3.1.2橢圓的幾何性質（十大題型）

3．1．2橢圓的幾何性質課程標準學習目標能說出橢圓的簡單幾何性質，并能證明性質，進一步體會數(shù)形結合思想．1、根據(jù)橢圓的方程研究曲線的幾何性質，并正確地畫出它的圖形．2、根據(jù)幾何條件求出曲線方程，利用曲線的方程研究它的性質，并能畫出相應的曲線．知識點一：橢圓的簡單幾何性質我們根據(jù)橢圓來研究橢圓的簡單幾何性質橢圓的范圍橢圓上所有的點都位于直線和所圍成的矩形內，所以橢圓上點的坐標滿足，．橢圓的對稱性對于橢圓標準方程，把換成，或把換成，或把、同時換成、，方程都不變，所以橢圓是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心．橢圓的頂點①橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點．②橢圓與坐標軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標分別為，，，．③線段，分別叫做橢圓的長軸和短軸，，．和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長．橢圓的離心率①橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作．②因為，所以的取值范圍是．越接近1，則就越接近，從而越小，因此橢圓越扁；反之，越接近于0，就越接近0，從而越接近于，這時橢圓就越接近于圓．當且僅當時，，這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為．知識點詮釋：橢圓的圖象中線段的幾何特征（如下圖）：（1），，；（2），，；（3），，；【即學即練1】（多選題）（2024·高二課時練習）已知橢圓的左，右焦點為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓C上的動點（P不在x軸上），則（

）A．橢圓C的焦點在x軸上 B．△的周長為C．的取值范圍為 D．橢圓的離心率為【答案】ABD【解析】A：由橢圓方程知：，故橢圓C的焦點在x軸上，正確；B：由，且△的周長為，正確；C：由P為橢圓C上的動點且不在x軸上，則，錯誤；D：橢圓的離心率為，正確.故選：ABD知識點二：橢圓標準方程中的三個量a、b、c的幾何意義橢圓標準方程中，a、b、c三個量的大小與坐標系無關，是由橢圓本身的形狀大小所確定的，分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關系為：，，且．可借助下圖幫助記憶：a、b、c恰構成一個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊．和a、b、c有關的橢圓問題常與與焦點三角形有關，這樣的問題考慮到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結合的方法進行計算與解題，將有關線段、、，有關角（）結合起來，建立、之間的關系．【即學即練2】（多選題）（2024·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？茧A段練習）已知，為橢圓的左、右焦點，點為橢圓上一點，且，下列說法正確的是（

）A． B．離心率范圍C．當點為短軸端點時，為等腰直角三角形 D．若，則【答案】ABD【解析】∵，∴，又，∴，∴，故A正確；∵，，∴，即，∴，故B正確；當點為短軸端點時，∵，，∴為等邊三角形，故C錯誤；若，又∴，∴，不妨設為銳角，則為鈍角，∴，∴，∴，同理可得，∴，∴，故D正確.故選：ABD知識點三：橢圓兩個標準方程幾何性質的比較標準方程圖形性質焦點，，焦距范圍，，對稱性關于x軸、y軸和原點對稱頂點，，軸長軸長=，短軸長=離心率知識點詮釋：橢圓，的相同點為形狀、大小都相同，參數(shù)間的關系都有和，；不同點為兩種橢圓的位置不同，它們的焦點坐標也不相同；橢圓的焦點總在長軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看、的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標軸上．【即學即練3】（2024·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？茧A段練習）已知曲線的方程為，則下列說法正確的是.①曲線關于坐標原點對稱；②的取值范圍是；③曲線是一個橢圓；④曲線圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積.【答案】①【解析】對于①，若點滿足曲線的方程，則點也一定滿足曲線的方程，所以曲線關于坐標原點對稱，故①正確；對于②，，所以，故②錯誤；對于③，當時，，此時，當時，，此時，所以曲線由兩個拋物線的部分組成的，不是橢圓，故③錯誤；對于④，因為橢圓的面積與橢圓的面積相等，作出曲線與橢圓，由圖可知，曲線圍成區(qū)域的面積大于橢圓圍成區(qū)域的面積，所以曲線圍成區(qū)域的面積大于橢圓圍成區(qū)域的面積，故④錯誤.故答案為：①.知識點四：直線與橢圓的位置關系平面內點與橢圓的位置關系橢圓將平面分成三部分：橢圓上、橢圓內、橢圓外，因此，平面上的點與橢圓的位置關系有三種，任給一點，若點在橢圓上，則有；若點在橢圓內，則有；若點在橢圓外，則有．直線與橢圓的位置關系將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立成方程組，消元轉化為關于x或y的一元二次方程，其判別式為．①直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個交點（或兩個公共點）；②直線和橢圓相切直線和橢圓有一個切點（或一個公共點）；③直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點．直線與橢圓的相交弦設直線交橢圓于點，兩點，則同理可得這里，的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：【即學即練4】（2024·全國·高二課堂例題）過橢圓的左焦點引直線交橢圓于A，B兩點，且，則直線方程為．【答案】或【解析】橢圓，即，則，，，左焦點為，設直線為，，由，得，整理得，因為，所以，所以，，解得，所以直線為，即或．故答案為：或知識點五：解決橢圓中點弦問題的兩種方法：1、根與系數(shù)關系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關系以及中點坐標公式解決；2、點差法：利用交點在曲線上，坐標滿足方程，將交點坐標分別代入橢圓方程，然后作差，構造出中點坐標和斜率的關系，具體如下：直線（不平行于軸）過橢圓（）上兩點、，其中中點為，則有．【即學即練5】（2024·江西宜春·高二高二中校考階段練習）已知橢圓，過點的直線交橢圓于、兩點，若為的中點，則直線的方程為【答案】【解析】設點、，由中點坐標公式可得，所以，因為，兩式作差得，即，即，所以，，因此，直線的方程為，即.故答案為：.題型一：橢圓的幾何性質【典例11】（多選題）（2024·安徽·模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，，P是C上的任意一點，則（

）A．C的離心率為 B．C．的最大值為 D．使為直角的點P有4個【答案】BCD【解析】由原方程可得橢圓標準方程為，，，故A錯誤；由橢圓定義可知，故B正確；由橢圓的性質知，故C正確；易知以線段為直徑的圓（因為）與C有4個交點，故滿足為直角的點有4個，故D正確.故選：BCD【典例12】（多選題）（2024·高二·廣東汕頭·階段練習）已知橢圓，則下列說法中正確的是（

）A．橢圓的焦點在軸上 B．橢圓的長軸長是C．橢圓的焦距為 D．橢圓的離心率為【答案】ABD【解析】設橢圓的長半軸長為，短半軸長為，半焦距為，因為橢圓的方程為，所以橢圓的焦點在上，且，A正確，所以橢圓的長軸長為，B正確，橢圓的焦距為，C錯誤；橢圓的離心率，D正確.故選：ABD.【變式11】（多選題）（2024·高二·全國·課后作業(yè)）阿基米德是古希臘數(shù)學家，他利用“逼近法”算出橢圓面積等于圓周率、橢圓的長半軸長、短半軸長三者的乘積．據(jù)此得某橢圓面積為，且兩焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的標準方程可以為（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】設橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距為，則由題意可知，又，解得，，，所以橢圓的標準方程為或．故選：AD【變式12】（多選題）（2024·高二·云南保山·階段練習）已知橢圓的左?右焦點分別為，過點的直線交橢圓于兩點，若的最小值為4，則（

）A．橢圓的短軸長為B．的最大值為8C．離心率為D．橢圓上不存在點，使得【答案】BD【解析】易知當軸時，即線段為通徑時，AB最短，，解得，橢圓方程為，對于，橢圓的短軸長為，故A錯誤；對于，因為的周長為，且，故B正確；對于C，離心率，故C錯誤；對于，易知當點位于短軸頂點時，最大，此時，又為三角形內角，橢圓上不存在點，使得，故D正確，故選:BD.【變式13】（多選題）（2024·高二·江蘇南京·階段練習）2022年4月16日9時56分，神舟十三號返回艙成功著陸，返回艙是宇航員返回地球的座艙，返回艙的軸截面可近似看作是由半圓和半橢圓組成的“曲圓”，如圖在平面直角坐標系中半圓的圓心在坐標原點，半圓所在的圓過橢圓的焦點，橢圓的短軸與半圓的直徑重合，下半圓與軸交于點．若過原點的直線與上半橢圓交于點，與下半圓交于點，則（

）A．橢圓的長軸長為B．線段長度的取值范圍是C．面積的最小值是4D．的周長為【答案】ABD【解析】對于A，由題知，橢圓中的幾何量，得，則，故A錯誤；對于B，，由橢圓性質可知，，B正確；對于C，記，則，取，則C錯誤；對于D，由橢圓定義知，，所以的周長D正確．故選：ABD．【變式14】（多選題）（2024·高二·廣東江門·期末）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點P是橢圓C上任意一點（非長軸的頂點），則下列說法正確的是（

）A．橢圓C的焦點坐標為B．當時，橢圓C的離心率為C．當時，的周長為6D．若橢圓C的離心率為，則的面積的最大值是【答案】AC【解析】橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距，對于A，橢圓C的焦點坐標為，A正確；對于B，當時，，離心率，B錯誤；對于C，當時，，則的周長為，C正確；對于D，橢圓C的離心率為，即，解得，，設，則的面積，D錯誤.故選：AC.題型二：根據(jù)橢圓的有界性求范圍或最值【典例21】（2024·高二·江蘇南京·階段練習）已知定點為橢圓上一動點，滿足：當取得最小值時點恰為橢圓的右頂點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】記，，，對稱軸為，由于時取到最小值，則.故選：B【典例22】（2024·高二·河南南陽·階段練習）已知A為橢圓的上頂點，為橢圓上一點，則的最大值為（

）A． B． C．3 D．【答案】B【解析】由題意可知：，設，由可得，，則，因為，可知當時，最大為.故選：B【變式21】（2024·高二·江蘇揚州·期中）已知是橢圓上的點，則的值可能是（

）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】A【解析】由橢圓，可設，其中，則，其中，因為，所以，即的取值范圍為，結合選項，可得A符合題意.故選：A.【變式22】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知P點是橢圓上的動點，A點坐標為，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，則，因為P點在橢圓上，則，記，所以，又因為開口向上，對稱軸，且，所以當時，取到最小值.故選：B.【變式23】（2024·高二·江蘇南通·階段練習）已知，，若圓上存在點P，使得，則實數(shù)r的取值范圍是（

）A．[3,5] B．（0,5] C．[4,5] D．[16,25]【答案】C【解析】動點P的軌跡是以為焦點的橢圓，且又點P在上，橢圓與圓有公共點，實數(shù)r的取值范圍是[4,5].故選：C.【變式24】（2024·高二·福建福州·期末）已知點A(m,n)在橢圓上，則的最大值是.（）A．6 B．8 C．3 D．2【答案】B【解析】由題意可得，則，故．因為，所以，所以，即．因此，的最大值.故選：B.題型三：求離心率的值【典例31】（2024·高二·廣西柳州·階段練習）若橢圓：的蒙日圓為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，分別與橢圓相切，顯然.所以點在蒙日圓上，所以，所以，即，所以橢圓的離心率.故選：D.【典例32】（2024·高三·廣西貴港·開學考試）已知橢圓的左?右焦點分別為，點在上，為的中點，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如下圖所示：根據(jù)題意可知，由橢圓定義可得，又為的中點，可得，因為，由勾股定理可得，即；結合整理可得，即，解得或（舍）.故選：C【變式31】（2024·高二·浙江衢州·期末）已知是橢圓上的一動點，且與橢圓長軸兩頂點連線的斜率之積，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】橢圓長軸的兩頂點為，設，則由題設可得即，故，故即，故，故選：B【變式32】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）橢圓的兩頂點，，且左焦點為F，是以角B為直角的直角三角形，則橢圓的離心率e為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為為直角三角形，且，，，由勾股定理可得，即，整理得，兩邊同除以得，解得．且，所以．故選：B.【變式33】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）設橢圓的兩個焦點分別為，，過作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，設橢圓的長軸長為2a，半焦距為c，則，則，，于是，∴．故選：C【變式34】（2024·高二·安徽亳州·期中）已知橢圓的左焦點為，點在上，的中點為為坐標原點，且，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設C的右焦點為，因為，所以，所以，所以，設，因為，所以，所以，解得.故選：C.【變式35】（2024·高二·江蘇南京·階段練習）已知橢圓C：（）的左頂點為A，上頂點為B，右焦點為F，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，由題意：，∴，∴，∴∴故選：C題型四：求離心率的范圍【典例41】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知為橢圓上一點，分別是橢圓的左、右焦點.若使為直角三角形的點有且只有4個，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當軸時，有兩個點滿足為直角三角形；當軸時，有兩個點滿足為直角三角形.使為直角三角形的點有且只有4個，以原點為圓心，為半徑的圓與橢圓無交點，，，又，解得.故選：A.【典例42】（2024·高二·浙江·期中）已知橢圓，為橢圓上一動點（不含左右端點），左右端點為，則離心率e的范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，，，，，由題意可知，，即，得，則.故選：B【變式41】（2024·高二·湖南長沙·期中）焦點在x軸橢圓中截得的最大矩形的面積范圍是，則橢圓離心率的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設橢圓的標準方程為，不妨設矩形的對角線所在的直線方程為：（假設），聯(lián)立，則，解得：，，所以矩形的面積為：，當且僅當時取等，因為點在x軸橢圓中截得的最大矩形的面積范圍是，所以，則，即，，即，解得：，即.故選：C.【變式42】（2024·高二·湖南郴州·期末）已知是橢圓的兩個焦點，點在上，若使為直角三角形的點有8個，則的離心率的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】為直角三角形，可分為以下三類討論：以點為直角頂點；以點為直角頂點；以點為直角頂點.由橢圓的對稱性可知：以點為直角頂點的點有兩個；以點為直角頂點的點有兩個，則要使為直角三角形的點有8個，須使以點為直角頂點的直角三角形有4個.由橢圓的對稱性可得在軸上方有兩個點滿足以點為直角頂點.則，即，所以，解得即，所以，又因為橢圓離心率，所以.故選：C.【變式43】（2024·高二·廣東江門·階段練習）已知橢圓的左右焦點為，，以為直徑的圓與橢圓有四個交點，則橢圓離心率的范圍為（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】因為以為直徑的圓與橢圓有四個交點，所以，即，，，所以，即，又因為，所以橢圓離心率的取值范圍為．故選：A．【變式44】（2024·高二·北京·期中）橢圓上存在一點P滿足，分別為橢圓的左右焦點，則橢圓的離心率的范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】當點位于短軸的端點時，最大，要使橢圓上存在一點P滿足，只要最大時大于等于即可，即當點位于短軸的端點時，，所以，又橢圓的離心率，所以橢圓的離心率的范圍是.故選：D.【變式45】（2024·高二·四川內江·階段練習）已知點A、B為橢圓的長軸頂點，P為橢圓上一點，若直線PA，PB的斜率之積的范圍為，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題得：，所以故選：A．【變式46】（2024·高二·安徽安慶·階段練習）橢圓（a＞b＞0）上存在一點P滿足，分別為橢圓的左右焦點，則橢圓的離心率的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為橢圓（a＞b＞0）上存在一點P滿足，即，所以點P落在以為直徑的圓上，所以有解，即有解，所以.即，所以，所以，又橢圓的離心率，所以.故選：D題型五：點與橢圓的位置關系【典例51】（2024·全國·高二專題練習）若點在橢圓上，則下列說法正確的是（

）A．點不在橢圓上 B．點不在橢圓上C．點在橢圓上 D．無法判斷上述點與橢圓的關系【答案】C【解析】點與點關于原點對稱，點與關于軸對稱，點與關于軸對稱，若點在橢圓上，根據(jù)橢圓的對稱性，，，三點都在橢圓上，故選：C【典例52】（2024·全國·高二專題練習）已知點和焦點在軸上的橢圓：，且過作橢圓的切線有兩條，則該橢圓半焦距的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得，點在橢圓的外部.所以，，所以.又橢圓焦點在軸上，所以，所以.又，所以，所以.故選：C.【變式51】（2024·山東青島·高二山東省萊西市第一中學校考學業(yè)考試）若直線與圓沒有公共點，則過點的一條直線與橢圓的公共點的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．1或2【答案】C【解析】圓的圓心，半徑為，因為直線與圓沒有公共點，所以圓心到直線的距離大于半徑，得，即，所以，則點在橢圓內部，所以過點的直線與橢圓必有2個公共點.故選：C.【變式52】（2024·全國·高二專題練習）已知橢圓，則下列各點不在橢圓內部的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由橢圓方程為，因為，所以點在橢圓內部，A錯誤；因為，所以點在橢圓內部，B錯誤；因為，所以點在橢圓外部，C正確；因為，所以點在橢圓內部，D錯誤.故選：C.【變式53】（2024·全國·高二專題練習）點在橢圓的外部，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為點在橢圓的外部，所以,解得,故選：B.題型六：直線與橢圓的位置關系【典例61】（2024·高二·江蘇常州·期中）已知橢圓，直線，則直線與橢圓的公共點有個.【答案】2【解析】直線過定點,，即定點在橢圓內，則直線與橢圓C的公共點有兩個.故答案為：2.【典例62】（2024·高三·上海·開學考試）直線與橢圓的公共點個數(shù)為．【答案】2【解析】直線恒過，由于，所以是橢圓內部的一點，所以直線與橢圓恒有2個交點．故答案為：2．【變式61】（2024·高二·全國·專題練習）直線和曲線的位置關系為.【答案】相交【解析】曲線為：可得直線恒過，由知定點在橢圓內部，所以直線與橢圓的位置關系為相交.故答案為：相交.【變式62】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）試判斷直線與橢圓的公共點的個數(shù)，并說明理由.【解析】直線與橢圓的公共點的個數(shù)為個，理由如下：根據(jù)題意，直線，恒過定點，把點代入橢圓，則點在橢圓的內部，則直線與橢圓必相交，有個交點，即直線與橢圓的公共點的個數(shù)為個.【變式63】（2024·高二·福建莆田·期中）已知直線，橢圓的短軸長為，離心率為．(1)求橢圓C的標準方程；(2)討論直線l與橢圓C的公共點個數(shù).【解析】（1）由題意橢圓的短軸長為，離心率為，可知，，解得，所求橢圓的方程為；（2）由可得，，當即時，直線與橢圓相切，只有一個公共點；當即時，直線與橢圓相交，有兩個公共點；當即或時，直線與橢圓相離，無公共點；綜上所述，當時，直線與橢圓只有一個公共點；當時，直線與橢圓有兩個公共點；當或時，直線與橢圓無公共點.【變式64】（2024·高二·江蘇·課后作業(yè)）判斷直線與橢圓的公共點的個數(shù)．【解析】聯(lián)立，消去可得，則，故直線與橢圓只有個公共點.題型七：弦長問題【典例71】（2024·高二·全國·課堂例題）已知斜率為2的直線經過橢圓的右焦點，與橢圓相交于兩點，求弦的長．【解析】由題意可知：，因為直線過橢圓的右焦點，且斜率為，則直線的方程為，且直線與橢圓必相交，方法一：解方程組，解得或，不妨令，，所以；方法二：設Ax1,聯(lián)立方程，消去得，則，．所以；方法三

設Ax1,聯(lián)立方程，消去得，則，，所以．【典例72】（2024·高二·湖南·期末）已知橢圓過點，且離心率為.(1)求橢圓的標準方程；(2)若直線過點，且與交于兩點，當最大時，求直線的方程.【解析】（1）由題意得，解得，所以橢圓的標準方程為；（2）當直線的斜率不存在時，方程為，此時，當直線的斜率存在時，設方程為，聯(lián)立，消得，恒成立，故，則，所以，令，則，所以，當，即時，AB取得最大值，此時，綜上所述，當AB最大時，求直線的方程為.【變式71】（2024·高二·青海西寧·期中）已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，其中左焦點為，長軸長為4．(1)求橢圓C的方程；(2)直線l：與橢圓C交于不同兩點P、Q，求弦長．【解析】（1）由題意可設C:x則，即，且，可得，所以橢圓方程為.（2）設，將直線與橢圓聯(lián)立，得，解得或所以弦長.【變式72】（2024·高二·全國·專題練習）已知橢圓：，則過點且斜率為的直線被橢圓所截線段的長度為．【答案】/【解析】根據(jù)題意知過點且斜率為的直線的方程是．設此直線與橢圓的交點為Ax1,y聯(lián)立直線方程和橢圓方程，得消去，化簡得，故，．所以．故答案為：．【變式73】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）若直線和橢圓交于兩點，則線段的長為．【答案】【解析】由消y得．設，，則，，所以．故答案為：【變式74】（2024·高二·上海寶山·階段練習）過橢圓的左焦點引直線交橢圓于兩點，若弦的長為，則直線的斜率為.【答案】【解析】橢圓，即，則，，，左焦點為，設直線為，，由，得，整理得，因為，所以，所以，，解得，所以直線為斜率為，故答案為：.【變式75】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知橢圓兩頂點，，過焦點的直線l與橢圓交于C，D兩點，當時，直線l的方程為.【答案】或【解析】由題意得，.∴.∴橢圓方程為.當直線l的斜率不存在時，，不符合題意.當直線l的斜率存在時，設l的方程為，聯(lián)立，得，恒成立.設，.∴，.∴，即，解得，∴.∴直線l的方程為或.故答案為：或.題型八：中點弦問題【典例81】（2024·高二·黑龍江哈爾濱·期末）已知橢圓，過點的直線與橢圓交于，兩點，且滿足，則直線的斜率為．【答案】【解析】因為，則在橢圓內，可知直線與橢圓總有兩個交點，因為，即點為線段的中點，設，，顯然，則，，，可得，則，即，所以，即直線的斜率，故答案為：【典例82】（2024·高二·上?！て谥校┲本€過點，且與曲線交于兩點，若，則直線的方程為.【答案】【解析】由題意知為直線的中點，設，則，則，所以，即，則直線的方程為，故答案為：.【變式81】（2024·高二·福建福州·期末）已知橢圓的右焦點為，離心率為，過點的直線交橢圓于兩點，若的中點為，則直線的斜率為．【答案】【解析】設，，則的中點坐標為，由題意可得，，將，的坐標的代入橢圓的方程：，作差可得，所以，又因為離心率，，所以，所以，即直線的斜率為，故答案為：.【變式82】（2024·高二·山東臨沂·期末）已知橢圓的離心率為，直線與交于兩點，直線與的交點恰好為線段的中點，則的斜率為.【答案】/0.25【解析】由題意知橢圓的離心率為，故，，設，由題意知l的斜率存在，則，設線段AB的中點為，則直線l的斜率為，直線的斜率，由，兩式相減得，即得，即，故，故答案為：【變式83】（2024·高二·上?！ふn堂例題）在直角坐標系xOy中，橢圓C：的焦距為，長軸長是短軸長的2倍，斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓于A、B．(1)求橢圓的標準方程；(2)若P為線段AB的中點，設OP的斜率為，求證：為定值．【解析】（1）設半焦距為c，長半軸為a，短半軸為b，依題意可知，

解得.故橢圓的標準方程為；（2）證明：設Ax1,y1，Bx2把Ax1,y1，B兩式相減可得，即．又，則，故為定值．【變式84】（2024·陜西西安·模擬預測）已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)過點作斜率為的直線交橢圓于兩點，求弦中點坐標.【解析】（1）依題意得：，即，解得，解得橢圓的方程為（2）如圖所示：設，中點為，所以則又兩點在橢圓上，可得，兩式相減可得，整理得，①.過點斜率為的直線為.因為在直線上，故，②聯(lián)立①②，解得所以中點坐標為.【變式85】（2024·高二·北京·開學考試）已知橢圓的離心率，橢圓上任意一點到橢圓的兩個焦點的距離之和為4.若直線過點，且與橢圓相交于不同的兩點.(1)求橢圓的標準方程；(2)若線段中點的縱坐標，求直線的方程.【解析】（1）由題意可知,解得，因為，所以，所以，解得.所以橢圓的方程為.（2）由題意可知直線斜率存在，如圖所示設，設Ax1消得，，所以，解得.,設線段中點的坐標為，所以,又因為線段中點的縱坐標，所以，解得，所以直線方程為，即.題型九：橢圓的實際應用【典例91】（2024·高二·安徽蕪湖·階段練習）1970年4月24日，我國發(fā)射了自己的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號”，從此我國開始了人造衛(wèi)星的新篇章．人造地球衛(wèi)星繞地球運行遵循開普勒行星運動定律：衛(wèi)星在以地球為焦點的橢圓軌道上繞地球運行時，其運行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時間內掃過的面積相等．設橢圓的長軸長、焦距分別為2a，2c，下列結論錯誤的是（

）A．衛(wèi)星向徑的取值范圍是B．衛(wèi)星在左半橢圓弧的運行時間大于其在右半橢圓弧的運行時間C．衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越扁D．衛(wèi)星運行速度在近地點時最大，在遠地點時最小【答案】C【解析】由題意可得衛(wèi)星的向徑是橢圓上的點到右焦點的距離，所以最小值為，最大值為，所以A正確；根據(jù)在相同時間內掃過的面積相等，衛(wèi)星在左半橢圓弧的運行時間大于其在右半橢圓弧的運行時間，故B正確；衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值為越大，則越小，橢圓越圓，故C錯誤．因為運行速度是變化的，速度的變化，所以衛(wèi)星運行速度在近地點時向徑越小，在遠地點時向徑越大，衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時間，內掃過的面積相等，則向徑越大，速度越小，所以衛(wèi)星運行速度在近地點時最大，在遠地點時最小，故D正確；故選：C．【典例92】（2024·高二·重慶·期中）彗星“紫金山一號”是南京紫金山天文臺發(fā)現(xiàn)的，它的運行軌道是以太陽為一個焦點的橢圓.測得軌道的近日點（距離太陽最近的點）距太陽中心1.486天文單位，遠日點（距離太陽最遠的點）距太陽中心5.563天文單位（1天文單位是太陽到地球的平均距離，約），且近日點、遠日點及太陽中心在同一條直線上，則軌道橢圓的長軸長為______天文單位.（

）A．7.0490 B．4.0770 C．3.5245 D．2.0385【答案】A【解析】依題意，軌道的近日點和遠日點為橢圓長軸的端點，而太陽為該軌道橢圓的一個焦點，所以軌道橢圓的長軸長為（天文單位）.故選：A【變式91】（2024·高二·山東濰坊·階段練習）開普勒第一定律指出，所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上.若某行星距太陽表面的最大距離為，最小距離，太陽半徑為，則該行星運行軌跡橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設橢圓的焦距為，長軸長為，則由已知可得，兩式相加可得，兩式相減可得，則，，所以離心率.故選：A.【變式92】（2024·高二·河北保定·期中）開普勒第一定律也稱橢圓定律，軌道定律，其內容如下：每一行星沿各自的橢圓軌道環(huán)繞太陽，而太陽則處在橢圓的個焦點上．將某行星H看作一個質點，H繞太陽的運動軌跡近似成曲，行星H在運動過程中距離太陽最近的距離稱為近日點距離，距離太陽最遠的距離稱為遠日點距離．若行星H的近日點距離和遠日點距離之和是（距離單位：億千米），近日點距離和遠日點距離之積是16，則（

）A． B． C．34 D．88【答案】C【解析】由曲線的方程為橢圓，可得長半軸，則半焦距，近日點距離為，遠日點距離為，近日點距離和遠日點距離之和是，近日點距離和遠日點距離之積是，解得，，則．故選：C【變式93】（2024·高二·河北邯鄲·期末）開普勒第一定律也稱橢圓定律?軌道定律，其內容如下：每一行星沿各自的橢圓軌道環(huán)繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點上.將某行星看作一個質點，繞太陽的運動軌跡近似成曲線，行星在運動過程中距離太陽最近的距離稱為近日點距離，距離太陽最遠的距離稱為遠日點距離.若行星的近日點距離和遠日點距離之和是18（距離單位：億千米），近日點距離和遠日點距離之積是16，則（

）A．39 B．52 C．86 D．97【答案】D【解析】根據(jù)橢圓方程，得長半軸，半焦距，近日點距離為，遠日點距離為，近日點距離和遠日點距離之和是，近日點距離和遠日點距離之積是，解得，則.故選：D.【變式94】（2024·廣東韶關·模擬預測）韶州大橋是一座獨塔雙索面鋼砼混合梁斜拉橋，具有樁深，塔高、梁重、跨大的特點，它打通了曲江區(qū)、湞江區(qū)、武江區(qū)交通道路的瓶頸，成為連接曲江區(qū)與芙蓉新城的重要交通橋梁，大橋承擔著實現(xiàn)韶關“三區(qū)融合”的重要使命，韶州大橋的橋塔外形近似橢圓，若橋塔所在平面截橋面為線段，且過橢圓的下焦點，米，橋塔最高點距橋面米，則此橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖按橢圓對稱軸所在直線建立直角坐標系，設橢圓方程為，令，即，解得，依題意可得，所以，所以，所以．故選：D．【變式95】（2024·高二·廣東深圳·期末）運用微積分的方法，可以推導得橢圓（）的面積為．現(xiàn)學校附近停車場有一輛車，車上有一個長為的儲油罐，它的橫截面外輪廓是一個橢圓，橢圓的長軸長為，短軸長為，則該儲油罐的容積約為（）（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，橢圓的長軸長為，短軸長為，所以所以橢圓面積為.因為儲油罐為一個柱體，所以體積為.故選：B題型十：定點定值問題【典例101】（2024·陜西榆林·模擬預測）已知橢圓C：的左，右焦點分別為，，過的直線與橢圓C交于M，N兩點，且的周長為8，的最大面積為．(1)求橢圓C的方程；(2)設，是否存在x軸上的定點P，使得的內心在x軸上，若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．【解析】（1）∵的周長為8，的最大面積為，∴，解得，或，．∴橢圓C的方程為或等．（2）

由（1）及易知F21,0不妨設直線MN的方程為：，，Mx1,y1聯(lián)立，得．則，，若的內心在x軸上，則，∴，即，即，可得．則，得，即．當直線MN垂直于x軸，即時，顯然點也是符合題意的點．故在x軸上存在定點，使得的內心在x軸上.【典例102】（2024·高三·陜西漢中·階段練習）已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，且其離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)已知與坐標軸不垂直的直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為，求證：（為坐標原點）為定值.【解析】（1）∵拋物線的焦點為，∴橢圓的半焦距為，又，得，.∴橢圓的方程為（2）證明：由題意可知，直線的斜率存在且不為0，設直線的方程為，聯(lián)立，得.，即，設，，則，，∴，∴.∴為定值【變式101】（2024·高二·河南平頂山·期末）已知橢圓經過點，且離心率為.(1)求橢圓E的方程；(2)若經過點，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點P，Q（均異于點A），證明：直線AP與AQ的斜率之和為定值.【解析】（1）由題意可知：，又，解得，所以橢圓方程為（2）證明：由題意可知直線有斜率，由于與點的連線的斜率為，且的橫縱坐標恰好與相反，因此直線有斜率滿足且，直線的方程為：，聯(lián)立直線與橢圓方程：，設，則，，將代入可得故直線AP與AQ的斜率之和為1，即為定值，得證.【變式102】（2024·高三·陜西榆林·階段練習）已知橢圓的右焦點為，A、B分別是橢圓的左、右頂點，為橢圓的上頂點，的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)設直線與橢圓交于不同的兩點，，點，若直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)，求證：直線過定點.【解析】（1）由題知，，，，由的面積為，得，又，代入可得，，∴橢圓的方程為.（2）聯(lián)立得，設，，可得，，由題知，即，即，解得，∴直線的方程為，故直線恒過定點.【變式103】（2024·高二·江蘇南京·階段練習）已知橢圓，右焦點的坐標為，且點在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)過點的直線交橢圓于兩點（直線不與軸垂直），已知點與點關于軸對稱，證明：直線恒過定點，并求出此定點坐標.【解析】（1）由已知得，解得，橢圓的標準方程，（2）設，則，可設的直線方程為，聯(lián)立方程，整理得，，，，整理得，，，解得，的直線方程為：，直線恒過定點.【變式104】（2024·高二·河南南陽·期末）已知橢圓的左頂點為，右頂點為，橢圓上不同于點的一點滿足.(1)求橢圓的方程；(2)過點的直線交橢圓于兩點，直線交于點，證明：點在定直線上.【解析】（1）如圖所示：根據(jù)題意，，設點的坐標為，由于點在橢圓上，所以，得，則，解得，所以橢圓的標準方程為.（2）解法一（非對稱韋達）：由題意如圖所示：設點，可設直線的方程為：，聯(lián)立，得，由根與系數(shù)的關系，，直線的方程：，①直線的方程：，②①②得，因為，所以，解得，因此，點在定直線上.解法二（齊次化）：由題意如圖所示：設不過點的直線的方程為：，由于直線過2,0，所以.設，點.橢圓的方程轉化為，，代入直線的方程得，，即，即，由根與系數(shù)的關系，，又由題意可得：，所以兩式相除得：，即，解得，所以點在定直線上.【變式105】（2024·高二·新疆克孜勒蘇·期末）已知橢圓的離心率，且橢圓經過點.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點且斜率不為零的直線與橢圓交于兩點，關于軸的對稱點為，求證：直線與軸交于定點.【解析】（1）設橢圓半焦距為，由題意得解得，橢圓的標準方程為：.（2）設點，則，直線的方程為，直線與橢圓聯(lián)立，消去，得，則，，得，由題意，直線的方程為，令，所以點的橫坐標，所以直線與軸交于定點.【變式106】（2024·高二·江蘇·專題練習）在平面直角坐標系中，已知橢圓的左頂點為A，上頂點為B，右焦點為F，連接BF并延長交橢圓C于點橢圓P．(1)若，，求橢圓C的方程(2)若直線AB與直線AP的斜率之比是2，證明：為定值，并求出定值．【解析】（1）由，，得：，解得，又點在橢圓上，則，解得，所以橢圓的方程為．（2）證明:依題意，令，直線，由，得，直線AB的斜率，直線AP的斜率，則，即，有，得，，于是得點，，，所以為定值.1．（2024·高二·山東濱州·階段練習）已知是直線l被橢圓所截得的線段AB的中點，則直線l的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】當直線的斜率不存在時，由對稱性可知被橢圓截得線段的中點在軸上，不合題意；故可設直線的方程為，代入橢圓方程化簡得，，有，，解得，所以直線的方程為，即.故選：B.2．（2024·高二·江蘇·專題練習）已知橢圓：經過點，右焦點為，，分別為橢圓的上頂點和下頂點，若過且斜率存在的直線與橢圓交于兩點，直線與直線的斜率分別為和，則的值為（

）A．1 B．3 C．2 D．【答案】B【解析】由題意可知，，，橢圓的標準方程為．設直線：，聯(lián)立直線和橢圓方程，，得，記，，則，由題意知和．則，，則，所以．故選：B3．（2024·高二·江蘇·專題練習）設分別是橢圓的左、右焦點，設過定點的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，且為銳角（其中O為坐標原點），則直線l的斜率k的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】顯然不滿足題意，設直線的方程為，設，，，解得，①，則，又為銳角，則，即，，所以，解得，②由①②，解得或，所以實數(shù)k的取值范圍為.故選：C.4．（2024·高二·天津·階段練習）已知是直線l被橢圓所截得的線段AB的中點，則直線l的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當直線斜率不存在時，由對稱性可知，此時直線被橢圓所截得的線段AB的中點在軸上，而已知是線段AB的中點，不在軸上，不滿足題意.故直線斜率存在，可設斜率為，則直線的方程為，即，代入橢圓的方程化簡得，所以，解得，故直線方程為，即.故選：B.5．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知是橢圓長軸的兩個端點，是橢圓上關于軸對稱的兩點，直線的斜率分別為.若橢圓的離心率為，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】設，不妨設點是橢圓長軸的左端點，則.因為橢圓的離心率，所以，所以，當且僅當時，等號成立，故A正確.故選：A.6．（2024·廣東廣州·模擬預測）已知點，是橢圓上不關于長軸對稱的兩點，且，兩點到點的距離相等，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設（），線段的中點為，則，兩式相減得，所以，所以，所以，因為，，所以，所以，所以，所以，因為，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍為.故選：B7．（2024·高二·上?！るS堂練習）阿基米德不僅是著名的物理學家，也是著名的數(shù)學家，他最早利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．若橢圓的對稱軸為坐標軸，焦點在軸上，且橢圓C的離心率為，面積為，則橢圓C的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設橢圓的標準方程為，則橢圓的面積為，又，聯(lián)立解得．所以橢圓的標準方程為．故選：D.8．（2024·高二·云南保山·期末）已知點是橢圓上的一點，左?右焦點分別為點，點在的平分線上，為坐標原點，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設，，與軸的交點為，．由且，得①，又，所以，故②，聯(lián)立①②消去得：，又，所以，因，所以有，所以，故，所以，解得離心率，故選：C．9．（多選題）（2024·高二·重慶·開學考試）如圖所示，用一個與圓柱底面成角的平面截圓柱，截面是一個橢圓.若圓柱的底面圓半徑為，則（

）A．橢圓的長軸長等于4B．橢圓的離心率為C．橢圓的標準方程可以是D．橢圓上的點到一個焦點的距離的最小值為【答案】BCD【解析】設橢圓的長半軸長為a，短半軸長為b，半焦距為c，橢圓長軸在圓柱底面上的投影為圓柱底面圓直徑，則由截面與圓柱底面成銳二面角，得，解得，A錯誤；顯然，則，離心率，B正確；當以橢圓短軸所在直線為x軸，長軸所在直線為y軸建立平面直角坐標系時，橢圓的標準方程，C正確；橢圓上的點到焦點的距離的最小值為，D正確.故選：BCD10．（多選題）（2024·高二·廣西南寧·期中）已知橢圓，、分別為它的左右焦點，、分別為它的左、右頂點，點是橢圓上的一個動點，下列結論中正確的有（

）A．點到右焦點的距離的最大值為3，最小值為1B．的最小值為C．若為直角三角形，則的面積為D．的范圍為【答案】ACD【解析】對A，易知，則，故A正確；對B，位于橢圓上頂點時最大，此時最小，且故此時為等邊三角形，，故B錯誤；對C，若為直角三角形，由B知，，所以或，不妨設，則此時點橫坐標，代入，得，故的面積為：，故C正確；對D，,設則，由得：，故，故，故D正確.故選：ACD11．（多選題）（2024·高二·云南昆明·期末）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，過作直線與C交于A，B兩點，的周長為8．若在C外，點Q在C上，記C的離心率為e，則（

）A．的最小值為5B．C．存在點Q，使得D．當時，點R在C上且滿足，則有【答案】BD【解析】因為的周長為8，所以，即.因為在C外，代入橢圓方程所以，所以.對于A：，當且僅當時，等號成立，所以，故A不正確；對于B：橢圓的離心率，即橢圓的離心率的取值范圍是12,1，故B正確；設橢圓的上頂點為，F(xiàn)1-c,0，，由于，因為，當時，此時不存在使得，故C錯誤；對于D:當時,可得：此時橢圓方程為，設直線為：，聯(lián)立，得，設，，則，，，，，，原點到直線的距離，