2021年中考復習 數學考點專項訓練-專題七十七：平行四邊形

2021中考復習數學考點專項訓練——專題七十七：平行四邊形

1.在矩形儂刀中，點后在比'上，AE=AD,DFLAE,垂足為尸

(1)求證：DXAB；

(2)若//^4/=30°,且妨=4,求助.

2.如圖，已知四邊形施力為矩形,點￡,尸分別為四、5中點，連結/尸，CE.

(1)求證：AF=CE；

(2)在"'上取點尸，連結房、PC,若310,AD=12,求△發(fā)T的面積.

3.如圖，在△胸中，ZABC=90°,即為4c的中線，過點。作血即于點￡,過點4作物的平行線,

交力的延長線于點凡在m的延長線上截取R7=切，連接比、DF.

(1)求證：BD=DF\

(2)求證：四邊形M石為菱形；

(3)若ZG=13,CF=&,求四邊形物弓的周長.

D

4.在一次課題學習活動中，老師提出了如下問題：如圖1,四邊形用力是正方形，點E是邊死的中點，

ZAEF=9Q°,且跖交正方形外角平分線"1于點尸.請你探究四與班存在怎樣的數量關系，并證明你的

結論正確.

經過探究，小明得出的結論是/￡=阮而要證明結論4￡=斯,就需要證明花和跖所在的兩個三角形全等,

但△上和△呼顯然不全等(一個是直角三角形，一個是鈍角三角形)，考慮到點￡是邊比'的中點，小明

想到的方法是如圖2,取形的中點區(qū)連接為證明△/包絲△哥C從而得到/￡=阮

請你參考小明的方法解決下列問題：

(1)如圖3,若把條件“點￡是邊比的中點''改為"點￡是邊比1上的任意一點“，其余條件不變，證明

結論AE=EF仍然成龍.

(2)如圖4,若把條件“點后是邊比1的中點”改為：“點￡是邊犯延長線上的一點“，其余條件仍不變，

那么結論心即是否還成立？若成立，請完成證明過程，若不成立，請說明理由.

BB

E

圖3圖4

5.如圖，在Rt△胸中，NO=90。，AC=2,ZABC=30°,點0為Rt△胸內一點，連接4。.BO.CO,

且N/UNCQN及%=120°.以點5為旋轉中心，將△?!必繞點8順時針方向旋轉60°,得到△/'0'

B,連接仇?'，求：

(1)ZOBO'的度數；

(2)曲+妙比'的長.

A'

6.如圖，四邊形儂刀為菱形，〃為a'上一點，連接■交對角線即于點G,并且仁2N54M

(1)求證：AG=BG；

(2)若點〃為死的中點，同時見靦=1,求三角形46的面積.

7.如圖，在口ABCD中,AC=8,放=12,點反尸在對角線初上，點￡從點8出發(fā)以1個單位每秒的速度

向點。運動，同時點尸從點。出發(fā)以相同速度向點6運動，到端點時運動停止，運動時間為6秒.

(1)求證：四邊形極下為平行四邊形.

(2)求才為何值時，四邊形力呼為矩形.

8.如圖，點2是等腰Rt△腦內一點，ZACB=90°,將△曲繞點C按逆時針方向旋轉90°得△皈BD

延長線與超相交于點A

(1)如圖1,求證：BHLAE-,

(2)如圖2,連接物、DE,當NBDC=108°,N4！5=153°時，試判斷△上的形狀，并說明理由.

圖1圖2

9.在菱形四(力中，點0是對角線的交點，￡點是邊切的中點，點尸在比1延長線上，且冉48c.

(1)求證：四邊形比斯是平行四邊形；

(2)連接加；如果DF1CF,請你寫出圖中所有的等邊三角形.

BF

10.如圖，以△胸的各邊，在邊況'的同側分別作三個正方形板/,BCFE,ACHG.

(1)求證：△應陛△胡C；

(2)求證：四邊形血旗是平行四邊形.

(3)直接回答下面兩個問題，不必證明：

①當△的滿足什么條件時，四邊形血顏是矩形？

②當△上滿足什么條件時，四邊形儂G是正方形？

11.如圖，E,尸是正方形的?的對角線4c上的兩點，且

(1)求證：四邊形況如是菱形；

(2)若正方形邊長為3,AE=\,求菱形龍加的面積.

12.如圖，在矩形屈力中，過切的中點0作皿物，分別與四、勿交于點反F.連接“BF.

(1)求證：四邊形座加是菱形；

(2)若〃是池中點，聯結W與應交于點兒AD=0M=4,則如的長是多少？

13.如圖，在四邊形四切中，AD//BC,NO=90。，%=5，點區(qū)尸分別在邊6GCD上,

且BE=DF=AD,"■與應交于點G.

(1)求證：AB=BF.

(2)當AB=5?,@=2掂，求冊的長.

14.如圖，在平行四邊形相切中，連接班.過〃點作血四于點瓦過四上一點產作R7_L4?于點G,

交應于點尸；過F作F/LLDB于氤H,連接加

(1)若龐=6,DC=IO,AD=2y/lQ,求應的長.

(2)若AE=PE,求證：Dm

E

15.如圖，在正方形用力中，等邊△曲1的頂點反尸分別在死和龍上.

(1)求證：XABE^XADF；

(2)若等邊△囪的周長為6,求正方形被笫的邊長.

16.如圖，在菱形被力中，對角線4c與即交于點0,過點。作4c的垂線，過點。作切的垂線，兩直線

相交于點反

(1)求證：四邊形比即是矩形；

(2)若31,DE=2,求四邊形的儂力面積.

17.在△板'中，N54C=90°,9是灰■邊上的中線，點￡為由的中點，過點力作相〃況1交的的延長線

于點凡連接行：

(1)求證：AD=AF；

(2)填空：①當N43°時，四邊形4如為正方形；

②連接加；當NACB=°時，四邊形儂戶為菱形.

2021中考復習數學考點專項訓練——專題七十七：平行四邊形參考答案

1.在矩形儂刀中，點后在比'上，AE=AD,DFLAE,垂足為尸

(1)求證：DXAB；

(2)若//^4/=30°,且妨=4,求助.

【答案】(1)證明：在矩形施為中，

,JAD//BC,N8=90°,

:.NAEB=ZDAF,

又YDFIAE,

...NM4=90°,

：.2DFA=4B,

，ZDAF=ZAEB

在和△癡中，＜ZDFA=ZB,

AD=AE

:.XADF@XEAB(A4S),

：.DF=AB.

(2)解：VZDFA=90°,ZFAD=30°,

：.AD=2DF,

,:DF=AB=4,

：.AD=2AB=8.

2.如圖，已知四邊形被力為矩形，點￡,尸分別為"、切中點，連結ZECE.

(1)求證：AF=CE；

(2)在"'上取點只連結反、PC,若0=10,止=12,求△限的面積.

【答案】證明：(1)?.,四邊形破力是矩形

：.AB=CD,AB//CD,AD=BC,NB=ND=90°,

?.?點瓦夕分別為四、5中點，

：.BE=AE=—AB,DF=CF=-CD

22

：.AE=BE=DF=CF,且N5=Ng90°,AD=BC,

:.XAD阻XCBE(SAG

：.AF=CE,

(2)'：AE=CF,AB//CD

...四邊形儂聲是平行四邊形，

??Sc^PEC——5>ABCFt

VCP=10,AD^\2

:.CF=5

?*-5k/?c——->5>5X12=30

22

3.如圖，在△被7中，ZABC=W°,切為4C的中線，過點。作血切于點￡,過點力作切的平行線,

交龍的延長線于點凡在"'的延長線上截取尸6=如，連接8G、DF.

(1)求證：BD=DF；

(2)求證：四邊形BDFG為菱形;

(3)若ZG=13,CF=6,求四邊形即心的周長.

'：AG//BD,BD=FG,

：.四邊形跖叨是平行四邊形，

,/CFLBD,

：.CFVAG,

又：點。是4c中點，

：.DF=^AC,

：.BD=DF；

(2)證明："：BD=DF,

二四邊形宛叨是菱形，

(3)解：設/x,則仍=13-x,AC=2x,

:在RW6F中，ZCK4=90°,

工球+C#=A*即(13-x)2+62=(2x)2,

解得：x=5,

二四邊形的周長=4劭=20.

4.在一次課題學習活動中，老師提出了如下問題：如圖1,四邊形屈力是正方形，點￡是邊比'的中點，

/幽占90°,且廝交正方形外角平分線CF于點自請你探究四與班存在怎樣的數量關系，并證明你的

結論正確.

經過探究，小明得出的結論是但既而要證明結論但愿就需要證明熊和跖所在的兩個三角形全等,

但△上和△斯顯然不全等(一個是直角三角形，一個是鈍角三角形)，考慮到點后是邊死的中點，小明

想到的方法是如圖2,取四的中點區(qū)連接防證明△儂絲△所K.從而得到止;阮

請你參考小明的方法解決下列問題：

(1)如圖3,若把條件“點E是邊比的中點”改為“點￡是邊死上的任意一點“，其余條件不變，證明

結論從三爐仍然成立.

(2)如圖4,若把條件“點￡是邊宛的中點”改為：“點￡是邊正延長線上的一點”其余條件仍不變,

那么結論但跖是否還成立？若成立，請完成證明過程，若不成立，請說明理由.

圖3圖4

【答案】(1)證明：如圖2,在池上取點八連接跖使加』

圖3

?.?四邊形儂》是正方形，

：.AB=BC,NB=NBCD=9Q。,

"：AP=EC,

：.BP=BE,

：.ABPE=^a,N/咫-135°,

???切是正方形外角的平分線，

.,.N￡gl35°,

VZ.AEF=^°,Z5=90",

：.^BAE=ZCEF,

在△月傷和△心尸中，

"ZPAE=ZCEF

<PA=EC,

,ZAPE=ZECF

:ZA跆ACEF,

：.AE=EF；

(2)證明：延長班至H,使A/f=CE,連接的

H

圖4

'：BA=BC,AH=CE,

.".ZJ￥=45",

是正方形外角的平分線，

：.4H=4ECF,

"：ZAEF=90°,Z^=90",NHAE=N吩NBEA,NCEF=NAEA/BEA,

：.4HAE=4CEF,

在△必超和△砂'中，

，ZHAE=ZCEF

-AH=CE,

ZH=ZECF

...△胡巫△儂

：.AE=EF.

5.如圖，在Rt△胸中，Zr=90°,AC=2,ZAffC=30°,點0為Rt△的內一點，連接4。.BO.CO,

且//仍=/。d=/眄1=：120。.以點8為旋轉中心，將4//繞點6順時針方向旋轉60°,得到4/0'

B,連接仇/,求：

(1)ZOBO'的度數；

(2)0A+網0C的長.

【答案】解：（1）?.?將必繞點方順時針方向旋轉60°,得到△/0'8（得到。的對應點為點。）,

：.NOBO'=60"；

（2）-：^€=90°,AC=2,ZABC=3Q0,

：.BA=4,

22=2

BC=VAB-ACV3>

?將△”?繞點6順時針方向旋轉60°,得到0'夕（得到/、。的對應點分別為點H、0'）,

：.OA=O'A',BO=BO',BA'=坳=4,NOBO'=NABA,=60°,

.?.NHBC=NCBA+NABA'=30°+60°=90°,

'：BO=BO',ZOBO'=^ABA'=60"

：./\BOO'為等邊三角形，

：.OO'=BO,NBOO'=NBO'f2=60°,

而N及解=120°,

：.^COO'=Z.BOOZ.BOO'=60°+120°=180°,

...點O'在直線CO上，

同理可得點0、O'、/共線，

：.A'C=OC+OO'+0'A'=0&0B^0A,

■:NCBA'=90",

27

二"^VBC+BA2~2V7?

即出+明第=2折.

6.如圖，四邊形幽功為菱形，〃為比'上一點，連接陰交對角線即于點G,并且/府仁2N54區(qū)

(1)求證：AG=BG；

(2)若點〃為況1的中點，同時位例=1,求三角形泌的面積.

【答案】(1)證明：?.?四邊形屈力是菱形,

,.NABD=NCBD,

：4ABM=24BAM,

NABD=NBAM,

\AG=BG；

(2)解：-：AD//BC,

,.△ADGSXMBG,

?AG=AD

?前一麗’

:點、M為死的中點,

.AD=9

"BM'

2=(AD)2=4

SABMGBM

,?*S^an;=1>

??S4Hxi=4.

7.如圖，在。ABCD中,AC=8,BD=\2,點反產在對角線加上，點￡從點8出發(fā)以1個單位每秒的速度

向點〃運動，同時點廠從點。出發(fā)以相同速度向點8運動，到端點時運動停止，運動時間為t秒.

(1)求證：四邊形儂萬為平行四邊形.

(2)求才為何值時，四邊形為矩形.

D

【答案】證明：在。ABCD中,

'：AD//BC,AD=BC,

：.NEBC=ZADF,

由題意知，BE=DF,

在△班C與△〃必中，

'BE=DF

<ZEBC=ZFDC.

BC=AD

:.△BEM4DFA(OS),

二CE=AF,

同理可得：AE=CF,

.?.四邊形儂尸為平行四邊形；

(2)當2=2或2=10時以點兒C,E,尸為頂點的四邊形為矩形；

理由：由矩形的性質知0E=0F、OA=OC,要使/的是直角，只需0E=0X0A=5AC=4cm.

則N1=N2,Z3=Z4,

?；N1+N2+N3+N4=18O°,

...2/2+2/3=180°,

r.Z2+Z3=90°

即NM1F=9O°.

此時班=加一《(BD-E玲=4(12-8)=2cm戢BE=DF=\2-2=\0cm

8.如圖，點〃是等腰Rt△儂?內一點，N4龍=90。，將△曲繞點。按逆時針方向旋轉90°得△絕BD

延長線與四相交于點"

(1)如圖1,求證：BHVAE-,

(2)如圖2,連接物、DE,當乙眥=108°,N4厲=153°時，試判斷唐的形狀，并說明理由.

A

【答案】解：(1)???將△物繞點。按逆時針方向旋轉90°得△口及

"EAC=/CBD、

VZCB^Z2=90°,

VZ2=Z1,

.?.N網■Nl=90°,

?IN的/Nl=90°,

：.ZAHB=90°,

：.BHVAEx

(2)△地應是等腰三角形，

理由：YCD=DE,N戊力=90°,

.??△以力是等腰直角三角形，

:?/EDC=45°,

??.N￡C0=45°+108°=153°,

:.4ADB=4EDB,

VNADB=4AHA/HAD,

NEDB=4DH吩NAED,

"DAH=4AED,

???△儂是等腰三角形.

9.在菱形被力中，點。是對角線的交點，￡點是邊切的中點，點尸在死延長線上，且CF=^BC.

(1)求證：四邊形比如是平行四邊形；

(2)連接用如果DF工CF,請你寫出圖中所有的等邊三角形.

【答案】(1)證明：??,四邊形極力是菱形,

：.BO=DO,

點是邊切的中點，

二龍是△戚的中位線，

：.0E〃BCnOE=—BC,

2

'：CF=—BC,

2

：.OE=CF,

'：OE//CF,

：.四邊形況?若是平行四邊形；

(2)解：,:DFXXF,￡點是邊切的中點，

二密軸，

..?但匆，

CP=^C=^CD,

二△反萬為等邊三角形；

?；四邊形歐F是平行四邊形，

：.OC=EF=CE=CF=OE,

.?.△仇若為等邊三角形；

為等邊三角形，

，N￡g60°,

：./LABC=^°,

?.?四邊形被力是菱形，

二△放為等邊三角形；

同理得為等邊三角形；

.?.圖中的等邊三角形有：XOCE,AECF,XABC、XADC

10.如圖，以△胸的各邊，在邊寬的同側分別作三個正方形板/,BCFE,ACHG.

(1)求證：△及松△9C；

(2)求證：四邊形NG是平行四邊形.

(3)直接回答下面兩個問題，不必證明：

①當△放滿足什么條件時，四邊形儂1G是矩形？

②當△被7滿足什么條件時，四邊形是正方形？

E

RC

【答案】(1)證明：?.?四邊形板/、四邊形BCFE、四邊形/頌都是正方形，

：.AC=AG,AB=BD,BC=BE,NGAC=4EBC=NDBA=9Q°.

:.NABC=NEBD(同為AEBA的余角).

在△核和△物C中，

'BD=BA

<ZDBE=ZABC.

BE=BC

：.XBD昭ABAC(SAS'),

(2)二XBD曜ABAC,

：.DE=AC=AG,4BAC=4BDE.

是正方形板/的對角線，

:.NBDA=NBAD=45°.

■:NEDA=NBDE-NBDA=NBDE-45°,

Z244^360°-Z.GAC-ZBAC-ZBAD

=360--900-ZBAC-45"

=225°-ZBAC

：.ZEDA+ZDAG=ZBDE-45°+225°-ZBAC=18O°

：.DE//AG,

二四邊形血！跖是平行四邊形(一組對邊平行且相等).

(3)①當四邊形物跖是矩形時，N%G=90。.

則/物g360°-/LBAD-/LDAG-AGAC=^°-45°-90°-90°=135°,

即當N為8135°時，平行四邊形兒蛇是矩形；

②當四邊形加(跖是正方形時，NZMG=90。，且

由①知，當N%G=90°時，N^r=135°.

?.?四邊形板/是正方形，

：.AD=42AB.

又?.?四邊形/碗是正方形，

：.AC=AG,

：.AC=y[2AB.

...當N班8135°且〃^揚5時，四邊形血如是正方形.

11.如圖，E,廠是正方形被力的對角線4c上的兩點，且但CF.

(1)求證：四邊形應加是菱形；

(2)若正方形邊長為3,AE=1,求菱形應加的面積.

D.

【答案】解：(1)證明：?.?四邊形眼力是正方形,

J.AD//BC,AD=BC,

：.4DAC=4BCA,

"：AE=CF,

:.XAD昭XCBF(SAS),

：.DE=BF,

同理力占陽

二四邊形她戶是平行四邊形，

ZACB=ZACD=45°,BC=DC,CF=CF,

：./\BCF^/\DCF(必S),

：.DF=BF,

.?.平行四邊形應加'是菱形.

(2)連接班，如圖所示：

;正方形ABCD的邊長為3,

：.AC=BD,N腕=90。,AB=AD=3,

在Rt△腕中，^VAB2+BC2=3V2

:.BD=3扇

'：AE=CF=\,

:.S想2=容>EF=/X34^X(3&-1-1)=9-3V2-

12.如圖，在矩形被切中，過被的中點0作&<1切，分別與相、切交于點反F.連接應、BF.

(1)求證：四邊形阻戶是菱形；

(2)若〃是初中點，聯結W與血交于點MAD=OM=4,則的長是多少？

【答案】(1)證明：?.?四邊形用力是矩形，

：.AB//CD,

：.NDFO=ZBEO,

?：NDOF=NEOB,OD=OB,

：./\DOF^/\BOE(A45),

：.DF=BE,

：.四邊形應如是平行四邊形，

,：EFLBD,

二四邊形阻戶是菱形.

(2)解：'：DM^AM,DO=OB,

：.OM//AB,AB=2OM=8,

：.DN=EN,ON=^BE,設DE=EB=x,

在中，則有/=42+(8-x)2,

解得x=5,

R

二0N=—.

2

13.如圖，在四邊形儂》中，AD//BC,NL=90。，BC=CD,HE,尸分別在邊比；CD上,

且BE=DF=AD,AF與比1交于點G.

(1)求證：AB=BF.

(2)當四=5&，AD=2屈,求少的長.

【答案】解：(1)證明：

■:BC=CD,BE=DF,

：.CF=CE,

在△比尸與△以方中，

'CF=CE

<ZC=ZC=90°.

BC=DC

：.^BCF^^DCE,

：.BF=DE,

'：AD//BC,BE=AD,

：.四邊形池即是平行四邊形；

'.AB=DE,

：.AB=BF.

(2)由(1)可得奶=絲=5如，設EC=FC=x,

在Rt△龍C中，由勾股定理可得/+(戶2娓)2=(5&)2,

解得：

延長"4交比延長線于點〃,

、：ADHBC,

：.ZA=/H,

9：AD=DF,

??.N1=N2,

VZ2=Z3,

:?43=4H,

：.FC=CH9

,:EH=2x=20

：.AD=EH,

AD//BC,

：.DG=EG,

14.如圖，在平行四邊形極力中，連接Z0.過D點作DE上AB于點E,過班上一點F作FGLAP于點G,

交應于點尸；過戶作加施于點，，連接敬

(1)若DE=6,DC=1Q92y5，求龐的長.

(2)若AE=PE,求證：D/fi-HF=yj2EH.

22=

???AE=7AD-DEV40-36=2，

V四邊形儂?是平行四邊形，

:.AB=CD=\O,

:.BE=AB-AE=8,

(2)方法一：如圖，過盡E作EMLHE,交陽的延長線于點M連接仍GE,DF,

■:AE=PE,且血1典

:?NPAE=NAPE=45°,

VZAGP=ZAEP=9Q°,

，點4點E,點P,點G四點共圓，

：.ZPGE=ZPAE=45°,

?：ZDGF=/DEF=90。,

???點〃，GH,點瓦點產四點共圓，

:./EDF=NPGE=45°,

?IN曲4N加F=45°,

：.DE=EF.

.：/DHF=/DEF=gy,

???點〃，點區(qū)點E點，四點共圓，

AZDFE=ZDHE=45°,ZEDF=ZEHF=45°,且EMLEH,

:.NM=/EHF=鉉。,

：.EH=EM,

：.HM=42EH,

???/頌=/龐臚=90°,

工NDEH=/FEM,且/麗=/445°,DE=EF,

:.XDEgRFEM(AA0

:.DH=MF,

：.DlhHF=MF^HF=HM=42EH.

方法二：VNAED=NDGP=/PEF=90。,/DPG=Z.EPF,

：./ADE=NPFE,

:.△AD3XPFE(A45),

:?DE=EF,

延長切到Q使DQ=FH,

■:FHLBD,

:./ED濟/DBE=/HFB^NHBF=90°,

:./EPB=/HFB,

："QDE=/HFE,

:ZQ咯4EFH(SAC,

："QED=/HEF,QE=EH,

:./QEH=/DEB=gy,

???△網是等腰直角三角形，

工QH=?EH,

:?D殺FH=y[^H.

2-

D

'E\/F0

?.z

M：/

15.如圖，在正方形屈力中，等邊△曲1的頂點反尸分別在死和龍上.

(1)求證：XABE^XADF；

(2)若等邊即的周長為6,求正方形儂刀的邊長.

【答案】(1)證明：I?四邊形被笫是正方形，

：.AB=