專題16圓中的計(jì)算與證明經(jīng)典綜合大題專訓(xùn)（六大題型）（原卷版）2

專題16圓中的計(jì)算與證明經(jīng)典綜合大題專訓(xùn)（六大題型）【題型目錄】題型一圓的對(duì)稱性相關(guān)的綜合大題題型二確定圓的條件相關(guān)的綜合大題題型三圓周角的綜合大題題型四直線與圓的位置關(guān)系相關(guān)的綜合大題題型五正多邊形與圓相關(guān)的綜合大題題型六弧長(zhǎng)及扇形面積綜合大題【經(jīng)典例題一圓的對(duì)稱性相關(guān)的綜合大題】1．（2023·統(tǒng)考二模）如圖，在正方形中，點(diǎn)E為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接，．

(1)求證：．(2)求的度數(shù)．(3)若，在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求點(diǎn)F到距離的最大值．2．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，是的弦，點(diǎn)C在外，連接、分別交于D、E，(1)求證：．(2)如圖2，過(guò)圓心O作，交于P、Q兩點(diǎn)，交、于M、N兩點(diǎn)，求證：．(3)如圖3，在（2）的條件下，連接、，，若，，求弦的長(zhǎng)．3．（2023·陜西西安·?？级＃締?wèn)題提出】（1）如圖①，在等腰直角中，，為等邊三角形，，則線段BD的長(zhǎng)為_(kāi)__________；【問(wèn)題解決】（2）如圖②，在等腰直角中，，以AC為直徑作半圓O，點(diǎn)D為上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)B、D之間的最大距離；【問(wèn)題探究】（3）一次手工制作課程中，老師要求小明和小麗組制作一種特殊的部件，部件的要求如圖③，部件是由直角以及弓形BDC組成，其中，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，，這時(shí)候小明和小麗在討論這個(gè)部件，其中小麗說(shuō)點(diǎn)A到的最大距離是點(diǎn)A、D之間的距離，小明說(shuō)不對(duì)，你認(rèn)為誰(shuí)的說(shuō)法正確？請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出點(diǎn)A到的最大距離．4．（2023·黑龍江齊齊哈爾·校考三模）【問(wèn)題思考】如圖1，點(diǎn)E是正方形內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E的直線，以為邊向右側(cè)作正方形，連接，直線與直線交于點(diǎn)P，則，通過(guò)這兩個(gè)三角形全等可得線段與之間的關(guān)系為．【問(wèn)題類比】如圖2、3，當(dāng)點(diǎn)E是正方形外的一點(diǎn)時(shí)，【問(wèn)題思考】中的結(jié)論（填成立或不成立），若成立，請(qǐng)選擇圖2證明你的結(jié)論；若不成立，請(qǐng)選擇圖3說(shuō)明理由；【拓展延伸】（1）若點(diǎn)E是邊長(zhǎng)為2的正方形所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，【問(wèn)題思考】中其他條件不變，則的取值范圍是（直接寫(xiě)出結(jié)果）．（2）若點(diǎn)E是邊長(zhǎng)為2的正方形所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，【問(wèn)題思考】中其他條件不變，則動(dòng)點(diǎn)P到邊的最大距離為（直接寫(xiě)出結(jié)果）．

5．（2022秋·江蘇南京·九年級(jí)南京市科利華中學(xué)?？计谥校┰趯W(xué)習(xí)《2.1圓》時(shí)，小明遇到了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1（1）、1（2）所示，和中，．試證明、、、四點(diǎn)在同一圓上．小明想到了如下證法：在圖1（1）、1（2）中取中點(diǎn)，連接、．則有及，即，所以、、、四點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上．根據(jù)以上探究問(wèn)題得出的結(jié)論，解決下列問(wèn)題：(1)如圖2，在中，三條高、、相交于點(diǎn)，連接０、，若，則______________°．(2)如圖3，已知是的直徑，是的弦，為的中點(diǎn)，于，于（、不重合）．若，求證：．6．（2023·北京·九年級(jí)專題練習(xí)）在平衡直角坐標(biāo)系中，線段，點(diǎn)，在線段上，且，為的中點(diǎn)，如果任取一點(diǎn)，將點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，則稱點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于線段的“旋平點(diǎn)”．

(1)如圖1，已知，，，知果為點(diǎn)關(guān)于線段的“旋平點(diǎn)”，畫(huà)出示意圖，寫(xiě)出的取值范圍；(2)如圖，的半徑為，點(diǎn)，在上，點(diǎn)，如果在直線上存在點(diǎn)關(guān)于線段的“旋平點(diǎn)”，求的取值范圍．【經(jīng)典例題二確定圓的條件相關(guān)的綜合大題】1．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）尺規(guī)作圖蘊(yùn)含豐富的推理，還體現(xiàn)逆向思維，請(qǐng)嘗試用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)完成下列作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡．

(1)【圓的作圖】點(diǎn)P是中邊上的一點(diǎn)，在圖1中作，使它與的兩邊相切，點(diǎn)P是其中一個(gè)切點(diǎn)；(2)點(diǎn)P是中邊上的一點(diǎn)，在圖2中作，使它滿足以下條件：①圓心O在上；②經(jīng)過(guò)點(diǎn)P；③與邊相切；(3)【不可及點(diǎn)的作圖】如圖3，從墻邊上引兩條不平行的射線（交點(diǎn)在墻的另一側(cè)，畫(huà)不到），作這兩條射線所形成角的平分線．2．（2023·陜西·模擬預(yù)測(cè)）新定義：如圖1（圖2，圖3），在中，把邊繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，把邊繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，若，我們稱是的“旋補(bǔ)三角形”，的中線叫做的“旋補(bǔ)中線”，點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”．【特例感知】(1)①若是等邊三角形（如圖2），，則______________．②若（如圖3），，_____________．【猜想論證】(2)在圖1中，當(dāng)是任意三角形時(shí)，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（提示：過(guò)點(diǎn)作且，連接，則四邊形是平行四邊形）【拓展應(yīng)用】(3)如圖4，點(diǎn)A，B，C，D都在半徑為5的圓P上，且與不平行，，是的“旋補(bǔ)三角形”，點(diǎn)P是“旋補(bǔ)中心”，求BC的長(zhǎng)．3．（2022秋·河北廊坊·九年級(jí)廊坊市第四中學(xué)校考期中）如圖，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．設(shè)，于點(diǎn)，將射線繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，與直線交于點(diǎn)．(1)判斷：___________(2)若，求的長(zhǎng)(3)若是銳角三角形，直接寫(xiě)出的取值范圍．4．（2021·河北保定·保定市第十七中學(xué)校考一模）如圖1，在中，，點(diǎn)D和點(diǎn)E分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，在線段上以做等速運(yùn)動(dòng)，分別到達(dá)點(diǎn)B、點(diǎn)A后停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)；(3)當(dāng)△ADC的外心在其外部時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的取值范圍．5．（2021·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在⊙O中，兩條弦AC，BD垂直相交于點(diǎn)E，等腰△CFG內(nèi)接于⊙O，F(xiàn)H為⊙O直徑，且AB＝6，CD＝8．（1）求⊙O的半徑；（2）若CF＝CG＝9，求圖中四邊形CFGH的面積．6．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，為圓的內(nèi)接三角形，，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)若，，求的半徑．【經(jīng)典例題三圓周角的綜合大題】1．（2023·江蘇南京·校考二模）已知在中，，點(diǎn)平分平分，過(guò)點(diǎn)13．（2022秋·四川廣安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，為的直徑，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，交直線于D點(diǎn)．

(1)求證：；(2)若，求的直徑．2．（2023春·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)，連接，，

(1)求證：；(2)作于點(diǎn)，若的半徑為，，求的長(zhǎng)．3．（2023春·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，已知為的直徑，C為上一點(diǎn)，于E，D為弧的中點(diǎn)，連接，分別交于點(diǎn)F和點(diǎn)G．(1)求證：；(2)如圖2，若，連接，求證：．4．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）初步探究（1）如圖，點(diǎn)、分別在正方形的邊、上，將、分別沿、折疊后，、重合于，則______；

深入探究（2）如圖，在等腰直角中，，點(diǎn)在右側(cè)，且于點(diǎn)，交于點(diǎn)，將沿折疊得到，連接求證：是等腰直角三角形；

問(wèn)題解決（3）如圖，現(xiàn)有一塊四邊形鐵皮，，，工人師傅想用這塊鐵皮裁出一個(gè)直角三角形部件，要求點(diǎn)在邊上，，且．工人師傅在這塊鐵皮上的操作如下：

①分別在邊、上各取一點(diǎn)、，將、分別沿、折疊后，使得、重合于；②再將四邊形展開(kāi)鋪平，連接，分別交折痕，于點(diǎn)，，連接，得到請(qǐng)問(wèn)，若按上述操作，裁得的部件是否符合要求？請(qǐng)證明你的結(jié)論．5．（2023·廣東江門·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)A、、在上，是直徑，的角平分線與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且，連接，交于點(diǎn)．(1)證明：；(2)試猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．6．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知四邊形內(nèi)接于，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，連接、，．(1)如圖，求證：為的直徑；

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)作于，交于點(diǎn)，求證：；

(3)如圖，在（）的條件下，過(guò)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于，若，，求線段的長(zhǎng)．

【經(jīng)典例題四直線與圓的位置關(guān)系相關(guān)的綜合大題】1．（2023·江蘇南通·?？既＃┤鐖D，為外一點(diǎn)，，是的切線，，為切點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接，，．

(1)求證：；(2)連接，若，的半徑為5，，求的長(zhǎng)．2．（2023·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）已知：射線平分，為上一點(diǎn)，交射線于點(diǎn)，，交射線于點(diǎn)，，連接，，．

(1)如圖1，若，試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)．求證：．3．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，內(nèi)接于，且為的直徑，的平分線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)在左側(cè)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)求證：是的切線；(3)若，，求線段的長(zhǎng)．4．（2023春·江西南昌·九年級(jí)南昌市第二十八中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）課本再現(xiàn)（1）在圓周角和圓心角的學(xué)習(xí)中，我們知道了：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．課本中先從四邊形一條對(duì)角線為直徑的特殊情況來(lái)論證其正確性，再?gòu)膶?duì)角線是非直徑的一般情形進(jìn)一步論證其正確性，這種數(shù)學(xué)思維方法稱為“由特殊到一般”如圖1，四邊形為的內(nèi)接四邊形，為直徑，則__________度，__________度．（2）如果的內(nèi)接四邊形的對(duì)角線不是的直徑，如圖2、圖3，請(qǐng)選擇一個(gè)圖形證明：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．知識(shí)運(yùn)用（3）如圖4，等腰三角形的腰是的直徑，底邊和另一條腰分別與交于點(diǎn)．點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接，求證：是的切線．

5．（2022秋·河北邢臺(tái)·九年級(jí)邢臺(tái)三中?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，，，延長(zhǎng)到點(diǎn)D，使．點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)，點(diǎn)Q在射線上，，以點(diǎn)P為圓心、PD長(zhǎng)為半徑作，交A于點(diǎn)E，設(shè)．

(1)______，當(dāng)點(diǎn)Q在上時(shí)，______；(2)x為何值時(shí)，與相切？(3)當(dāng)時(shí)，求陰影部分的面積；(4)若與的三邊有兩個(gè)公共點(diǎn)，直接寫(xiě)出x的取值范圍．6．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）【感知】如圖①，點(diǎn)A、B、P均在上，，則銳角的大小為_(kāi)_________度．

【探究】小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖②，是等邊三角形的外接圓，點(diǎn)P在上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），連結(jié)、、．求證：．小明發(fā)現(xiàn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，通過(guò)證明，可推得是等邊三角形，進(jìn)而得證．下面是小明的部分證明過(guò)程：證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，四邊形是的內(nèi)接四邊形，．，．是等邊三角形．，請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過(guò)程．【應(yīng)用】如圖③，是的外接圓，，點(diǎn)P在上，且點(diǎn)P與點(diǎn)B在的兩側(cè)，連結(jié)、、．若，則的值為_(kāi)_________．【經(jīng)典例題五正多邊形與圓的相關(guān)的綜合大題】1．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，是的直徑，，是的弦，，延長(zhǎng)到，連接，．

(1)求證：是的切線；(2)以為邊的圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)等于________．2．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，點(diǎn)、都在格點(diǎn)上，以為圓心，為半徑做圓，只用無(wú)刻度的直尺完成以下畫(huà)圖．(1)在圖①中畫(huà)的一個(gè)內(nèi)接正四邊形，___________；(2)在圖②中畫(huà)的一個(gè)內(nèi)接正六邊形，__________．4．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形．(1)求證：在六邊形ABCDEF中，過(guò)頂點(diǎn)A的三條對(duì)角線四等分∠BAF．(2)設(shè)⊙O的面積為S1，六邊形ABCDEF的面積為S2，求的值（結(jié)果保留π）．5．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）[閱讀與思考]如圖①，在正三角形中，點(diǎn)，是，上的點(diǎn)，且，則，；如圖②，在正方形中，點(diǎn)，是，上的點(diǎn)，且，則，；如圖③，在正五邊形中，點(diǎn)，是，上的點(diǎn)，且，則，；[理解與運(yùn)用]在正六邊形中，點(diǎn)，是，上的點(diǎn)，且，則，；在正十邊形中，點(diǎn)，是，上的點(diǎn)，且，則，；[歸納與總結(jié)]根據(jù)以上規(guī)律，在正邊形中，對(duì)相鄰的三邊實(shí)施同樣的操作過(guò)程，即點(diǎn)，是，上的點(diǎn)，且，與相交于；也會(huì)有類似的結(jié)論，你的結(jié)論是．6．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）【閱讀理解】如圖1，為等邊的中心角，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，的兩邊與三角形的邊分別交于點(diǎn)．設(shè)等邊的面積為S，通過(guò)證明可得，則．【類比探究】如圖2，為正方形的中心角，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，的兩邊與正方形的邊分別交于點(diǎn)．若正方形的面積為S，請(qǐng)用含S的式子表示四邊形的面積（寫(xiě)出具體探究過(guò)程）．【拓展應(yīng)用】如圖3，為正六邊形的中心角，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，的兩邊與正六邊形的邊分別交于點(diǎn)．若四邊形面積為，請(qǐng)直接寫(xiě)出正六邊形的面積．【經(jīng)典例題六弧長(zhǎng)及扇形的面積綜合大題】1．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，內(nèi)接于，，，，．(1)度數(shù)．（直接寫(xiě)出答案）(2)求的長(zhǎng)度．(3)是上一點(diǎn)（不與，，重合），連結(jié)．①若垂直的某一邊，求的長(zhǎng)．②將點(diǎn)A繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，若恰好落在上，則的長(zhǎng)度為．（直接寫(xiě)出答案）2．（2023春·江蘇鹽城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在中，，，在上取點(diǎn)，以為圓心，以為半徑作圓，與相切于點(diǎn)，并分別與，相交于點(diǎn)，（異于點(diǎn)）．(1)求證：平分；(2)若點(diǎn)恰好是的中點(diǎn)，求扇形的面積．3．（2023·江蘇無(wú)錫·?？级＃┤鐖D，是半圓的直徑，是半圓上的一點(diǎn)不與，重合，連接，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

(1)求證：是半圓的切線；(2)若，，求陰影部分的面積．4．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，點(diǎn)D在上，以為直徑的與相切于點(diǎn)E，與相交于點(diǎn)F，(1)求CF的長(zhǎng)度；(2)求陰影部分的面積．．（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)蘇州市振華中學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）正方形與扇形有公共頂點(diǎn)O，分別以，所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系．如圖所示．正方形兩個(gè)頂點(diǎn)C、D分別在x軸、y軸正半軸上移動(dòng)．設(shè)，，(1)當(dāng)時(shí)，正方形與扇形不重合的面積是______；此時(shí)直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是______；(2)當(dāng)直線與扇形相切時(shí)．求直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)正方形有頂點(diǎn)恰好落在上時(shí)，求正方形與扇形不重合的面積．6．（2023·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，平分交于D點(diǎn)，O是上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)B、D兩點(diǎn)的分別交、于點(diǎn)E、F．(1)用尺規(guī)補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；(2)求證：與相切：(3)當(dāng)，時(shí)，求劣弧的長(zhǎng)．【經(jīng)典例題七圓錐的側(cè)面積綜合大題】1．（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖1中的某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐（如圖2），制作這種外包裝需要用如圖3所示的等腰三角形材料，其中，將扇形EAF圍成圓錐時(shí)，AE、恰好重合，已知這種加工材料的頂角．(1)求圖2中圓錐底面圓直徑ED與母線AD長(zhǎng)的比值；(2)若圓錐底面圓的直徑ED為5cm，求加工材料剩余部分（圖3中陰影部分）的面積．（結(jié)果保留π）2．（2023·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過(guò)網(wǎng)格點(diǎn)A（0，4），B（4，4）、C（6，2），請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格圖中進(jìn)行如下操作：（1）若該圓弧所在圓的圓心為D，則D點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)____________；（2）連接AD、CD，則的半徑長(zhǎng)為_(kāi)_____（結(jié)果保留根號(hào)），的度數(shù)為_(kāi)__________；（3）若扇形ADC是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，求該圓錐的底面圓的半徑長(zhǎng)．（結(jié)果保留根號(hào)）3．（2023春·江蘇宿遷·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在正方形網(wǎng)格中建立一直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過(guò)網(wǎng)格點(diǎn)A、B