第02課時(shí)平方根

第2課時(shí)平方根（解析版）核心考點(diǎn)考點(diǎn)1平方根的概念理解1．（2022秋·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）144的平方根是的數(shù)學(xué)表達(dá)式是（

）A． B．C． D．思路引領(lǐng)：根據(jù)平方根定義，如果一個(gè)數(shù)平方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根．，故選C．總結(jié)提升：本題考查了平方根的的定義，熟練掌握平方根的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是與，則a的值為（）A．1 B． C．2 D．思路引領(lǐng)：根據(jù)正數(shù)有兩個(gè)平方根，且互為相反數(shù)，即可求解．由題意得：，解得：，故選：B．總結(jié)提升：本題主要考查了平方根的定義，熟練掌握正數(shù)有兩個(gè)平方根，且互為相反數(shù)；0的平方根為0；負(fù)數(shù)沒有平方根是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)2求一個(gè)數(shù)的平方根3．（2022春·福建龍巖·七年級(jí)統(tǒng)考期末）2的平方根是（）A． B． C．±2 D．2思路引領(lǐng)：直接利用平方根的定義求解即可．解：的平方根是，故選：B．總結(jié)提升：本題考查了平方根的定義，解題關(guān)鍵是牢記平方根的定義，其中一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)．4．（2023秋·吉林長春·八年級(jí)?？计谀┑钠椒礁牵ǎ〢． B． C． D．思路引領(lǐng)：根據(jù)平方根的概念：一個(gè)數(shù)x的平方等于a，這個(gè)數(shù)x叫a的平方根，即可解答．解：∵，∴的平方根是．故選：C．總結(jié)提升：本題考查了平方根，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方根的概念．5．（2022春·廣東江門·七年級(jí)校聯(lián)考期中）16的平方根是（）A． B．4 C． D．8思路引領(lǐng)：若一個(gè)數(shù)的平方等于，則這個(gè)數(shù)是的平方根，根據(jù)定義解答．解：∵，∴16的平方根是，故選：A．總結(jié)提升：此題考查了平方根的定義，熟記定義并正確確定某一個(gè)數(shù)的平方等于16是解題的關(guān)鍵．6．（2021秋·浙江湖州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如果a，b分別是5的兩個(gè)平方根，那么________．思路引領(lǐng)：先求出a，b的值，再相乘即可．∵5的平方根是，a，b分別是5的兩個(gè)平方根，∴，故答案為．總結(jié)提升：本題考查了平方根的定義，熟練掌握平方根的定義是解答本題的關(guān)鍵，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，則這個(gè)數(shù)叫做a的平方根，即，那么x叫做a的平方根，記作．0的平方根是0；正數(shù)有兩個(gè)不同的平方根，它們是互為相反數(shù)，0的平方根是0，負(fù)數(shù)沒有平方根．7．（2022·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）若|x|＝3，y2＝4，且x＞y，則x﹣y＝_____．思路引領(lǐng)：根據(jù)題意，利用絕對(duì)值的代數(shù)意義及平方根定義求出x與y的值，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．解：根據(jù)題意得：x＝3，y＝2或x＝3，y＝﹣2，則x﹣y＝1或5．故答案為1或5．總結(jié)提升：此題考查了代數(shù)式求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．8．（2022秋·陜西咸陽·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知是的立方根，是4的算術(shù)平方根，求的平方根．思路引領(lǐng)：根據(jù)題意得到，，代入，再由平方根定義即可得到答案．解：∵是的立方根，是4的算術(shù)平方根，∴，，∴，∴的平方根是．總結(jié)提升：本題考查立方根、算術(shù)平方根及平方根定義及計(jì)算，熟記相關(guān)定義是解決問題的關(guān)鍵．9．（2022秋·河南駐馬店·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知，，且，求的平方根．思路引領(lǐng)：根據(jù)平方根、立方根、算術(shù)平方根的定義解答即可．∵，，∴，，∵，∴，，∴，∴的平方根是：總結(jié)提升：本題主要考查了平方根、立方根、算術(shù)平方根，能夠正確得出，的值是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)3平方根的應(yīng)用10．（2022秋·河南洛陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別為與，則a的值為（）A．2 B． C．6 D．4B思路引領(lǐng)：根據(jù)一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根之間的關(guān)系，列方程，即可求解．解：一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根為與，，解得，故選：B．總結(jié)提升：本題考查了一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根之間的關(guān)系，熟練掌握和運(yùn)用一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．11．（2022秋·廣東佛山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若與是同一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根，則m的值為（）A．3 B． C．1 D．思路引領(lǐng)：根據(jù)平方根的性質(zhì)列方程求解即可；∵與是同一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根，∴與互為相反數(shù)，∴，∴，故選：D．總結(jié)提升：本題主要考查平方根的性質(zhì)及解一元一次方程，正確理解一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．12．（2021春·江蘇南通·七年級(jí)?？计谥校┤粢粋€(gè)正數(shù)的平方根是和，則m的值是_______．思路引領(lǐng)：根據(jù)平方根的定義可得，解方程即可求解．解：∵一個(gè)正數(shù)的平方根是和，∴解得：，故答案為：．總結(jié)提升：本題考查了平方根的定義，掌握一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè),它們是互為相反數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·遼寧阜新·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是和，則______．思路引領(lǐng)：根據(jù)一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)的得出方程，求解即可．解：一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是和，，解得．故答案為：．總結(jié)提升：本題考查了平方根的性質(zhì)，熟知一個(gè)正數(shù)的平方根互為相反數(shù)是解本題的關(guān)鍵．14．（2022秋·福建泉州·八年級(jí)福建省泉州第一中學(xué)?？计谥校┮阎?，．(1)若x的算術(shù)平方根為3，求a的值；(2)如果一個(gè)正數(shù)的平方根分別為x，y，求這個(gè)正數(shù)．思路引領(lǐng)：（1）先根據(jù)x的算術(shù)平方根為3，求出x的值，再解關(guān)于a的一元一次方程即可得到a的值；（2）根據(jù)一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)可得，將，代入即可求出，再求出x的平方即可．（1）解：因?yàn)閤的算術(shù)平方根為3，所以，即，所以．（2）解：根據(jù)題意得：，即：，所以，所以，所以這個(gè)正數(shù)為．總結(jié)提升：本題考查算術(shù)平方根、平方根的有關(guān)計(jì)算，解一元一次方程等，解題的關(guān)鍵是掌握一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)．15．（2022秋·甘肅蘭州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知正實(shí)數(shù)x的平方根分別是和（），若，求的平方根．思路引領(lǐng)：根據(jù)平方根的概念可得的值，然后可得問題的答案．解：正實(shí)數(shù)的平方根是和，，，，，,的平方根是．總結(jié)提升：本題考查的是平方根的概念，掌握其概念：如果一個(gè)數(shù)的平方等于，這個(gè)數(shù)就叫做的平方根，也叫做的二次方根是解答此題關(guān)鍵．16．（2022春·北京海淀·七年級(jí)?？计谥校┮阎龜?shù)a的兩個(gè)平方根分別是和，與互為相反數(shù)，求的值．思路引領(lǐng)：利用平方根的意義求出a值，再利用相反數(shù)的意義求出b值，然后將a，b值代入代數(shù)式計(jì)算即可．解：∵正數(shù)a的兩個(gè)平方根分別是和，∴，解得：．∴，∴，∵，與互為相反數(shù)，∴，解得：．當(dāng)時(shí)，．總結(jié)提升：本題主要考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)、平方根、立方根、相反數(shù)的意義等知識(shí)點(diǎn)，利用平方根和相反數(shù)的意義求出a、b的值是解題的關(guān)鍵．17．（2022春·廣東湛江·七年級(jí)?？计谥校┤魯?shù)m的平方根是a+3和2a18，求m的值．思路引領(lǐng)：根據(jù)平方根的和為零，可得一元一次方程，解得a的值，根據(jù)平方運(yùn)算，可得m的值．解：由題意得：a+3+2a18=0，解得：a=5．∴a+3=8，∴，即m的值為64．總結(jié)提升：本題主要考查實(shí)數(shù)的平方根，掌握正數(shù)的平方根互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．二、易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)1：解方程時(shí)遺漏負(fù)平方根18．（2022秋·上海青浦·八年級(jí)校考期末）方程的根是________．思路引領(lǐng)：直接根據(jù)平方根的性質(zhì)，即可求解．解：，∴或．故答案為：或總結(jié)提升：本題主要考查了利用平方根解方程，熟練掌握平方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（2022秋·江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）解方程：思路引領(lǐng)：根據(jù)平方根的性質(zhì)直接開方求解即可．解：∵，，，∴或．總結(jié)提升：此題考查了平方根的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方根的性質(zhì)．易錯(cuò)點(diǎn)2：誤把的平方根當(dāng)作a的平方根20．（2022秋·福建泉州·八年級(jí)?？计谀┫铝懈魇奖硎菊_的是（）A． B． C． D．思路引領(lǐng)：根據(jù)平方根與算術(shù)平方根的含義逐一判斷即可．解：A、，本選項(xiàng)不符合題意；B、，本選項(xiàng)不符合題意；C、，本選項(xiàng)符合題意；D、，本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．總結(jié)提升：本題考查的是平方根與算術(shù)平方根的含義，如果，那么是的平方根，其中非負(fù)數(shù)是的算術(shù)平方根，掌握“平方根與算術(shù)平方根的概念”是解本題的關(guān)鍵．21．（2022秋·山東東營·七年級(jí)東營市東營區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┑钠椒礁莀_____．思路引領(lǐng)：先根據(jù)算術(shù)平方根的定義求出，再根據(jù)平方根的定義即可求出結(jié)果．∵，的平方根為，∴的平方根是．故答案為：．總結(jié)提升：本題主要考查平方根和算術(shù)平方根的定義，解題的關(guān)鍵是熟知正數(shù)的平方根有兩個(gè)．三、拔尖角度角度1求代數(shù)式的平方根22．（2022秋·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）關(guān)于x的多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相加后不含x的二次和一次項(xiàng)，則平方根為（

）A．3 B． C． D．思路引領(lǐng)：將兩個(gè)多項(xiàng)式相加，根據(jù)相加后不含x的二次和一次項(xiàng)，求得m、n的值，再進(jìn)行計(jì)算．＋＝由題意知，，，∴，，∴，9的平方根是，∴平方根為，故選：C．總結(jié)提升：此題考查了整式的加減?化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵，同時(shí)考查了平方根的定義，熟練掌握正數(shù)有兩個(gè)平方根，0的平方根是0，負(fù)數(shù)沒有平方根．23．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）若，則的平方根為（

）A．±2 B．4 C．2 D．±4思路引領(lǐng)：根據(jù)絕對(duì)值，平方，二次根式的非負(fù)性求出x，y，z，算出代數(shù)式的值計(jì)算即可；∵，∴，解得，∴，∴；故選：D．總結(jié)提升：本題主要考查了平方根的求解，結(jié)合絕對(duì)值、二次根式的非負(fù)性計(jì)算是解題的關(guān)鍵．角度2已知數(shù)的平方根，求這個(gè)數(shù)24．（2022秋·四川宜賓·八年級(jí)四川省宜賓市第二中學(xué)校?？计谥校┤粢粋€(gè)正數(shù)的平方根分別是和，則這個(gè)正數(shù)是（

）A．1 B． C．9 D．3思路引領(lǐng)：根據(jù)一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，且互為相反數(shù)列方程求出a，進(jìn)而可求解這個(gè)正數(shù)．解：∵一個(gè)正數(shù)的平方根分別是和，∴，解得：，∴這個(gè)正數(shù)為，故選：A．總結(jié)提升：本題考查平方根、解一元一次方程，熟知一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，且互為相反數(shù)是解答的關(guān)鍵．25．（2022秋·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）如果一個(gè)正數(shù)的平方根是a+3及2a﹣15，那么這個(gè)正數(shù)是(

)A．441 B．49 C．7或21 D．49或441思路引領(lǐng)：根據(jù)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù)，由此可得a的方程，解方程即可得到a的值；進(jìn)而可得這個(gè)正數(shù)的平方根，最后可得這個(gè)正數(shù)的值．解：∵一個(gè)正數(shù)的平方根是a+3和2a﹣15，∴a+3和2a﹣15互為相反數(shù)，即(a+3)+(2a﹣15)＝0；解得a＝4，則a+3＝﹣(2a﹣15)＝7；則這個(gè)數(shù)為＝49；故選：B．總結(jié)提升：本題考查了平方根的概念、解一元一次方程，注意一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)．角度3利用平方根解方程26．（2022秋·江蘇無錫·八年級(jí)校考階段練習(xí)）求下列各式中x的值(1)；(2)．思路引領(lǐng)：（1）先求得，然后依據(jù)平方根的性質(zhì)求解即可；（2）先求得，然后依據(jù)平方根的性質(zhì)求解即可．（1）解：，∴，∴；（2）解：，∴，∴，∴或，∴或．總結(jié)提升：本題主要考查了平方根的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．27．（2022春·云南大理·七年級(jí)校考期中）求下列各式中的x．(1)x2＝49；(2)．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)平方根的定義計(jì)算即可．（2）根據(jù)平方根的定義計(jì)算即可．（1）x2=49x=；（2）(y?3)=64y－3=±8y=11或y=－5．總結(jié)提升：本題主要考查利用平方根解方程，熟練掌握平方根的計(jì)算是解決該問題的關(guān)鍵．角度4平方根的實(shí)際應(yīng)用28．（2022春·遼寧大連·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，用兩個(gè)邊長為cm的小正方形拼成一個(gè)大的正方形．(1)求大正方形的邊長：(2)若沿此大正方形邊長的方向剪出一個(gè)長方形，能否使剪出的長方形紙片的長寬之比為4：3，且面積為48？思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)已知正方形的面積關(guān)系即可求出大正方形的邊長；（2）先求出長方形的邊長，再判斷即可．（1）解：大正方形的邊長為acm，則，∵，∴．答：大正方形的邊長為8cm．（2）解：設(shè)長方形紙片的長為4xcm，寬為3xcm，則，解得，∵，∴，，，∵大正方形的邊長為8cm，符合．所以沿此大正方形邊的方向剪出一個(gè)長方形，能使剪出的長方形紙片的長寬之比為4：3，且面積為48．總結(jié)提升：本題考查了平方根的實(shí)際應(yīng)用，能根據(jù)題意列出算式是解此題的關(guān)鍵．29．（2020秋·廣東佛山·八年級(jí)佛山市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）小明是一位善于思考．勇于創(chuàng)新的同學(xué)．在學(xué)習(xí)了有關(guān)平方根的知識(shí)后，小明知道負(fù)數(shù)沒有平方根．比如：因?yàn)闆]有一個(gè)數(shù)的平方等于，所以沒有平方根．有一天，小明想：如果存在一個(gè)數(shù)，使，那么，因此就有兩個(gè)平方根了．進(jìn)一步，小明想：因?yàn)?，所以的平方根是；因?yàn)?，所以的平方根就是．?qǐng)你根據(jù)上面的信息解答下列問題：（1）求，的平方根；（2）求，，，，，，…