第一章空間向量與立體幾何夯實(shí)基礎(chǔ)-02空間向量的數(shù)量積運(yùn)算（原卷版）

第一章空間向量與立體幾何02空間向量的數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題導(dǎo)學(xué)：1.類比平面向量數(shù)量積，你能給出空間向量數(shù)量積的定義嗎？2.空間向量數(shù)量積有哪些注意點(diǎn)？向量夾角的取值范圍有要求嗎？3.怎樣定義向量垂直？4.類似的，在空間，向量a在向量b的投影有什么意義？向量a在直線的投影呢？向量a在平面的投影呢？知識(shí)構(gòu)建知識(shí)點(diǎn)一空間向量的夾角1．定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．2．范圍：，特別地，當(dāng)時(shí)，a⊥b.知識(shí)點(diǎn)二空間向量的數(shù)量積定義已知兩個(gè)非零向量、，則叫做向量與的數(shù)量積，記作，即。規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為。性質(zhì)設(shè)，是非零向量，是單位向量，則①；②；③或；④；⑤。運(yùn)算律①，；②（交換律）；③（分配律）。求空間向量數(shù)量積的步驟①將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式；②利用向量的運(yùn)算規(guī)律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積；③代入求解。知識(shí)點(diǎn)三空間向量的投影（1）向量向向量投影（2）向量向直線投影（3）向量在直線上投影類型剖析類型一、空間向量數(shù)量積的計(jì)算類型二、利用空間向量數(shù)量積求模長(zhǎng)類型三：利用空間向量數(shù)量積求夾角類型四：利用空間向量數(shù)量積證明垂直問(wèn)題四、類型應(yīng)用題型一空間向量數(shù)量積的計(jì)算【例1】如圖，已知棱長(zhǎng)為的正四面體ABCD，點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)，求下列向量的數(shù)量積：

(1)；(2)；(3)；(4)．【跟蹤訓(xùn)練11】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）正四面體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，則______．【跟蹤訓(xùn)練12】如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，設(shè)，，，則（）A．1B．C．D．2【跟蹤訓(xùn)練13】（2024·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學(xué)校考階段練習(xí)）平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1，且兩兩夾角為，求的值是__________．類型二、利用空間向量數(shù)量積求模長(zhǎng)【例2】如圖，在平行六面體中，，．求：(1)；(2)的長(zhǎng)．【跟蹤訓(xùn)練21】如圖，在平行六面體中，，，，，，求：(1)；(2)的長(zhǎng).類型三利用空間向量數(shù)量積求夾角【例3】如圖，在平行六面體中，，，，，，E是的中點(diǎn)，設(shè)，，．(1)求的長(zhǎng)；(2)求和夾角的余弦值．【跟蹤訓(xùn)練31】（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)、分別是正四面體ABCD棱、的中點(diǎn)，則______．【跟蹤訓(xùn)練32】（2324高二上·湖北·期末）如圖，平行六面體的底面是菱形，且，，．(1)求的長(zhǎng)．(2)求異面直線與所成的角的余弦值．類型四：利用空間向量數(shù)量積證明垂直問(wèn)題【例4】（2024秋·重慶九龍坡·高二重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┤鐖D，已知平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的菱形，，(1)求線段的長(zhǎng)；(2)求證：．【跟蹤訓(xùn)練4】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知正四面體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)是的重心，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).(1)用表示，并求出；(2)求證：.五、素養(yǎng)提升【例5】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，四邊形為矩形，且，，．(1)求線段的長(zhǎng)度；(2)求異面直線與所成角的余弦值；(3)若為的中點(diǎn)，證明：．六、隨堂檢測(cè)：1．棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，則（

）

A．1 B．－1 C． D．2．已知空間單位向量，，兩兩垂直，則（

）A． B． C．3 D．63.（2324高二下·江蘇·課前預(yù)習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，則向量與的夾角是（）

A．30° B．45°4.（2024·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級(jí)中學(xué)校考期中）如圖，在平行六面體中，，，，，，則與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．5（2324高二下·福建漳州·階段練習(xí)）在平行六面體中，，，，，，則=6.如圖所示，平行六面體中，，.

(1)用向量表示向量，并求；(2)求.7.（2324高二上·河南開封·期