2023-2024學年廣東省深圳市福田區(qū)耀華實驗學校高考5月考前適應性考試數(shù)學試題

2022-2023學年廣東省深圳市福田區(qū)耀華實驗學校高考5月考前適應性考試數(shù)學試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，函數(shù)在區(qū)間上恰有個極值點，則正實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．2．已知向量與向量平行，，且，則（）A． B．C． D．3．定義：表示不等式的解集中的整數(shù)解之和.若，，，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．4．已知函數(shù)，則下列判斷錯誤的是（）A．的最小正周期為 B．的值域為C．的圖象關于直線對稱 D．的圖象關于點對稱5．已知命題p：若，，則；命題q：，使得”，則以下命題為真命題的是（）A． B． C． D．6．已知，則的取值范圍是（）A．[0，1] B． C．[1，2] D．[0，2]7．偶函數(shù)關于點對稱，當時，，求（）A． B． C． D．8．已知曲線，動點在直線上，過點作曲線的兩條切線，切點分別為，則直線截圓所得弦長為（）A． B．2 C．4 D．9．甲、乙、丙、丁四位同學利用暑假游玩某風景名勝大峽谷，四人各自去景區(qū)的百里絕壁、千丈瀑布、原始森林、遠古村寨四大景點中的一個，每個景點去一人．已知：①甲不在遠古村寨，也不在百里絕壁；②乙不在原始森林，也不在遠古村寨；③“丙在遠古村寨”是“甲在原始森林”的充分條件；④丁不在百里絕壁，也不在遠古村寨．若以上語句都正確，則游玩千丈瀑布景點的同學是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁10．在平面直角坐標系中，將點繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)到點，設直線與軸正半軸所成的最小正角為，則等于()A． B． C． D．11．已知復數(shù)，則的虛部為（）A．－1 B． C．1 D．12．用電腦每次可以從區(qū)間內(nèi)自動生成一個實數(shù)，且每次生成每個實數(shù)都是等可能性的.若用該電腦連續(xù)生成3個實數(shù)，則這3個實數(shù)都小于的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知二項式的展開式中各項的二項式系數(shù)和為512，其展開式中第四項的系數(shù)__________．14．若、滿足約束條件，則的最小值為______.15．已知x，y＞0，且，則x+y的最小值為_____．16．若變量，滿足約束條件，則的最大值為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，.（1）解不等式；（2）若方程有三個解，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）眼保健操是一種眼睛的保健體操，主要是通過按摩眼部穴位，調(diào)整眼及頭部的血液循環(huán)，調(diào)節(jié)肌肉，改善眼的疲勞，達到預防近視等眼部疾病的目的.某學校為了調(diào)查推廣眼保健操對改善學生視力的效果，在應屆高三的全體800名學生中隨機抽取了100名學生進行視力檢查，并得到如圖的頻率分布直方圖.（1）若直方圖中后三組的頻數(shù)成等差數(shù)列，試估計全年級視力在5.0以上的人數(shù)；（2）為了研究學生的視力與眼保健操是否有關系，對年級不做眼保健操和堅持做眼保健操的學生進行了調(diào)查，得到下表中數(shù)據(jù)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯的概率不超過0.005的前提下認為視力與眼保健操有關系？（3）在（2）中調(diào)查的100名學生中，按照分層抽樣在不近視的學生中抽取8人，進一步調(diào)查他們良好的護眼習慣，在這8人中任取2人，記堅持做眼保健操的學生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望.附：0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.87919．（12分）已知橢圓的右焦點為，過作軸的垂線交橢圓于點（點在軸上方），斜率為的直線交橢圓于兩點，過點作直線交橢圓于點，且，直線交軸于點.（1）設橢圓的離心率為，當點為橢圓的右頂點時，的坐標為，求的值.（2）若橢圓的方程為，且，是否存在使得成立？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由.20．（12分）數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，為的前n項和，求證：.21．（12分）已知函數(shù)f（x）ax﹣lnx（a∈R）.（1）若a＝2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）設g（x）＝f（x）1，若函數(shù)g（x）在上有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.22．（10分）某大型公司為了切實保障員工的健康安全，貫徹好衛(wèi)生防疫工作的相關要求，決定在全公司范圍內(nèi)舉行一次普查，為此需要抽驗1000人的血樣進行化驗，由于人數(shù)較多，檢疫部門制定了下列兩種可供選擇的方案.方案①：將每個人的血分別化驗，這時需要驗1000次.方案②：按個人一組進行隨機分組，把從每組個人抽來的血混合在一起進行檢驗，如果每個人的血均為陰性，則驗出的結(jié)果呈陰性，這個人的血只需檢驗一次（這時認為每個人的血化驗次）；否則，若呈陽性，則需對這個人的血樣再分別進行一次化驗，這樣，該組個人的血總共需要化驗次.假設此次普查中每個人的血樣化驗呈陽性的概率為，且這些人之間的試驗反應相互獨立.（1）設方案②中，某組個人的每個人的血化驗次數(shù)為，求的分布列；（2）設，試比較方案②中，分別取2，3，4時，各需化驗的平均總次數(shù)；并指出在這三種分組情況下，相比方案①，化驗次數(shù)最多可以平均減少多少次？（最后結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

先利用向量數(shù)量積和三角恒等變換求出，函數(shù)在區(qū)間上恰有個極值點即為三個最值點，解出，，再建立不等式求出的范圍，進而求得的范圍.【詳解】解：令，解得對稱軸，，又函數(shù)在區(qū)間恰有個極值點，只需解得．故選：．【點睛】本題考查利用向量的數(shù)量積運算和三角恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問題.(1)利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數(shù)關系式化成或的形式;(2)根據(jù)自變量的范圍確定的范圍，根據(jù)相應的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值或參數(shù)范圍.2．B【解析】

設，根據(jù)題意得出關于、的方程組，解出這兩個未知數(shù)的值，即可得出向量的坐標.【詳解】設，且，，由得，即，①，由，②，所以，解得，因此，.故選：B.【點睛】本題考查向量坐標的求解，涉及共線向量的坐標表示和向量數(shù)量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中等題.3．D【解析】

由題意得，表示不等式的解集中整數(shù)解之和為6.當時，數(shù)形結(jié)合（如圖）得的解集中的整數(shù)解有無數(shù)多個，解集中的整數(shù)解之和一定大于6.當時，，數(shù)形結(jié)合（如圖），由解得.在內(nèi)有3個整數(shù)解，為1，2，3，滿足，所以符合題意.當時，作出函數(shù)和的圖象，如圖所示.若，即的整數(shù)解只有1，2，3.只需滿足，即，解得，所以.綜上，當時，實數(shù)的取值范圍是.故選D.4．D【解析】

先將函數(shù)化為，再由三角函數(shù)的性質(zhì)，逐項判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】可得對于A，的最小正周期為,故A正確；對于B，由，可得，故B正確；對于C，正弦函數(shù)對稱軸可得：解得：，當，，故C正確；對于D，正弦函數(shù)對稱中心的橫坐標為：解得：若圖象關于點對稱，則解得：，故D錯誤；故選：D.【點睛】本題考查三角恒等變換，三角函數(shù)的性質(zhì)，熟記三角函數(shù)基本公式和基本性質(zhì)，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題.5．B【解析】

先判斷命題的真假,進而根據(jù)復合命題真假的真值表,即可得答案.【詳解】，，因為，，所以，所以，即命題p為真命題；畫出函數(shù)和圖象，知命題q為假命題,所以為真.故選:B.【點睛】本題考查真假命題的概念,以及真值表的應用,解題的關鍵是判斷出命題的真假,難度較易.6．D【解析】

設，可得，構(gòu)造（）22，結(jié)合，可得，根據(jù)向量減法的模長不等式可得解.【詳解】設，則，，∴（）2?2||22＝4，所以可得：，配方可得，所以，又則[0，2]．故選：D．【點睛】本題考查了向量的運算綜合，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.7．D【解析】

推導出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，由此可得出，代值計算即可.【詳解】由于偶函數(shù)的圖象關于點對稱，則，，，則，所以，函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，由于當時，，則.故選：D.【點睛】本題考查利用函數(shù)的對稱性和奇偶性求函數(shù)值，推導出函數(shù)的周期性是解答的關鍵，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.8．C【解析】

設，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，求出切線斜率，進而得到切線方程，將點坐標代入切線方程，抽象出直線方程，且過定點為已知圓的圓心，即可求解.【詳解】圓可化為.設，則的斜率分別為，所以的方程為，即，，即，由于都過點，所以，即都在直線上，所以直線的方程為，恒過定點，即直線過圓心，則直線截圓所得弦長為4.故選:C.【點睛】本題考查直線與圓位置關系、直線與拋物線位置關系，拋物線兩切點所在直線求解是解題的關鍵，屬于中檔題.9．D【解析】

根據(jù)演繹推理進行判斷．【詳解】由①②④可知甲乙丁都不在遠古村寨，必有丙同學去了遠古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景點的同學是丁．故選：D．【點睛】本題考查演繹推理，掌握演繹推理的定義是解題基礎．10．A【解析】

設直線直線與軸正半軸所成的最小正角為，由任意角的三角函數(shù)的定義可以求得的值，依題有,則，利用誘導公式即可得到答案.【詳解】如圖，設直線直線與軸正半軸所成的最小正角為因為點在角的終邊上，所以依題有,則，所以，故選：A【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義及誘導公式，屬于基礎題.11．A【解析】

分子分母同乘分母的共軛復數(shù)即可.【詳解】，故的虛部為.故選：A.【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算，考查學生運算能力，是一道容易題.12．C【解析】

由幾何概型的概率計算，知每次生成一個實數(shù)小于1的概率為，結(jié)合獨立事件發(fā)生的概率計算即可.【詳解】∵每次生成一個實數(shù)小于1的概率為.∴這3個實數(shù)都小于1的概率為.故選：C.【點睛】本題考查獨立事件同時發(fā)生的概率，考查學生基本的計算能力，是一道容易題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

先令可得其展開式各項系數(shù)的和，又由題意得，解得，進而可得其展開式的通項，即可得答案.【詳解】令，則有，解得，則二項式的展開式的通項為，令，則其展開式中的第4項的系數(shù)為，故答案為：【點睛】此題考查二項式定理的應用，解題時需要區(qū)分展開式中各項系數(shù)的和與各二項式系數(shù)和，屬于基礎題.14．【解析】

作出不等式組所表示的可行域，利用平移直線的方法找出使得目標函數(shù)取得最小時對應的最優(yōu)解，代入目標函數(shù)計算即可.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立，解得，即點，平移直線，當直線經(jīng)過可行域的頂點時，該直線在軸上的截距最小，此時取最小值，即.故答案為：.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，考查線性目標函數(shù)的最值問題，考查數(shù)形結(jié)合思想的應用，屬于基礎題.15．1【解析】

處理變形x+y＝x（）+y結(jié)合均值不等式求解最值.【詳解】x，y＞0，且，則x+y＝x（）+y1，當且僅當時取等號，此時x＝4，y＝2，取得最小值1．故答案為：1【點睛】此題考查利用均值不等式求解最值，關鍵在于熟練掌握均值不等式的適用條件，注意考慮等號成立的條件.16．【解析】

根據(jù)約束條件可以畫出可行域，從而將問題轉(zhuǎn)化為直線在軸截距最大的問題的求解，通過數(shù)形結(jié)合的方式可確定過時，取最大值，代入可求得結(jié)果.【詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：將化為，則最大時，直線在軸截距最大；由直線平移可知，當過時，在軸截距最大，由得：，.故答案為：.【點睛】本題考查線性規(guī)劃中最值問題的求解，關鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為直線在軸截距的最值的求解問題，通過數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）.【解析】

（1）對分三種情況討論，分別去掉絕對值符號，然后求解不等式組，再求并集即可得結(jié)果;（2）.作出函數(shù)的圖象,當直線與函數(shù)的圖象有三個公共點時，方程有三個解，由圖可得結(jié)果.【詳解】（1）不等式，即為.當時，即化為，得，此時不等式的解集為，當時，即化為，解得，此時不等式的解集為.綜上，不等式的解集為.（2）即.作出函數(shù)的圖象如圖所示，當直線與函數(shù)的圖象有三個公共點時，方程有三個解，所以.所以實數(shù)的取值范圍是.【點睛】絕對值不等式的解法：法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；法二：利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想．18．（1）（2）能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為視力與眼保健操有關系（3）詳見解析【解析】

（1）由題意可計算后三組的頻數(shù)的總數(shù)，由其成等差數(shù)列可得后三組頻數(shù)，可得視力在5.0以上的頻率，可得全年級視力在5.0以上的的人數(shù)；（2）由題中數(shù)據(jù)計算的值，對照臨界值表可得答案；（3）由題意可計算出這8人中不做眼保健操和堅持做眼保健操的分別有2人和6人，可得X可取0，1，2，分別計算出其概率，列出分布列，可得其數(shù)學期望.【詳解】解：（1）由圖可知，第一組有3人，第二組7人，第三組27人，因為后三組的頻數(shù)成等差數(shù)列，共有（人）所以后三組頻數(shù)依次為24，21，18，所以視力在5.0以上的頻率為0.18，故全年級視力在5.0以上的的人數(shù)約為人（2），因此能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為視力與眼保健操有關系.（3）調(diào)查的100名學生中不近視的共有24人，從中抽取8人，抽樣比為，這8人中不做眼保健操和堅持做眼保健操的分別有2人和6人，X可取0，1，2，，X的分布列X012PX的數(shù)學期望.【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖，獨立性檢測及離散型隨機變量的期望與方差等相關知識，考查學生分析數(shù)據(jù)與處理數(shù)據(jù)的能力，屬于中檔題.19．（1）；（2）不存在，理由見解析【解析】

（1）寫出，根據(jù)，斜率乘積為-1，建立等量關系求解離心率；（2）寫出直線AB的方程，根據(jù)韋達定理求出點B的坐標，計算出弦長，根據(jù)垂直關系同理可得，利用等式即可得解.【詳解】（1）由題可得，過點作直線交橢圓于點，且，直線交軸于點.點為橢圓的右頂點時，的坐標為，即，，化簡得：，即，解得或（舍去），所以；（2）橢圓的方程為，由（1）可得，聯(lián)立得：，設B的橫坐標，根據(jù)韋達定理，即，，所以，同理可得若存在使得成立，則，化簡得：，，此方程無解，所以不存在使得成立.【點睛】此題考查求橢圓離心率，根據(jù)直線與橢圓的位置關系解決弦長問題，關鍵在于熟練掌握解析幾何常用方法，尤其是韋達定理在解決解析幾何問題中的應用.20．（1）（2）證明見解析【解析】

（1）利用與的關系即可求解.（2）利用裂項求和法即可求解.【詳解】解析：（1）當時，；當，，可得，又∵當時也成立，；（2），【點睛】本題主要考查了與的關系、裂項求和法，屬于基礎題.21．（1）單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）（2）（