專題6.7A字型相似三角形綜合問(wèn)題大題專項(xiàng)提升訓(xùn)練（重難點(diǎn)培優(yōu)）-2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)題典

20212022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)題典【蘇科版】專題6.7A字型相似三角形綜合問(wèn)題大題專項(xiàng)提升訓(xùn)練（重難點(diǎn)培優(yōu)）姓名：__________________班級(jí)：______________得分：_________________一、解答題（共24題）1．（2022·安徽·合肥市第三十中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，BD、CE分別是AC、AB邊上的高．求證：△【答案】見詳解【分析】先證明△ACE∽△ABD，即有AEAD【詳解】∵BD、CE分別是AC、AB邊上的高，∴∠AEC∵∠A∴△ACE∴AEAD又∵∠A∴△ACB【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．2．（2021·江蘇·九年級(jí)）在△ABC中，AB=mm>0，D為AB上一點(diǎn)，過(guò)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E，連接CD【答案】0<【分析】作AG⊥BC于F點(diǎn)，交DE于G點(diǎn)，設(shè)AD=x，首先結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)推出DEBC和GF【詳解】解：如圖所示，作AG⊥BC于F點(diǎn)，交DE于G點(diǎn)，設(shè)AD=x，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC∴GFAF∴S2整理得：S2∵點(diǎn)D在AB上，m>0∴0<x<m∴拋物線S2S1的開口向下，且當(dāng)x=m當(dāng)x=0和x=m綜上分析，S2S1【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)用等，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)推出相關(guān)線段的比例，以及熟練運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)分析是解題關(guān)鍵．3．（2021·遼寧丹東·九年級(jí)期中）如圖，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．（1）求t為何值時(shí)，△AMN的面積是△ABD面積的29（2）當(dāng)以點(diǎn)A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似時(shí)，求t值．【答案】（1）t1=4，t2=2；（2）t【分析】（1）由題意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，根據(jù)三角形的面積公式列出方程可求出答案；（2）分兩種情況，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值．【詳解】解：（1）由題意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，∴△AMN的面積＝12AN?AM＝12×（12﹣2t）×t＝6t﹣t∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm∴△ABD的面積為12AB?AD＝12×6×12＝∵△AMN的面積是△ABD面積的29∴6t﹣t2＝29∴t2﹣6t+8＝0，解得t1＝4，t2＝2，答：經(jīng)過(guò)4秒或2秒，△AMN的面積是△ABD面積的29（2）由題意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，若△AMN∽△ABD，則有AMAB=AN解得t＝3，若△AMN∽△ADB，則有AMAD=AN解得t＝245答：當(dāng)t＝3或245時(shí)，以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABD【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)和一元二次方程的應(yīng)用，正確進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．4．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E、點(diǎn)F在邊AC上，且DE∥BC，AFFE（1）求證：DF∥BE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝63．求證△ADE∽△AEB．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解【分析】（1）由題意易得ADBD=AE（2）由（1）及題意可知ADBD=AFEF=【詳解】解：（1）∵DE∥BC，∴ADBD∵AFFE∴AFFE∴DF∥BE；（2）∵AF＝2，EF＝4，∴由（1）可知，ADBD=AFEF∵AB＝63，∴AD=∴AEAB∴AEAB∵∠A=∠A，∴△ADE∽△AEB．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．5．（2021·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）一塊直角三角形木板的面積為1.5m2，一條直角邊AB為【答案】乙木匠的加工方法符合要求．說(shuō)明見解析．【分析】要求哪位木匠的加工方法符合要求，需要先求出兩種加工方式中正方形的邊長(zhǎng)，邊長(zhǎng)最大就符合要求；由已知三角形的面積和一條直角邊的邊長(zhǎng)可求出其余兩邊的邊長(zhǎng)，根據(jù)乙加工方案中的平行關(guān)系得到相似三角形，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)變成比例，可求出正方形的邊長(zhǎng)；根據(jù)甲加工方案中，根據(jù)相似三角形的高的比等于邊長(zhǎng)比，可求出正方形的邊長(zhǎng)，對(duì)比兩方案的邊長(zhǎng)即可知誰(shuí)符合要求．【詳解】解：作BH⊥AC于H，交DE于M，如圖∵S∴BC∵AC∴S∴BH又∵DE∥AC∴DE∴x52設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x米，如圖乙∵DE∥AB∴DE∴x1.5=∵6∴乙木匠的加工方法符合要求．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用及分析、解決問(wèn)題的能力，正確理解題意，建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵．6．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，Rt△APE，∠AEP＝90°，以AB為直徑的⊙O交PE于C，且AC平分∠EAP．連接BC，PB：PC＝1：2．（1）求證：PE是⊙O的切線；（2）已知⊙O的半徑為52，求AP【答案】（1）見解析；（2）20【分析】（1）連接OC，由AC平分∠EAP，得到∠DAC＝∠OAC，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAO＝∠ACO，等量代換得到∠DAC＝∠ACO，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠E＝∠OCP＝90°，于是得到結(jié)論；（2）設(shè)PB＝x，PC＝2x，根據(jù)勾股定理得到PC=103，PB=5【詳解】解：（1）連接OC，∵AC平分∠EAP，∴∠DAC＝∠OAC，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠DAC＝∠ACO，∴AE∥OC，∴∠E＝∠OCP＝90°，∵OC是圓O的半徑∴PE是⊙O的切線；（2）∵PB：PC＝1：2，∴設(shè)PB＝x，PC＝2x，∵OC2+PC2＝OP2，即（52）2+（2x）2＝（52+x∴x=5∴PC=103，PB∴AP=20【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，勾股定理，熟記切線的判定是解題的關(guān)鍵．7．（2021·山東·嘉祥縣馬集鎮(zhèn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CB也向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)P的速度是（1）求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)，P、Q兩點(diǎn)之間的距離為10cm?（2）若△CPQ的面積為S，求S關(guān)于t（3）當(dāng)t為多少時(shí)，以點(diǎn)C，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似【答案】（1）3秒或5秒；（2）S=20t-4t【分析】（1）根據(jù)題意得到AP=4tcm，CQ=2tcm，AC=20cm，CP=（204t）cm，根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得答案；（2）若運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts，則CP=（204t）cm，CQ=2tcm，利用三角形的面積計(jì)算公式，即可得出S=20t4t2，再結(jié)合各線段長(zhǎng)度非負(fù)，即可得出t的取值范圍；（3）分①Rt△CPQ∽R(shí)t【詳解】（1）解：由運(yùn)動(dòng)知，AP=4tcm，CQ=2tcm，∵AC=20cm，∴CP=（204t）cm，在Rt△CPQ中，CP即20-4t∴t=3秒或t（2）由題意得AP=4t，CQ=2因此Rt△CPQ的面積為（3）分兩種情況：①當(dāng)Rt△CPQ∽R(shí)t△CAB時(shí)，②當(dāng)Rt△CPQ∽R(shí)t△CBA時(shí)，因此t=3或t=4011時(shí)，以點(diǎn)C、P、【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，用方程的思想解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵．8．（2022·山東東營(yíng)·三模）已知：如圖①，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，連接AC，將三角形ABC沿AC翻折，使B點(diǎn)落在E點(diǎn)處，連接EC，AE，AE交DC于F點(diǎn)．(1)求DF的長(zhǎng)．(2)若將△CEF沿著射線CA方向平移，設(shè)平移的距離為m（平移距離指點(diǎn)C沿CA方向所經(jīng)過(guò)的線段長(zhǎng)度）．當(dāng)點(diǎn)F平移到線段AD上時(shí)，如圖②，求出相應(yīng)的m的值．(3)如圖③，將△CEF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角a（0°＜a＜∠ECB），記旋轉(zhuǎn)中的△CEF為△CE′F′，過(guò)E′作E′G⊥AD于G點(diǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)△DCE′為等腰三角形時(shí)，求出線段E′G的長(zhǎng)度．【答案】(1)7(2)35(3)4或23【分析】（1）利用矩形性質(zhì)、折疊性質(zhì)找出DF、AF之間關(guān)系，利用勾股定理解RtΔADF（2）利用平移性質(zhì)、平行線性質(zhì)，ΔADC、Δ（3）分DE'=CE'（1）解：（1）如圖①，∵四邊形ABCD是矩形，AB=8，AD=6，∴AB‖CD，∠由折疊可知∠1=∠2，又∵AB‖CD∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AF=CF，設(shè)AF=CF=x，則DF=8-x在RtΔADF中，AD=6，AF=x，由勾股定理得：62+解得x=則DF=8-25（2）設(shè)平移中的三角形為△C'E'由勾股定理得：AC=A由（1）知CF=由平移性質(zhì)可知，CD//C'F∴∠DCA又∠DAC∴Δ∴C∴25解得AC'=∴m（3）①當(dāng)DE'=CE'時(shí)，△E'在DC的垂直平分線上，過(guò)E'作E'H⊥CD于點(diǎn)H，則四邊形DGE'H為矩形，∴GE②當(dāng)DE'=CD=8時(shí)，過(guò)E'作E'H⊥CD于點(diǎn)H，則四邊形DGE'H為矩形，連接DE'，設(shè)DH=x，則由勾股定理得：DE'綜合可得：DE'∴82-∴GE【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等腰三角形判定、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度，特別是第（3）問(wèn)需要分類討論，不要出現(xiàn)遺漏．9．（2021·山東省青島第二十六中學(xué)九年級(jí)期中）矩形ABCD中，AB＝CD＝3cm，AD＝BC＝4cm，AC是對(duì)角線，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CD方向向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s．過(guò)點(diǎn)P作BC的垂線段PH，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持PH與BC互相垂直，連接HQ交AC于點(diǎn)O．若點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（0＜t＜1.5），解答下列問(wèn)題：（1）求當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PHCQ為矩形；（2）是否存在一個(gè)時(shí)刻，使HQ與AC互相垂直？如果存在請(qǐng)求出t值；如果不存在請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）是否存在一個(gè)時(shí)刻，使矩形ABCD的面積是四邊形PHCQ面積的7544，如果存在請(qǐng)求出t【答案】（1）t=1513；（2）存在，t=【分析】（1）當(dāng)四邊形PHCQ為矩形時(shí)，PH=CQ，利用相似三角形的性質(zhì)求出PH，（2）證明△HCQ～△ABC（3）根據(jù)矩形ABCD的面積是四邊形PHCQ面積的7544，構(gòu)建方程求解即可【詳解】解：（1）∵AB=3，∴AC由題可得：AP=t，CP=5-∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B∵PH∴∠CHP∵∠PCH∴△PCH∴PHAB=∴PH=3當(dāng)四邊形PHCQ為矩形時(shí)，PH=∴3解得：t=∴當(dāng)t=1513時(shí)，四邊形（2）存在一個(gè)時(shí)刻，使HQ⊥當(dāng)HQ⊥AC時(shí)，∵∠BAC∴∠QHC∵∠HCQ∴△HCQ∴CHAB=∴4解得：t=∴當(dāng)t=4023（3）存在，由題意得：3×4=75解得：t=1或t∴當(dāng)t=1時(shí)，矩形ABCD的面積是四邊形PHCQ面積的75【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合問(wèn)題，考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．10．（2021·遼寧丹東·九年級(jí)期末）如圖，小軍、小麗、小華利用晚間放學(xué)時(shí)間完成一個(gè)綜合實(shí)踐活動(dòng)，活動(dòng)內(nèi)容是測(cè)量人行路上的路燈高度．小軍和小麗分別站在路燈的兩側(cè)，小軍站在水平地面上的點(diǎn)A處，小麗站在點(diǎn)C處，這時(shí)小軍的身高AB形成的影子為AE，小麗身高CD形成的影子為CF．（1）請(qǐng)畫圖確定燈泡P的位置（2）已知小軍和小麗的身高分別為1.8米和1.6米，小華測(cè)得小軍和小麗在路燈下的影子AE和CF分別為1米和2米，小軍和小麗之間的距離AC為10米，點(diǎn)E，A，C，F(xiàn)在同一條直線上，請(qǐng)幫助他們3人求出路燈的高度．【答案】（1）見解析；（2）路燈的高度7.2米．【分析】（1）連接EB，F(xiàn)D，延長(zhǎng)EB交FD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作．（2）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC于H．設(shè)AH＝x米，則CH＝（10?x）米，利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程求解即可．【詳解】解：（1）作圖如下：∴P（2）過(guò)P做PH⊥AC于點(diǎn)設(shè)AH=x米，則∵PH⊥AC，AB∴△EAB∴EA∴1∴PH同理可證：△FDC∴CF即22+10-解得：x=3∴1解得：PH=7.2答：路燈的高度7.2米．【點(diǎn)睛】本題考查作圖?應(yīng)用與設(shè)計(jì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．11．（2020·浙江·杭州啟正中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，△ABC中，中線AD，BE交于點(diǎn)F，EG//BC交（1）求AGGF（2）如果BD=43，DF=4【答案】（1）3；（2）△BDA【分析】（1）先證明△AGE∽△ADC，再證明△（2）根據(jù)題意分別證明△BDA∽△FDB【詳解】解：（1）∵D是BC的中點(diǎn)，E是AC∴BD=CD∵GE∴△AGE∴AG∴AG=GD∵GE∴△GEF∴GE∴DF∴AG∴AG（2）當(dāng)BD=43，由（1）可得GF=12DF=2GE=∵BDDF=∴AD又∵∠BDG∴△BDA∵GEGF=∴AD∵GE∴∠ADB∴△BDA【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，解答關(guān)鍵是根據(jù)題意選擇適當(dāng)方法證明三角形相似．12．（2020·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)期中）如圖，△ABC中，點(diǎn)D在AC邊上，且∠

（1）求證：DB=（2）點(diǎn)E在BC邊上，連接AE交BD于點(diǎn)F，且∠AFD=∠ABC，BE（3）在（2）的條件下，若BC=16，△ABF的周長(zhǎng)等于30，求【答案】（1）見解析；（2）∠ACB＝60°；（3）AF＝【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角與外角之間的關(guān)系建立等式，運(yùn)用等量代換得出∠A=∠BDA（2）作CH＝BE，連接DH，根據(jù)角的數(shù)量關(guān)系證得∠EAC=∠C，再由三角形全等判定得△BDH≌△ABE，最后推出△DCH為等邊三角形，即可得出∠（3）借助輔助線AO⊥CE，構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合平行線構(gòu)造△BFE∽△BDH，建立相應(yīng)的等量關(guān)系式，完成等式變形和求值，即可得出AF的值．【詳解】（1）證明：∵∠BDC＝90°＋12∠ABD，∠BDC=∠ABD+∠A∴

∠A＝90°－12∠ABD∵∠BDC＋∠BDA＝180°，∴∠BDA＝180°－∠BDC＝90°－12∠ABD∴

∠A＝∠BDA＝90°－12∠ABD∴DB＝AB．解：（2）如圖1，作CH＝BE，連接DH，∵∠AFD＝∠ABC，∠AFD＝∠ABD＋∠BAE，∠ABC＝∠ABD＋∠DBC，∴∠BAE＝∠DBC．∵由（1）知，∠BAD＝∠BDA，又∵∠EAC＝∠BAD－∠BAE，∠C＝∠ADB－∠DBC，∴∠CAE＝∠C．∴AE＝CE．∵BE＝CH，∴BE＋EH＝CH＋EH．即BH＝CE＝AE．∵AB＝BD，∴△BDH≌△ABE．∴BE＝DH．∵BE＝CD，∴CH＝DH＝CD．∴△DCH為等邊三角形．∴∠ACB＝60°．（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AO⊥CE，垂足為O．∵DH∥AE，∴∠CAE＝∠CDH＝60°，∠AEC＝∠DHC＝60°．∴△ACE是等邊三角形．設(shè)AC＝CE＝AE＝x，則BE＝16－x，∵DH∥AE，∴△BFE∽△BDH．∴BFBD∴BF=EF=∵△ABF的周長(zhǎng)等于30，即AB＋BF＋AF＝AB＋16-xxAB＋x－解得AB＝16－x8在Rt△ACO中，AC＝x2，AO＝3∴BO＝16－x2在Rt△ABO中，AO2＋BO2＝AB2，即x4解得x1=0（舍去）∴AC＝25621∴AF＝11．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形角的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能熟練掌握三角形的性質(zhì)與全等判定并借助輔助線構(gòu)造特殊三角形的能力，．13．（2019·海南華僑中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=4cm，BC=8cm，動(dòng)點(diǎn)M從A出發(fā)在邊AB上以1cm/s的速度向B點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從D出發(fā)在邊DA上以2cm/（1）經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的1（2）是否存在時(shí)刻t，使以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似？若存在，求t（3）當(dāng)t=1時(shí)，求NQ【答案】（1）2秒；（2）165或2（3）【分析】（1）設(shè)時(shí)間為t，用t表示出AM和AN的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積列式求出t的值；（2）分兩種情況進(jìn)行討論，△AMN～△DAC或△（3）過(guò)點(diǎn)Q作QP⊥AD于點(diǎn)P，求出t=1時(shí)，AN、AM的長(zhǎng)，設(shè)QP=x，NP=y【詳解】解：（1）設(shè)時(shí)間為t，則AM=t，S△1212t-t=2經(jīng)過(guò)2秒，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的1∵∠ADC∴分兩種情況討論，①△AMN∴AMDA=ANDC，則②△AMN∴AMDC=ANDA，則綜上：t為165或2時(shí)，以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△（3）如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QP⊥AD于點(diǎn)當(dāng)t=1時(shí)，DN=2，AN=8-2=6設(shè)QP=x，∵QP//∴NPNA=QPMA∵QP//∴APAD=QPCD根據(jù)①和②求出x=34則QP=34根據(jù)勾股定理NQ=【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握設(shè)時(shí)間t，列式解一元二次方程的方法，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)列式求解的方法，再考慮三角形相似的時(shí)候要注意分類討論．14．（2022·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，且滿足AE＝2EC，點(diǎn)F在線段CD上，作直線FE，交線段AB于點(diǎn)M，交直線BC于點(diǎn)N．（1）當(dāng)CF＝2時(shí)，求線段BN的長(zhǎng)；（2）若設(shè)CF＝x，△BNE的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍；（3）試判斷△BME能不能成為等腰三角形，若能，請(qǐng)直接寫出x的值．【答案】（1）BN＝10；（2）y=6x-27x-3，0＜x＜3；y=27-6xx-3，3【分析】（1）由AB∥CD得△CFE∽△AME，△NCF∽△（2）分為0＜x＜3和3＜x＜4.5兩種情形，作EG⊥BC于G，根據(jù)三角形相似求出EG和BN；（3）分為BM＝BE，EM＝BE，EN＝BM三種，可根據(jù)BM＝9﹣2CF求得．【詳解】解：（1）如圖1，在矩形ABCD中，BC＝AD＝6，AB∥CD∴△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，∴CFAM∴AM＝2CF＝4，∴BM＝AB﹣AM＝5，∴25=∴BN＝10；（2）當(dāng)CF＝BM時(shí)，MF∥BC，此時(shí)△∴CF＝9﹣2CF，∴CF＝3，當(dāng)點(diǎn)M和B點(diǎn)重合時(shí)，AB＝2CF，∴CF＝4.5，∴分為0＜x＜3和3＜x＜4.5，如圖2，當(dāng)0＜x＜3時(shí)，作EG⊥BC于G，由（1）知，EG＝3，AM＝2CF＝2x，∴BM＝9﹣2x，由CFBM=NCNB∴BN=18-4∴y＝1＝1＝6x如圖3，當(dāng)3＜x＜4.5時(shí)，由BNCN=BNBN∴CN＝2(9-2x)∴y＝1＝27-6xx（3）如圖4，∵EG∥∴CGCB=∴CG＝13CB＝2，∴GB＝CB﹣CG＝4，∴BE＝5，當(dāng)BM＝BE＝5時(shí)，9﹣2x＝5，∴x＝2，如圖5，當(dāng)EM＝EB＝5時(shí)，作EH⊥AB于H，∴BM＝2BH＝2EG＝6，∴9﹣2x＝6，∴x=32，如圖6，當(dāng)EM＝BM時(shí)，作MH⊥BE于H，在Rt△BMH中，BH＝12BE=52，cos∠MBH＝cos∠∴BM＝BHcos∴9﹣2x＝256，∴x＝2912綜上所述：x＝2或32或29【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的判定及性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理解直角三角形，矩形的性質(zhì)，正確引出輔助線及掌握分類思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．15．（2021·江蘇·揚(yáng)州市梅嶺中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ADB=90°，AB=10cm，AD=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿DA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s.當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)P作PE//BD交AB于點(diǎn)E，連接（1）當(dāng)t為___________時(shí)，PQ//（2）連接EQ，設(shè)四邊形APQE的面積為ycm2，求y與t（3）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)E在線段PQ的垂直平分線上？（4）若點(diǎn)F關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)為F'，是否存在某一時(shí)刻t，使得點(diǎn)P，E，F(xiàn)'三點(diǎn)共線？若存在，求出t【答案】（1）83；（2）y=-34t2-3t【分析】（1）由題意得，PQ∥AB，則四邊形PABQ是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AP=BQ，即82t=t，解方程即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，由勾股定理求出BD=6，證明△ADB∽△BHQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得QH=35t，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得DPAD=BEAB，可得出BE=52t，根據(jù)y=S（3）先證出△APE∽△ABD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得PEDB=APAD，可得PE=632t，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得EQ=PE，由（2）得QH=35t，可得出BH=45t（4）連接FF′交AB于點(diǎn)N，由對(duì)稱及平行線的性質(zhì)可得∠FEB=∠ABD，由等角對(duì)等邊得EF=FB，則BN=EN=12BE=54t，再證△DPF∽△BQF，可得DF=2BF，可求出【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，若PQ∥AB，∴四邊形PABQ是平行四邊形，∴AP=BQ，∴82t=t，∴t=83∴當(dāng)t=83時(shí)，PQ∥AB故答案為：83（2）如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵∠ADB=90°，∴BD2=AB2AD2=10064=36，即BD=6，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠A=∠QBH，又∵∠ADB=∠BHQ=90°，∴△ADB∽△BHQ，∴BDQH=AB∴QH=∵PE∥BD，∴DPAD=BE∴BE=∴y=S四邊形APQBS△BEQ=12（3）如圖：∵PE∥BD，∴∠APE=∠ADB，∵∠A=∠A，∴△APE∽△ADB，∴PEDB=AP∴PE=6-∵點(diǎn)E在線段PQ的垂直平分線上，∴EQ=PE=6-由（2）得QH=∴BH=∴EH=Rt△EQH中，EH2+HQ2=EQ2，∴(3310t)2+(解得：t1∴當(dāng)t=5-1時(shí)，點(diǎn)E在（4）連接FF'交AB于點(diǎn)N，∵點(diǎn)F關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)為F′，∴∠FEB=∠F′EB，F(xiàn)N⊥EB，∵點(diǎn)P，E，F(xiàn)′三點(diǎn)共線，PE∥AB，∴∠F′EB=∠ABD，∴∠FEB=∠ABD，∴EF=FB，∴BN=∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DPF=∠FQB，∵DFP=∠BFQ，∴△DPF∽△BQF，∴DFBF∴DF=2BF，∴2BF+BF=6，∴BF=2，∵∠FBN=∠ABD，∠FNB=∠ADB，∴△BNF∽△BDA，∴BNBF∴54t2=6∴存在某一時(shí)刻t，使得點(diǎn)P，E，F(xiàn)′三點(diǎn)共線，t的值為2425【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，多邊形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．16．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知D是BC的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)．求AN:【答案】1【分析】解法1：過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線交BN于點(diǎn)H，構(gòu)造“A”型和“8”型，得出△BDH∽△解法2：過(guò)點(diǎn)C作AD的平行線交BN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，構(gòu)造“A”型和“8”型，得出△BDM∽BCH解法3：過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交BN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，構(gòu)造“A”型和“8”型，得出△AHM∽△DBM解法4：過(guò)點(diǎn)D作BN的平行線交AC于點(diǎn)H，根據(jù)三角形中位線定理得出AN=即可得出答案；【詳解】解法1：如圖2，過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線交BN于點(diǎn)H．因?yàn)镈H//所以△BDH所以DHCN因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以DHCN因?yàn)镈H//AN，所以所以DHAN因?yàn)镸為AD的中點(diǎn)，所以DHAN所以DH=所以ANCN解法2：如圖3，過(guò)點(diǎn)C作AD的平行線交BN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．因?yàn)镈M//CH，所以所以DMCH因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以DMCH因?yàn)镸為AD的中點(diǎn)，所以AM=所以AMCH因?yàn)镈M//所以△AMN所以ANCN解法3：如圖4，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交BN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．因?yàn)锳H//BD，所以所以AHBD因?yàn)镸為AD的中點(diǎn)，所以AM=DM，所以因?yàn)锳H//BD，所以所以ANCN因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，且AH=所以ANCN解法4：如圖5，過(guò)點(diǎn)D作BN的平行線交AC于點(diǎn)H．在△ADH因?yàn)镸為AD的中點(diǎn)，MN//所以N為AH的中點(diǎn)，即AN=在△CBN中，因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，DH//BN，所以H為CN所以AN=所以ANCN17．（2021·山東省諸城市樹一中學(xué)三模）如圖1，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，CD邊的垂直平分線EH交BD于點(diǎn)E，連接AE，CE．（1）過(guò)點(diǎn)A作AF//EC交BD于點(diǎn)F，求證：（2）如圖2，將△ABE沿AB翻折得到△①求證：BE'//②若AE'//BC，OE=1【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②1+【分析】（1）根據(jù)題意證明△COE≌△AOF(AAS)，即可證明ED=（2）①過(guò)點(diǎn)A作AF//EC交BD于點(diǎn)F，根據(jù)（1）中結(jié)論，然后證明②求證△AEF∽△BCE【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，∵AF//∴∠CEO=∠AFO∴△COE∴CE=AF，∴ED=∵EH垂直平分CD，∴EC=∴AF=（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AF//EC交BD于點(diǎn)①證明：由（1）可知△AOF≌△COE∴∠ABF∵將△ABE沿AB翻折得到△∴∠ABE∴∠ABE∴BE'//又∵AF//∴BE'//②解：∵AE'//∴∠E由翻折可知∠E∴∠ABC∵AF=∴∠FAB∴∠ABC∴∠EBC∵AF//∴∠AFE∴△AEF∴AFBE設(shè)AF=∵OE=∴EF=2∴xx∴x=1+5．經(jīng)檢驗(yàn)：x=1+∴【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，能夠根據(jù)已知條件證明相關(guān)三角形全等和相似是解題的關(guān)鍵．18．（2021·遼寧大連·九年級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2BC，AB=47cm，點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以2cm/s的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A、B不重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB交射線AC于點(diǎn)E，以AD、AE為鄰邊向上作平行四邊形ADFE，設(shè)D（1）填空：AC=______cm，BC=______（2）當(dāng)點(diǎn)F在BC上時(shí)，求t的值；（3）求s與t的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量t的取值范圍．【答案】（1）8355，4355；（2）t=879s【分析】（1）在Rt△（2）證△EDA～△BCA和△ABC～△（3）分情況討論①當(dāng)0<t≤879時(shí)，平行四邊形ADFE與△ABC的重疊部分圖形的面積為s=S?ADFE，②當(dāng)879<t<2【詳解】（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC∴AB∴BC=4355cm（2）∵DE∴∠設(shè)D點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s∵∠A=∠∴△∴DE∴DE∴AE∴EC∵平行四邊形ADFE∴AD∥EF，EF∴△∴EF∴EF∴47-（3）當(dāng)0<t≤879時(shí)，平行四邊形ADFE即s當(dāng)D到達(dá)B點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，且與B不重合，則t當(dāng)879<t<27時(shí)，如圖，平行四邊形由（2）可知，EC=∵平行四邊形ADFE∴AD∥EF∴△∴HC∴HC∴S∵AD=2t∴DB∵平行四邊形ADFE∴DF∥AC∴△∴DG∴DGBG∴Ss=S==-∴s自變量t的取值范圍：0<【點(diǎn)睛】本題是三角形和四邊形的綜合題．涉及相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、求函數(shù)解析式等知識(shí)點(diǎn)．綜合性較強(qiáng)，計(jì)算較為復(fù)雜．19．（2021·山東東營(yíng)·八年級(jí)期末）有一塊直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要把它加工成一個(gè)面積盡可能大的正方形桌面．甲、乙兩位同學(xué)的加工方法分別如圖1、圖2所示．請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的知識(shí)說(shuō)明哪位同學(xué)的加工方法更好（加工損耗忽略不計(jì)）．【答案】甲同學(xué)【分析】對(duì)于甲圖：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則DE=DB=x，CD=1.5-x，證明△CDE∽△CBA，利用相似比可計(jì)算出x=67；對(duì)于乙圖：作BH⊥ACN，交DE于N，如圖乙，先利用勾股定理計(jì)算出AC=2.5，再利用面積法計(jì)算出BM=1.2，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為y【詳解】解：如圖1所示，設(shè)甲同學(xué)加工的桌面邊長(zhǎng)為xm，∵DE∥AB∴△CDE∽△CBA∴CD即2-∴x＝67圖2所示，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC，交AC于點(diǎn)H，交DE于點(diǎn)P．由勾股定理得：AC＝A∵1∴BH設(shè)乙同學(xué)加工的桌面邊長(zhǎng)為ym，∵DE∥AC∴△BDE∽△BAC∴DE即y∴y＝30∵67＞3037，即x＞y，x2∴甲同學(xué)的加工方法更好．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：常常構(gòu)造“A”型或“X”型相似圖，然后利用三角形相似的性質(zhì)計(jì)算相應(yīng)線段的長(zhǎng)，也考查了正方形的性質(zhì)．20．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知點(diǎn)P為線段AB上的一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AC；再將線段繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段BD；點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BM、CM．（1）如圖1，如果點(diǎn)P在線段CM上，求證：PM//（2）如圖1，如果點(diǎn)P在線段CM上，求證：PC=2（3）如果點(diǎn)P不在線段CM上（如圖12），當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠BCM的正切值是否發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，簡(jiǎn)述理由；如果不發(fā)生變化，請(qǐng)求出∠【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）3【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)可得，△APC是等邊三角形，∠PBD=120°，則∠BPM+∠PBD=180°，所以PM∥BD．（2）利用三角形的中位線定理解決問(wèn)題即可．（3）延長(zhǎng)BM至點(diǎn)G，使得MG=MB，連接AG，BC，GC，PC，可證△CBG是等邊三角形且點(diǎn)M是BG的中點(diǎn)，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖1中，由題意可得，∠CAP=60°，且AP=AC，∴△APC是等邊三角形，∴∠APC=60°，∴∠BPM=60°，又∵∠PBD=120°，∴∠BPM+∠PBD=180°，∴PM∥BD；（2）如圖1中，∵AM=MD，PM∥BD，∴AP=PB，∴PM=12BD∵PA=PC=PB=BD，∴PC=2PM；（3）結(jié)論：tan∠BCM=33如圖2，延長(zhǎng)BM至點(diǎn)G，使得MG=MB，連接AG，BC，GC，PC，GD，∵AM=MD，GM=BM，∴四邊形AGDB是平行四邊形，∴AG=BD，AG∥BD，∴∠BAG=180°∠ABD=60°，∴∠CAG=120°，∵△APC是等邊三角形，∴AC=CP，∠CPB=120°，∵PB=DB=AG，∴△CAG≌△CPB（SAS），∴CG=CB，∠ACG=∠PCB，∴∠GCB=60°，∴△CBG是等邊三角形，∵GM=BM，∴∠BCM=12∠BCG=30°∴tan∠BCM=33【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．21．（2021·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A(4，0)、B(4，3)，動(dòng)點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)O、B同時(shí)出發(fā)，以1單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng))，過(guò)點(diǎn)N作NP//AB交AC于點(diǎn)P，連結(jié)（1）直接寫出OA、AB的長(zhǎng)度；（2）試說(shuō)明△CPN（3）在兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求△MPA的面積S與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S=32【答案】（1）OA=4,AB=3；（2）見解析；（3）S【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)即可得；（2）先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠CPN（3）先根據(jù)矩形的性質(zhì)、線段的和差可得AM=CN=4-t,AB⊥OA，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得PNAB=CNCB，從而可得PN=3-【詳解】（1）∵A∴OA（2）∵NP∴∠CPN∴△CPN（3）由題意得：OM=BN=則AM=∵四邊形OABC是矩形，∴BC∴CN∵△CPN∴PNAB=CN解得PN=3-∵NP∴NP∴△MPA的AM邊上的高為3-∴S即S=-當(dāng)S=32解得t1故t的值為2．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、求二次函數(shù)的自變量等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．22．（2020·河南洛陽(yáng)·九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)O是△ABC邊BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交AB，AC所在直線于點(diǎn)M，N，且ABAM＝m，ACAN＝（1）若點(diǎn)O是線段BC中點(diǎn)．①求證：m+n＝2；②求mn的最大值；（2）若COOB＝k（k≠0）求m，n之間的關(guān)系（用含k【答案】（1）①證明見解析；②mn有最大值1；（2）n＝k﹣km+1．【分析】設(shè)AM＝a，AN＝b．由ABAM＝m，ACAN＝n可得AB＝am，AC＝bn，那么MB＝MA﹣AB＝a﹣am＝（1﹣m）a，CN＝AC﹣AN＝bn﹣b＝（n﹣1）（1）①若點(diǎn)O是線段BC中點(diǎn)，如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BH∥AC交MN于H，利用ASA證明△OBH≌△OCN，得出BH＝CN＝（n﹣1）b．由BH∥AN列出比例式(1-m)a②由①的結(jié)論m+n＝2得出m＝2﹣n，那么mn＝（2﹣n）n＝﹣n2+2n＝﹣（n﹣1）2+1，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出當(dāng)n＝1時(shí)，mn有最大值1；（2）若COOB＝k（k≠0），如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BG∥AC交MN于G，證明△OBG∽△OCN，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出CNBG＝COOB，那么BG＝n-1kb．由BG∥AN列出比例式(1-m)【詳解】解：設(shè)AM＝a，AN＝b.∵ABAM＝m，ACAN＝∴AB＝am，AC＝bn，∴MB＝MA﹣AB＝a﹣am＝（1﹣m）a，CN＝AC﹣AN＝bn﹣b＝（n﹣1）b.（1）①若點(diǎn)O是線段BC中點(diǎn)，如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BH∥AC交MN于H，∴∠OBH＝∠OCN.在△OBH與△OCN中，∠OBH∴△OBH≌△OCN（ASA），∴BH＝CN＝（n﹣1）b.∵BH∥AN，∴MBMA＝BHAN，即(1-m∴1﹣m＝n﹣1，∴m+n＝2；②由①知，m+n＝2，∴m＝2﹣n，∴mn＝（2﹣n）n＝﹣n2+2n＝﹣（n﹣1）2+1，∴當(dāng)n＝1時(shí)，mn有最大值1；（2）若COOB＝k（k≠0如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BG∥AC交MN于G，∴∠OBG＝∠OCN.在△OBG與△OCN中，∠OBG∴△OBG∽△OCN，∴CNBG＝COOB，即(n∴BG＝n-∵BG∥AN，∴MBMA＝BGAN，即(1-m∴1﹣m＝n-∴n＝k﹣km+1.【點(diǎn)睛】此題考查平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，平行線分線段成比例是性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，二次函數(shù)最值問(wèn)題，正確掌握各知識(shí)點(diǎn)并綜合運(yùn)用解題是關(guān)鍵.23．（2020·江蘇南通·中考真題）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．將矩形折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，折痕為DE．（1）如圖①，若點(diǎn)P恰好在邊BC上，連接AP，求APDE（2）如圖②，若E是AB的中點(diǎn)，EP的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F，求BF的長(zhǎng)．【答案】（1）23；（2）BF＝3【分析】（1）如圖①中，取DE的中點(diǎn)M，連接PM．證明△POM∽△DCP，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．（2）如圖②中，過(guò)點(diǎn)P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．設(shè)EG=x，則BG=4x．證明△EGP∽△PHD，推出EGPH=PGDH=EPPD=13，推出P