第一章空間向量與立體幾何夯實基礎-02空間向量的數(shù)量積運算（原卷版）

第一章空間向量與立體幾何02空間向量的數(shù)量積運算問題導學：1.類比平面向量數(shù)量積，你能給出空間向量數(shù)量積的定義嗎？2.空間向量數(shù)量積有哪些注意點？向量夾角的取值范圍有要求嗎？3.怎樣定義向量垂直？4.類似的，在空間，向量a在向量b的投影有什么意義？向量a在直線的投影呢？向量a在平面的投影呢？知識構(gòu)建知識點一空間向量的夾角1．定義：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．2．范圍：，特別地，當時，a⊥b.知識點二空間向量的數(shù)量積定義已知兩個非零向量、，則叫做向量與的數(shù)量積，記作，即。規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為。性質(zhì)設，是非零向量，是單位向量，則①；②；③或；④；⑤。運算律①，；②（交換律）；③（分配律）。求空間向量數(shù)量積的步驟①將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式；②利用向量的運算規(guī)律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積；③代入求解。知識點三空間向量的投影（1）向量向向量投影（2）向量向直線投影（3）向量在直線上投影類型剖析類型一、空間向量數(shù)量積的計算類型二、利用空間向量數(shù)量積求模長類型三：利用空間向量數(shù)量積求夾角類型四：利用空間向量數(shù)量積證明垂直問題四、類型應用題型一空間向量數(shù)量積的計算【例1】如圖，已知棱長為的正四面體ABCD，點，，分別是，，的中點，求下列向量的數(shù)量積：

(1)；(2)；(3)；(4)．【跟蹤訓練11】（2023·全國·高二專題練習）正四面體的棱長為，點、分別是、的中點，則______．【跟蹤訓練12】如圖，已知正方體的棱長為1，設，，，則（）A．1B．C．D．2【跟蹤訓練13】（2024·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學?？茧A段練習）平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為，求的值是__________．類型二、利用空間向量數(shù)量積求模長【例2】如圖，在平行六面體中，，．求：(1)；(2)的長．【跟蹤訓練21】如圖，在平行六面體中，，，，，，求：(1)；(2)的長.類型三利用空間向量數(shù)量積求夾角【例3】如圖，在平行六面體中，，，，，，E是的中點，設，，．(1)求的長；(2)求和夾角的余弦值．【跟蹤訓練31】（2024·河北·統(tǒng)考模擬預測）點、分別是正四面體ABCD棱、的中點，則______．【跟蹤訓練32】（2324高二上·湖北·期末）如圖，平行六面體的底面是菱形，且，，．(1)求的長．(2)求異面直線與所成的角的余弦值．類型四：利用空間向量數(shù)量積證明垂直問題【例4】（2024秋·重慶九龍坡·高二重慶實驗外國語學校校考期末）如圖，已知平行六面體中，底面是邊長為1的菱形，，(1)求線段的長；(2)求證：．【跟蹤訓練4】（2023·江蘇·高二專題練習）已知正四面體的棱長為2，點是的重心，點是線段的中點.(1)用表示，并求出；(2)求證：.五、素養(yǎng)提升【例5】（2024·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，四邊形為矩形，且，，．(1)求線段的長度；(2)求異面直線與所成角的余弦值；(3)若為的中點，證明：．六、隨堂檢測：1．棱長為2的正四面體ABCD中，點E是AD的中點，則（

）

A．1 B．－1 C． D．2．已知空間單位向量，，兩兩垂直，則（

）A． B． C．3 D．63.（2324高二下·江蘇·課前預習）如圖，在直三棱柱中，，，則向量與的夾角是（）

A．30° B．45°4.（2024·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學校考期中）如圖，在平行六面體中，，，，，，則與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．5（2324高二下·福建漳州·階段練習）在平行六面體中，，，，，，則=6.如圖所示，平行六面體中，，.

(1)用向量表示向量，并求；(2)求.7.（2324高二上·河南開封·期