第3講解三角形(原卷版+解析)

第3講解三角形高考預(yù)測(cè)一：三角形中的求值問(wèn)題類(lèi)型一：三角恒等變換1．在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知．（1）求的值；（2）若，，求的面積．2．在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，已知，．（Ⅰ）求角的大?。唬á颍┤?，，求的面積．3．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．設(shè)．（1）求；（2）若，求．4．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并作答．問(wèn)題：的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，___，求和．類(lèi)型二：幾何圖形5．在中，，，點(diǎn)在邊上，，．（1）求；（2）求的面積．6．如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上，且，．（1）求；（2）求，的長(zhǎng)．7．如圖，在中，，，點(diǎn)在線段上．（1）若，求的長(zhǎng)；（2）若，的面積為，求的值．8．如圖，在平面四邊形中，，，．（1）求的值；（2）若，，求的長(zhǎng)．9．如圖，在平面四邊形中，，，，．（1）求；（2）若，求．10．在平面四邊形中，的面積為2．（1）求的長(zhǎng)；（2）求的面積．11．如圖，在平面四邊形中，，，．（1）當(dāng)四邊形內(nèi)接于圓時(shí)，求四邊形的面積；（2）當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求對(duì)角線的長(zhǎng)．12．如圖所示，已知圓內(nèi)接四邊形，記．（1）求證：；（2）若，，，，求的值及四邊形的面積．13．如圖，角，，，為平面四邊形的四個(gè)內(nèi)角，，，．（1）若，，求；（2）若，，求．14．某市欲建一個(gè)圓形公園，規(guī)劃設(shè)立，，，四個(gè)出入口（在圓周上），并以直路順次連通，其中，，的位置已確定，，（單位：百米），記，且已知圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，如圖，請(qǐng)你為規(guī)劃部門(mén)解決以下問(wèn)題．（1）如果，求四邊形的區(qū)域面積；（2）如果圓形公園的面積為萬(wàn)平方米，求的值．類(lèi)型三：向量問(wèn)題15．銳角的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，向量與平行．（1）求角；（2）若，求周長(zhǎng)的取值范圍．16．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．已知，，．求：（1）和的值；（2）的值．17．中，、、分別是三內(nèi)角、、的對(duì)邊，若．解答下列問(wèn)題：（1）求證：；（2）求的值；（3）若，求的面積．高考預(yù)測(cè)二：三角形中的取值范圍或最值類(lèi)型一：化為角的關(guān)系18．設(shè)是銳角三角形，，，分別是內(nèi)角，，所對(duì)邊長(zhǎng)，．（1）求角的大?。唬?）求的取值范圍．19．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，、、成等差數(shù)列．（1）若，，求的值；（2）設(shè)，求的最大值．20．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，角，，依次成等差數(shù)列．（1）若，試判斷的形狀；（2）若為鈍角三角形，且，試求的取值范圍．類(lèi)型二：周長(zhǎng)或邊長(zhǎng)的范圍21．在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，且，，依次成等差數(shù)列．（1）求角的大?。唬?）若，求周長(zhǎng)的取值范圍．22．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知．（1）求角的大小；（2）若，求的取值范圍．23．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．（1）求角的大??；（2）若為銳角三角形，其外接圓的半徑為，求的周長(zhǎng)的取值范圍．類(lèi)型三：面積的范圍24．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿足．（1）求角的大小；（2）若，求面積的最大值．25．在內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）求角；（2）若，求面積的最大值．26．的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為，，．已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．27．已知圓的半徑為為常數(shù)），它的內(nèi)接三角形滿足成立，其中，，分別為，，的對(duì)邊，（1）求角；（2）求三角形面積的最大值．第3講解三角形高考預(yù)測(cè)一：三角形中的求值問(wèn)題類(lèi)型一：三角恒等變換1．在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知．（1）求的值；（2）若，，求的面積．【解析】解：（1），，，，，；（2）由（1）可得，由余弦定理可得，，解得，則，，，．2．在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，已知，．（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若，，求的面積．【解析】（本題滿分為12分）解：（Ⅰ）．，分可得：，可得：，分中，，可得，，，可得：分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，，可得：，，分，分，由正弦定理，可得：，分分（注：解法較多，酌情給分，直接的也給分）3．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．設(shè)．（1）求；（2）若，求．【解析】解：（1）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．．，由正弦定理得：，，，．（2），，由正弦定理得，解得，，，．4．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并作答．問(wèn)題：的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，___，求和．【解析】解：若選①，，由正弦定理可得，則，由余弦定理可得，又，，，，，，，，．若選②，，由正弦定理可得，，，，，，，，，，，，，．若選③，由正弦定理可得，，，或，，，，，，，，．類(lèi)型二：幾何圖形5．在中，，，點(diǎn)在邊上，，．（1）求；（2）求的面積．【解析】解：（1）由，可得，則．（2）在中，由正弦定理可得，即，解得，所以，所以的面積．6．如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上，且，．（1）求；（2）求，的長(zhǎng)．【解析】解：（1）在中，因?yàn)?，所以，所以．?）在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得：．所以．7．如圖，在中，，，點(diǎn)在線段上．（1）若，求的長(zhǎng)；（2）若，的面積為，求的值．【解析】解：（1）中，，．，．中，由正弦定理可得，；（2）設(shè)，則，，的面積為，，，由正弦定理可得，．，，，．8．如圖，在平面四邊形中，，，．（1）求的值；（2）若，，求的長(zhǎng)．【解析】解：，，（1）在中，由余弦定理，得．；（2）設(shè)，則，，在中，由正弦定理，，解得：．即的長(zhǎng)為3．9．如圖，在平面四邊形中，，，，．（1）求；（2）若，求．【解析】解：（1）中，，，，由正弦定理得，即，解得；（2）由，所以，在中，由余弦定理得：，解得．10．在平面四邊形中，的面積為2．（1）求的長(zhǎng)；（2）求的面積．【解析】解：（1）由已知，所以，又，所以，在中，由余弦定理得：，所以．（2）由，得，所以，又，，所以為等腰三角形，即，在中，由正弦定理得：，所以．11．如圖，在平面四邊形中，，，．（1）當(dāng)四邊形內(nèi)接于圓時(shí)，求四邊形的面積；（2）當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求對(duì)角線的長(zhǎng)．【解析】（本題滿分為14分）解：（1）連接，由余弦定理可得：，，可得：，分又四邊形內(nèi)接于圓，則又，所以：，化簡(jiǎn)可得：，又，所以，，分所以，分（2）設(shè)四邊形的面積為，則，可得：，分可得：，可得：，平方后相加，可得：，即：，分又，當(dāng)時(shí)，有最大值，即有最大值．此時(shí)，，代入，可得：，又，可得：，分在中，可得：，可得．分12．如圖所示，已知圓內(nèi)接四邊形，記．（1）求證：；（2）若，，，，求的值及四邊形的面積．【解析】解：（1）．（2）由于：，，，，由題知：，可得：，則，，則，則，．13．如圖，角，，，為平面四邊形的四個(gè)內(nèi)角，，，．（1）若，，求；（2）若，，求．【解析】解：（1）在中，，，，中，由正弦定理，．（2）在中，，在中，，，，可得：，可得：，可得，則，．14．某市欲建一個(gè)圓形公園，規(guī)劃設(shè)立，，，四個(gè)出入口（在圓周上），并以直路順次連通，其中，，的位置已確定，，（單位：百米），記，且已知圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，如圖，請(qǐng)你為規(guī)劃部門(mén)解決以下問(wèn)題．（1）如果，求四邊形的區(qū)域面積；（2）如果圓形公園的面積為萬(wàn)平方米，求的值．【解析】解：（1）連結(jié)，可得四邊形的面積為：，四邊形內(nèi)接于圓，，可得．．在中，由余弦定理可得：，同理可得：在中，，，結(jié)合，得，解得，，，代入式，可得四邊形面積．（2）設(shè)圓形公園的半徑為，則面積為萬(wàn)平方米，可得：，可得：，由正弦定理，可得：，由余弦定理可得：，，兩邊平方，整理可得：，，，整理可得：，解得：，或．類(lèi)型三：向量問(wèn)題15．銳角的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，向量與平行．（1）求角；（2）若，求周長(zhǎng)的取值范圍．【解析】解：（1）因?yàn)椋?，所以：，由正弦定理，得：，又因?yàn)椋?，從而可得：，由于：，所以：．?）因?yàn)椋河烧叶ɡ碇傻茫喝切沃荛L(zhǎng)，又因?yàn)椋?，所以：，因?yàn)椋簽殇J角三角形，所以：，，，所以：．16．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．已知，，．求：（1）和的值；（2）的值．【解析】解：（1），，，可得，即為；，即為，解得，或，，由，可得，；（2）由余弦定理可得，，，則．17．中，、、分別是三內(nèi)角、、的對(duì)邊，若．解答下列問(wèn)題：（1）求證：；（2）求的值；（3）若，求的面積．【解析】證明：（1）因，故，即．由正弦定理，得，故，因?yàn)椋?，故．?分）（2）因，故，由余弦定理得，即；又由（1）得，故，故．（10分）（3）由得，即，故，因，故，故是正三角形，故面積．（16分）高考預(yù)測(cè)二：三角形中的取值范圍或最值類(lèi)型一：化為角的關(guān)系18．設(shè)是銳角三角形，，，分別是內(nèi)角，，所對(duì)邊長(zhǎng)，．（1）求角的大??；（2）求的取值范圍．【解析】解：（1）由正弦定理得：，為銳角，故，，而為銳角，．（2），，．是銳角三角形，，，，，．．19．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，、、成等差數(shù)列．（1）若，，求的值；（2）設(shè)，求的最大值．【解析】解：（1）、、成等差數(shù)列，，，，，，，；（2），，，，的最大值是．20．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，角，，依次成等差數(shù)列．（1）若，試判斷的形狀；（2）若為鈍角三角形，且，試求的取值范圍．【解析】解：（1），．，，依次成等差數(shù)列，，．由余弦定理，，．為正三角形．（2）要求的式子．，，，故．代數(shù)式的取值范圍是，．類(lèi)型二：周長(zhǎng)或邊長(zhǎng)的范圍21．在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，且，，依次成等差數(shù)列．（1）求角的大小；（2）若，求周長(zhǎng)的取值范圍．【解析】解：（1），，成等差數(shù)列，．又，；（2）在中，由正弦定理，，的周長(zhǎng)．又，．周長(zhǎng)的取值范圍，．22．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知．（1）求角的大?。唬?）若，求的取值范圍．【解析】解：（1）由已知得：，即，，，即，又為三角形的內(nèi)角，則；（2），即，，由余弦定理得：，即，，，則．23．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．（1）求角的大?。唬?）若為銳角三角形，其外接圓的半徑為，求的周長(zhǎng)的取值范圍．【解析】解：（1）中，由，得，即；所以；又，所以；（2）由（1）知，且外接圓的半徑為，由正弦定理得，；由正弦定理得；所以；，所以；又為銳角三角形，則且，又，則，所以；所以；所以，即周長(zhǎng)的取值范圍是，．類(lèi)型三：面積的范圍24．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿足．（1）求角的大??；（2）若，求面積的最大值．【解析】解：（1），，由正弦定理，得：．整理得．．在中，．，．（2）由余弦定理，．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”．三角形的面積．三角形面積的最大值為．25．在內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）求角；（2）若，求面積的最大值．【解析】解：（1），根據(jù)正弦定理，得①，．②，比較①②，可得，即，結(jié)合為三角形的內(nèi)角，可得；（2）中，，，根據(jù)余弦定理，可得，化簡(jiǎn)可得，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．面積，綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，面積的最大值為．26．的內(nèi)角、、