高考數(shù)學一輪復習講練測(新教材新高考)專題7.6數(shù)學歸納法專題練習（學生版+解析）

專題7.6數(shù)學歸納法練基礎練基礎1．（2021·全國高三專題練習（理））用數(shù)學歸納法證明等式時，從到等式左邊需增添的項是（）A．B．C．D．2．（2020·全國高三專題練習）已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學歸納法證明1-+…+=2時，若已假設n=k(k≥2，k為偶數(shù))時命題成立，則還需要用歸納假設證（）A．n=k+1時等式成立 B．n=k+2時等式成立C．n=2k+2時等式成立 D．n=2(k+2)時等式成立3．（2020·全國高三專題練習（理））用數(shù)學歸納法證明不等式“1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n≥2)”時，由n＝k(k≥2)時不等式成立，推證n＝k＋1時，左邊應增加的項數(shù)是（）A．2k－1 B．2k－1C．2k D．2k＋14．（2021·全國高三專題練習（理））用數(shù)學歸納法證明不等式時，可將其轉化為證明（）A．B．C．D．5．（2019·浙江高二月考）利用數(shù)學歸納法證明“”的過程中，由假設“”成立，推導“”也成立時，左邊應增加的項數(shù)是（）A． B． C． D．6．（2020·上海徐匯區(qū)·高三一模）用數(shù)學歸納法證明能被整除時，從到添加的項數(shù)共有__________________項（填多少項即可）．7.（2019·湖北高考模擬（理））已知正項數(shù)列滿足，前項和滿足，則數(shù)列的通項公式為______________．8.（2019屆江蘇省揚州市儀征中學摸底）已知正項數(shù)列an中，a1=1,9.（2021·全國高三專題練習）數(shù)列滿足.（1）計算，并猜想的通項公式；（2）用數(shù)學歸納法證明（1）中的猜想.10．（2021·全國高三專題練習（理））已知數(shù)列{an}滿足：，點在直線上．（1）求的值，并猜想數(shù)列{an}的通項公式；（2）用數(shù)學歸納法證明（1）中你的猜想．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·全國）已知數(shù)列滿足，，則當時，下列判斷一定正確的是（）A． B．C． D．2．（2021·浙江高三專題練習）已知數(shù)列，滿足，，則（）A． B．C． D．3．（2020·浙江省桐廬中學）數(shù)列滿足，，則以下說法正確的個數(shù)（）①；②；③對任意正數(shù)，都存在正整數(shù)使得成立；④.A．1 B．2 C．3 D．44．（2021·全國高三其他模擬（理））已知數(shù)列滿足：，，前項和為（參考數(shù)據(jù)：，，則下列選項錯誤的是（）.A．是單調(diào)遞增數(shù)列，是單調(diào)遞減數(shù)列B．C．D．5．（2021·上海市建平中學高三開學考試）有限集的全部元素的積稱為該數(shù)集的“積數(shù)”，例如的“積數(shù)”為2，的“積數(shù)”為6，的“積數(shù)”為，則數(shù)集的所有非空子集的“積數(shù)”的和為___________.6．（2021·浙江高三期末）已知數(shù)列滿足，前項和為，若，且對任意的，均有，，則_______；______.7．（2020·江蘇南通·高三其他）數(shù)列的前n項和為，記，數(shù)列滿足，，且數(shù)列的前n項和為．（1）請寫出，，滿足的關系式，并加以證明；（2）若數(shù)列通項公式為，證明：．8.（2020屆浙江省“山水聯(lián)盟”高三下學期開學）已知等比數(shù)列的公比，且，是，的等差中項，數(shù)列滿足：數(shù)列的前項和為．（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）數(shù)列滿足：，，證明9．（2020屆浙江省嘉興市3月模擬）設數(shù)列的前項和為，已知，，成等差數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，，證明：，．10.已知點Pn(an,bn)滿足（1）求過點P1（2）試用數(shù)學歸納法證明：對于n∈N?，點Pn練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2020·全國高考真題（理））設數(shù)列{an}滿足a1=3，．（1）計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項和Sn．2.（2017浙江）已知數(shù)列滿足：，．證明：當時（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．3．(湖北省高考真題)已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，，e為自然對數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并比較與e的大??；（Ⅱ）計算，，，由此推測計算的公式，并給出證明；（Ⅲ）令，數(shù)列，的前項和分別記為,,證明：．4.（2021·全國高三專題練習）設數(shù)列{an}滿足a1=3，．（1）計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項和Sn．5.(江蘇省高考真題)已知函數(shù)，設為的導數(shù)，．（Ⅰ）求的值；（2）證明：對任意的，等式成立．6.（2021·上海普陀區(qū)·高三其他模擬）如圖，曲線與直線相交于，作交軸于，作交曲線于，……，以此類推.（1）寫出點和的坐標；（2）猜想的坐標，并用數(shù)學歸納法加以證明.專題7.6數(shù)學歸納法練基礎練基礎1．（2021·全國高三專題練習（理））用數(shù)學歸納法證明等式時，從到等式左邊需增添的項是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分別寫出和時，等式左邊的表達式，比較2個式子，可得出答案.【詳解】當時，左邊，共個連續(xù)自然數(shù)相加，當時，左邊，所以從到，等式左邊需增添的項是.故選：C.2．（2020·全國高三專題練習）已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學歸納法證明1-+…+=2時，若已假設n=k(k≥2，k為偶數(shù))時命題成立，則還需要用歸納假設證（）A．n=k+1時等式成立 B．n=k+2時等式成立C．n=2k+2時等式成立 D．n=2(k+2)時等式成立【答案】B【解析】直接利用數(shù)學歸納法的證明方法，判斷選項即可．【詳解】解：由數(shù)學歸納法的證明步驟可知，假設為偶數(shù)）時命題為真，則還需要用歸納假設再證下一個偶數(shù)，即時等式成立，不是，因為是偶數(shù)，是奇數(shù)，故選：．3．（2020·全國高三專題練習（理））用數(shù)學歸納法證明不等式“1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n≥2)”時，由n＝k(k≥2)時不等式成立，推證n＝k＋1時，左邊應增加的項數(shù)是（）A．2k－1 B．2k－1C．2k D．2k＋1【答案】C【解析】根據(jù)數(shù)學歸納法、不等式特點知有左側，有左側，即可判斷增加的項數(shù).【詳解】時，左邊=，而n＝k＋1時，左邊＝，增加了，共(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k項，故選：C.4．（2021·全國高三專題練習（理））用數(shù)學歸納法證明不等式時，可將其轉化為證明（）A．B．C．D．【答案】B【解析】各選項左側一樣，要轉化證明不等式只需右端的部分小于，利用排除法即可.【詳解】根據(jù)放縮法證明不等式，首先排除A，C；D選項當時，左端值為，右端為，不等式不成立，故只要證明B成立，原不等式即成立.故選：B.5．（2019·浙江高二月考）利用數(shù)學歸納法證明“”的過程中，由假設“”成立，推導“”也成立時，左邊應增加的項數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用數(shù)學歸納法證明“”的過程中，假設“”成立;當時，左邊為故增加的項數(shù)為項.故答案為：C.6．（2020·上海徐匯區(qū)·高三一模）用數(shù)學歸納法證明能被整除時，從到添加的項數(shù)共有__________________項（填多少項即可）．【答案】5【解析】分別寫出和時的對應的結果，再比較差異，得到答案.【詳解】當時，原式為：，當時，原式為，比較后可知多了，共5項.故答案為：57.（2019·湖北高考模擬（理））已知正項數(shù)列滿足，前項和滿足，則數(shù)列的通項公式為______________．【答案】【解析】當時，；當時，；當時，；當時，，猜想得，故，下面用數(shù)學歸納法證明：①，滿足，②假設時，結論成立，即，可得，則，，也滿足，結合①②可知，，故答案為．8.（2019屆江蘇省揚州市儀征中學摸底）已知正項數(shù)列an中，a1=1,【答案】見解析.【解析】當n=1時，a2=1+a11+a假設n=k（k∈N?）時，ak<ak+2?=a所以，n=k+1時，不等式成立．綜上所述，不等式an9.（2021·全國高三專題練習）數(shù)列滿足.（1）計算，并猜想的通項公式；（2）用數(shù)學歸納法證明（1）中的猜想.【答案】(1)；；；.(2)證明見解析.【詳解】分析：（1）將n進行賦值，分別求得前三項的數(shù)值，猜想歸納處通項；（2）利用數(shù)學歸納法的證明步驟，證明猜想即可.詳解：（1）當時，，∴；當時，，∴；當時，，∴；由此猜想；（2）證明：①當時，結論成立，②假設（，且）時結論成立，即，當時，，∴，∴，∴當時結論成立，由①②可知對于一切的自然數(shù)，成立.10．（2021·全國高三專題練習（理））已知數(shù)列{an}滿足：，點在直線上．（1）求的值，并猜想數(shù)列{an}的通項公式；（2）用數(shù)學歸納法證明（1）中你的猜想．【答案】（1），，；；（2）證明見解析.【解析】（1）先將點坐標代入直線方程，得到遞推關系，再依次求出前幾項，猜想通項公式；（2）結合遞推關系，用數(shù)學歸納法證明.【詳解】(1)點在直線上可知，數(shù)列滿足：，

，．可猜得．

(2)當時，成立，

假設當時，成立，則當時，成立，

就是說，猜想正確；綜上，．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·全國）已知數(shù)列滿足，，則當時，下列判斷一定正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)特殊值法，分別令，，即可判斷ABD錯誤；再由數(shù)學歸納法證明C選項正確.【詳解】因為數(shù)列滿足，，若，則，不滿足，故A錯誤；若，則，，，不滿足，故D錯誤；又此時，不滿足，故B錯誤；因為，所以，當且僅當，即時，等號成立；構造函數(shù)，，，所以，則在上顯然恒成立，所以在上單調(diào)遞增；因此在上單調(diào)遞增，所以，猜想，對任意恒成立；下面用數(shù)學歸納法證明：（1）當時，，顯然成立；（2）假設當時，不等式成立，即恒成立；則時，，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增；所以，即成立；由（1）（2）可得；，對任意恒成立；故C正確.故選：C.2．（2021·浙江高三專題練習）已知數(shù)列，滿足，，則（）A． B．C． D．【答案】B【解析】轉化條件為，令，通過導數(shù)可得單調(diào)遞增，通過數(shù)學歸納法可證明如果，則，再令，通過導數(shù)證明后，適當放縮可得，進而可證明，即可得解.【詳解】因為，所以，令，則，當時，，單調(diào)遞增，由題意，，如果，則，設，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，因為，所以，所以，所以對于任意的，均有，所以.故選：B.3．（2020·浙江省桐廬中學）數(shù)列滿足，，則以下說法正確的個數(shù)（）①；②；③對任意正數(shù)，都存在正整數(shù)使得成立；④.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】利用二次函數(shù)的性質及遞推關系得，然后作差，可判斷①，已知等式變形為，求出平方和可得②成立，利用簡單的放縮可得，可判斷③，利用數(shù)學歸納法思想判斷④．【詳解】，若，則，∴，∴，①正確；由已知，∴，②正確；由及①得，，∴，顯然對任意的正數(shù)，在在正整數(shù)，使得，此時成立，③正確；(i)已知成立，(ii)假設，則，又，即，∴，由數(shù)學歸納法思想得④正確．∴4個命題都正確．故選：D．4．（2021·全國高三其他模擬（理））已知數(shù)列滿足：，，前項和為（參考數(shù)據(jù)：，，則下列選項錯誤的是（）.A．是單調(diào)遞增數(shù)列，是單調(diào)遞減數(shù)列B．C．D．【答案】C【解析】設，則有，，，構建，求導分析可知導函數(shù)恒大于零，即數(shù)列，都是單調(diào)數(shù)列，分別判定，，即得單調(diào)性，數(shù)列與的單調(diào)性一致，可判定A選項正確；B、C選項利用分析法證明，可知B正確，C錯誤；D選項利用數(shù)學歸納法證分兩邊證，即可證得.【詳解】∵，，∴，，，設，，，則，令，則，∴單調(diào)遞增，將，看作是函數(shù)圖象上兩點，則，∴數(shù)列，都是單調(diào)數(shù)列，，同理，，，即，，∴單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，而數(shù)列與的單調(diào)性一致，∴是單調(diào)遞增數(shù)列，是單調(diào)遞減數(shù)列，A正確；由得，要證，即證，即，即證，也即要證，等價于，顯然時，，時，，故成立，∴不等式成立．B正確；欲證，只需證，即即，顯然成立，故，所以，故C選項錯誤；欲證，因單調(diào)性一致則只需證，只需證因為，若，則；又因為，若，則，由數(shù)學歸納法有，則成立故D選項正確。故選：C5．（2021·上海市建平中學高三開學考試）有限集的全部元素的積稱為該數(shù)集的“積數(shù)”，例如的“積數(shù)”為2，的“積數(shù)”為6，的“積數(shù)”為，則數(shù)集的所有非空子集的“積數(shù)”的和為___________.【答案】1010【解析】先利用數(shù)學歸納法證明一個結論：對于有限非空數(shù)集，積數(shù)和，由此即可計算得到答案.【詳解】先利用數(shù)學歸納法證明一個結論：對于有限非空數(shù)集，積數(shù)和當時，，成立；假設時，當時，綜上可得，，則數(shù)集的所有非空子集的“積數(shù)”的和為：故答案為：1010.6．（2021·浙江高三期末）已知數(shù)列滿足，前項和為，若，且對任意的，均有，，則_______；______.【答案】12146【解析】由遞推關系計算出，再計算出，然后可以計算，歸納出的通項公式（可用數(shù)學歸納法證明），求得和．【詳解】因為，，由已知，，，，，，，，，歸納結論，，證明：（1），由上面知已經(jīng)成立；假設時，假設成立，即，，則，，，由數(shù)學歸納法知，，對一切成立．．故答案為：1；2146．7．（2020·江蘇南通·高三其他）數(shù)列的前n項和為，記，數(shù)列滿足，，且數(shù)列的前n項和為．（1）請寫出，，滿足的關系式，并加以證明；（2）若數(shù)列通項公式為，證明：．【答案】（1），證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1），，之間滿足的關系式是：，證明如下：當時，，所以成立，假設當時，成立，即，當時，，所以成立，所以成立.（2）由（1）得，即，因為，所以，當時，，成立；假設當時，成立，，當時，，所以當時，不等式成立，所以.證畢.8.（2020屆浙江省“山水聯(lián)盟”高三下學期開學）已知等比數(shù)列的公比，且，是，的等差中項，數(shù)列滿足：數(shù)列的前項和為．（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）數(shù)列滿足：，，證明【答案】（1），；（2）詳見解析.【解析】（1）由題意，得，即，解得或，已知故．，．當時，，當時，，當時，滿足上式，，．（2）法1．，，累加得當，，當，∴法2．先用數(shù)學歸納法證明當，．①當時，，左式>右式，不等式成立．②假設時，不等式成立，即當時，，因為在上單調(diào)遞增，由，得，即，可得，不等式也成立．③由①②得證當，．.9．（2020屆浙江省嘉興市3月模擬）設數(shù)列的前項和為，已知，，成等差數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，，證明：，．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）因為，，成等差數(shù)列，即，當時，，兩式相減得，所以是公比為2的等比數(shù)列，即，即，由，得，所以的通項公式．（2）方法一（放縮法）：因為，，所以，當時，所以，當時，，取到“”號，綜上所述，，方法二（數(shù)學歸納法）：因為，，所以，當時，左邊，右邊，原不等式成立；假設當時，原不等式成立，即，那么，當時，左邊，即時也成立，由此可知，原不等式對于任意的均成立．10.已知點Pn(an,bn)滿足（1）求過點P1（2）試用數(shù)學歸納法證明：對于n∈N?，點Pn【答案】（1）2x+y-1=0.（2）見解析.【解析】(1)由P1的坐標為(1,?1)知：a1=1，b1=?1.∴b2=b11?4a12=13,∴點P2的坐標為13∴直線l的方程為2x+y-1=0.(2)要證明原問題成立只需證明點Pn都滿足2x+y=1即可①當n=1時，2a1+b1=2×1+(?1)=1，成立.②假設n=k(k∈N?,k?1)時，2ak+bk=1成立，即則2ak+1+bk+1=2ak?bk+1+bk+1=bk1?4∴當n=k+1時，命題也成立.由①②知，對n∈N?，都有2an+bn=1，即點Pn在直線l上練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2020·全國高考真題（理））設數(shù)列{an}滿足a1=3，．（1）計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項和Sn．【答案】（1），，，證明見解析；（2）.【解析】（1）由題意可得，，由數(shù)列的前三項可猜想數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，即，證明如下：當時，成立；假設時，成立.那么時，也成立.則對任意的，都有成立；（2）由（1）可知，，①，②由①②得：，即.2.（2017浙江）已知數(shù)列滿足：，．證明：當時（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【答案】見解析【解析】（Ⅰ）用數(shù)學歸納法證明：當時，假設時，，那么時，若，則，矛盾，故．因此所以因此（Ⅱ）由得記函數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以=0，因此故（Ⅲ）因為所以得由得所以故綜上，．3．(湖北省高考真題)已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，，e為自然對數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并比較與e的大??；（Ⅱ）計算，，，由此推測計算的公式，并給出證明；（Ⅲ）令，數(shù)列，的前項和分別記為,,證明：．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）；；．（Ⅲ）見解析.【解析】（Ⅰ）的定義域為，．當，即時，單調(diào)遞增；當，即時，單調(diào)遞減．故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．當時，，即．令，得，即．①（Ⅱ）；；．由此推測：．②下面用數(shù)學歸納法證明②．（1）當時，左邊右邊，②成立．（2）假設當時，②成立，即．當時，，由歸納假設可得．所以當時，②也成立．根據(jù)（1）（2），可知②對一切正整數(shù)n都成立．（Ⅲ）由的定義，②，算術-幾何平均不等式，的定義及①得，即．4.（2021·全國高三專題練習）設數(shù)列{an}滿足a1=3，．（1）計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項和Sn．【答案】（1），，，證明見解析；（