角平分線(xiàn)互相重合，簡(jiǎn)稱(chēng)為“三線(xiàn)合一”。8、“三線(xiàn)合一”是等腰三角形所特有性質(zhì)，一般三角形具備這一重要性質(zhì)。9、“三線(xiàn)合一”是等腰三角形特有性質(zhì)，是指其頂角平分線(xiàn)，底邊上高和中線(xiàn)，這三線(xiàn)，并非其他。10、等腰三角形兩個(gè)底角相等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“等邊對(duì)等角”。11、判定一個(gè)三角形是等腰三角形常用兩種方法：（1）兩條邊相等三角形是等腰三角形；（2）如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)邊也相等相等，簡(jiǎn)寫(xiě)為“等角對(duì)等邊”。知識(shí)點(diǎn)06：等邊三角形1、等邊三角形是指三邊都相等三角形，又稱(chēng)正三角形，是最特殊三角形。2、等邊三角形是底與腰相等等腰三角形，所以等邊三角形具備等腰三角形所有性質(zhì)。3、等邊三角形有三條對(duì)稱(chēng)軸，三角形高、角平分線(xiàn)和中線(xiàn)所在直線(xiàn)都是它對(duì)稱(chēng)軸。4、等邊三角形三邊都相等，三個(gè)內(nèi)角都是600。圖形定義性質(zhì)等腰三角形有兩邊相等三角形1、兩腰相等，兩底角相等。2、頂角=18002×底角。底角=（1800頂角）/2。3、頂角平分線(xiàn)、底邊上中線(xiàn)和高“三線(xiàn)合一”。4、軸對(duì)稱(chēng)圖形，有一條對(duì)稱(chēng)軸。等邊三角形（又叫正三角形）三邊都相等三角形1、三邊都相等，三內(nèi)角相等，且每個(gè)內(nèi)角都等于600。2、具有等腰三角形所有性質(zhì)。3、軸對(duì)稱(chēng)圖形，有三條對(duì)稱(chēng)軸。知識(shí)點(diǎn)07：軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)1、兩個(gè)圖形沿一條直線(xiàn)對(duì)折后，能夠重合點(diǎn)稱(chēng)為對(duì)應(yīng)點(diǎn)（對(duì)稱(chēng)點(diǎn)），能夠重合線(xiàn)段稱(chēng)為對(duì)應(yīng)線(xiàn)段，能夠重合角稱(chēng)為對(duì)應(yīng)角。2、關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)兩個(gè)圖形是全等圖形。3、如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線(xiàn)段被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分。4、如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)應(yīng)線(xiàn)段、對(duì)應(yīng)角都相等。5、類(lèi)似地，軸對(duì)稱(chēng)圖形性質(zhì)有：（1）軸對(duì)稱(chēng)圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線(xiàn)段被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分。（2）軸對(duì)稱(chēng)圖形對(duì)應(yīng)線(xiàn)段、對(duì)應(yīng)角相等。（3）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形性質(zhì)可求作軸對(duì)稱(chēng)圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)線(xiàn)段或?qū)?yīng)角，并由此能補(bǔ)全軸對(duì)稱(chēng)圖形。知識(shí)點(diǎn)08：圖案設(shè)計(jì)1、作出簡(jiǎn)單平面圖形經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱(chēng)后圖形，實(shí)際上是軸對(duì)稱(chēng)圖形性質(zhì)靈活運(yùn)用。2、作出簡(jiǎn)單平面圖形經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱(chēng)后圖形步驟:（1）首先要確定一個(gè)簡(jiǎn)單平面圖形上幾個(gè)特殊點(diǎn)；（2）然后利用軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，作出其相應(yīng)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線(xiàn)段被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分）。（3）分別連接其對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則可得其對(duì)稱(chēng)圖形。3、表達(dá)方式（以點(diǎn)M為例）：（1）過(guò)點(diǎn)M作對(duì)稱(chēng)軸垂線(xiàn)，垂足為A；（2）延長(zhǎng)MA到M’到，使M’A=MA，則點(diǎn)M’就是點(diǎn)M關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。（3）在復(fù)雜作圖中，也可以敘述為：作出點(diǎn)M關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M’.4、在運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)設(shè)計(jì)圖案時(shí)，就注意以下幾點(diǎn)：（1）要有明確設(shè)計(jì)意圖；（2）創(chuàng)意要新穎獨(dú)特；（3）設(shè)計(jì)出圖案要符合要求；（4）能清楚地表達(dá)自己設(shè)計(jì)意圖和制作過(guò)程。5、圖案設(shè)計(jì)除采用對(duì)稱(chēng)手段外，通常還綜合采用旋轉(zhuǎn)、倒置、重復(fù)等手段和形式。6、設(shè)計(jì)圖案要美觀(guān)、大方，積極向上，反映時(shí)代特色。知識(shí)點(diǎn)09：鏡面對(duì)稱(chēng)1、鏡面對(duì)稱(chēng)有關(guān)性質(zhì)：（1）任何一個(gè)平面圖形（物體）在鏡子中像與它是可以重合。因此，一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形在鏡子中像仍是軸對(duì)稱(chēng)圖形。（2）若一個(gè)平面圖形正對(duì)鏡面，則其左（右）側(cè)在鏡中像是其右（左）側(cè)；（3）若一個(gè)平面圖形（物體）垂直于鏡面擺放，則靠近鏡面部分，其像也靠近鏡面；2、關(guān)于數(shù)字0、1、3、8在鏡面中像兩個(gè)結(jié)論：（1）如果寫(xiě)數(shù)字紙條垂直于鏡面擺放，則紙條上寫(xiě)0、1、3、8所成像與原來(lái)數(shù)字完全一樣。（2）如果紙條正對(duì)鏡面擺放，則紙條上寫(xiě)0、1、8這三個(gè)數(shù)字在鏡中像和原來(lái)數(shù)字完全一樣。3、像與物體到鏡面距離相等。4、像與物體對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)被鏡面垂直平分。5、由鏡中時(shí)間來(lái)判斷真實(shí)時(shí)間是近幾年來(lái)中考一個(gè)熱點(diǎn)。時(shí)間表示有用一般數(shù)字表示，也有直接用鐘表來(lái)表示。在判斷時(shí)，大家要注意靈活利用鏡面對(duì)稱(chēng)知識(shí)來(lái)加以解決。一．選擇題（共10小題，滿(mǎn)分20分，每小題2分）1．（2分）（2022春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，點(diǎn)E、F分別是AD、AB上的動(dòng)點(diǎn)，若∠BAC＝50°，當(dāng)BE+EF的值最小時(shí)，∠AEB的度數(shù)為（）A．105° B．115° C．120° D．130°2．（2分）（2022春?廣饒縣期末）如圖，已知AD是△ABC的角平分線(xiàn)，AD的中垂線(xiàn)交AB于點(diǎn)F，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．以下四個(gè)結(jié)論：（1）∠EAD＝∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠FDE＝90°；（4）∠B＝∠CAE．恒成立的結(jié)論有（）A．（1）（2） B．（2）（3）（4） C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3）（4）3．（2分）（2018春?官渡區(qū)期末）如圖，有一條寬紙帶，F(xiàn)G∥PH，沿折痕AB進(jìn)行折疊，BD交FG于點(diǎn)E，∠1＝50°，則下列說(shuō)法正確的有（）個(gè)．①∠CAF＝50°；②∠BAG＝∠2+50°；③∠EBP＝∠HBA；④∠AEB＝∠ABE；⑤∠2＝65°．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)4．（2分）（2018春?沙坪壩區(qū)期末）如圖，點(diǎn)D為△ABC邊BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)．∠ABC的角平分線(xiàn)與∠ACD的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)M，將△MBC以直線(xiàn)BC為對(duì)稱(chēng)軸翻折得到△NBC，∠NBC的角平分線(xiàn)與∠NCB的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)Q，若∠A＝48°，則∠BQC的度數(shù)為（）A．138° B．114° C．102° D．100°5．（2分）（2018秋?前郭縣校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠A＝36°，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠1＝∠2，則∠BPC的度數(shù)為（）A．72° B．108° C．126° D．144°6．（2分）（2022春?龍崗區(qū)期末）如圖，分別以△ABC的邊AB，AC所在直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸作△ABC的對(duì)稱(chēng)圖形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，線(xiàn)段BD與CE相交于點(diǎn)O，連接BE、ED、DC、OA．有如下結(jié)論：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④EA＝ED；⑤BP＝EQ．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)7．（2分）（2022春?和平區(qū)期末）將一張長(zhǎng)方形紙片ABCD按如圖所示方式折疊，AE、AF為折痕，點(diǎn)B、D折疊后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B′、D′，若∠B′AD′＝8°，則∠EAF的度數(shù)為（）A．40° B．40.5° C．41° D．42°8．（2分）（2021秋?河?xùn)|區(qū)期末）如圖，在2×2的方格紙中有一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△ABC，則與△ABC成軸對(duì)稱(chēng)且以格點(diǎn)為頂點(diǎn)三角形共有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)9．（2分）（2020春?崇川區(qū)校級(jí)期末）如圖，四邊形ABDC中，對(duì)角線(xiàn)AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，則∠ADB的度數(shù)為（）A．54° B．50° C．48° D．46°10．（2分）（2020?黃巖區(qū)模擬）如圖所示，在△ABC中，內(nèi)角∠BAC與外角∠CBE的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)P，BE＝BC，PB與CE交于點(diǎn)H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，連接CP．下列結(jié)論：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中，正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二．填空題（共10小題，滿(mǎn)分20分，每小題2分）11．（2分）（2022秋?曲靖期末）如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA長(zhǎng)分別為30，40，50．其三條角平分線(xiàn)交于點(diǎn)O，則S△ABO：S△BCO：S△CAO＝．12．（2分）（2022春?張家川縣期末）如圖，在△ACE中，AE＝7，AC＝9，CE＝12，點(diǎn)B、D分別在邊CE、AE上，若△ACD與△BCD關(guān)于CD所在直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則△BDE的周長(zhǎng)為．13．（2分）（2022春?榆林期中）如圖，△AOB與△COB關(guān)于邊OB所在的直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)，AO的延長(zhǎng)線(xiàn)交BC于點(diǎn)D．若∠BOD＝46°，∠C＝20°，則∠ADC＝°．14．（2分）（2022秋?睢陽(yáng)區(qū)期末）已知△ABC為等邊三角形，AB＝10，M在A(yíng)B邊所在直線(xiàn)上，點(diǎn)N在A(yíng)C邊所在直線(xiàn)上，且MN＝MC，若AM＝16，則CN的長(zhǎng)為．15．（2分）（2021春?渠縣期末）如圖，∠AOB＝30°，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上，且OM＝，ON＝6，點(diǎn)P、Q分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是．16．（2分）（2023春?東臺(tái)市月考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝70°，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，將△ADE沿DE翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，當(dāng)A′E∥BC時(shí)，則∠ADE＝．17．（2分）（2022春?菏澤期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，兩銳角的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，點(diǎn)E、F分別在邊BC、AC上，且都不與點(diǎn)C重合，若∠EPF＝45°，連接EF，當(dāng)AC＝6，BC＝8，AB＝10時(shí)，則△CEF的周長(zhǎng)為．18．（2分）（2021春?靜安區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，E是BC邊上一點(diǎn)，將△ABE沿AE翻折，點(diǎn)B落到點(diǎn)D的位置，AD邊與BC邊交于點(diǎn)F，如果AE＝AF＝DE，那么∠BAC＝度．19．（2分）（2021秋?璧山區(qū)校級(jí)期中）在四邊形ABCD中，∠ADC與∠BCD的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)E，∠DEC＝115°，過(guò)點(diǎn)B作BF∥AD交CE于點(diǎn)F，CE＝2BF，∠CBF＝∠BCE，連接BE，S△BCE＝4，則CE＝．20．（2分）（2022春?即墨區(qū)期末）在△ABC中，AB＝AC＝10，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，E在A(yíng)B的垂直平分線(xiàn)上，AE：EC＝3：2，F(xiàn)為AD上的動(dòng)點(diǎn)，則EF+CF的最小值為．三．解答題（共7小題，滿(mǎn)分60分）21．（8分）（2023?龍巖模擬）如圖，已知△ABC中，∠DAB＝∠ABC，AC＝BD．（1）求作點(diǎn)D關(guān)于直線(xiàn)AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E；（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下連接AE，BE，求證：∠AEB+∠C＝180°．22．（8分）（2023春?工業(yè)園區(qū)校級(jí)期中）如圖，O是△ABC的三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，OG⊥BC，垂足為G．∠DOB＝50°，求∠GOC的度數(shù)．?23．（8分）（2023?岳池縣模擬）認(rèn)真觀(guān)察下面四幅圖中陰影部分構(gòu)成的圖案，回答下列問(wèn)題．（1）請(qǐng)你寫(xiě)出這四個(gè)圖案都具有的兩個(gè)共同特征：特征1：；特征2：．（2）請(qǐng)你借助下面的網(wǎng)格，設(shè)計(jì)出三個(gè)不同圖案，使它也具備你所寫(xiě)出的上述特征．（注意：新圖案與以上四幅圖中的圖案不能相同）24．（8分）（2022秋?翔安區(qū)期末）如圖，在△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，D是AC上一點(diǎn)，AE⊥BD交BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，且AE＝BD，求證：BD是∠ABC的角平分線(xiàn)．25．（8分）（2022秋?茶陵縣期末）在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α．（1）如圖1，將AD、EB延長(zhǎng)，延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)O：①求證：BE＝AD；②用含α的式子表示∠AOB的度數(shù)（直接寫(xiě)出結(jié)果）；如圖2，當(dāng)α＝45°時(shí)，連接BD、AE，作CM⊥AE于M點(diǎn)，延長(zhǎng)MC與BD交于點(diǎn)N，求證：N是BD的中點(diǎn)．26．（10分）（2022秋?遂平縣期末）閱讀材料：如圖，△ABC中，AB＝AC，P為底邊BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到兩腰的距離分別為r1，r2，腰上的高為h，連接AP，則S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：，∴r1+r2＝h（定值）．（1）類(lèi)比與推理如果