數(shù)學教案：估計總體的數(shù)字特征

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精5．2估計總體的數(shù)字特征eq\o(\s\up7（）,\s\do5(整體設計)）教學分析教科書通過現(xiàn)實生活中的例子，引導學生認識到：只描述平均位置的特征是不夠的，還需要描述樣本數(shù)據(jù)離散程度的特征．通過對如何描述數(shù)據(jù)離散程度的探索，使學生體驗創(chuàng)造性思維的過程．三維目標1．正確理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，學會計算數(shù)據(jù)的標準差；能根據(jù)實際問題的需要合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標準差），并作出合理的解釋；會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征，形成對數(shù)據(jù)處理過程進行初步評價的意識．2．在解決統(tǒng)計問題的過程中，進一步體會用樣本估計總體的思想,理解數(shù)形結合的數(shù)學思想和邏輯推理的數(shù)學方法；會用隨機抽樣的方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題,認識統(tǒng)計的作用，能夠辯證地理解數(shù)學知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系．重點難點教學重點：根據(jù)實際問題從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征并作出合理解釋，估計總體的基本數(shù)字特征；體會樣本數(shù)字特征具有隨機性．教學難點：用樣本平均數(shù)和標準差估計總體的平均數(shù)與標準差；能應用相關知識解決簡單的實際問題．課時安排1課時eq\o（\s\up7（),\s\do5(教學過程)）導入新課思路1.平均數(shù)為我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息，但是,有時平均數(shù)也會使我們作出對總體的片面判斷．如某地區(qū)的統(tǒng)計顯示，該地區(qū)的中學生的平均身高為176cm,給我們的印象是該地區(qū)的中學生生長發(fā)育好，身高較高．但是，假如這個平均數(shù)是從50萬名中學生中抽出的50名身高較高的學生計算出來的話,那么,這個平均數(shù)就不能代表該地區(qū)所有中學生的身體素質．因此，只有平均數(shù)難以概括樣本數(shù)據(jù)的實際狀態(tài)，于是我們學習從另外的角度來考察樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計量——標準差．(教師板書課題）思路2。在一次射擊選拔比賽中,甲、乙兩名運動員各射擊10次，命中環(huán)數(shù)如下：甲運動員：7，8,6,8,6,5,9，10，7，4；乙運動員：9,5，7,8，7,6，8,6，7，7.我們不難求得,eq\x\to(x)甲＝7,eq\x\to(x）乙＝7,兩個人射擊的平均成績是一樣的，那么,是否兩個人就沒有水平差距呢?圖1從圖1直觀上看，還是有差異的．很明顯，甲的成績比較分散，乙的成績相對集中，因此這節(jié)課我們從另外的角度來考察這兩組數(shù)據(jù)，引入課題：標準差．推進新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（提出問題）)1．如何通過頻率分布直方圖估計數(shù)字特征（中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù))？2．有甲、乙兩種鋼筋,現(xiàn)從中各抽取一個樣本（如下表)檢查它們的抗拉強度（單位:kg/mm2)，通過計算發(fā)現(xiàn)，兩個樣本的平均數(shù)均為125。甲110120130125120125135125135125乙115100125130115125125145125145哪種鋼筋的質量較好？3．某種子公司為了在當?shù)赝菩袃煞N新水稻品種，對甲、乙兩種水稻進行了連續(xù)7年的種植對比實驗,年畝產(chǎn)量分別如下（單位：千克）:甲：600，880,880，620，960，570，900(平均773）;乙：800,860,850,750,750,800,700（平均787）．請你用所學統(tǒng)計學的知識，說明選擇哪種品種推廣更好？4．全面建設小康社會是我們黨和政府的工作重心,某市按當?shù)匚飪r水平計算，人均年收入達到1.5萬元的家庭即達到小康生活水平．民政局對該市100戶家庭進行調查統(tǒng)計，它們的人均收入達到了1.6萬元，民政局即宣布該市市民生活水平已達到小康水平，你認為這樣的結論是否符合實際？5．如何考查樣本數(shù)據(jù)的離散程度的大小呢？把數(shù)據(jù)在坐標系中刻畫出來，是否能直觀地判斷數(shù)據(jù)的離散程度？討論結果：1．利用頻率分布直方圖估計眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù):估計眾數(shù)：頻率分布直方圖面積最大的方條的橫軸中點數(shù)字（最高矩形的中點）．估計中位數(shù)：中位數(shù)把頻率分布直方圖分成左右兩邊面積相等．估計平均數(shù):頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和．2。圖2由圖2可以看出，乙樣本的最小值100低于甲樣本的最小值110，乙樣本的最大值145高于甲樣本的最大值135,這說明乙種鋼筋沒有甲種鋼筋的抗拉強度穩(wěn)定．我們把一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差稱為極差（range)．由上圖可以看出,乙的極差較大，數(shù)據(jù)點較分散；甲的極差較小，數(shù)據(jù)點較集中，這說明甲比乙穩(wěn)定．運用極差對兩組數(shù)據(jù)進行比較，操作簡單方便，但如果兩組數(shù)據(jù)的集中程度差異不大時,就不容易得出結論了．3．選擇的依據(jù)應該是，產(chǎn)量高且穩(wěn)產(chǎn)的品種，所以選擇乙更為合理．4．不符合實際．原因是樣本太小，沒有代表性．在統(tǒng)計學里,對統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析，需要結合實際，側重于考察總體的相關數(shù)據(jù)特征．比如,市民平均收入問題，都是考察數(shù)據(jù)的離散程度．5．把問題3中的數(shù)據(jù)在坐標系中刻畫出來．我們可以很直觀地知道，乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)更集中在平均數(shù)的附近，即乙的離散程度小，如何用數(shù)字去刻畫這種離散程度呢?考察樣本數(shù)據(jù)的離散程度的大小，最常用的統(tǒng)計量是方差和標準差．標準差：標準差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示．所謂“平均距離”，其含義可作如下理解：假設樣本數(shù)據(jù)是x1，x2，…，xn，eq\x\to(x)表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)．xi到eq\x\to（x)的距離是｜xi－eq\x\to(x）｜（i＝1,2，…,n)．于是，樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…,xn到eq\x\to（x）的“平均距離”是s＝eq\f(|x1－\x\to(x)|＋｜x2－\x\to（x）｜＋…＋|xn－\x\to(x)｜，n）。由于上式含有絕對值，運算不太方便，因此，通常改用如下公式來計算標準差：s＝eq\r(\f（1，n)[x1－\x\to（x）2＋x2－\x\to（x)2＋…＋xn－\x\to（x）2］）.意義：標準差用來表示數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性,標準差越大，數(shù)據(jù)的離散程度就越大,也就越不穩(wěn)定；標準差越小，數(shù)據(jù)的離散程度就越小，也就越穩(wěn)定．從標準差的定義可以看出，標準差s≥0,當s＝0時，意味著所有的樣本數(shù)據(jù)都等于樣本平均數(shù)．標準差還可以用于對樣本數(shù)據(jù)的另外一種解釋．例如，在關于居民月均用水量的例子中,平均數(shù)eq\x\to（x）＝1.973，標準差s＝0.868，所以eq\x\to(x)＋s＝2。841，eq\x\to（x）＋2s＝3。709；eq\x\to（x)－s＝1.105，eq\x\to（x）－2s＝0。237.這100個數(shù)據(jù)中，在區(qū)間［eq\x\to(x）－2s,eq\x\to(x）＋2s］＝[0.237,3.709］外的只有4個，也就是說，［eq\x\to(x)－2s,eq\x\to(x）＋2s]幾乎包含了所有樣本數(shù)據(jù)．從數(shù)學的角度考慮，人們有時用標準差的平方s2——方差來代替標準差,作為測量樣本數(shù)據(jù)離散程度的工具，其中s2＝eq\f（1,n）［(x1－eq\x\to（x))2＋(x2－eq\x\to（x）)2＋…＋（xn－eq\x\to(x))2］．顯然，在刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度上，方差與標準差是一樣的．但在解決實際問題時，一般多采用標準差．需要指出的是，現(xiàn)實中的總體所包含的個體數(shù)往往是很多的，總體的平均數(shù)與標準差是不知道的．如何求得總體的平均數(shù)和標準差呢？通常的做法是用樣本的平均數(shù)和標準差去估計總體的平均數(shù)與標準差．這與前面用樣本的頻率分布來近似地代替總體分布是類似的．只要樣本的代表性好，這樣做就是合理的，也是可以接受的.兩者都是描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，現(xiàn)實中應用比較廣泛的是標準差．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（應用示例)）思路11畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖，說明它們的異同點．(1）5,5,5,5,5，5，5,5,5；（2)4，4，4,5，5，5,6，6,6；（3)3,3，4,4,5,6,6，7,7；(4)2,2,2，2，5，8，8,8，8。分析：先畫出數(shù)據(jù)的條形圖，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，利用標準差的計算公式即可算出每一組數(shù)據(jù)的標準差．解：四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖如圖3：圖3四組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是5。0，標準差分別是：0.00,0。82，1.49,2。83.它們有相同的平均數(shù)，但它們有不同的標準差，說明數(shù)據(jù)的離散程度是不一樣的．例2甲、乙兩人同時生產(chǎn)內徑為25.40mm的一種零件．為了對兩人的生產(chǎn)質量進行評比,從他們生產(chǎn)的零件中各抽出20件,量得其內徑尺寸如下(單位：mm):甲25．4625。3225.4525。3925.3625．3425.4225.4525。3825。4225．3925.4325.3925.4025.4425．4025。4225。3525。4125.39乙25．4025。4325。4425.4825。4825．4725。4925.4925。3625。3425．3325.4325。4325.3225。4725．3125.3225。3225.3225。48從生產(chǎn)的零件內徑的尺寸看,誰生產(chǎn)的質量較高？分析：每一個工人生產(chǎn)的所有零件的內徑尺寸組成一個總體．由于零件的生產(chǎn)標準已經(jīng)給出(內徑25.40mm），生產(chǎn)質量可以從總體的平均數(shù)與標準差兩個角度來衡量．總體的平均數(shù)與內徑標準尺寸25。40mm的差異大時質量低，差異小時質量高；當總體的平均數(shù)與標準尺寸很接近時,總體的標準差小的時候質量高，標準差大的時候質量低．這樣,比較兩人的生產(chǎn)質量，只要比較他們所生產(chǎn)的零件內徑尺寸所組成的兩個總體的平均數(shù)與標準差的大小即可．但是,這兩個總體的平均數(shù)與標準差都是不知道的，根據(jù)用樣本估計總體的思想，我們可以通過抽樣分別獲得相應的樣本數(shù)據(jù)，然后比較這兩個樣本的平均數(shù)、標準差,以此作為兩個總體之間差異的估計值．解：用計算器計算可得eq\x\to（x）甲≈25.401，eq\x\to(x)乙≈25.406；s甲≈0.037，s乙≈0。068.從樣本平均數(shù)看，甲生產(chǎn)的零件內徑比乙的更接近內徑標準（25。40mm）,但是差異很?。粡臉颖緲藴什羁?，由于s甲<s乙，因此甲生產(chǎn)的零件內徑比乙的穩(wěn)定程度高得多．于是，可以作出判斷，甲生產(chǎn)的零件的質量比乙的高一些．點評：從上述例子我們可以看到，對一名工人生產(chǎn)的零件內徑(總體)的質量判斷，與所抽取的零件內徑(樣本數(shù)據(jù))直接相關．顯然,我們可以從這名工人生產(chǎn)的零件中獲取許多樣本．這樣，盡管總體是同一個,但由于樣本不同，相應的樣本頻率分布與平均數(shù)、標準差等都會發(fā)生改變，這就會影響到我們對總體情況的估計．如果樣本的代表性差，那么對總體所作出的估計就會產(chǎn)生偏差；樣本沒有代表性時,對總體作出錯誤估計的可能性就非常大．這也正是我們在前面講隨機抽樣時反復強調樣本代表性的理由．在實際操作中,為了減少錯誤的發(fā)生，條件許可時,通常采取適當增加樣本容量的方法．當然，關鍵還是要改進抽樣方法，提高樣本的代表性。變式訓練某地區(qū)全體九年級的3000名學生參加了一次科學測試，為了估計學生的成績,從不同學校的不同程度的學生中抽取了100名學生的成績如下:100分12人，90分30人，80分18人,70分24人，60分12人，50分4人．請根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計該地區(qū)3000名學生的平均分、合格率(60或60分以上均屬合格）．解：因為運用計算器計算可得eq\f（100×12＋90×30＋80×18＋70×24＋60×12＋50×4，100）＝79.40，(12＋30＋18＋24＋12）÷100＝96%,所以樣本的平均分是79.40分，合格率是96%,由此來估計總體3000名學生的平均分是79。40分，合格率是96％。思路2例1甲、乙兩種水稻試驗品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下(單位：t/hm2),試根據(jù)這組數(shù)據(jù)估計哪一種水稻品種的產(chǎn)量比較穩(wěn)定．品種第1年第2年第3年第4年第5年甲9。89。910.11010.2乙9。410。310.89。79.8解：甲品種的樣本平均數(shù)為10,樣本方差為[(9。8－10)2＋（9。9－10)2＋（10.1－10)2＋(10－10)2＋(10。2－10）2]÷5＝0.02.乙品種的樣本平均數(shù)也為10，樣本方差為［（9。4－10)2＋(10。3－10)2＋（10.8－10）2＋（9。7－10)2＋(9.8－10)2]÷5＝0.24。因為0.24＞0.02，所以由這組數(shù)據(jù)可以認為甲種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定．例2為了保護學生的視力，教室內的日光燈在使用一段時間后必須更換．已知某校使用的100只日光燈在必須換掉前的使用天數(shù)如下，試估計這種日光燈的平均使用壽命和標準差．天數(shù)151~180181～210211～240241～270271～300301～330331~360361~390燈泡數(shù)1111820251672分析：用每一區(qū)間內的組中值作為相應日光燈的使用壽命，再求平均壽命．解:各組中值分別為165,195,225,255,285,315，345，375,由此算得平均數(shù)約為165×1%＋195×11%＋225×18%＋255×20%＋285×25%＋315×16％＋345×7%＋375×2%＝267。9≈268（天）．這些組中值的方差為eq\f（1,100）×［1×（165－268）2＋11×(195－268)2＋18×(225－268）2＋20×（255－268）2＋25×（285－268)2＋16×（315－268)2＋7×（345－268)2＋2×(375－268)2]＝2128.60（天2)．故所求的標準差約為eq\r（2128。60）≈46(天）．答:估計這種日光燈的平均使用壽命約為268天，標準差約為46天．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（知能訓練）)(1）在一次歌手大獎賽上,七位評委為某歌手打出的分數(shù)如下：9.4,8.4,9。4,9。9,9.6，9。4，9。7，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為________．（2)若給定一組數(shù)據(jù)x1，x2，…,xn，方差為s2,則ax1，ax2,…,axn的方差為________．(3）在相同條件下對自行車運動員甲、乙兩人進行了6次測試，測得他們的最大速度(單位：m/s）的數(shù)據(jù)如下：甲273830373531乙332938342836試判斷選誰參加某項重大比賽更合適？答案:(1)9.5，0。016(2)a2s2(3)由eq\x\to（x）甲＝33，eq\x\to（x）乙＝33，seq\o\al（2，甲）＝eq\f（47,3)＞seq\o\al(2，乙）＝eq\f(37，3),可知乙的成績比甲穩(wěn)定,應選乙參加比賽更合適．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(拓展提升）)某養(yǎng)魚專業(yè)戶在一個魚塘內放入一批魚苗，一年以后準備出售，為了在出售以前估計賣掉魚后有多少收入,這個專業(yè)戶已經(jīng)了解到市場的銷售價是每千克15元，請問，這個專業(yè)戶還應該了解什么？怎樣去了解?請你為他設計一個方案．解：這個專業(yè)戶應了解魚的總質量，可以先捕出一些魚(設有x條)，做上標記后放回魚塘，過一段時間再捕出一些魚（設有a條）,觀察其中帶有標記的魚的條數(shù)，作為一個樣本來估計總體，則eq\f（a條魚中帶有標記的條數(shù)，a)＝eq\f（魚塘中所有帶有標記的魚的條數(shù)x，魚塘中魚的總條數(shù)）。這樣就可以求得魚塘中魚的總條數(shù)，同時把第二次捕出的魚的平均質量求出來，就可以估計魚塘中魚的平均質量，進而估計全部魚的質量，最后估計出收入．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（課堂小結））1．用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征分兩類：用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)，平均數(shù)對數(shù)據(jù)有“取齊”的作用，代表一組數(shù)據(jù)的平均水平．用樣本標準差估計總體標準差．樣本容量越大,估計就越精確，標準差描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，反映了一組數(shù)據(jù)變化的幅度．2．用樣本估計總體的兩個手段(用樣本的頻率分布估計總體的分布；用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征),需要從總體中抽取一個質量較高的樣本，才能不會產(chǎn)生較大的估計偏差，且樣本容量越大，估計的結果也就越精確．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（作業(yè)））習題1—53.eq\o（\s\up7(），\s\do5（設計感想））統(tǒng)計學科，最大的特點就是與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系,也是新教科書的亮點．僅僅想借助“死記硬背一些概念及公式,簡單模仿課本例題”來學習，是絕對不行的．用樣本估計總體時,如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣本得到的信息會有偏差，其原因在于樣本的隨機性．這種偏差是不可避免的．雖然我們從樣本數(shù)據(jù)得到的分布、均值和標準差并不是總體的真正分布、均值和標準差，而只是總體的一個估計，但這種估計是合理的，特別是當樣本的容量很大時,它們確實反映了總體的信息．教師建議:親身經(jīng)歷“提出問題,收集數(shù)據(jù),分析數(shù)據(jù)，并作出合理決策”的過程,在此過程中不僅可以加深對概念等知識的深刻理解，更重要的是發(fā)展了思維，培養(yǎng)了分析及解決問題能力,同時在情感、意志等領域也得到了協(xié)調發(fā)展，這