第23課圓選填壓軸題

第23課圓選填壓軸題一、單選題1．如圖，內(nèi)接于，若為的內(nèi)心，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，為、交點(diǎn)，連結(jié)、，以下結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）若，則．以上結(jié)論正確的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，利用圓周角定理和外角的性質(zhì)，得到，從而推出；再證明，得到；證明，得到；【解析】解：∵點(diǎn)是的內(nèi)心∴，∵，∴，∴∵，∴，∴；無(wú)法證明，故（1）錯(cuò)誤；∵∴，∵，∴，∴，∴，∴；故（2）正確；∵，∴，∴，∴；故（3）錯(cuò)誤；∵，∴，∴，∴，【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)心，圓周角定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握三角形的內(nèi)心是三條角平分線的交點(diǎn)，以及等弧所對(duì)的圓周角相等，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．2．如圖，等腰內(nèi)接于圓O，直徑，D是圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，且交于點(diǎn)G．下列結(jié)論：①平分；②；③當(dāng)，四邊形的面積為；④當(dāng)時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最大，正確的有（

）A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④【答案】C【分析】證明，由圓周角定理以及三角形的外角性質(zhì)即可證明①②正確；作，交延長(zhǎng)線于M，證明，利用勾股定理以及三角形面積公式即可證明③錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最大，據(jù)此求解即可．【解析】解：∵等腰內(nèi)接于圓O，且為直徑，∴，∴，即平分；故①正確；∵，∴，∵，∴；故②正確；作，交延長(zhǎng)線于M，∵，∴，∵A、C、B、D四點(diǎn)共圓，∴，，∴，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，由勾股定理得：，∵，∴；∵，∴；∵直徑，，，∴，，∴，四邊形的面積為，故③錯(cuò)誤；∵，要使四邊形的周長(zhǎng)最大，要最大，∴當(dāng)時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最大，此時(shí)，，故④正確；綜上，①②④正確；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．3．如圖所示，半徑為的的弦，，交于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，連接，，，．有下列結(jié)論：①；②若．則；③若，，則．其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】①由弦，可得，進(jìn)而可得，然后由圓周角定理，證得，即可判定；②連接，由，，可求得，進(jìn)而可得是等腰直角三角形，則可求得；③設(shè)與相交于點(diǎn)G，連接，易證得是等腰三角形，即可判斷．【解析】①∵弦，∴，∴，，故①正確；②連接，，∴，故②正確；③設(shè)與相交于點(diǎn)G，連接，∵，在和中，∵，其中正確的是：①②③，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合問(wèn)題，熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.4．如圖，如圖，是的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，與過(guò)點(diǎn)的切線垂直，垂足為，直線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，弦平分，交于點(diǎn)，連接，．下列四個(gè)結(jié)論：①平分；②；③若，則陰影部分的面積為；④若，則．其中正確的是（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】①連接，根據(jù)是的切線，，推出，得到，根據(jù)，推出，得到，得到平分，此結(jié)論正確；②根據(jù)是的直徑，推出，得到，根據(jù)，推出，得到，根據(jù)，推出，推出，得到，根據(jù)平分，推出，根據(jù)，，推出，得到，得到，此結(jié)論正確；③根據(jù)若，推出是斜邊上的中線，推出，根據(jù)，推出，得到是等邊三角形，得到，連接，則，根據(jù)，推出，得到，推出，此結(jié)論不正確；④根據(jù)，，，推出，得到，根據(jù)，推出，得到，根據(jù)，推出，得到，根據(jù)，推出，此結(jié)論正確．【解析】①連接，∵是的切線，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴平分，故平分正確；②∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∴，∴，故正確；③∵若，∴是斜邊上的中線，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，連接，則，∵，∴，∴，∴，故若，則陰影部分的面積為不正確；④∵，，，∴，∴，∵，∴，∴,∵，∴,∴，∵，∴．故若，則正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線，角平分線，圓周角，勾股定理，平行線，相似三角形，等邊三角形，扇形面積，銳角三角函數(shù)等，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是添加輔助線，熟練掌握?qǐng)A的切線的性質(zhì)，角平分線的定義，圓周角定理的推論，勾股定理解直角三角形，平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形面積計(jì)算公式，正切的定義．5．如圖，如圖，是的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，與過(guò)點(diǎn)的切線垂直，垂足為，直線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，弦平分，交于點(diǎn)，連接，．下列四個(gè)結(jié)論：①平分；②；③若，則陰影部分的面積為；④若，則．其中正確的是（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】①連接，根據(jù)是的切線，，推出，得到，根據(jù)，推出，得到，得到平分，此結(jié)論正確；②根據(jù)是的直徑，推出，得到，根據(jù)，推出，得到，根據(jù)，推出，推出，得到，根據(jù)平分，推出，根據(jù)，，推出，得到，得到，此結(jié)論正確；③根據(jù)若，推出是斜邊上的中線，推出，根據(jù)，推出，得到是等邊三角形，得到，連接，則，根據(jù)，推出，得到，推出，此結(jié)論不正確；④根據(jù)，，，推出，得到，根據(jù)，推出，得到，根據(jù)，推出，得到，根據(jù)，推出，此結(jié)論正確．【解析】①連接，∵是的切線，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴平分，故平分正確；②∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∴，∴，故正確；③∵若，∴是斜邊上的中線，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，連接，則，∵，∴，∴，∴，故若，則陰影部分的面積為不正確；④∵，，，∴，∴，∵，∴，∴,∵，∴,∴，∵，∴．故若，則正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線，角平分線，圓周角，勾股定理，平行線，相似三角形，等邊三角形，扇形面積，銳角三角函數(shù)等，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是添加輔助線，熟練掌握?qǐng)A的切線的性質(zhì)，角平分線的定義，圓周角定理的推論，勾股定理解直角三角形，平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形面積計(jì)算公式，正切的定義．6．如圖，AB為⊙O的直徑，C為的中點(diǎn)，D為劣弧CB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），過(guò)D作⊙O的切線交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接CD并延長(zhǎng)交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，給出下列結(jié)論：①若CBDP，則∠DAB=22.5°；②若PB=BD，則∠DPA=30°；③DP可能成為∠BDQ的平分線；④若⊙O的半徑為1，則CD?CQ=AB；⑤0°<∠PDQ≤45°．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】C為的中點(diǎn)，可得AC=BC，由AB為⊙O的直徑，可得△ABC是等腰直角三角形，所以∠CBA=∠CAB=45°，①若CBDP，得∠DPO=45°，再結(jié)合切線性質(zhì)，得△ODP是等腰直角三角形，所以∠DOP=45°，即可求出圓周角度數(shù)；②若PB=BD，可證△ODB是等邊三角形，即可求出∠DPA=30°；③由①即可得DP可能成為∠BDQ的平分線；④證明△ACD∽△CQA，得CD?CQ=AC2=AB；⑤∠PDQ不可能等于∠QDB，而∠QDB=45°，所以⑤錯(cuò)誤．【解析】解：連接AC，OD，C為的中點(diǎn)，∴AC=BC，∵AB為⊙O的直徑，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠CBA=∠CAB=45°，①∵CBDP，∴∠DPO=∠CBA=45°，∵DP是⊙O切線，∴∠ODP=90°，∴△ODP是等腰直角三角形，∴∠DOP=45°，∴∠DAB=∠DOP=22.5°，故①正確；②若PB=BD，∴∠PDB=∠DPB，∵∠PDB+∠ODB=∠DPB+∠DOP=90°，∴∠ODB=∠DOP，∴DB=OB，∵OD=OB，∴△ODB是等邊三角形，∴∠DOP=60°，∴∠DPA=30°，故②正確；③由①即可得DP可能成為∠BDQ的平分線，故③正確；④∵C為的中點(diǎn)，∴∠CDA=∠CAB，∵∠ACD=∠ACQ，∴△ACD∽△CQA，∴，∴，∵AB=2，∴CD?CQ=AB，故④正確；⑤∵∠QDB=∠CAB=45°，∴0°＜∠PDQ＜45°，所以⑤錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理及推論，相似三角形的性質(zhì)及判定，等邊三角形的性質(zhì)及判定，解題關(guān)鍵是抓住幾個(gè)等腰直角三角形．7．如圖，已知上的兩條弦和互相垂直于點(diǎn)，點(diǎn)在弦上，點(diǎn)在弦上，且，連接和，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，射線與線段交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．4【答案】D【分析】連接，，，由題意并結(jié)合中位線定理可知PO=QO，且PO⊥QO，進(jìn)而可知為等腰直角三角形，然后計(jì)算，過(guò)Q作QM垂直于BC，在中由勾股定理計(jì)算出，再在中由勾股定理計(jì)算的長(zhǎng)即可．【解析】解：連接，，，如圖，∵，∴，∴為直徑，∵為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴且，且，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，過(guò)點(diǎn)作交于，∴，∴，∴，∵，∴在中，由勾股定理可知，即，解得，在中，，∴，∴，由勾股定理可知，即，整理，得，解得．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、中位線定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，能夠構(gòu)造適合的輔助線是解決此題的關(guān)鍵．8．如圖，為⊙外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作⊙的切線、，與過(guò)圓心的直線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)、為切點(diǎn)，線段交⊙于點(diǎn)．若，，，則的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，根據(jù)切線的性質(zhì)以及切線長(zhǎng)的性質(zhì)證明四邊形是正方形，設(shè)圓的半徑為，可得，根據(jù)，解直角三角形，勾股定理求得，根據(jù)已知條件，即可求得半徑，進(jìn)而求得的長(zhǎng)．【解析】如圖，連接，、是的切線，，，又，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，設(shè)，，，，中，，，，，，在中，，，，．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了正切函數(shù)，切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，正方形的性質(zhì)與判定，勾股定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．9．我們定義：兩邊平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形，根據(jù)定義：①等邊三角形一定是奇異三角形；②在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇異三角形，則a：b：c＝1：：2；③如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），D是半圓的中點(diǎn)，C、D在直徑AB的兩側(cè)，若在⊙O內(nèi)存在點(diǎn)E，使AE＝AD，CB＝CE．則△ACE是奇異三角形；④在③的條件下，當(dāng)△ACE是直角三角形時(shí)，∠AOC＝120°，其中，說(shuō)法正確的有（

）A．①② B．①③ C．②④ D．③④【答案】B【分析】①設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，代入檢驗(yàn)即可；②在中，由勾股定理可得，因?yàn)槭瞧娈惾切危?，所以，然后可得，，代入可求；③要證明△ACE是奇異三角形，只需證即可；④由③可得ΔACE是奇異三角形，所以，當(dāng)ΔACE是直角三角形時(shí)，由②可得或，然后分兩種情況討論．【解析】解：設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，則，滿足奇異三角形的定義，等邊三角形一定是奇異三角形，故①正確；在中，，∵，∴，，若是奇異三角形，一定有，∴，∴，得．∵，∴，∴，故②錯(cuò)誤；在中，，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°，在中，；在中，．∵D是半圓的中點(diǎn)，∴，∴AD=BD，

∴，又∵，，∴．∴ΔACE是奇異三角形，故③正確；由③可得ΔACE是奇異三角形，∴．當(dāng)ΔACE是直角三角形時(shí)，由②可得或，（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，即，∵，∴，∴．（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，即，∵∠ACB=90°，∴∠ABC=60°，∴∠AOC=2∠ABC=120°，∴∠AOC的度數(shù)為60°或120°，故④錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了：1．命題；2．勾股定理；3．圓周角定理及推論；4．直角三角形的性質(zhì)．能牢固掌握以上知識(shí)點(diǎn)并綜合運(yùn)用是做出本題的關(guān)鍵．10．如圖，在⊙O中，直徑CD垂直弦AB于點(diǎn)E，且OE＝DE．點(diǎn)P為上一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B，C重合），連結(jié)AP，BP，CP，AC，BC．過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BP于點(diǎn)F．給出下列結(jié)論：①△ABC是等邊三角形；②在點(diǎn)P從B→C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的值始終等于．則下列說(shuō)法正確的是（）A．①，②都對(duì) B．①對(duì)，②錯(cuò) C．①錯(cuò)，②對(duì) D．①，②都錯(cuò)【答案】A【分析】作CM⊥AP于M，連接AD，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AO=AD，證明△AOD是等邊三角形，求出∠D＝∠ABC＝60°，根據(jù)垂徑定理得到CA＝CB，從而證得①；利用圓周角定理求出∠CPF＝60°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CF=CM，證明Rt△CPF≌Rt△CPM得到PF=PM，證明Rt△AMC≌Rt△BFC得到AM＝BF，求出再根據(jù)三角函數(shù)求出得到②正確.【解析】如圖，作CM⊥AP于M，連接AD．∵AE⊥OD，OE＝DE，∴AO＝AD，∵OA＝OD，∴AO＝AD＝OD，∴△AOD是等邊三角形，∴∠D＝∠ABC＝60°，∵CD⊥AB，∴AE＝EB，∴CA＝CB，∴△ABC是等邊三角形，故①正確，∵∠CPA＝∠ABC＝60°，∠APB＝∠ACB＝60°，∴∠CPF＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵∠CPM＝∠CPF＝60°，CF⊥PF，CM⊥PA，∴CF＝CM，∵PC＝PC，∠CFP＝∠CMP，∴Rt△CPF≌Rt△CPM（HL），∴PF＝PM，∵AC＝BC，CM＝CF，∠AMC＝∠CFB＝90°，∴Rt△AMC≌Rt△BFC（HL），∴AM＝BF，∴AP﹣PB＝PM+AM﹣（BF﹣PF）＝2PM＝2PF，∴，在Rt△CPF中，∵∠CPF＝60°，∠CFP＝90°，，，∴，故②正確，故選：A.【點(diǎn)睛】此題是一道綜合題，考查了圓的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，三角函數(shù).二、填空題11．如圖，正方形中，，是的中點(diǎn)．以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫圓，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接、，則的最小值為_(kāi)________．【答案】##【分析】取點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)M，連接、兩線交于點(diǎn)O，連接，由勾股定理求得，根據(jù)即可求得的最小值．【解析】解∶取點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)M，連接、兩線交于點(diǎn)O，連接，，，過(guò)O作于點(diǎn)N，∵點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，∴，∴點(diǎn)Q在以O(shè)為圓心，l為半徑的上運(yùn)動(dòng)，∵四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴當(dāng)M、F、Q、O四點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，∴的最小值為．故答案為∶．【點(diǎn)睛】本題考查圓的有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短公理的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確確定點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡．12．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)分別在上，且，過(guò)三點(diǎn)作交于點(diǎn)．在點(diǎn)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)中滿足某兩條線段相等時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)________．【答案】或或【分析】分：三種情況進(jìn)行討論，根據(jù)圓周角定理以及正方形的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】①當(dāng)時(shí)：連接，則：，∴∵四邊形為正方形，則：，，；∴，∴，∴三點(diǎn)共線，又∵點(diǎn)分別在上，∴為正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，∴；②當(dāng)時(shí)：如圖，此時(shí)：，∴，∵四邊形為正方形，∴，∴，∴；③當(dāng)時(shí)，點(diǎn)作的垂線分別交于點(diǎn)，∵，∴是直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，設(shè)．∵，則．∴．∵，∴，解得或（舍棄），∴，綜上所述，所有滿足條件的BF長(zhǎng)分別為或或．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)和圓周角定理以及利用勾股定理解直角三角形．熟練掌握正方形的性質(zhì)，等弧所對(duì)的圓周角相等，對(duì)應(yīng)的弦為直徑以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．13．如圖，內(nèi)接于，為直徑，作交于點(diǎn)D，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作的切線，交于點(diǎn)E．如果，，則弦BC的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】##【分析】連接．先證，推出，再證，根據(jù)勾股定理求出，，的長(zhǎng)，通過(guò)證明，得出比例線段即可求出的長(zhǎng)．【解析】解：如圖，連接．與相切，是的半徑，，，，，，，，，，．∵是的直徑，，在中，，，，，，，，，，，在中，，在和中，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、切線的定義、等腰三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并綜合運(yùn)用上述知識(shí)．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A(0，4)為圓心，4為半徑的圓交y軸于點(diǎn)B．己知點(diǎn)C(4，0)，點(diǎn)D為⊙A上的一動(dòng)點(diǎn)，以D為直角頂點(diǎn)，在CD左側(cè)作等腰直角三角形CDE，連接BC，則△BCE面積的最小值為_(kāi)________．【答案】##【分析】取的中點(diǎn)，連接，證明，得出點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取點(diǎn)，連接，根據(jù)中線的性質(zhì)得出在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，到的距離最短，此時(shí)的面積最小，證明，求得，進(jìn)而即可求解．【解析】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，∵，∴是等腰直角三角形，，，設(shè)是等腰直角三角形，∴，∴，即，又，設(shè)，則，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴，則，即點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，取點(diǎn)，連接，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，到的距離最短，此時(shí)的面積最小，∵，∴，∴，由，∴，∴，∵以點(diǎn)A(0，4)為圓心，4為半徑的圓交y軸于點(diǎn)B∴，∴，∴，又，∴，∴，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，到的距離為，此時(shí)．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最值問(wèn)題，求得點(diǎn)的軌跡是解題的關(guān)鍵．15．已知是半徑為1的⊙O的一條弦，且，以為一邊在⊙O內(nèi)作等邊三角形，點(diǎn)D為⊙O上不同于點(diǎn)A的一點(diǎn)，且，的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，連接，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】1【分析】由等邊和圓的內(nèi)接四邊形可推導(dǎo)，然后通過(guò)得出，最后證明和全等即可得出結(jié)果．【解析】解：如圖所示，連接、、是等邊三角形，即：為等腰三角形為等腰三角形在和中，（AAS）故答案為：1．【點(diǎn)睛】此題考查了圓的內(nèi)接四邊形、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理；其中熟練運(yùn)用圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)來(lái)倒角，是解決此題的關(guān)鍵．16．【閱讀理解】三角形中線長(zhǎng)公式：三角形兩邊平方的和，等于所夾中線和第三邊一半的平方和的兩倍如左圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，則有：．【問(wèn)題解決】請(qǐng)利用上面的結(jié)論，解決下面問(wèn)題：如右圖，點(diǎn)C、D是以AB為直徑的⊙O上兩點(diǎn)，點(diǎn)P是OB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，且，若，當(dāng)△EPB面積最大時(shí)，則CD的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】【分析】連接，根據(jù)垂徑定理可得①，取的中點(diǎn)，則，根據(jù)三角形中線長(zhǎng)公式可得：②，由①②得出，可得點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而根據(jù)三角形中線的性質(zhì)，以及三角形面積公式，圓上一點(diǎn)到直徑的距離，求得當(dāng)時(shí)，△EPB面積最大，進(jìn)而勾股定理求得的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線即可求解．【解析】解：如圖，連接，∵為的中點(diǎn)，∴，，∴，∵AB為⊙O的直徑,,∴，∴，∴①如圖，取的中點(diǎn)，則，根據(jù)三角形中線長(zhǎng)公式可得：②∵，∴，即②，將①代入②得：，∴，∴在以為圓心為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，在中，為的中點(diǎn)，∴設(shè)點(diǎn)到的距離為，由，則當(dāng)取得最大值時(shí)，最大，∴當(dāng)時(shí)，，在中，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中線長(zhǎng)公式，垂徑定理，直角三角形斜邊上的中線，勾股定理，充分利用三角形中線長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．17．如圖，在半徑為5的⊙O中；弦AC＝8，B為上一動(dòng)點(diǎn)，將△ABC沿弦AC翻折至△ADC，延長(zhǎng)CD交⊙O于點(diǎn)E，F(xiàn)為DE中點(diǎn)，連接AE，OF．現(xiàn)給出以下結(jié)論：①AE＝AB；②∠AED=∠ADE；③∠ADC＝2∠AED；④OF的最小值為2，其中正確的是________（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）．【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，，結(jié)合圓周角定理可得出進(jìn)而推出正確；假設(shè)，推出是等邊三角形，進(jìn)而推出，為定值，這與是變角相矛盾；作于M，并延長(zhǎng)交于G，連接FM、OC、AF，先根據(jù)垂徑定理求出OM的長(zhǎng)，然后根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求出FM長(zhǎng)，最后根據(jù)三角形三邊關(guān)系得出，則可解決問(wèn)題．【解析】解：折疊得到，，，又在中，和所對(duì)的弦分別是AB和AE，又，，在中，，，故正確；由可得，假設(shè)，，，∴是等邊三角形，，，是定值，而B(niǎo)是動(dòng)點(diǎn)，A、C兩點(diǎn)固定，則是變化的，兩者矛盾，故錯(cuò)誤；如圖，作于M，并延長(zhǎng)交于G，連接FM、OC、AF，，，由得，F(xiàn)為ED的中點(diǎn)，，，，當(dāng)O、F、M三點(diǎn)共線時(shí)，OF最小，這時(shí)OF=1，故錯(cuò)誤；綜上所述，正確的是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合，涉及圖形的翻著的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，三角形的三邊關(guān)系等，熟練掌握以上性質(zhì)，靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．18．已知AC、BD為⊙O的直徑，連接AB，BC，AB＝BC，若點(diǎn)F是OC上一點(diǎn)，且CF＝2OF．點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，（且不與點(diǎn)A、B重合）連接EF，設(shè)OB與EF交于點(diǎn)P．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)E為AB中點(diǎn)時(shí)，則的值_______；②連接DF，當(dāng)EF⊥DF時(shí)，＝_____．【答案】

【分析】①作EL⊥OB于點(diǎn)L，設(shè)⊙O的半徑為r，則OB＝OC＝r，由平行線分線段成比例定理及△PLE∽△POF可求出題中要求的結(jié)果；②連接BF，作FH⊥BE于點(diǎn)H，作EG⊥OA于點(diǎn)G，先證明△FBH≌△FEH，則DF＝EF，再證明△FGE≌△DOF，可得AG＝EG＝OF，由相似三角形的性質(zhì)或勾股定理可求出的值．【解析】解：①過(guò)點(diǎn)E作EL⊥OB于點(diǎn)L，設(shè)⊙O的半徑為r，則OB＝OC＝r，∵AB＝BC，OA＝OC，∠ABC＝90°，∴BO⊥AC，∠ABO＝∠CBO＝∠ABC＝45°，∴ELAC，∴，∵BE＝AE，∴BL＝OL＝OB＝r，∵∠BLE＝90°，∠LBE＝45°，∴∠LBE＝∠LEB＝45°，∴EL＝BL＝r，∵ELOF，∴△PLE∽△POF，∵OF＝OC＝r，∴＝，故答案為：；②連接BF，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BE于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥OA于點(diǎn)G，∵AC⊥BD，OB＝OD，∴DF＝BF，∠DOF＝90°，∴∠FBO＝∠D，∵EF⊥DF，∴∠DFP＝90°，∴∠D＝90°﹣∠DFO＝∠EFG，∴∠FBO＝∠D＝∠EFG，設(shè)∠FBO＝∠D＝∠EFG＝α，∵∠AHF＝∠ABC＝90°，∴FHBC，∴∠BFH＝∠FBC＝45°﹣α；∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠A＝∠C＝45°，∵∠AHF＝90°，∴∠HFA＝∠A＝45°，∴∠EFH＝45°﹣α，∴∠BFH＝∠EFH，∵FH＝FH，∠FHB＝∠FHE＝90°，∴△FBH≌△FEH（ASA），∴BF＝EF，∴DF＝EF，設(shè)⊙O的半徑為r，則OA＝OB＝OC＝r，∵∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝r；∵∠FGE＝∠DOF＝90°，∠EFG＝∠D，F(xiàn)E＝DF，∴△FGE≌△DOF（AAS），∴GE＝OF＝OC＝r；∵∠AGE＝90°，∠A＝45°，∴∠GEA＝∠A＝45°，∴GA＝GE＝r，∴AE＝＝＝，∴＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，全等三角形的判定與性質(zhì)、圓的有關(guān)知識(shí)，勾股定理等知識(shí)與方法，解題的關(guān)鍵是正確地作出輔助線，此題難度較大，屬于考試壓軸題．19．如圖，在中，是邊上的中線，以為直徑的⊙交于點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，，，則______；_______．【答案】

6【分析】