第四集：函數(shù)-周期性與對稱性-4

第四集：函數(shù)—周期性與對稱性一、周期定義：若函數(shù)滿足，則的周期為，也是函數(shù)的周期；常用周期的表達(dá)式1、的周期為2、的周期為3、的周期為4、的周期為5、的周期為6、的周期為7、的周期為8、的周期為9、若10、若，或，或，或，或，或且，則的周期；11、，則的周期；12、若，則的周期.二、函數(shù)圖象的對稱軸和對稱中心函數(shù)滿足的條件對稱軸(中心)滿足的函數(shù)的圖象[或]滿足的函數(shù)的圖象[或]滿足的函數(shù)的圖象滿足的函數(shù)的圖象滿足的函數(shù)的圖象(偶函數(shù))滿足的函數(shù)的圖象(奇函數(shù))滿足與的兩個函數(shù)的圖象滿足與的兩個函數(shù)的圖象滿足與的兩個函數(shù)的圖象三、函數(shù)周期性、對稱性與奇偶性的關(guān)系1、定義在上的函數(shù),若同時關(guān)于直線和對稱,即對于任意的實數(shù),函數(shù)同時滿足，，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，且是偶函數(shù).2、定義在上的函數(shù),若同時關(guān)于直線和點對稱,即對于任意的實數(shù),函數(shù)同時滿足，，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，且是奇函數(shù).3、定義在上的函數(shù),若同時關(guān)于點和直線對稱,即對于任意的實數(shù),函數(shù)同時滿足，，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，且是偶函數(shù).4、定義在上的函數(shù),若同時關(guān)于點和點對稱,即對于任意的實數(shù),函數(shù)同時滿足，，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，且是奇函數(shù).5、若偶函數(shù)關(guān)于直線對稱，即對于任意的實數(shù),函數(shù)滿足，則是以為周期的周期函數(shù).6、若偶函數(shù)關(guān)于點對稱，即對于任意的實數(shù),函數(shù)滿足，則是以為周期的周期函數(shù).7、若奇函數(shù)關(guān)于直線對稱，即對于任意的實數(shù),函數(shù)滿足，則是以為周期的周期函數(shù).8、若奇函數(shù)關(guān)于點對稱，即對于任意的實數(shù),函數(shù)滿足，則是以為周期的周期函數(shù).拓展：1、若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.2、若函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱.3、定義在上的函數(shù)滿足，且方程恰有個實根，則這個實根的和為.4、定義在上的函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱.典型例題例1：已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，且圖象關(guān)于點(3，0)對稱，且當(dāng)(0，3)時，，則函數(shù)在區(qū)間上的（）A．最小值為 B．最小值為C．最大值為0 D．最大值為解：函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，.又函數(shù)為奇函數(shù)，，函數(shù)是的周期函數(shù)，，，由周期性可知，函數(shù)在區(qū)間上的圖像與在區(qū)間上的圖像一樣，又當(dāng)時，，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知在區(qū)間上單調(diào)遞減，又函數(shù)為R上的奇函數(shù)，故當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，且，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)取得最小值.故函數(shù)在區(qū)間上的最小值為故選：A.例2已知是定義在R上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時，，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．方程=0最多有四個解B．函數(shù)的值域為[]C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D．f(2020)=0解：由可得：，則，所以函數(shù)的周期為2，所以，正確，排除D；再由以及，所以，則函數(shù)的對稱軸為，正確，排除C；當(dāng)時，，，又函數(shù)是奇函數(shù)，時，，，即時，又因為函數(shù)的對稱軸為，所以時，所以時又因為函數(shù)的周期為2，所以函數(shù)的值域為，正確，排除B；故選：．例3設(shè)函數(shù)fx為定義域為R的奇函數(shù)，且fx=f2?x，當(dāng)x∈0,1時，fA．6B．7C．13D．14解：由題意，函數(shù)f(?x)=?f(x)，f(x)=f(2?x)，則?f(?x)=f(2?x)，可得f(x+4)=f(x)，即函數(shù)的周期為4，且y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱．g(x)=|cos(π即方程|cos(πx)|=f(x)的零點，分別畫∵兩個函數(shù)的圖象都關(guān)于直線x=1對稱，∴方程|cos(π由圖象可知交點個數(shù)為6個，可得所有零點的和為6，故選A．例4已知函數(shù)，則（）A．1007B．1008C．2014D．2015解：函數(shù)，則，所以例5已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖像的交點為則.解：所以的圖象關(guān)于點對稱，也關(guān)于點對稱，例6定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，.若在區(qū)間上，存在個不同的整數(shù)，滿足，則的最小值為（)A．15 B．16 C．17 D．18解：定義在上的奇函數(shù)滿足，得即則的周期為8．則函數(shù)的圖形如下：比如，當(dāng)不同整數(shù)分別為-1，1，2，5，7…時，取最小值，，至少需要二又四分一個周期，則b-a的最小值為18，故選D例7已知函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點則實數(shù)的值為（）A．或 B．1或 C．或2 D．或1解：已知，①且，分別是上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則，得：，②①+②得：，由于關(guān)于對稱，則關(guān)于對稱，為偶函數(shù)，關(guān)于軸對稱，則關(guān)于對稱，由于有唯一零點，則必有，，即：，解得：或.故選：A.例8已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，函數(shù)，實數(shù)，滿足.若，，使得成立，則的最大值為（）A． B．1 C． D．2解：當(dāng)時，，令可得.∵，∴的周期為2，所以在[－1，5]的圖象所示：結(jié)合題意，當(dāng)，時，取得最大值.最大值為1.故選：B.例9定義在上的奇函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞減，若方程在上有實數(shù)根，則方程在區(qū)間上所有實根之和是（）A．30 B．14 C．12 D．6解：由知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，∵，是R上的奇函數(shù)，∴，∴，∴的周期為4，考慮的一個周期，例如，由在上是減函數(shù)知在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，對于奇函數(shù)有，，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，方程在上有實數(shù)根，則這實數(shù)根是唯一的，因為在上是單調(diào)函數(shù)，則由于，故方程在上有唯一實數(shù)，在和上，則方程在和上沒有實數(shù)根，從而方程在一個周期內(nèi)有且僅有兩個實數(shù)根，當(dāng)，方程的兩實數(shù)根之和為，當(dāng)，方程的所有6個實數(shù)根之和為.故選：A.例10已知定義域為的函數(shù)既是奇函數(shù)，又是周期為3的周期函數(shù)，當(dāng)時，，則函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)是_____．解：因為函數(shù)定義域為R，周期為3，所以如圖所示，畫出函數(shù)的函數(shù)圖像，由圖像可知在上的零點為所以共有9個零點例11已知定義域為的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)最多時，所有零點之和為__________．解：由于定義域為的奇函數(shù)滿足，∴函數(shù)為周期函數(shù)，且周期為8，當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上的零點的個數(shù)，即為函數(shù)與的交點的個數(shù)，作出函數(shù)上的函數(shù)的圖象，顯然，當(dāng)時，交點最多，符合題意，此時，零點的和為.例12已知函數(shù)，若關(guān)于的方程在定義域上有四個不同的解，則實數(shù)的取值范圍是_______.解：已知定義在上的函數(shù)若在定義域上有四個不同的解等價于關(guān)于原點對稱的函數(shù)與函數(shù)f(x)=lnx-x(x>0)的圖象有兩個交點，聯(lián)立可得有兩個解，即可設(shè)，則，進(jìn)而且不恒為零，可得在單調(diào)遞增.由可得時，單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增，即在處取得極小值且為作出的圖象，可得時，有兩個解.故答案為：例13.已知數(shù)列滿足，且(其中為數(shù)列前項和)，是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，則___________.解：因為是定義在上的奇函數(shù)，且滿足所以，所以的最小正周期為又因為數(shù)列滿足，且①；當(dāng)時，②；①減②得，所以，所以以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，即所以又所以被除余所以故答案為：0例14已知偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，若關(guān)于x的不等式在上有且只有150個整數(shù)解，則實數(shù)t的取值范圍是（）A． B． C． D．解：因為偶函數(shù)滿足，所以，即，所以函數(shù)是以6為周期的周期函數(shù)，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，函數(shù)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)遞減；當(dāng)當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，作出函數(shù)在上的圖象，如圖所示：因為不等式在上有且只有150個整數(shù)解，所以不等式在上有且只有3個整數(shù)解，當(dāng)時，不符合題意，故不等式在上有且只有3個整數(shù)解，因為，所以，即，故不等式在上的3個整數(shù)解分別為-2，2，3，所以，，即，故選：B例15已知函數(shù)，，則關(guān)于的方程在區(qū)間上的所有實根之和為（）A． B． C． D．解：當(dāng)時，，而，故，故，當(dāng)時，，而，故，故，故在上的圖象關(guān)于對稱，當(dāng)且時，，而且，故，故此時與的圖象無交點.下面僅考慮上與的圖象，如圖所示；因為，，，故在上與的圖象共有4個不同的交點，故在區(qū)間上的所有實根之和為，故選：B.小結(jié)：思路小結(jié)：不可解方程的解性質(zhì)的討論，取決于兩個函數(shù)的圖象性質(zhì)，而后者由函數(shù)的解析式來確定，根據(jù)對解析式合理變形后可發(fā)現(xiàn)其對應(yīng)的圖象性質(zhì)，另外注意利用來確定函數(shù)圖象的對稱中心.例16設(shè)函數(shù)的定義域為，滿足，且當(dāng)時，．若對任意，都有，則的取值范圍是（）A． B． C． D．解：當(dāng)時，，故，因為，故當(dāng)時，，，同理，當(dāng)時，，依次類推，可得當(dāng)時，，其中.所以當(dāng)時，必有.如圖所示，因為當(dāng)時，的取值范圍為，故若對任意，都有，則，令，或，結(jié)合函數(shù)的圖象可得，故選：D.小結(jié)：思路小結(jié)：此類問題考慮函數(shù)的“類周期性”，注意根據(jù)已知區(qū)間上函數(shù)的性質(zhì)推證函數(shù)在其他區(qū)間上的性質(zhì)，必要時應(yīng)根據(jù)性質(zhì)繪制函數(shù)的圖象，借助形來尋找臨界點.例17定義在上的函數(shù)滿足：對，都有，當(dāng)時，，給出如下結(jié)論，其中所有正確結(jié)論的序號是：____.①對，有；②函數(shù)的值域為；③存在，使得；解：因為,所以①對;因為當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此當(dāng)時，，從而函數(shù)的值域為；所以②對;因為，所以由上可得,即，無解.所以③錯；綜上正確結(jié)論的序號是①②例18已知、都是定義域為的連續(xù)函數(shù).已知：滿足：①當(dāng)時，恒成立；②都有.滿足：①都有；②當(dāng)時，.若關(guān)于的不等式對恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．解：因為都有，所以是偶函數(shù)，又當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以等價于，只需，.因為都有，即，所以是周期函數(shù)，周期為2，當(dāng)時，，所以，故時，，求導(dǎo)得，，令，解得，，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增；當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，所以時，，所以，又因為，所以，則，解得或.所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D.例19已知定義域為的函數(shù)滿足：對任何，都有，且當(dāng)時，，在下列結(jié)論中，正確命題的序號是________①對任何，都有；②