吉林省長春市一五0中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

吉林省長春市一五0中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，是上一點，是直線與拋物線的一個交點，若，則（）A. B.3C. D.22．已知向量與向量垂直，則實數(shù)x的值為（）A.﹣1 B.1C.﹣6 D.63．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則下列判斷正確的是（）A.在區(qū)間上，函數(shù)增函數(shù) B.在區(qū)間上，函數(shù)是減函數(shù)C.為函數(shù)的極小值點 D.2為函數(shù)的極大值點4．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點，，則線段的中點坐標(biāo)與向量的模長分別是（）A.；5 B.；C.； D.；5．在平面上給定相異兩點，設(shè)點在同一平面上且滿足，當(dāng)且時，點的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故我們稱這個圓為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有雙曲線，為雙曲線的左、右頂點，為雙曲線的虛軸端點，動點滿足，面積的最大值為，面積的最小值為，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.6．在中國，周朝時期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出并證明此定理的為公元前世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和.若一個直角三角形的斜邊長等于則這個直角三角形周長的最大值為（）A. B.C. D.7．已知函數(shù)，則等于（）A.0 B.2C. D.8．已知正方形ABCD的邊長為2，E，F(xiàn)分別為CD，CB的中點，分別沿AE，AF將三角形ADE，ABF折起，使得點B，D恰好重合，記為點P，則AC與平面PCE所成角等于（）A. B.C. D.9．已知橢圓的左、右焦點分別是，焦距，過點的直線與橢圓交于兩點，若，且，則橢圓C的方程為（）A. B.C. D.10．函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，令，則下列關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.11．已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1作直線l交橢圓C于M，N兩點，則的周長為（）A.3 B.4C.6 D.812．內(nèi)角、、的對邊分別為、、，若，，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實數(shù)，滿足不等式組，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為__________.14．經(jīng)過兩點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________15．方程的曲線的一條對稱軸是_______，的取值范圍是______.16．若＝，則x的值為_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線方程為（1）若直線的傾斜角為，求的值；（2）若直線分別與軸、軸的負(fù)半軸交于、兩點，為坐標(biāo)原點，求面積的最小值及此時直線的方程18．（12分）某公園有一形狀可抽象為圓柱的標(biāo)志性景觀建筑物，該建筑物底面直徑為8米，在其南面有一條東西走向的觀景直道，建筑物的東西兩側(cè)有與觀景直道平行的兩段輔道，觀景直道與輔道距離10米．在建筑物底面中心O的東北方向米的點A處，有一全景攝像頭，其安裝高度低于建筑物的高度（1）在西輔道上距離建筑物1米處的游客，是否在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)？（2）求觀景直道不在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)的長度19．（12分）已知橢圓的左頂點、上頂點和右焦點分別為，且的面積為，橢圓上的動點到的最小距離是（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的左頂點作兩條互相垂直的直線交橢圓于不同的兩點（異于點）.①證明：動直線恒過軸上一定點；②設(shè)線段中點為，坐標(biāo)原點為，求的面積的最大值.20．（12分）為增強市民的環(huán)境保護意識，某市面向全市征召若干名宣傳志愿者，成立環(huán)境保護宣傳小組，現(xiàn)把該小組的成員按年齡分成、、、、這組，得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知年齡在內(nèi)的人數(shù)為.（1）若用分層抽樣的方法從年齡在、、內(nèi)的志愿者中抽取名參加某社區(qū)的宣傳活動，再從這名志愿者中隨機抽取名志愿者做環(huán)境保護知識宣講，求這名環(huán)境保護知識宣講志愿者中至少有名年齡在內(nèi)的概率；（2）在（1）的條件下，記抽取的名志愿者分別為甲、乙，該社區(qū)為了感謝甲、乙作為環(huán)境保護知識宣講的志愿者，給甲、乙各隨機派發(fā)價值元、元、元的紀(jì)念品一件，求甲的紀(jì)念品不比乙的紀(jì)念品價值高的概率.21．（12分）如圖，菱形的邊長為4，，矩形的面積為8，且平面平面（1）證明：；（2）求C到平面的距離.22．（10分）已知函數(shù)（Ⅰ）若的圖象在點處的切線與軸負(fù)半軸有公共點，求的取值范圍；（Ⅱ）當(dāng)時，求的最值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)拋物線的定義求得，由此求得的長.【詳解】過作，垂足為，設(shè)與軸交點為.根據(jù)拋物線的定義可知.由于，所以，所以，所以，所以.故選：D【點睛】本小題主要考查拋物線定義，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)計算公式代入可得的值【詳解】解：向量，與向量垂直，則，由數(shù)量積的坐標(biāo)公式可得：，解得，故選：【點睛】本題考查空間向量的坐標(biāo)運算，以及數(shù)量積的坐標(biāo)公式，屬于基礎(chǔ)題3、D【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系可求解.【詳解】對于A，在區(qū)間，，故A不正確；對于B，在區(qū)間，，故B不正確；對于C、D，由圖可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以為函數(shù)的極大值點，故C不正確，D正確.故選：D4、B【解析】根據(jù)給定條件利用中點坐標(biāo)公式及空間向量模長的坐標(biāo)表示計算作答.【詳解】因點，，所以線段的中點坐標(biāo)為，.故選：B5、C【解析】先求動點的軌跡方程，再根據(jù)面積的最大值求得，根據(jù)的面積最小值求，由此可求雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)，，,依題意得,即,兩邊平方化簡得,所以動點的軌跡是圓心為,半徑的圓，當(dāng)位于圓的最高點時的面積最大，所以,解得；當(dāng)位于圓的最左端時的面積最小，所以,解得,故雙曲線的離心率為.故選:C.6、C【解析】設(shè)直角三角形的兩條直角邊邊長分別為，則，根據(jù)基本不等式求出的最大值后，可得三角形周長的最大值.【詳解】設(shè)直角三角形的兩條直角邊邊長分別為，則.因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故這個直角三角形周長的最大值為故選：C7、D【解析】先通過誘導(dǎo)公式將函數(shù)化簡，進而求出導(dǎo)函數(shù)，然后算出答案.【詳解】由題意，，故選：D.8、A【解析】如圖，以PE，PF，PA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解【詳解】由題意得，因為正方形ABCD的邊長為2，E，F(xiàn)分別為CD，CB的中點，所以，所以，所以所以PA，PE，PF三線互相垂直，故以PE，PF，PA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則由，，，得，解得，則設(shè)平面的法向量為，則，令，則，因為，所以AC與平面PCE所成角的正弦值，因為AC與平面PCE所成角為銳角，所以AC與平面PCE所成角為，故選：A9、A【解析】畫出圖形，利用已知條件，推出，延長交橢圓于點，得到直角和直角，設(shè)，則，根據(jù)橢圓的定義轉(zhuǎn)化求解，即可求得橢圓的方程.【詳解】如圖所示，，則，延長交橢圓于點，可得直角和直角，設(shè)，則，根據(jù)橢圓的定義，可得，在直角中，，解得，又在中，，代入可得，所以，所以橢圓的方程為.故選：A.10、B【解析】求導(dǎo)后，令，可求得，再利用導(dǎo)數(shù)可得為減函數(shù)，比較的大小后，根據(jù)為減函數(shù)可得答案.【詳解】由題意得，，，解得，所以所以，所以為減函數(shù)因為，所以，故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：比較大小的關(guān)鍵是知道的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)性.11、D【解析】由的周長為，結(jié)合橢圓的定義，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，即，如圖所示，根據(jù)橢圓的定義，可得的周長為故選：D.12、C【解析】利用正弦定理可求得邊的長.【詳解】由正弦定理得.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】畫出可行域，通過平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界來求得的最大值.【詳解】，畫出可行域如下圖所示，由圖可知，當(dāng)時，取得最大值.故答案為：14、【解析】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程將點坐標(biāo)代入求參數(shù)，即可確定標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】令，則，可得，令，則，無解.故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故答案為：.15、①.x軸或直線②.【解析】根據(jù)給定條件分析方程的性質(zhì)即可求得對稱軸及x的取值范圍作答.【詳解】方程中，因，則曲線關(guān)于x軸對稱，又，解得，此時曲線與都關(guān)于直線對稱，曲線的對稱軸是x軸或直線，的取值范圍是.故答案為：x軸或直線；16、4或9.【解析】分析：先根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)得，解方程得結(jié)果詳解：因為＝，所以因此點睛：組合數(shù)性質(zhì)：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）面積的最小值為，此時直線的方程為.【解析】（1）由直線的斜率和傾斜角的關(guān)系可求得的值；（2）求出點、的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件求出的取值范圍，求出的面積關(guān)于的表達(dá)式，利用基本不等式可求得面積的最小值，利用等號成立的條件可求得的值，即可得出直線的方程.【小問1詳解】解：由題意可得.【小問2詳解】解：在直線的方程中，令可得，即點，令可得，即點，由已知可得，解得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時直線的方程為，即.18、（1）不在（2）17.5米【解析】（1）以O(shè)為原點，正東方向為x軸正方向建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求出直線AB方程，判斷直線AB與圓O的位置關(guān)系即可；（2）攝像頭監(jiān)控不會被建筑物遮擋，只需求出過點A的直線l與圓O相切時的直線方程即可.【小問1詳解】以O(shè)為原點，正東方向為x軸正方向建立如圖所示的直角坐標(biāo)系則，觀景直道所在直線的方程為依題意得：游客所在點為則直線AB的方程為，化簡得，所以圓心O到直線AB的距離，故直線AB與圓O相交，所以游客不在該攝像頭監(jiān)控范圍內(nèi).【小問2詳解】由圖易知：過點A的直線l與圓O相切或相離時，攝像頭監(jiān)控不會被建筑物遮擋，所以設(shè)直線l過A且恰與圓O相切，①若直線l垂直于x軸，則l不可能與圓O相切；②若直線l不垂直于x軸，設(shè)，整理得所以圓心O到直線l的距離為，解得或，所以直線l的方程為或，即或，設(shè)這兩條直線與交于D，E由，解得，由，解得，所以，觀景直道不在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)的長度為17.5米.19、（1）（2）①證明見解析；②【解析】（1）根據(jù)題意得，，解方程即可；（2）①設(shè)直線：，直線：，聯(lián)立曲線分別求出點和的坐標(biāo)，求直線方程判斷定點即可；②根據(jù)題意得，代入求最值即可.【小問1詳解】根據(jù)題意得，，，又，三個式子聯(lián)立解得，，，所以橢圓的方程為：【小問2詳解】①證明：設(shè)兩條直線分別為和，根據(jù)題意和得斜率存在且不等于；因為，所以設(shè)直線：，直線：；由，解得，所以，同理，.當(dāng)時，，所以直線的方程為：，整理得，此時直線過定點；當(dāng)時，直線的方程為：，此時直線過定點，故直線恒過定點.②根據(jù)題意得，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故的面積的最大值為：.【點睛】解決直線與橢圓綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題20、（1）；（2）.【解析】（1）將名志愿者進行編號，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）列舉出甲、乙獲得紀(jì)念品價值的所有情況，并確定所求事件所包含的情況，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小問1詳解】解：因為志愿者年齡在、、內(nèi)的頻率分別為、、，所以用分層抽樣的方法抽取的名志愿者年齡在、、內(nèi)的人數(shù)分別為、、.記年齡在內(nèi)的名志愿者分別記為、、，年齡在的名志愿者分別記為、，年齡在內(nèi)的名志愿者記為，則從中抽取名志愿者的情況有、、、、、、、、、、、、、、，共種可能；而至少有名志愿者的年齡在內(nèi)的情況有、、、、、、、、，共種可能.所以至少有名志愿者的年齡在內(nèi)的概率為.【小問2詳解】解：甲、乙獲得紀(jì)念品價值的情況有、、、、、、、、，共種可能；而甲的紀(jì)念品不比乙的紀(jì)念品價值高的情況有、、、、、，共種可能.故甲的紀(jì)念品不比乙的紀(jì)念品價值高的概率為.21、（1）證明見解析.（2）【解析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)證明出；（2）利用等體積轉(zhuǎn)換法，先求出O到平面AEF的距離，再求C到平面的距離.【小問1詳解】在矩形中，.因為平面平面，平面平面,所以平面，所以.【小問2詳解】設(shè)AC與BD的交點為O,則C到平面AEF的距離為O到平面AEF的距離的2倍.因為菱形ABCD的邊長為4且，所以.因為矩形BDFE的面積為8，所以BE=2.,,則三棱錐的體積.在△AEF中,,所以.記O到平面AEF的距離為d.由得：,