第6講解析幾何選擇壓軸題(原卷版+解析)

第6講解析幾何選擇壓軸題1．（2021·北京海淀區(qū)·高三期末）如圖所示，在圓錐內(nèi)放入兩個球，，它們都與圓錐相切（即與圓錐的每條母線相切），切點圓（圖中粗線所示）分別為，．這兩個球都與平面相切，切點分別為，，丹德林（G·Dandelin）利用這個模型證明了平面與圓錐側(cè)面的交線為橢圓，，為此橢圓的兩個焦點，這兩個球也稱為Dandelin雙球．若圓錐的母線與它的軸的夾角為，，的半徑分別為1，4，點為上的一個定點，點為橢圓上的一個動點，則從點沿圓錐表面到達的路線長與線段的長之和的最小值是（）A．6 B．8 C． D．2．（2021北京高三二模）點P在函數(shù)y＝ex的圖象上．若滿足到直線y＝x+a的距離為的點P有且僅有3個，則實數(shù)a的值為（）A． B． C．3 D．43．（2021·北京延慶區(qū)·高三模擬）在平面直角坐標系中，直線的方程為，以點為圓心且與直線相切的所有圓中，半徑最大的圓的半徑為（）A． B． C． D．4．（2021·北京延慶區(qū)·高三模擬）已知為拋物線的焦點，過點的直線交拋物線于兩點，若，則線段的中點的橫坐標為（）A． B． C． D．5．（2021·北京西城區(qū)·高三一模）拋物線具有以下光學性質(zhì)：從焦點出發(fā)的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對稱軸．該性質(zhì)在實際生產(chǎn)中應用非常廣泛．如圖，從拋物線的焦點F發(fā)出的兩條光線a，b分別經(jīng)拋物線上的A，B兩點反射，已知兩條入射光線與x軸所成銳角均為，則兩條反射光線和之間的距離為（）A． B． C． D．6．（2021·北京海淀區(qū)·高三期中）已知點，，，則“是等邊三角形”是“直線的斜率為0”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．（2021·北京東城區(qū)·高三一模）已知橢圓的右焦點F與拋物線的焦點重合，P為橢圓與拋物線的公共點，且軸，那么橢圓的離心率為（）A． B． C． D．8．（2021·北京石景山區(qū)·高三一模）瑞士著名數(shù)學家歐拉在1765年證明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”．在平面直角坐標系中作，，點，點，且其“歐拉線”與圓相切．則圓上的點到直線的距離的最小值為（）A． B． C． D．69．（2021·北京朝陽區(qū)·高三一模）已知拋物線的焦點為F，準線為l，點P是直線l上的動點．若點A在拋物線C上，且，則（O為坐標原點）的最小值為（）A．8 B． C． D．610．（2021·北京門頭溝區(qū)·高三一模）在平面直角坐標系中，從點向直線作垂線，垂足為M，則點與點M的距離的最小值是（）A． B． C． D．1711．（2021·北京大興區(qū)一模）拋物線的焦點為．對于上一點，若的準線上只存在一個點，使得為等腰三角形，則點的橫坐標為（）A．2 B．4 C．5 D．612．（2021·北京海淀區(qū)·首都師大二附高三開學考試）曲線是平面內(nèi)到定點和定直線的距離之和等于4的點的軌跡，給出下列三個結(jié)論：①曲線關于軸對稱；②若點在曲線上，則；③若點在曲線上，則．其中真命題的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．313．（2021·北京大興區(qū)一模）已知直線經(jīng)過點，則原點到點的距離可以是（）A． B． C． D．14．（2021·北京朝陽區(qū)高三期末）在平面直角坐標系中，已知直線（）與曲線從左至右依次交于，，三點．若直線：（）上存在點滿足，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．15．（2021·北京房山區(qū)高三期末）眾所周知的“太極圖”，其形狀如對稱的陰陽兩魚互抱在一起，因而也被稱為“陰陽魚太極圖”．如圖是放在平面直角坐標系中的“太極圖”，整個圖形是一個圓形，其中黑色陰影區(qū)域在軸右側(cè)部分的邊界為一個半圓，已知直線．給出以下命題：①當時，若直線截黑色陰影區(qū)域所得兩部分面積記為，則；②當時，直線與黑色陰影區(qū)域有個公共點；③當時，直線與黑色陰影區(qū)域有個公共點．其中所有正確命題的序號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③16．（2021·北京豐臺區(qū)·高三期末）在平面直角坐標系中，，是直線上的兩點，且．若對于任意點，存在，使成立，則的最大值為（）A． B． C． D．17．（2021·北京朝陽區(qū)高三期末）已知雙曲線（，）的左焦點為，右頂點為，過作的一條漸近線的垂線，為垂足．若，則的離心率為（）A． B． C． D．18．（2021·北京東城區(qū)·高三期末）已知拋物線（）的焦點F到準線的距離為2，過焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，且，則點A到y(tǒng)軸的距離為（）A．5 B．4 C．3 D．219．（2021北京人大附中高三月考）已知θ∈(0，)，直線l：與圓C：的公共點的個數(shù)是（）A．2個 B．1個 C．0個 D．以上都不對20．（2021北京密云區(qū)·高三期中）函數(shù)的圖象如圖所示，在區(qū)間上可找到個不同的數(shù)、、、，使得，則的取值為（）A． B． C． D．21．（2021北京市第一六一中學高三期中）以橢圓上任意一點與焦點所連接的線段為直徑的圓與以長軸為直徑的圓的位置關系是（）A．內(nèi)切 B．相交 C．相離 D．無法確定22．（2021四川宜賓四中模擬）若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為，則的離心率為（）A． B． C． D．23．（2021北京人大附中模擬）若圓P的半徑為1，且圓心為坐標原點，過圓P上一點作圓的切線，切點為Q，則的最小值為（）A． B． C．2 D．424．（2021·北京豐臺區(qū)·期末）已知點在橢圓上運動，點在圓上運動，則的最大值為A． B． C． D．25．（2021·北京平谷區(qū)·期末）已知點是圓上的動點，到直線的距離為，當變化時，的最大值為（）A． B． C． D．26．（2021北京101中學期中）已知是不同的兩點，點，且，則直線與圓的位置關系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．以上三種情況都有可能27．（2021北京市平谷區(qū)第五中學期中）已知焦點在x軸上的橢圓的方程為，隨著a的增大該橢圓的形狀A．越扁 B．越接近于圓 C．先接近于圓后越扁 D．先越扁后接近于圓28．（2021北京市平谷區(qū)第五中學期中）設某曲線上一動點M到點與到直線的距離相等，經(jīng)過點的直線l與該曲線相交于A、B兩點，且點P恰為的中點，則（）A．6 B．8 C．9 D．1029．（2021·天一大聯(lián)考）在棱長為的正四面體中，點為所在平面內(nèi)一動點，且滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．30．（2021·湖南岳陽市·高三一模）拋物線的焦點為F，點為該拋物線上的動點，點A是拋物線的準線與坐標軸的交點，則的最大值是（）A．2 B． C． D．31．（2021·河南金太陽3月聯(lián)考）已知雙曲線，點在雙曲線上，點在直線上，的傾斜角，且，雙曲線在點處的切線與平行，則的面積的最大值為（）A． B． C． D．27/28第6講解析幾何選擇壓軸題1．（2021·北京海淀區(qū)·高三期末）如圖所示，在圓錐內(nèi)放入兩個球，，它們都與圓錐相切（即與圓錐的每條母線相切），切點圓（圖中粗線所示）分別為，．這兩個球都與平面相切，切點分別為，，丹德林（G·Dandelin）利用這個模型證明了平面與圓錐側(cè)面的交線為橢圓，，為此橢圓的兩個焦點，這兩個球也稱為Dandelin雙球．若圓錐的母線與它的軸的夾角為，，的半徑分別為1，4，點為上的一個定點，點為橢圓上的一個動點，則從點沿圓錐表面到達的路線長與線段的長之和的最小值是（）

A．6 B．8 C． D．【答案】A【分析】在橢圓上任取一點，可證明，可得，設點沿圓錐表面到達的路線長為，則，當且僅當為直線與橢圓交點時取等號，即可求解．【解析】在橢圓上任取一點，連接交球于點，交球于點，連接，，，，，

在與中有：，（為球的半徑），，為公共邊，∴，∴，設點沿圓錐表面到達的路線長為，則，當且僅當為直線與橢圓交點時取等號，，∴最小值為，故選A．【名師點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵是證明得出，從而，轉(zhuǎn)化為三點共線時求．2．（2021北京高三二模）點P在函數(shù)y＝ex的圖象上．若滿足到直線y＝x+a的距離為的點P有且僅有3個，則實數(shù)a的值為（）A． B． C．3 D．4【答案】C【分析】要滿足到直線y＝x+a的距離為的點P有且僅有3個，則需要直線與函數(shù)y＝ex的圖象相交，而且點P在函數(shù)y＝ex的圖象上滿足在直線一側(cè)一個點到直線距離為，另外一側(cè)兩個點到直線距離為．于是就涉及到切線問題，需要求導數(shù)，求切點．從而解決問題．【解析】過函數(shù)y＝ex的圖象上點P（x0，y0）作切線，使得此切線與直線y＝x+a平行，y′＝ex，于是，則x0＝0，y0＝1，∴P（0，1），于是當點P到直線y＝x+a的距離為時，則滿足到直線y＝x+a的距離為的點P有且僅有3個，∴，解得a＝﹣1或a＝3，又當a＝﹣1時，函數(shù)y＝ex的圖象與直線y＝x﹣1相切，從而只有兩個點到直線距離為，∴不滿足，故a＝3，故選C．【名師點睛】本題考查利用導數(shù)求切線切點，以及曲線與直線的位置關系的綜合應用，難度較大．3．（2021·北京延慶區(qū)·高三模擬）在平面直角坐標系中，直線的方程為，以點為圓心且與直線相切的所有圓中，半徑最大的圓的半徑為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由直線方程得直線橫過定點，再將求半徑最值轉(zhuǎn)化為求點到直線距離的最值問題．【解析】由直線方程可得該直線橫過定點，又由相切可得該圓的半徑等于圓心到直線的距離，最大值為，故選B．【名師點睛】處理直線與圓的位置關系時，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達，則用幾何法；若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達較繁瑣，則用代數(shù)法．4．（2021·北京延慶區(qū)·高三模擬）已知為拋物線的焦點，過點的直線交拋物線于兩點，若，則線段的中點的橫坐標為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設出坐標，根據(jù)長度以及拋物線的焦半徑公式求解出的值，則的橫坐標可求．【解析】設，∵，∴，∴，故選B．【名師點睛】結(jié)論點睛：拋物線的焦半徑公式如下：（為焦準距）（1）焦點在軸正半軸，拋物線上任意一點，則；（2）焦點在軸負半軸，拋物線上任意一點，則；（3）焦點在軸正半軸，拋物線上任意一點，則；（4）焦點在軸負半軸，拋物線上任意一點，則．5．（2021·北京西城區(qū)·高三一模）拋物線具有以下光學性質(zhì)：從焦點出發(fā)的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對稱軸．該性質(zhì)在實際生產(chǎn)中應用非常廣泛．如圖，從拋物線的焦點F發(fā)出的兩條光線a，b分別經(jīng)拋物線上的A，B兩點反射，已知兩條入射光線與x軸所成銳角均為，則兩條反射光線和之間的距離為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由拋物線方程求出焦點坐標，即可求出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，消去，求出，同理求出，再根據(jù)計算可得；【解析】由得，，∴，即；消去得，∴，或（舍去），即；同理即；消去得，∴，或（舍去），即；∴，即兩條反射光線和之間的距離為故選C6．（2021·北京海淀區(qū)·高三期中）已知點，，，則“是等邊三角形”是“直線的斜率為0”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)三個點的坐標可知，點在拋物線上，為拋物線的焦點，利用拋物線的定義，結(jié)合充分不必要條件的定義可得結(jié)果．【解析】由，，可知，點在拋物線上，為拋物線的焦點，若是等邊三角形，則，根據(jù)拋物線的定義可知，兩點到準線的距離相等，∴直線與軸平行，其斜率為0，若直線的斜率為0，則兩點到準線的距離相等，則，只能得到是等腰三角形，不能推出是等邊三角形，∴“是等邊三角形”是“直線的斜率為0”的充分不必要條件．故選A【名師點睛】關鍵點點睛：利用拋物線的定義以及充分不必要條件的定義求解是解題關鍵．7．（2021·北京東城區(qū)·高三一模）已知橢圓的右焦點F與拋物線的焦點重合，P為橢圓與拋物線的公共點，且軸，那么橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用橢圓的右焦點與拋物線的交點重合得到，將其代入橢圓方程得到，根據(jù)離心率公式得到，解方程可得結(jié)果．【解析】由得，不妨設在第一象限，∵軸，，∴，又在橢圓中，，∴，即，∴，∴，∴，∴，∴，整理得，解得或（舍），故選A【名師點睛】關鍵點點睛：本題考查求橢圓的離心率，解題關鍵是找到關于的等量關系．利用橢圓的右焦點與拋物線的交點重合得到，將其代入橢圓方程得到，根據(jù)離心率公式可得關于的等量關系．8．（2021·北京石景山區(qū)·高三一模）瑞士著名數(shù)學家歐拉在1765年證明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”．在平面直角坐標系中作，，點，點，且其“歐拉線”與圓相切．則圓上的點到直線的距離的最小值為（）A． B． C． D．6【答案】A【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得邊上的高線，垂直平分線和中線合一，其“歐拉線”為邊的垂直平分線，運用中點坐標公式和兩直線垂直的關系，求得邊上的垂直平分線方程，再由點到直線的距離公式結(jié)合圓的對稱性得出答案．【解析】∵在中，∴邊上的高線、垂直平分線和中線合一，則其“歐拉線”為邊的垂直平分線∵點，點，∴∵直線的斜率為，∴的垂直平分線的斜率為∴的垂直平分線方程為，即∵“歐拉線”與圓相切∴可得圓心到“歐拉線”的距離為圓心到直線的距離為由圓的對稱性可知，圓上的點到直線的距離的最小值為故選A.【名師點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵在于利用距離公式得出圓心到直線的距離，再由對稱性得出最小值．9．（2021·北京朝陽區(qū)·高三一模）已知拋物線的焦點為F，準線為l，點P是直線l上的動點．若點A在拋物線C上，且，則（O為坐標原點）的最小值為（）A．8 B． C． D．6【答案】B【分析】依題意得點坐標，作點關于的對稱點，則，求即為最小值．【解析】如圖所示：作點關于的對稱點，連接，設點，不妨設，由題意知，直線l方程為，則，得，∴，得，由，當三點共線時取等號，又，∴的最小值為，故選B。【名師點睛】關鍵點點睛：作點關于的對稱點，將化為，利用三點共線是求得最小值的關鍵點．10．（2021·北京門頭溝區(qū)·高三一模）在平面直角坐標系中，從點向直線作垂線，垂足為M，則點與點M的距離的最小值是（）A． B． C． D．17【答案】A【分析】首先求出直線過定點，依題意可得在以為直徑的圓上，求出圓的方程，即可判斷點在圓外，求出到圓心的距離，減去半徑即為距離最小值；【解析】∵，∴，∴，解得，∴直線過定點；從點向直線作垂線，垂足為M，則在以為直徑的圓上，∵，，∴的中點為，，∴圓的方程為，即的軌跡方程為，∵，，∴點在圓外，，∴，故選A。11．（2021·北京大興區(qū)一模）拋物線的焦點為．對于上一點，若的準線上只存在一個點，使得為等腰三角形，則點的橫坐標為（）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】由拋物線的定義可得準線垂直時，為等腰三角形，線段的垂直平分線交準線于點此時為等腰三角形，∴點與重合，即可得為等邊三角形，利用即可求解．【解析】∴準線垂直時，由拋物線的定義可得，此時為等腰三角形，作線段的垂直平分線交準線于點，則，此時為等腰三角形，∵若的準線上只存在一個點，使得為等腰三角形，∴與重合，∴，∴，∴為等邊三角形，，，∴，整理可得：，解得：或（舍），∴則點的橫坐標為，故選D。【名師點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵點是緊扣準線上只存在一個點，使得為等腰三角形，可得準線垂直時的點應該是線段的垂直平分線與準線的交點，可得為等邊三角形．12．（2021·北京海淀區(qū)·首都師大二附高三開學考試）曲線是平面內(nèi)到定點和定直線的距離之和等于4的點的軌跡，給出下列三個結(jié)論：①曲線關于軸對稱；②若點在曲線上，則；③若點在曲線上，則．其中真命題的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】由題得曲線的軌跡方程為：，再依次討論即可．【解析】點在曲線上，則有，化簡得：．對于①，將換為，表達式不變，故①正確．對于②，∵，∴，∵，∴，∴，故②正確．對于③，∵，，∴，，∴，∴，∴，故③正確．故選D．【名師點睛】本題考查曲線的軌跡方程，利用方程研究曲線的性質(zhì)，考查運算求解能力．本題解題的關鍵在于根據(jù)已知條件得曲線上的點滿足，再分類討論得曲線的方程，進而求解．13．（2021·北京大興區(qū)一模）已知直線經(jīng)過點，則原點到點的距離可以是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可知，點在圓上，利用圓的幾何性質(zhì)可求得的取值范圍，即可得出合適的選項．【解析】由題意可得，即，即點在圓上，，∴原點在圓內(nèi)，如下圖所示：圓的圓心為，半徑為，由三角不等式可得，即，∴B選項合乎要求．故選B．【名師點睛】結(jié)論點睛：若點在圓內(nèi)，為圓上一點，則．14．（2021·北京朝陽區(qū)高三期末）在平面直角坐標系中，已知直線（）與曲線從左至右依次交于，，三點．若直線：（）上存在點滿足，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直線與曲線都關于原點對稱，得到，關于點B對稱，則，即為，然后將問題轉(zhuǎn)化為點B到直線的距離不大于1求解．【解析】∵直線與曲線都關于原點對稱，且都過原點，∴為原點，，關于點B對稱，∵直線：（）上存在點滿足，∴，則點B到直線的距離不大于1，即，解得或，∴實數(shù)的取值范圍是．故選D。15．（2021·北京房山區(qū)高三期末）眾所周知的“太極圖”，其形狀如對稱的陰陽兩魚互抱在一起，因而也被稱為“陰陽魚太極圖”．如圖是放在平面直角坐標系中的“太極圖”，整個圖形是一個圓形，其中黑色陰影區(qū)域在軸右側(cè)部分的邊界為一個半圓，已知直線．給出以下命題：①當時，若直線截黑色陰影區(qū)域所得兩部分面積記為，則；②當時，直線與黑色陰影區(qū)域有個公共點；③當時，直線與黑色陰影區(qū)域有個公共點．其中所有正確命題的序號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】根據(jù)圖形的特征，注意到直線l恒過定點(2，0)，利用直線與圓相切的條件和圓的面積公式，對選項進行逐一分析即可．【解析】如圖所示：大圓的半徑為2，小圓的半徑為1，大圓面積為，小圓面積為，∴大圓的四分之一面積為，小圓的一半面積為，對①：當a=0時，直線方程為y=0，即直線l為x軸，直線l截陰影部分的面積分為兩部分，，∴，故①正確．對②：根據(jù)題意，半圓在第一象限的方程為，若當時，直線方程為，即，與小圓圓心的距離，等于小圓半徑，∴直線與該半圓弧相切，如圖所示，直線與陰影區(qū)域只有一個公共點，故②正確；對③：當時，如圖所示：直線與黑色陰影部分的公共部分為一條線段，有無數(shù)個公共點，故錯誤；綜上所述，①②正確．故選A．【名師點睛】本題考查直線與圓的位置關系的應用，關鍵是將形成陰影的邊界分解，厘清有關圓弧的方程和計算分割成的各部分的面積，并注意直線經(jīng)過定點(2，0)，斜率為a．16．（2021·北京豐臺區(qū)·高三期末）在平面直角坐標系中，，是直線上的兩點，且．若對于任意點，存在，使成立，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】可得P是圓上任意一點，且需存在，，使點P又在以為直徑的圓上，故只需滿足圓上點到直線的最遠距離小于等于5即可求出．【解析】設，則，滿足，則點P在圓上，又存在，使成立，則點P又在以為直徑的圓上，P是圓上任意一點，，是直線上的兩點，則應滿足圓上點到直線的最遠距離小于等于5，原點到直線的距離為，則只需滿足，解得．故選C．【名師點睛】本題考查只需與圓的位置關系，解題的關鍵是得出圓上點到直線的最遠距離小于等于5．17．（2021·北京朝陽區(qū)高三期末）已知雙曲線（，）的左焦點為，右頂點為，過作的一條漸近線的垂線，為垂足．若，則的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先利用，求點的坐標，再利用與漸近線垂直，構(gòu)造關于的齊次方程，求離心率．【解析】由條件可知，，由對稱性可設條件中的漸近線方程是，線段的中垂線方程是，與漸近線方程聯(lián)立方程，解得，，即，∵與漸近線垂直，則，化簡為，即，即，兩邊同時除以，得，解得：（舍）或．故選B?！久麕燑c睛】方法點睛：本題考查雙曲線基本性質(zhì)，意在考查數(shù)形結(jié)合分析問題和解決問題的能力，一般求雙曲線離心率的方法是1．直接法：直接求出，然后利用公式求解；2．公式法：，3．構(gòu)造法：根據(jù)條件，可構(gòu)造出的齊次方程，通過等式兩邊同時除以，進而得到關于的方程．18．（2021·北京東城區(qū)·高三期末）已知拋物線（）的焦點F到準線的距離為2，過焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，且，則點A到y(tǒng)軸的距離為（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】可設出直線方程與拋物線方程聯(lián)立，得出，再由焦半徑公式表示出，得到，結(jié)合這兩個關系式可求解【解析】已知焦點F到準線的距離為2，得，可得，設，，與拋物線方程聯(lián)立可得：，，①又，，②根據(jù)①②解得，點A到y(tǒng)軸的距離為，故選C?！久麕燑c睛】拋物線中焦半徑公式如下：拋物線的焦點為F，為拋物線上的一點，則，解題時可靈活運用，減少計算難度．19．（2021北京人大附中高三月考）已知θ∈(0，)，直線l：與圓C：的公共點的個數(shù)是（）A．2個 B．1個 C．0個 D．以上都不對【答案】D【分析】由圓的方程求得圓心坐標與半徑，再由點到直線的距離公式求得圓心到直線的距離，分析與半徑的大小關系得結(jié)論．【解析】圓C：的圓心坐標為，半徑為2，圓心到直線：的距離；，則，可得，則直線與圓公共點的個數(shù)可能是2個，也可能是1個，故選D．【名師點睛】方法點睛：直線與圓的位置關系可以轉(zhuǎn)換為求圓心到直線的距離公式，進而判斷其與半徑的大小關系．20．（2021北京密云區(qū)·高三期中）函數(shù)的圖象如圖所示，在區(qū)間上可找到個不同的數(shù)、、、，使得，則的取值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設，可知直線與函數(shù)的圖象有個交點，數(shù)形結(jié)合可得出的可能取值．【解析】，則代數(shù)式表示曲線上的點與原點連線的斜率，設，可知直線與函數(shù)的圖象有個交點，作出函數(shù)與直線的圖象如下圖所示：由圖象可知，直線與函數(shù)的圖象有或或或個交點，因此，的可能取值的集合為，故選A．【名師點睛】關鍵點點睛：本題考查圖象的應用，令，將問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題是解題的關鍵，在解題時應充分理解一些代數(shù)式的幾何意義，充分利用數(shù)形結(jié)合思想來求解．21．（2021北京市第一六一中學高三期中）以橢圓上任意一點與焦點所連接的線段為直徑的圓與以長軸為直徑的圓的位置關系是（）A．內(nèi)切 B．相交 C．相離 D．無法確定【答案】A【分析】畫出圖形，分別是橢圓的左右焦點，點是橢圓上的任意一點，則，以為直徑的圓的圓心是C，連接、，然后根據(jù)由三角形中位線定理可得出兩圓圓心的長，進而判斷出位置關系．【解析】分別是橢圓的左右焦點，點是橢圓上的任意一點，則，以為直徑的圓的圓心是C，連接、，由三角形中位線定理可得：，即兩圓的圓心距離等于兩圓的半徑之差，因此，以橢圓上任意一點與焦點所連線的線段為直徑的圓與以長軸為直徑的圓的位置關系是內(nèi)切，故選A．【名師點睛】兩圓的位置關系的判定方法：設兩個圓的半徑為R和r，圓心距為d，（1）d>R+r兩圓外離，（2）d=R+r兩圓外切；（3）d=R-r兩圓內(nèi)切，（4）d<R-r兩圓內(nèi)含，（5）R-r＜d<R+r兩圓相交。22．（2021四川宜賓四中模擬）若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為，則的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由雙曲線的方程可得一條漸近線方程，根據(jù)圓的方程得圓心和半徑，運用點到直線的距離公式和弦長公式，可得a，b的關系，即可求解．【解析】不妨設雙曲線的一條漸近線為，圓的圓心為，半徑，則圓心到漸近線的距離為∴弦長，化簡得：，即，解得，∴．故選D。【名師點睛】本題主要考查了雙曲線的標準方程，雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，圓的標準方程，考查方程思想和運算能力．23．（2021北京人大附中模擬）若圓P的半徑為1，且圓心為坐標原點，過圓P上一點作圓的切線，切點為Q，則的最小值為（）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】根據(jù)題意，分析圓的圓心以及半徑，由勾股定理分析可得，當最小時，最小，由點與圓的位置關系分析的最小值，計算可得答案．【解析】由題意可知，點在圓上，圓的圓心，半徑過點作圓的切線，切點為，則當最小時，最小又由點在圓上，則的最小值為則的最小值為，故選B．【名師點睛】本題主要考查了直線與圓位置關系，涉及直線與圓相切的性質(zhì)．24．（2021·北京豐臺區(qū)·期末）已知點在橢圓上運動，點在圓上運動，則的最大值為A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件將的最大值轉(zhuǎn)化為的最值，設，表示出，結(jié)合消去，得到關于的二次函數(shù)配成頂點坐標式即可得出答案．【解析】設圓的圓心為，則，設則∴，當且僅當時取得最大值，∴，故選B．【名師點睛】橢圓幾何性質(zhì)的應用技巧：（1）與橢圓的幾何性質(zhì)有關的問題要結(jié)合圖形進行分析，即使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形；（2）橢圓相關量的范圍或最值問題常常涉及一些不等式．例如：，三角形兩邊之和大于第三邊，在求橢圓相關量的范圍或最值時，要注意應用這些不等關系．25．（2021·北京平谷區(qū)·期末）已知點是圓上的動點，到直線的距離為，當變化時，的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出圓的圓心坐標和半徑，由直線可得過定點，∵點在圓內(nèi)，則點到直線的距離的最大值等于圓心到直線的距離加上半徑，當時，圓心到直線的距離最大，可得答案．【解析】設直線，圓的圓心為由圓可得∴圓的圓心為，半徑為直線恒過定點，又點在圓內(nèi)．∴點到直線的距離的最大值等于圓心到直線的距離加上半徑．當時，圓心到直線的距離最大，此時，∴點到直線的距離的最大值為，故選D?！久麕燑c睛】關鍵點睛：本題考查求圓上的點到直線的距離的最大值問題，解答本題的關鍵是先分析出直線恒過定點，再由點到直線的距離的最大值等于圓心到直線的距離加上半徑．當時，圓心到直線的距離最大．26．（2021北京101中學期中）已知是不同的兩點，點，且，則直線與圓的位置關系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．以上三種情況都有可能【答案】C【分析】根據(jù)題意，可知直線與垂直，且點O到直線AB的距離為，與圓的半徑比較大小得到直線與圓的位置關系．【解析】∵，∴點C在圓上，根據(jù)圓的對稱性，可知C點取圓上的任意點都可以，不妨設，∵，∴在上的投影均為，如圖所示：∴有直線與垂直，且到直線的距離為，∴直線與圓的位置關系是相交，故選C．【名師點睛】思路點睛：該題所考查的是有關直線與圓的位置關系的判定，在解題的過程中注意：（1）判斷直線與圓的位置關系的關鍵點是圓心到直線的距離與半徑的關系；（2）根據(jù)向量數(shù)量積的定義式，求得線之間的關系，從而判斷出結(jié)果．27．（2021北京市平谷區(qū)第五中學期中）已知焦點在x軸上的橢圓的方程為，隨著a的增大該橢圓的形狀A．越扁 B．越接近于圓 C．先接近于圓后越扁 D．先越扁后接近于圓【答案】B【分析】首先根據(jù)橢圓成立的條件求出的取值范圍，進一步利用函數(shù)的單調(diào)性求出橢圓的離心率的變化規(guī)律，最后確定結(jié)果．【解析】依題意有解得，橢圓的離心率，令，容易判斷在上單調(diào)遞減，則，于是，當a越來越大時，e越來越趨近于0，橢圓越來越接近于圓，故選B?！久麕燑c睛】本題考查的知識要點：橢圓成立的條件，橢圓中、、的關系及函數(shù)的性質(zhì)的應用．28．（2021北京市平谷區(qū)第五中學期中）設某曲線上一動點M到點與到直線的距離相等，經(jīng)過點的直線l與該曲線相交于A、B兩點，且點P恰為的中點，則（）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】利用拋物線的定義得到拋物線的方程，結(jié)合梯形中位線和拋物線的性質(zhì)，計算即可．【解析】由曲線上一動點M到點與到直線的距離相等，知曲線為拋物線，其方程為，過點的直線l與該曲線相交于A、B兩點，且點P恰為的中點，分別過點A、B、P向拋物線的準線作垂線，垂足分別為、、，連接、，由梯形的中位線知，，，∴，故選D．【名師點睛】本題考查了拋物線定義的應