5.5鉛筆頭模型鋸齒模型翹腳模型

5.5鉛筆頭模型、鋸齒模型、翹腳模型模型一：鉛筆頭模型【鉛筆頭模型基礎】已知AB∥DE，結論：∠B+∠C+∠E=360°證明1：過點C作CK∥AB（見拐點作平行線）∵AB∥DE∴AB∥DE∥CK∴∠B+∠1=180°，∠E+∠2=180°而∠C=∠1+∠2∴∠B+∠C+∠E=360°【鉛筆頭模型變形】變式一：已知AB∥DE，則∠B+∠M+∠N+∠E=540°變式二：若a∥b，則∠A1+∠A2+...+∠An1+∠An=180°×（n1）=180°×（拐點數(shù)+1）模型二：鋸齒模型【鋸齒模型基礎】已知AB∥DE，則∠B+∠E=∠C證明：過點C作CK∥AB∵AB∥DE∴AB∥DE∥CK∴∠B=∠1①，∠E=∠2②①+②得∠B+∠E=∠1+∠2，即∠B+∠E=∠C【鋸齒模型變形】變式一：已知AB∥DE，則∠B+∠M+∠E=∠C+∠N變式二：若a∥b，則所有朝左角之和等于所有朝右角的和。模型三：翹腳模型模型一：已知AB∥CD，則∠1，∠2，∠3之間的關系為:∠1=∠2+∠3模型二：已知AB∥CD，則∠1，∠2，∠3之間的關系為:∠1+∠3∠2=180°

【題型一】鉛筆頭模型【典題】（2022春·福建三明·七年級統(tǒng)考期中）如圖，a//b，∠1＝80°，∠2＝155°，則∠3的度數(shù)是（

）A．115° B．110° C．105° D．100°【答案】C【分析】過作，根據(jù)平行線的性質即可得到結論．【詳解】解：過作，，，，，，，故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質，解題的關鍵是熟練掌握平行線的性質．鞏固練習1（）（2022春·福建廈門·七年級?？茧A段練習）如圖，則∠1+∠2+∠3+…+∠n=（

）A．540° B．180°n C．180°(n1) D．180°(n+1)【答案】C【分析】根據(jù)題意，作，，，由兩直線平行，同旁內角互補，即可求出答案．【詳解】解：根據(jù)題意，作，，，∵，∴，，，……∴，……∴；故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質，解題的關鍵是正確作出輔助線，熟練運用兩直線平行同旁內角互補進行證明．2（）（2022春·山東聊城·七年級?？茧A段練習）一大門的欄桿如圖所示，BA垂直地面AE于點A，CD平行于地面AE，則∠ABC＋∠BCD＝_____．【答案】270°【分析】過B作BF∥AE，則CD∥BF∥AE．根據(jù)平行線的性質即可求解．【詳解】過B作BF∥AE，∵CD∥AE，則CD∥BF∥AE，∴∠BCD+∠1=180°，又∵AB⊥AE，∴AB⊥BF，∴∠ABF=90°，∴∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°．故答案為：270．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，兩直線平行，同旁內角互補．正確作出輔助線是解題的關鍵．3（）（2022春·黑龍江綏化·七年級?？计谀┤鐖D，已知，，，則___度．【答案】65°【分析】過點作∥，根據(jù)平行公理得，再依據(jù)平行線的性質求角即可．【詳解】解：過點作∥，如圖：，．∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，．故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，解題關鍵是依據(jù)平行公理作輔助線，熟練運用平行線的性質解決問題4（）（2022春·山東日照·七年級?？计谥校﹩栴}情境：如圖1，，，．求度數(shù)．小明的思路是：如圖2，過作，通過平行線性質，可得．問題遷移：（1）如圖3，，點在射線上運動，當點在、兩點之間運動時，，．、、之間有何數(shù)量關系?請說明理由；（2）在（1）的條件下，如果點在、兩點外側運動時（點與點、、三點不重合），請你直接寫出、、間的數(shù)量關系．【答案】（1）∠CPD=∠α+∠β，理由見解析；（2）①當點P在A、M兩點之間時，∠CPD=∠β?∠α；②當點P在B、O兩點之間時，∠CPD=∠α?∠β【分析】（1）過點P作PE∥AD交CD于點E，根據(jù)題意得出AD∥PE∥BC，從而利用平行線性質可知=∠DPE，=∠CPE，據(jù)此進一步證明即可；（2）根據(jù)題意分當點P在A、M兩點之間時以及當點P在B、O兩點之間時兩種情況逐一分析討論即可.【詳解】（1）∠CPD=，理由如下：如圖3，過點P作PEAD交CD于點E，∵ADBC，PEAD∴ADPEBC∴=∠DPE，=∠CPE∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=；（2）①當點P在A、M兩點之間時，∠CPD=，理由如下：如圖4，過點P作PEAD交CD于點E∵ADBC，PEAD∴ADPEBC∴=∠EPD，=∠CPE∴∠CPD=∠CPE?∠EPD=；②當點P在B、O兩點之間時，∠CPD=，理由如下：如圖5，過點P作PEAD交CD于點E∵ADBC，PEAD∴ADPEBC∴=∠DPE，=∠CPE∴∠CPD=∠DPE?∠CPE=綜上所述，當點P在A、M兩點之間時，∠CPD=∠β?∠α；當點P在B、O兩點之間時，∠CPD=∠α?∠β.【點睛】本題主要考查了在平行線性質及判定的綜合運用，熟練掌握相關概念是解題關鍵.5（）（2022秋·福建泉州·七年級晉江市季延中學?？计谀┤鐖D①，直線AB∥CD，點E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上．(1)若∠1=135°，∠2=155°，試猜想∠P=______．(2)在圖①中探究∠1，∠P，∠2之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．(3)將圖①變?yōu)閳D②，仍有AB∥CD，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度數(shù)．【答案】(1)70°；(2)∠EPF+(∠1+∠2)=360°，理由見解析；(3)∠PGF的度數(shù)為140°．【分析】（1）過點P作PQ∥AB，由平行線的性質得到∠1+∠EPQ=180°，∠2+∠FPQ=180°，進一步計算即可求得∠EPF的度數(shù)；（2）同（1）法即可求得∠EPF+(∠1+∠2)=360°；（3）過點P作PQ∥AB，過點G作GH∥AB，由平行線的性質即可求解．(1)解：過點P作PQ∥AB，∴∠1+∠EPQ=180°，∵∠1=135°，∴∠EPQ=180°∠1=45°，∵AB∥CD，∴PQ∥AB∥CD，∴∠2+∠FPQ=180°，∵∠2=155°，∴∠FPQ=180°∠2=25°，∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=70°；故答案為：70°；(2)解：∠EPF+(∠1+∠2)=360°，理由如下：過點P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥AB∥CD，∴∠1+∠EPQ=180°，∠2+∠FPQ=180°，即∠EPQ=180°∠1，∠FPQ=180°∠2，∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=360°(∠1+∠2)；即∠EPF+(∠1+∠2)=360°；(3)解：過點P作PQ∥AB，過點G作GH∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥AB∥GH∥CD，∴∠1+∠3=180°，∠4+∠5=180°，∠6+∠2=180°，∴∠1+∠3+∠4+∠5+∠6+∠2=540°，∵∠EPG=75°，∴∠3+∠4=75°，∵∠1+∠2=325°，∴∠5+∠6=540°(∠1+∠2)(∠3+∠4)=540°325°75°=140°．∴∠PGF的度數(shù)為140°．．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，熟練掌握平行線的判定與性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．【題型二】鋸齒模型【典題】（2022春·廣東東莞·七年級?？计谥校┤鐖D，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，則∠BCE的度數(shù)為（）A．70° B．65° C．35° D．5°【答案】B【分析】作CF∥AB，根據(jù)平行線的性質可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，從而可得∠BCE的度數(shù)，本題得以解決．【詳解】作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故選：B．【點睛】本題考查平行線的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用平行線的性質解答．鞏固練習1（）（2022秋·黑龍江大慶·七年級校聯(lián)考期中）如圖，直線l1∥l2，，則（A．150° B．180° C．210° D．240°【答案】C【分析】根據(jù)題意作直線l平行于直線l1和l2，再根據(jù)平行線的性質求解即可.【詳解】解：作直線l平行于直線l1和l2．，．，．故選C．【點睛】本題主要考查平行線的性質，掌握兩直線平行同旁內角互補，兩直線平行內錯角相等是解題關鍵．2（）（2022春·四川涼山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線AB∥CD，∠C＝44°，∠E為直角，則∠1等于（）A．132° B．134° C．136° D．138°【答案】B【分析】過E作EF∥AB，得出AB∥CD∥EF，根據(jù)平行線的性質得出∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，求出∠BAE，即可得出答案．【詳解】解：過E作EF∥AB，如下圖：∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，∵∠C=44°，∠AEC為直角，∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°，∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°，故選B．【點睛】本題考查了平行線的性質的應用，能正確作出輔助線是解此題的關鍵．3（）（2022春·安徽蕪湖·七年級蕪湖市第二十九中學?？计谥校┤鐖D，∠BCD＝90°，AB∥DE，則α與β一定滿足的等式是（）A．α+β＝180° B．α+β＝90° C．β＝3α D．α﹣β＝90°【答案】D【分析】過C作CF∥AB，根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線平行得到AB∥DE∥CF，根據(jù)平行線的性質得到作差即可．【詳解】詳：過C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∴故選：D．【點睛】考查平行公理已經(jīng)平行線的性質，解題的關鍵是注意輔助線的作法，作出輔助線．4（）（2022春·河北唐山·七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，于點，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，過點H作，過點F作，根據(jù)平行線的性質定理進行解答即可．【詳解】解：如圖，過點H作，過點F作，∴，，∵，∴，∴，∵，，，∴，，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故選：C．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，熟練掌握判定與性質定理，正確作出輔助線是解題的關鍵．5（）（2022春·廣東揭陽·七年級校考期末）如圖，AB∥EF，設∠C＝90°，那么x，y，z的關系式為______．【答案】y=90°x+z．【分析】作CG//AB，DH//EF，由AB//EF，可得AB//CG//HD//EF，根據(jù)平行線性質可得∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z，由∠C＝90°，可得∠1+∠2=90°，由∠y=∠z+∠2，可證∠y=∠z+90°∠x即可．【詳解】解：作CG//AB，DH//EF，∵AB//EF，∴AB//CG//HD//EF，∴∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z∵∠BCD＝90°∴∠1+∠2=90°，∠y=∠CDH+∠HDE=∠z+∠2，∵∠2=90°∠1=90°∠x，∴∠y=∠z+90°∠x．即y=90°x+z．【點睛】本題考查平行線的性質，掌握平行線的性質，利用輔助線畫出準確圖形是解題關鍵．6（）（2022春·上?！て吣昙壠谥校┤鐖D，已知m∥n，若過點P1，P2作直線m的平行線，則∠1、∠2、∠3、∠4間的數(shù)量關系是_____．【答案】∠2＋∠4＝∠1＋∠3【分析】分別過點P1、P2作，，根據(jù)平行線的性質：兩直線平行，內錯角相等，即可得到相應的角相等，即可得到最后答案．【詳解】解：分別過點P1、P2作，，∵，∴，∴∠1＝∠AP1C，CP1P2＝∠P1P2D，∠DP2B＝∠4，∴∠1＋∠P1P2D＋∠DP2B＝∠AP1C＋∠CP1P2＋∠4，即∠2＋∠4＝∠1＋∠3．故答案為：∠2＋∠4＝∠1＋∠3．【點睛】本題考查的是平行線的性質，即兩直線平行，內錯角相等，解決本題的關鍵是通過平行，找到相應的角的關系．7（）（2022春·貴州六盤水·七年級統(tǒng)考期中）如圖所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，應為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過C作CD∥AB，過M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根據(jù)平行線的性質得出+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，求出∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN=，即可得出答案．【詳解】過C作CD∥AB，過M作MN∥EF，∵AB∥EF，∴AB∥CD∥MN∥EF，∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，∴∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN=，∴=∠BCD+∠DCM=，故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質的應用，主要考查了學生的推理能力．8（）（2022春·河北唐山·七年級?？茧A段練習）如圖，AB∥EF，則∠A，∠C，∠D，∠E滿足的數(shù)量關系是（

）A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360° B．∠A+∠D＝∠C+∠EC．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180° D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°【答案】C【分析】如圖，過點C作CG∥AB，過點D作DH∥EF，根據(jù)平行線的性質可得∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，根據(jù)AB∥EF可得CG∥DH，根據(jù)平行線的性質可得∠CDH＝∠DCG，進而根據(jù)角的和差關系即可得答案．【詳解】如圖，過點C作CG∥AB，過點D作DH∥EF，∴∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，∵AB∥EF，∴CG∥DH，∴∠CDH＝∠DCG，∴∠ACD＝∠ACG+∠CDH＝∠A+∠CDE﹣（180°﹣∠E），∴∠A﹣∠ACD+∠CDE+∠E＝180°．故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；熟練掌握平行線的性質，正確作出輔助線是解題關鍵．9（）（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習）如圖，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若設∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y(tǒng)°則∠P1＝________度（用x，y的代數(shù)式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，則∠Pn＝________度．【答案】

【分析】過點P1、作直線MN∥AB，可得∠P1EB＝∠MP1E＝x°，MN∥CD，利用平行線的性質可求得∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°；然后過點P2作直線GH∥AB，同理可得，以此類推：，，，，即可求解．【詳解】解：如圖，過點P1、作直線MN∥AB，∴∠P1EB＝∠MP1E＝x°．又∵AB∥CD，∴MN∥CD．∴∠P1FD＝∠FP1M＝y(tǒng)°．∴∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°；過點P2作直線GH∥AB，∵P2E平分∠BEP1，P2F平分∠DFP1，∴，，同理：，以此類推：，，，．故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質，角平分線的定義，并得到規(guī)律是解題的關鍵．10（）（2022春·浙江杭州·七年級校聯(lián)考階段練習）已知AB//CD．（1）如圖1，E為AB，CD之間一點，連接BE，DE，得到∠BED．求證：∠BED＝∠B+∠D；（2）如圖，連接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直線交于點F．①如圖2，當點B在點A的左側時，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度數(shù)．②如圖3，當點B在點A的右側時，設∠ABC＝α，∠ADC＝β，請你求出∠BFD的度數(shù)．（用含有α，β的式子表示）【答案】（1）見解析；（2）55°；（3）【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理與性質定理解答即可；（2）①如圖2，過點作，當點在點的左側時，根據(jù)，，根據(jù)平行線的性質及角平分線的定義即可求的度數(shù)；②如圖3，過點作，當點在點的右側時，，，根據(jù)平行線的性質及角平分線的定義即可求出的度數(shù)．【詳解】解：（1）如圖1，過點作，則有，，，，；（2）①如圖2，過點作，有．，．．．即，平分，平分，，，．答：的度數(shù)為；②如圖3，過點作，有．，，．．．即，平分，平分，，，．答：的度數(shù)為．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，解決本題的關鍵是熟練掌握平行線的判定與性質．11（）（2022春·遼寧沈陽·七年級沈陽市第一二六中學?？茧A段練習）如圖，，點E為兩直線之間的一點(1)如圖1，若，，則____________；(2)如圖2，試說明，；(3)①如圖3，若的平分線與的平分線相交于點F，判斷與的數(shù)量關系，并說明理由；②如圖4，若設，，，請直接用含、的代數(shù)式表示的度數(shù)．【答案】(1)(2)見解析(3)①，理由見解析；②【分析】（1）如圖①，過點E作EFAB．利用平行線的性質即可解決問題；（2）如圖②中，作EGAB，利用平行線的性質即可解決問題；（3）結合（1）、（2）的結論，進行等量代換即可求解．（1）解：過E點作EFAB，∵ABCD，∴EFCD，∵ABCD，∴∠BAE＝∠1，∵EFCD，∴∠2＝∠DCE，∴∠BAE＋∠DCE＝∠AEC．∵，，∴（2）過E點作ABEG．∵ABCD，∴EGCD，∵ABCD，∴∠BAE＋∠AEG＝180°，∵EGCD，∴∠CEG＋∠DCE＝180°，∴∠BAE＋∠AEC＋∠DCE＝360°．（3）①由（1）知，∵FA為∠BAE平分線，CF為平分線，∴，∴，即，由（2）知∠BAE＋∠AEC＋∠DCE＝360°，∴，②由①知，∵，，，∴即，∴，∵，∴．【點睛】本題考查平行線的性質，解題的關鍵是學會添加輔助線構造平行線解決問題，屬于中考常考題型．12（）（2022·全國·七年級假期作業(yè)）【閱讀材料】在“相交線與平行線”的學習中，有這樣一道典型問題：如圖①，AB∥CD，點P在AB與CD之間，可得結論：∠BAP+∠APC+∠PCD=360°．理由如下：過點P作PQ∥AB．∴∠BAP+∠APQ=180°．∵AB∥CD，∴PQ∥CD．∴∠PCD+∠CPQ=180°．∴∠BAP+∠APC+∠PCD=∠BAP+∠APQ+∠CPQ+∠PCD=180°+180°=360°．【問題解決】(1)如圖②，AB∥CD，點P在AB與CD之間，寫出∠BAP，∠APC，∠PCD間的等量關系；（只寫結論）(2)如圖③，AB∥CD，點P，E在AB與CD之間，AE平分∠BAP，CE平分∠DCP．寫出∠AEC與∠APC間的等量關系，并說明理由；(3)如圖④，AB∥CD，點P，E在AB與CD之間，∠BAE=∠BAP，∠DCE=∠DCP，寫出∠AEC與∠APC間的等量關系．（只寫結論）【答案】(1)∠APC=∠BAP+∠PCD(2)∠AEC=∠APC，證明見解析(3)∠APC+3∠AEC=360°【分析】（1）過P作PM∥AB，可得∠BAP=∠MAP、DC∥PM，進而可得∠PCD=∠MPC，然后根據(jù)∠APC=∠APM+∠MPC運用等量代換即可解答；（2）根據(jù)（1）可得∠APC=∠BAP+∠DCP、∠AEC=∠BAE+∠DCE，再根據(jù)角平分線的性質可得∠BAE=∠BAP、∠DCE=∠DCP，然后代入∠AEC=∠BAE+∠DCE即可；（1）設∠EAB=x，∠DCE=y，則∠BAP=3x，∠DCP=3y，由（1）可得∠AEC=x+y，由平行線的性質可得∠APC+3x+3y=360°，然后整理即可解答．(1)解：∠APC=∠BAP+∠PCD；過P作PM∥AB，∴∠BAP=∠APM，DC∥PM，∴∠PCD=∠MPC，∵∠APC=∠APM+∠MPC，∴∠APC=∠BAP+∠PCD．(2)（2）∠AEC=∠APC，理由如下：過點P作PM∥AB，過點E作EN∥AB．根據(jù)（1）可得：∠APC=∠BAP+∠DCP，∠AEC=∠BAE+∠DCE，∵AE平分∠BAP，CE平分∠DCP，∴∠BAE=∠BAP，∠DCE=∠DCP．∴∠AEC=∠BAE+∠DCE=∠BAP+∠DCP=（∠BAP+∠DCP）=∠APC．∴∠AEC=∠APC．(3)解：如圖④中，設∠EAB=x，∠DCE=y，則∠BAP=3x，∠DCP=3y，由題意可得：∠AEC=x+y，∠APC+3x+3y=360°，∴∠APC+3∠AEC=360°，故答案為：∠APC+3∠AEC=360°．【點睛】本題主要考查了平行線的判定與性質、角平分線的定義等知識點，正確添加輔助線、構造平行線是解答本題的關鍵．13（）（2022·全國·七年級假期作業(yè)）如圖1，AM∥NC，點B位于AM，CN之間，∠BAM為鈍角，AB⊥BC，垂足為點B．(1)若∠C＝40°，則∠BAM＝______；(2)如圖2，過點B作BD⊥AM，交MA的延長線于點D，求證：∠ABD＝∠C；(3)如圖3，在（2）問的條件下，BE平分∠DBC交AM于點E，若∠C＝∠DEB，求∠DEB的度數(shù)．【答案】(1)130°(2)見解析(3)∠DEB的度數(shù)為30°【分析】對于（1），過點B作平行線，即可得出AM∥BE∥NC，再根據(jù)“兩直線平行，內錯角相等”求出∠CBE，進而得出∠ABE，最后根據(jù)“兩直線平行，同旁內角互補”得出答案；對于（2），過點B作平行線，根據(jù)“兩直線平行，同旁內角互補”得∠DBF＝90°，再根據(jù)“同角的余角相等”得∠ABD＝∠CBF，最后根據(jù)“兩直線平行，內錯角相等”得出答案；對于（3），設∠DEB＝x，可得出∠ABD＝∠C＝∠DEB＝x，再作，可表示∠CBE=2x，然后表示∠DBC＝90°+x，最后根據(jù)∠DBC＝2∠CBE＝4x，列出方程，求出解即可.(1)過點B作BE∥AM，則AM∥BE∥NC，∵BE∥NC，∠C＝40°，∴∠CBE＝∠C＝40°．∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE＝90°﹣40°＝50°．∵AM∥BE，∴∠BAM+∠ABE＝180°，∴∠BAM＝180°﹣50°＝130°．故答案為：130°；(2)證明：如圖，過點B作BF∥DM，則∠ADB+∠DBF＝180°．∵BD⊥AM，∴∠ADB＝90°．∴∠DBF＝90°，∠ABD+∠ABF＝90°．又∵AB⊥BC，∴∠CBF+∠ABF＝90°．∴∠ABD＝∠CBF．∵AM∥CN，∴BF∥CN，∴∠C＝∠CBF．∴∠ABD＝∠C．(3)設∠DEB＝x，由（2）可得∠ABD＝∠C，∵∠C＝∠DEB，∴∠ABD＝∠C＝∠DEB＝x．

過點B作BF∥DM，如圖，∴∠DEB＝∠EBF，∠C＝∠FBC．∴∠CBE＝∠EBF+∠FBC＝∠DEB+∠C＝2x．∵∠DBC＝∠ABC+∠ABD＝90°+x．∵BE平分∠DBC，∴∠DBC＝2∠CBE＝4x，即4x＝90°+x，解得x＝30°．∴∠DEB的度數(shù)為30°．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，同角的余角相等，角平分線的定義等，構造平行線是解題的關鍵．14（）（2022春·四川成都·七年級樹德中學?？茧A段練習）（1）如圖①，已知，圖中，，之間有什么關系？（2）如圖②，已知，圖中，，，之間有什么關系？（3）如圖③，已知，請直接寫出圖中，，，，之間的關系（4）通過以上3個問題，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？【答案】（1）∠2=∠1+∠3；（2）；（3）；（4）當時，∠1+∠3+∠5+…+∠2n1=∠2+∠4+…+∠2n．【分析】（1）過E作EMAB，推出ABEMCD，根據(jù)平行線性質得出∠1=∠NEM，∠3=∠MEO，即可求出答案；（2）通過作輔助線：過E作，過F作，得到，得到，，即可得:,即可得到答案：；（3）做輔助線，通過（2）可知：，再由平行得，即可，即：．（4）通過以上3個問題，發(fā)現(xiàn)：當時，奇數(shù)角的和等于偶數(shù)角的和．【詳解】解：（1）∠2=∠1+∠3，理由是：過E作EMAB，推出ABEMCD，過E作，∵ABCD，∴ABEMCD，∴∠1=∠NEM，∠3=∠MEO，∴∠NEO=∠NEM+∠MEO=∠1+∠3；∴∠2=∠1+∠3，（2）;理由如下：過E作，過F作∵，，∴∴同理：∴即：即：已知，圖中，，，之間關系：．（3）；理由如下：過點G，作由（2）可知：∵∴∴、即：（4）通過以上3個問題，發(fā)現(xiàn)：當時，∠1+∠3+∠5+…+∠2n1=∠2+∠4+…+∠2n．【點睛】本題考查了平行線性質的應用，關鍵是正確作輔助線，題目比較典型，是一道比較好的題目．【題型三】翹腳模型【典題】（2022春·河南新鄉(xiāng)·七年級?？茧A段練習）如圖，如果AB∥EF，EF∥CD，下列各式正確的是（

）A．∠1+∠2?∠3=90° B．∠1?∠2+∠3=90°C．∠1+∠2+∠3=90° D．∠2+∠3?∠1=180°【答案】D【分析】根據(jù)平行線的性質，即可得到∠3=∠COE，∠2+∠BOE=180°，進而得出∠2+∠3∠1=180°．【詳解】∵EFCD，∴∠3=∠COE，∴∠3?∠1=∠COE?∠1=∠BOE，∵ABEF，∴∠2+∠BOE=180°，即∠2+∠3?∠1=180°．故選：D．【點睛】本題考查了平行線的性質，兩條直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補．鞏固練習1（）（2022秋·四川眉山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝130°，∠BCE＝55°，則∠CEF的度數(shù)為（

）A．95° B．105° C．110° D．115°【答案】B【分析】由平行的性質可知，再結合即可求解．【詳解】解：故答案是：B．【點睛】本題考查平行線的性質和角度求解，難度不大，屬于基礎題．解題的關鍵是掌握平行線的性質．2（）（2022春·黑龍江牡丹江·七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，則∠C的度數(shù)是（）A．36° B．34° C．32° D．30°