2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.4.1平面教學(xué)用書教案新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE8.4空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系8.4.1平面素養(yǎng)目標(biāo)·定方向素養(yǎng)目標(biāo)學(xué)法指導(dǎo)1．理解并駕馭平面的基本領(lǐng)實(shí)及推論.(邏輯推理)2．會(huì)用基本領(lǐng)實(shí)及推論解決有關(guān)問(wèn)題.(邏輯推理)要充分利用長(zhǎng)方體以及身邊的生活中的物品相識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面，要類比初中平面幾何中點(diǎn)、直線去相識(shí)空間中的點(diǎn)、直線、平面，逐步過(guò)渡與抽象，并確定它們之間的關(guān)系.必備學(xué)問(wèn)·探新知學(xué)問(wèn)點(diǎn)1平面1．平面的概念幾何中所說(shuō)的“平面”，是從課桌面、黑板面、安靜的水面等，這樣的一些物體中抽象出來(lái)的.類似于直線向兩端無(wú)限延長(zhǎng)，幾何中的平面是向四周__無(wú)限延展__的.2．平面的畫法我們常用矩形的直觀圖，即__平行四邊形__表示平面，它的銳角通常畫成__45°__，且橫邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)的__2__倍，如圖①.假如一個(gè)平面的一部分被另一個(gè)平面遮攔住，為了增加它的立體感，把被遮擋部分用__虛線__畫出來(lái)，如圖②.3．平面的表示法圖①的平面可表示為_(kāi)_平面α__、平面ABCD、__平面AC__或平面BD.學(xué)問(wèn)點(diǎn)2點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系1．直線在平面內(nèi)的概念假如直線l上的__全部點(diǎn)__都在平面α內(nèi)，就說(shuō)直線l在平面α內(nèi)，或者說(shuō)平面α經(jīng)過(guò)直線l.2．一些文字語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言的對(duì)應(yīng)關(guān)系：文字語(yǔ)言表達(dá)符號(hào)語(yǔ)言表示文字語(yǔ)言表達(dá)符號(hào)語(yǔ)言表示點(diǎn)A在直線l上__A∈l__點(diǎn)A在直線l外__A?l__點(diǎn)A在平面α內(nèi)__A∈α__點(diǎn)A在平面α外__A?α__直線l在平面α內(nèi)__l?α__直線l在平面α外__l?α__直線l，m相交于點(diǎn)Al∩m＝A平面α，β相交于直線lα∩β＝l學(xué)問(wèn)點(diǎn)3平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用1．基本領(lǐng)實(shí)內(nèi)容圖形符號(hào)作用基本領(lǐng)實(shí)1過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，__有且只有__一個(gè)平面A，B，C三點(diǎn)不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α一是確定平面；二是證明點(diǎn)、線共面問(wèn)題；三是推斷兩個(gè)平面重合的依據(jù)基本領(lǐng)實(shí)2假如一條直線上的__兩個(gè)點(diǎn)__在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在__這個(gè)平面內(nèi)__A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?__l?α__既可判定直線和點(diǎn)是否在平面內(nèi)，又能說(shuō)明平面是無(wú)限延展的基本領(lǐng)實(shí)3假如兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的__公共直線__P∈α且P∈β?α∩β＝l，且P∈l①判定兩平面相交的依據(jù)②判定點(diǎn)在直線上2．利用基本領(lǐng)實(shí)1和基本領(lǐng)實(shí)2，再結(jié)合“兩點(diǎn)確定一條直線”，可以得到下面三個(gè)推論：推論1__經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)__，有且只有一個(gè)平面.推論2__經(jīng)過(guò)兩條相交直線__，有且只有一個(gè)平面.推論3__經(jīng)過(guò)兩條平行直線__，有且只有一個(gè)平面.[學(xué)問(wèn)解讀]1．平面的幾個(gè)特點(diǎn)(1)平面是平的；(2)平面是沒(méi)有厚度的；(3)平面是無(wú)限延展而沒(méi)有邊界的.2．從集合的角度理解點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系(1)直線可以看成多數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的集合，故點(diǎn)與直線的關(guān)系是元素與集合的關(guān)系，用“∈”或“?”表示.(2)平面也可以看成點(diǎn)集，故點(diǎn)與平面的關(guān)系也是元素與集合的關(guān)系，用“∈”或“?”表示.(3)直線和平面都是點(diǎn)集，它們之間的關(guān)系可看成集合與集合的關(guān)系，故用“?”或“?”表示.3．精確相識(shí)三個(gè)基本領(lǐng)實(shí)的意義和作用(1)基本領(lǐng)實(shí)1意義：是在空間確定一個(gè)平面位置的方法與途徑，而確定平面是將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的重要條件，這個(gè)轉(zhuǎn)化是立體幾何中解決相當(dāng)一部分問(wèn)題的主要的思想方法.作用：①確定平面；②證明點(diǎn)、線共面.(2)基本領(lǐng)實(shí)2意義：說(shuō)明白平面與曲面的本質(zhì)區(qū)分.通過(guò)直線的“直”來(lái)刻畫平面的“平”，通過(guò)直線的“無(wú)限延長(zhǎng)”來(lái)描述平面的“無(wú)限延展”.作用：既是推斷直線是否在平面內(nèi)，又是檢驗(yàn)平面的方法.利用基本領(lǐng)實(shí)1和基本領(lǐng)實(shí)2，再結(jié)合“兩點(diǎn)確定一條直線”，可推出不共線的三點(diǎn)，一條直線和這條直線外一點(diǎn)，兩條相交直線，兩條平行直線，都能唯一確定一個(gè)平面.(3)基本領(lǐng)實(shí)3意義：揭示了兩個(gè)平面相交的主要特征，供應(yīng)了確定兩個(gè)平面交線的方法.作用：①推斷兩個(gè)平面是否相交；②確定兩個(gè)平面的交線；③證明若干點(diǎn)共線問(wèn)題.關(guān)鍵實(shí)力·攻重難題型探究題型一三種語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化典例1依據(jù)圖形用符號(hào)表示下列點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系.(1)點(diǎn)P與直線AB；(2)點(diǎn)C與直線AB；(3)點(diǎn)M與平面AC；(4)點(diǎn)A1與平面AC；(5)直線AB與直線BC；(6)直線AB與平面AC；(7)平面A1B與平面AC.[解析](1)點(diǎn)P∈直線AB；(2)點(diǎn)C?直線AB；(3)點(diǎn)M∈平面AC；(4)點(diǎn)A1?平面AC；(5)直線AB∩直線BC＝點(diǎn)B；(6)直線AB?平面AC；(7)平面A1B∩平面AC＝直線AB.[歸納提升]三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換方法(1)用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先細(xì)致視察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語(yǔ)言表示，再用符號(hào)語(yǔ)言表示.(2)要留意符號(hào)語(yǔ)言的意義，如點(diǎn)與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”，直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”.提示：依據(jù)符號(hào)語(yǔ)言或文字語(yǔ)言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要留意實(shí)線和虛線的區(qū)分.【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?(1)若點(diǎn)M在直線a上，a在平面α內(nèi)，則M、a、α間的關(guān)系可記為_(kāi)_M∈a，a?α，M∈α__；(2)依據(jù)圖，填入相應(yīng)的符號(hào)：A__∈__平面ABC，A__?__平面BCD，BD__?__平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝__AC__；(3)用符號(hào)語(yǔ)言表示下面語(yǔ)句，并畫出圖形：三個(gè)平面α、β、γ相交于一點(diǎn)P，且平面α與平面β交于PA，平面α與平面γ交于PB，平面β與平面γ交于PC.[解析](3)符號(hào)語(yǔ)言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.圖形表示：如圖所示.題型二點(diǎn)共線問(wèn)題典例2已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如圖.求證：P、Q、R三點(diǎn)共線.[分析](1)P、Q、R三點(diǎn)分別在哪幾個(gè)平面上？(2)在兩個(gè)相交平面上的點(diǎn)，有什么特點(diǎn)？[解析]證法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知：點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線上，同理可證Q、R也在平面ABC與平面α的交線上.∴P、Q、R三點(diǎn)共線.證法二：∵AP∩AR＝A，∴直線AP與直線AR確定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈面APR，C∈面APR，∴BC?面APR.又∵Q∈面APR，Q∈α，∴Q∈PR.∴P、Q、R三點(diǎn)共線.[歸納提升]點(diǎn)共線的證明方法：證明多點(diǎn)共線通常利用基本領(lǐng)實(shí)3，即兩相交平面交線的唯一性，通過(guò)證明點(diǎn)分別在兩個(gè)平面內(nèi)，證明點(diǎn)在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其他點(diǎn)也在其上.【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，對(duì)角線A1C與平面BDC1交于點(diǎn)O，AC，BD交于點(diǎn)M，求證：C1、O、[解析]由AA1∥CC1，則AA1與CC1確定一個(gè)平面A1C∵A1C?平面A1C，而O∈A1C，∴O∈平面又A1C∩平面BC1D＝O，∴O∈平面BC1D∴O點(diǎn)在平面BC1D與平面A1C又AC∩BD＝M，∴M∈平面BC1D且M∈平面A1C又C1∈平面BC1D且C1∈平面A1C∴平面A1C∩平面BC1D＝C1M，∴O∈C1M，即C1、O題型三線共面問(wèn)題典例3已知直線a∥b，直線l與a，b都相交，求證：過(guò)a，b，l有且只有一個(gè)平面.[證明]如圖所示.由已知a∥b，所以過(guò)a，b有且只有一個(gè)平面α.設(shè)a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l(xiāng)?α.即過(guò)a，b，l有且只有一個(gè)平面.[歸納提升]在證明多線共面時(shí)，可用下面的兩種方法來(lái)證明：(1)納入法：先由部分直線確定一個(gè)平面，再證明其他直線在這個(gè)平面內(nèi).(2)同一法：即先證明一些元素在一個(gè)平面內(nèi)，再證明另一些元素在另一個(gè)平面內(nèi)，然后證明這兩個(gè)平面重合，即證得全部元素在同一個(gè)平面內(nèi).【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).[證明]法一(納入法)∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個(gè)平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2．又∵l2?α，∴B∈α.同理可證C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l(xiāng)3?α.∴直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).法二(同法一、重合法)∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1，l2確定一個(gè)平面α.∵l2∩l3＝B，∴l(xiāng)2，l3確定一個(gè)平面β.∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共線的三個(gè)點(diǎn)A，B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi).∴平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).題型四線共點(diǎn)問(wèn)題典例4已知：如圖，空間四邊形ABCD中，E、H分別為BC、AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在CD上，G在AD上，且有DF︰FC＝DG︰GA＝1︰2．求證：直線EF、BD、HG交于一點(diǎn).[分析]先證EF、HG肯定相交于一點(diǎn)，再證這一點(diǎn)在直線BD上.[解析]連接EH、AC、FG.∵E、H分別為BC、AB的中點(diǎn)，∴EHeq\f(1,2)AC.∵DF︰FC＝1︰2，DG︰GA＝1︰2，∴FG∥AC，F(xiàn)G＝eq\f(1,3)AC，∴EH∥FG且EH≠FG，∴E、F、G，H四點(diǎn)共面且EFGH.∴EF與GH相交.設(shè)EF∩GH＝O，則O∈GH，O∈EF.∵GH?平面ABD，EF?平面BCD，∴O∈平面ABD，O∈平面BCD.∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴O∈BD，即直線EF、BD、HG交于一點(diǎn).[歸納提升]三線共點(diǎn)的證明方法：證明三線共點(diǎn)問(wèn)題可把其中一條作為分別過(guò)其余兩條直線的兩個(gè)平面的交線，然后再證兩條直線的交點(diǎn)在此直線上，此外還可先將其中一條直線看作某兩個(gè)平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別交于兩點(diǎn)，再證點(diǎn)重合，從而得三線共點(diǎn).【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?三個(gè)平面α、β、γ兩兩相交，交于三條直線，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，已知直線a和b不平行.求證：a、b、c三條直線必過(guò)同一點(diǎn).[解析]∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a?γ，b?γ，∵a、b不平行，∴a、b必相交，設(shè)a∩b＝P，∵P∈a，a?β，∴P∈β，同理P∈α，而α∩β＝c，∴P∈c.∴a、b、c相交于一點(diǎn)P，即a、b、c三條直線過(guò)同一點(diǎn).易錯(cuò)警示對(duì)于條件所給的點(diǎn)的位置關(guān)系考慮不全面典例5已知A、B、C、D、E五點(diǎn)中，A、B、C、D共面，B、C、D、E共面，則A、B、C、D、E五點(diǎn)肯定共面嗎？[錯(cuò)解]因?yàn)锳、B、C、D共面，所以點(diǎn)A在B、C、D所確定的平面內(nèi)，因?yàn)锽、C、D、E共面，所以點(diǎn)E也在B、C、D所確定的平面內(nèi)，所以點(diǎn)A、E都在B、C、D所確定的平面內(nèi)，即A、B、C、D、E五點(diǎn)肯定共面.[錯(cuò)因分析]錯(cuò)解忽視了公理2中“不在一條直線上的三點(diǎn)”這個(gè)重要條件，事實(shí)上B、C、D三點(diǎn)還可能共線.[正解](1)假如B、C、D三點(diǎn)不共線，則它們確定一個(gè)平面α.因?yàn)锳、B、C、D共面，所以點(diǎn)A在平面α內(nèi)，因?yàn)锽、C、D、E共面，所以點(diǎn)E在平面α內(nèi)，所以點(diǎn)A、E都在平面α內(nèi)，即A、B、C、D、E五點(diǎn)肯定共面