專題13一次函數(shù)的應(yīng)用綜合題

專題13一次函數(shù)的應(yīng)用（綜合題）易錯點(diǎn)撥易錯點(diǎn)撥知識點(diǎn)01：數(shù)學(xué)建模的一般思路數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵是將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，從而得到解決問題的最佳方案、最佳策略.在建模的過程中，為了既合乎實(shí)際問題又能求解，這就要求在諸多因素中抓住主要因素進(jìn)行抽象化簡，而這一過程恰是我們的分析、抽象、綜合、表達(dá)能力的體現(xiàn).函數(shù)建模最困難的環(huán)節(jié)是將實(shí)際情景通過數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為什么樣的函數(shù)模型.知識點(diǎn)02：正確認(rèn)識實(shí)際問題的應(yīng)用在實(shí)際生活問題中，如何應(yīng)用函數(shù)知識解題，關(guān)鍵是建立函數(shù)模型，即列出符合題意的函數(shù)解析式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)綜合方程（組）、不等式（組）及圖象求解.細(xì)節(jié)剖析：要注意結(jié)合實(shí)際，確定自變量的取值范圍，這是應(yīng)用中的難點(diǎn)，也是中考的熱門考點(diǎn).知識點(diǎn)03：選擇最簡方案問題分析問題的實(shí)際背景中包含的變量及對應(yīng)關(guān)系，結(jié)合一次函數(shù)的解析式及圖象，通過比較函數(shù)值的大小等，尋求解決問題的最佳方案，體會函數(shù)作為一種數(shù)學(xué)模型在分析解決實(shí)際問題中的重要作用.易錯題專訓(xùn)易錯題專訓(xùn)一．選擇題1．（2021秋?雁塔區(qū)校級期末）甲無人機(jī)從地面起飛，乙無人機(jī)從距離地面20m高的樓頂起飛，兩架無人機(jī)同時勻速上升10s，甲、乙兩架無人機(jī)所在的位置距離地面的高度y（單位：m）與無人機(jī)上升的時間x（單位：s）之間的關(guān)系如圖所示．下列說法正確的是（）A．5s時，兩架無人機(jī)都上升了40m B．乙無人機(jī)上升的速度為8m/s C．10s時，甲無人機(jī)距離地面的高度是60m D．10s時，兩架無人機(jī)的高度差為20m解：由圖象可得，5s時，甲無人機(jī)上升了40m，乙無人機(jī)上升了40﹣20＝20（m），故選項A錯誤；甲無人機(jī)的速度為：40÷5＝8（m/s），乙無人機(jī)的速度為：（40﹣20）÷5＝4（m/s），故選項B錯誤；10s時，甲無人機(jī)距離地面的高度是8×10＝80（m），故選項C錯誤；10s時，兩架無人機(jī)的高度差為：（8×10）﹣（20+4×10）＝20（m），故選項D正確；故選：D．2．（2021秋?渭城區(qū)期末）如圖，甲、乙兩人沿同一直線同時出發(fā)去往B地，運(yùn)動過程中甲、乙兩人到B地的距離y（km）與出發(fā)時間t（h）的關(guān)系如圖所示，下列說法錯誤的是（）A．甲、乙兩人在出發(fā)后2時第一次相遇 B．甲的速度是16km/h C．甲到達(dá)B地時兩人相距50km D．出發(fā)時乙在甲前方20km解：由題意可得，出發(fā)時乙在甲前方20km，故選項D不合題意；甲的速度為：80÷5＝16（km/h），故選項B不合題意；乙的速度為：60÷10＝6（km/h），（80﹣60）÷（16﹣6）＝2（h），即甲、乙兩人在出發(fā)后2小時第一次相遇，故選項A不合題意；甲到達(dá)B地時兩人相距：60﹣6×5＝30（km），故選項C符合題意．故選：C．3．（2022?武漢模擬）一輛快車和一輛慢車將一批物資從甲地運(yùn)往乙地，其中快車送達(dá)后立即沿原路返回，且往返速度的大小不變，兩車離甲地的距離y（單位：km）與慢車行駛時間t（單位：h）的函數(shù)圖象如圖所示，則兩車先后兩次相遇的間隔時間是（）A．h B．h C．h D．h解：由圖象可得，快車的速度為：＝（km/h），慢車的速度為：km/h，設(shè)兩車第一次相遇的時間為mh，則m＝（m﹣2），解得m＝3，兩車第二次相遇的時間為nh，n+（n﹣4）＝a，解得n＝，即兩車先后兩次相遇的間隔時間是﹣3＝（h），故選：D．4．（2021秋?大豐區(qū)期末）甲、乙兩人沿同一條路從A地出發(fā)，去往100千米外的B地，甲、乙兩人離A地的距離s（千米）與時間t（小時）之間的關(guān)系如圖所示，以下說法正確的是（）A．乙的速度是30km/h B．甲出發(fā)1小時后兩人第一次相遇 C．甲的速度是60km/h D．甲乙同時到達(dá)B地解：由圖象可得，乙的速度為：60÷3＝20（km/h），故選項A錯誤，不符合題意；甲的速度為：（100﹣40）÷（3﹣2）＝60（km/h），故選項C正確，符合題意；40÷60＝（小時），即甲出發(fā)小時后兩人第一次相遇，故選項B錯誤，不符合題意；乙出發(fā)3小時時走了60千米，此時甲到達(dá)B地，故選項D錯誤，不符合題意；故選：C．5．（2021秋?襄都區(qū)校級期末）一列動車從甲地開往乙地，一列普通列車從乙地開往甲地，兩車均勻速行駛并同時出發(fā)，設(shè)普通列車行駛的時間為x（小時），兩車之間的距離為y（千米），若如圖中的折線表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．甲、乙兩地相距1000千米 B．點(diǎn)B的實(shí)際意義是兩車出發(fā)后3小時相遇 C．動車從甲地到達(dá)乙地時間是3.5小時 D．動車的速度是250千米/小時解：由圖象可得，甲、乙兩地相距1000千米，故選項A正確；點(diǎn)B的實(shí)際意義是兩車出發(fā)后3小時相遇，故選項B正確；普通列出的速度為1000÷12＝（千米/小時），動車的速度為：1000÷3﹣＝250（千米/小時），故選項D正確；動車從甲地到達(dá)乙地時間是1000÷250＝4（小時），故選項C錯誤；故選：C．6．（2022春?連山區(qū)期末）A、B地相距2400米，甲、乙兩人從起點(diǎn)A勻速步行去終點(diǎn)B，已知甲先出發(fā)4分鐘，在整個步行過程中，甲、乙兩人之間的距離y（米）與甲出發(fā)的時間t（分）之間的關(guān)系如圖所示，下列結(jié)論中，其中不正確的結(jié)論有（）個．①甲步行的速度為60米/分；②乙走完全程用了32分鐘；③乙用16分鐘追上甲；④乙到達(dá)終點(diǎn)時，甲離終點(diǎn)還有300米．A．1 B．2 C．3 D．4解：由圖可得，甲步行的速度為：240÷4＝60米/分，故①正確；乙走完全程用的時間為：2400÷（16×60÷12）＝30（分鐘），故②錯誤；乙追上甲用的時間為：16﹣4＝12（分鐘），故③錯誤；乙到達(dá)終點(diǎn)時，甲離終點(diǎn)距離是：2400﹣（4+30）×60＝360米，故④錯誤．故其中不正確的結(jié)論有3個．故選：C．7．（2022春?齊河縣期末）一條公路旁依次有A，B，C三個村莊，甲、乙兩人騎自行車分別從A村、B村同時出發(fā)前往C村，甲、乙之間的距離s（km）與騎行時間t（h）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，下列結(jié)論：①A，B兩村相距10km；②甲出發(fā)2h后到達(dá)C村；③甲每小時比乙多騎行8km；④相遇后，乙又騎行了30min或55min時兩人相距4km．其中正確的是（）A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④解：由圖象可知A村、B村相離10km，故①正確，當(dāng)1.25h時，甲、乙相距為0km，故在此時相遇，說明甲的速度大于乙的速度，當(dāng)2h時，甲到達(dá)C村，故②正確；v甲×1.25﹣v乙×1.25＝10，解得：v甲﹣v乙＝8，故甲的速度比乙的速度快8km/h，故③正確；當(dāng)1.25≤t≤2時，函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（1.25，0）（2，6），設(shè)一次函數(shù)的解析式為s＝kt+b，代入得：，解得：，∴s＝8t﹣10當(dāng)s＝4時，得4＝8t﹣10，解得t＝1.75h由1.75﹣1.25＝0.5h＝30（min），同理當(dāng)2≤t≤2.5時，設(shè)函數(shù)解析式為s＝kt+b將點(diǎn)（2，6）（2.5，0）代入得：，解得：，∴s＝﹣12t+30當(dāng)s＝4時，得4＝﹣12t+30，解得t＝，由﹣1.25＝h＝55min故相遇后，乙又騎行了30min或55min時兩人相距4km，故④正確．故選：D．二．填空題8．（2021秋?丹東期末）如圖1是甲、乙兩個圓柱形容器的軸截面示意圖，乙容器中有一個圓柱形鐵塊立放其中（圓柱形鐵塊的下底面完全落在乙容器底面上），現(xiàn)將甲容器中的水勻速注入乙容器，甲、乙兩個容器中水的深度y（cm）與注水時間x（分鐘）之間的關(guān)系如圖2所示，若乙容器中鐵塊的體積是204cm3，則甲容器的底面積是80cm2．解：∵鐵塊的體積為204cm3，∴鐵塊的底面積為204÷17＝12（cm2），設(shè)甲槽的底面積為m，乙槽的底面積為n，∵“勻速注水”，沒過鐵塊前和沒過鐵塊后注水速度未變，∴前3分鐘和后2分鐘甲槽中流出的水的體積和乙槽中流入的水的體積分別相等可得：∴，解得：m＝80（cm2），故甲槽底面積為80cm2．故答案為：80．9．（2021秋?泰興市期末）如圖，點(diǎn)Q在線段AC上由A向C勻速運(yùn)動，速度為a（cm/s），設(shè)運(yùn)動時間為t（s）．CQ＝y(tǒng)（cm），y與t的函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，2）和（1，6），則a的值為2．解：設(shè)y與t的函數(shù)關(guān)系式解為y＝kt+b，根據(jù)題意，得：，解得，∴y與t的函數(shù)關(guān)系式解為y＝﹣2t+8，故速度為a＝|﹣2|＝2．故答案為：2．10．（2021秋?鼓樓區(qū)校級期末）某手工作坊生產(chǎn)并銷售某種食品，假設(shè)銷售量與產(chǎn)量相等，如圖中的線段AB、OC分別表示每天生產(chǎn)成本y1（單位：元）、收入y2（單位：元）與產(chǎn)量x（單位：千克）之間的函數(shù)關(guān)系．若該手工作坊某一天既不盈利也不虧損，則這天的產(chǎn)量是30千克．解：設(shè)線段OC的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx，則60k＝720，解得：k＝12，∴線段OC的函數(shù)表達(dá)式為y＝12x；設(shè)線段AB的函數(shù)表達(dá)式為y＝mx+n，則：解得：∴線段AB的函數(shù)表達(dá)式為y＝4x+240，解方程組，得，即該手工作坊某一天既不盈利也不虧損，則這天的產(chǎn)量是30千克．故答案為：30．11．（2022春?椒江區(qū)校級期中）在一條筆直的公路上有A、B兩地，甲騎自行車從A地到B地；乙騎自行車從B地到A地，到達(dá)A地后立即按原路返回，如圖是甲、乙兩人離B地的距離y（km）與行駛時間x（h）之間的函數(shù)圖象，若兩人之間保持的距離不超過4km時，能夠用無線對講機(jī)保持聯(lián)系，則甲、乙兩人總共有h可以用無線對講機(jī)保持聯(lián)系．解：x＝0時，甲距離B地40千米，所以，A、B兩地的距離為40千米；由圖可知，40÷4＝10千米/時，乙的速度：40÷2＝20（千米/時）；設(shè)x小時時，甲、乙兩人相距4km，若是相遇前，則10x+20x＝40﹣4，解得x＝1.2；若是相遇后，則10x+20x＝40+4，解得x＝；若是到達(dá)B地前，則10x﹣20（x﹣2）＝4，解得x＝3.6．所以，當(dāng)或3.6≤x≤4時，甲、乙兩人能夠用無線對講機(jī)保持聯(lián)系，故可以用無線對講機(jī)保持聯(lián)系的時長為：＝（h）．故答案為：．12．（2021?商河縣校級模擬）學(xué)校與圖書館在同一條筆直道路上，甲從學(xué)校去圖書館，乙從圖書館回學(xué)校，甲、乙兩人都勻速步行且同時出發(fā)，乙先到達(dá)目的地，兩人之間的距離y（米）與時間t（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示根據(jù)圖象信息知，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（40，1600）．解：2400÷60＝40米/分，2400÷24＝100米/分，100﹣40＝60米/分，2400÷60＝40分，40×40＝1600米，因此點(diǎn)A的坐標(biāo)為（40，1600）故答案為：（40，1600）．13．（2020?重慶）周末，自行車騎行愛好者甲、乙兩人相約沿同一路線從A地出發(fā)前往B地進(jìn)行騎行訓(xùn)練，甲、乙分別以不同的速度勻速騎行，乙比甲早出發(fā)5分鐘．乙騎行25分鐘后，甲以原速的繼續(xù)騎行，經(jīng)過一段時間，甲先到達(dá)B地，乙一直保持原速前往B地．在此過程中，甲、乙兩人相距的路程y（單位：米）與乙騎行的時間x（單位：分鐘）之間的關(guān)系如圖所示，則乙比甲晚12分鐘到達(dá)B地．解：由題意乙的速度為1500÷5＝300（米/分），設(shè)甲的速度為x米/分．則有：7500﹣20x＝2500，解得，x＝250，25分鐘后甲的速度為250×＝400（米/分）．由題意總里程＝250×20+61×400＝29400（米），86分鐘乙的路程為86×300＝25800（米），∴＝12（分鐘）．故答案為：12．三．解答題14．（2022秋?朝陽區(qū)校級月考）甲、乙兩車從A地出發(fā)，沿同一路線駛向B地．甲車先出發(fā)勻速駛向B地，40min后乙出發(fā)，勻速行駛一段時間后，在途中的貨站裝貨耗時半小時，由于滿載貨物，為了行駛安全，速度減少了80km/h，結(jié)果與甲車同時到達(dá)B地，甲乙兩車距A地的路程y（km）與乙車行駛時間x（h）之間的函數(shù)圖象如圖所示．（1）甲的速度是60km/h，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，40）；（2）求乙車滿載貨物后再出發(fā)，距A地的路程y與x間的函數(shù)關(guān)系式；（3）在乙車行駛過程中，當(dāng)甲乙兩車距離為20km時，請直接寫出x的值．解：（1）由圖和已知可得，甲車行駛460km用時為7+＝（小時），∴甲的速度是460÷＝60（km/h），∴乙車出發(fā)時，甲車已經(jīng)行駛了60×＝40（km），∴C（0，40），故答案為：60，（0，40）；（2）設(shè)乙剛開始的速度是vkm/h，則后來的速度為（v﹣80）km/h，4v+（7﹣4.5）×（v﹣80）＝460，解得v＝（km/h），∴4v＝4×＝，∴E（，），設(shè)乙車滿載貨物后再出發(fā)，距A地的路程y與x間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，把E（，），F(xiàn)（7，460）代入得：，解得，∴y＝x+；（3）在點(diǎn)E處，兩車的距離為：×4﹣60×（+）＝（km），∴相距20km不可能在4～4.5小時之間，可能在0～4小時以及4.5～7小時；∵乙剛開始的速度是km/h，∴直線OD的解析式為y＝x（0≤x≤4），根據(jù)題意得：60x+40﹣x＝20或x﹣（60x+40）＝20或x+﹣（60x+40）＝20，解得x＝或x＝或x＝．15．（2022春?石家莊期末）根據(jù)記錄，從地面向上11km以內(nèi)（包含11km），每升高1km，氣溫降低6℃；又知在距離地面11km以上高空，氣溫幾乎不變．若地面氣溫為m（℃），設(shè)距地面的高度為x（km）處的氣溫為y（℃）．（1）請直接寫出距地面的高度在11km以內(nèi)（包含11km）y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）上周日，小敏在乘飛機(jī)從上海飛回石家莊途中，某一時刻，她從機(jī)艙內(nèi)屏幕顯示的相關(guān)數(shù)據(jù)得知，飛機(jī)外氣溫為﹣26℃時，飛機(jī)距離地面的高度為7km．①求：當(dāng)時這架飛機(jī)下方地面的氣溫；②假如飛機(jī)當(dāng)時在距離地面12km的高空，飛機(jī)外的氣溫是多少度呢？解：（1）根據(jù)題意得：y＝m﹣6x（0≤x≤11），∴y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y＝m﹣6x（0≤x≤11）；（2）①將x＝7，y＝﹣26代入y＝m﹣6x，得﹣26＝m﹣42，∴m＝16，∴當(dāng)時地面氣溫為16℃；②∵x＝12＞11，∴y＝16﹣6×11＝﹣50（℃），假如當(dāng)時飛機(jī)距地面12km時，飛機(jī)外的氣溫為﹣50℃．16．（2022?安國市一模）用充電器給某充電時，其屏幕畫面顯示目前電量為20%（如圖1）．經(jīng)測試，在用快速充電器和普通充電器對該充電時，其電量y（單位：%）與充電時間x（單位：h）的函數(shù)圖象分別為圖2中的線段AB、AC．根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）在目前電量20%的情況下，用充電器給該充滿電時，快速充電器比普通充電器少用4小時．（2）求線段AB對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（3）先用普通充電器充電ah后，再改為快速充電器充滿電，﹣共用時3h，請在圖2中畫出電量y（單位：%）與充電時間x（單位：h）的函數(shù)圖象，并標(biāo)注出a所對應(yīng)的值．解：（1）由圖象可知，充滿電時，快速充電器比普通充電器少用6﹣2＝4（小時），故答案為：4；（2）設(shè)線段AB對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b，將（0，20），（2，100）代入得：，解得，∴線段AB對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝40x+20，（0≤x≤2）；（3）根據(jù)題意得：a+（3﹣a）+20＝100，解得a＝1.5，畫出電量y（單位：%）與充電時間x（單位：h）的函數(shù)圖象如下：17．（2021秋?鼓樓區(qū)校級期末）某手工作坊生產(chǎn)并銷售某種食品，假設(shè)銷售量與產(chǎn)量相等，如圖中的線段AB、OC分別表示每天生產(chǎn)成本y1（單位：元）、收入y2（單位：元）與產(chǎn)量x（單位：千克）之間的函數(shù)關(guān)系．（1）分別求出y1、y2與x的函數(shù)表達(dá)式；（2）若該手工作坊某一天既不盈利也不虧損，求這天的產(chǎn)量．解：（1）設(shè)線段AB的函數(shù)表達(dá)式為y1＝mx+n，則：，解得：，∴y1與x的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)1＝4x+240；設(shè)線段OC的函數(shù)表達(dá)式為y2＝kx，則60k＝720，解得：k＝12，∴y2與x的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)2＝12x；（2）解方程組，得：，即該手工作坊某一天既不盈利也不虧損，則這天的產(chǎn)量是30千克．18．（2021秋?郎溪縣期末）某水果店購進(jìn)一批季節(jié)水果，20天銷售完畢，店主將本次銷售情況進(jìn)行了記錄，根據(jù)所記錄的數(shù)據(jù)繪制如下的函數(shù)圖象，其中日銷售量y（千克）與銷售時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系如圖（1）所示，銷售單價p（元/千克）與銷售時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系如圖（2）所示．（銷售額＝銷售單價×銷售量）．（1）從圖（1）可知，第8天日銷售量為16千克，第16天日銷售量為24千克．（2）求第8天和第16天的銷售額；（3）若日銷售量不低于24千克的時間段為“最佳銷售期”，則此次銷售過程中，“最佳銷售期”共有多少天？在此期間銷售單價最高為多少元？解：（1）由圖象可得，第8天日銷售量為：（30÷15）×8＝16（千克），第16天日銷售量為：30﹣[30÷（20﹣15）]×（16﹣15）＝30﹣（30÷5）×1＝30﹣6＝24（千克），故答案為：16，24；（2）由圖（2）可得，第8天的銷售單價為10元/千克，則第8天的銷售額為：10×16＝160（元），當(dāng)10≤x≤20時，設(shè)p與x之間的函數(shù)關(guān)系式為p＝kx+b，∵點(diǎn)（10，10），（20，8）在該函數(shù)圖象上，∴，解得，即當(dāng)10≤x≤20時，p與x之間的函數(shù)關(guān)系式為p＝﹣0.2x+12，當(dāng)x＝16時，p＝﹣0.2×16+12＝8.8，∴第16天的銷售額為：24×8.8＝211.2（元），由上可得，第8天的銷售額是160元，第16天的銷售額是211.2元；（3）根據(jù)題意，若日銷售量不低于24千克，則y≥24，當(dāng)0≤x≤15時，y＝2x，解不等式2x≥24，得x≥12；當(dāng)15＜x≤20時，y＝﹣6x+120，解不等式﹣6x+120≥24，得x≤16；∴當(dāng)12≤x≤16時，y≥24，∵16﹣12+1＝5，∴最佳銷售期共有5天；∵p＝﹣0.2x+12（10≤x≤20）中，﹣0.2＜0，∴p隨x的增大而減小，∵12≤x≤16，∴當(dāng)x＝12時，p取得最大值，此時p＝9.6，答：此次銷售過程中最佳銷售期共有5天，在此期間銷售單價最高為9.6元/千克．19．（2021秋?市南區(qū)期末）甲、乙兩車從A市去往B市，甲比乙早出發(fā)了2個小時，甲到達(dá)B市后停留一段時間返回，乙到達(dá)B市后立即返回．甲車往返的速度都為40千米/時，乙車往返的速度都為20千米/時，如圖是兩車距A市的路程s（千米）與行駛時間t（小時）之間的函數(shù)圖象，請結(jié)合圖象回答下列問題：（1）A、B兩市的距離是120千米，甲到B市后，5小時乙到達(dá)B市；（2）求甲車返回時的路程s（千米）與時間t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系式（10≤t≤13）；（3）甲車從B市開始往回返后，再經(jīng)過幾小時兩車相距15千米？解：（1）由圖可得A、B兩市的距離是40×3＝120km，甲到B市后，再過120÷20﹣3+2＝5小時乙到達(dá)B市；故答案為：120，5；（2）如右圖：∵AB兩地的距離是120km，∴A（3，120），B（10，120），D（13，0）．設(shè)線段BD的解析式為S＝k1t+b1，由題意得：，解得