山東省青島實(shí)驗(yàn)高中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

山東省青島實(shí)驗(yàn)高中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．命題“，”否定是（）A.， B.，C.， D.，2．定義“等方差數(shù)列”：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)的平方與它的前一項(xiàng)的平方的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫作等方差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫作該數(shù)列的方公差．設(shè)是由正數(shù)組成的等方差數(shù)列，且方公差為4，，則數(shù)列的前24項(xiàng)和為（）A. B.3C. D.63．已知在四棱錐中，平面，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，，E為棱的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.4．若直線(xiàn)與曲線(xiàn)有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是（）A. B.C. D.5．設(shè)，直線(xiàn)，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6．有甲、乙兩個(gè)抽獎(jiǎng)箱，甲箱中有3張無(wú)獎(jiǎng)票3張有獎(jiǎng)票，乙箱中有4張無(wú)獎(jiǎng)票2張有獎(jiǎng)票，某人先從甲箱中抽出一張放進(jìn)乙箱，再?gòu)囊蚁渲腥我獬槌鲆粡?，則最后抽到有獎(jiǎng)票的概率是（）A. B.C. D.7．若拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)重合，則m的值為（）A.4 B.-4C.2 D.-28．驚艷全世界的南非雙曲線(xiàn)大教堂是由倫敦著名的建筑事務(wù)所完成的，建筑師的設(shè)計(jì)靈感源于想法：“你永無(wú)止境的愛(ài)是多么的珍貴，人們?cè)谀阈蹅サ某岚蛳卤幼o(hù)”.若將如圖所示的雙曲線(xiàn)大教堂外形弧線(xiàn)的一段近似看成雙曲線(xiàn)（）下支的一部分，且此雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，則此雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B.C. D.9．已知命題p：，，則（）A.， B.，C.， D.，10．已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，，則該直線(xiàn)的傾斜角是（）A. B.C. D.11．已知點(diǎn)是雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)，定點(diǎn)，是雙曲線(xiàn)右支上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）.A.7 B.8C.9 D.1012．如圖所示，用3種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C中，要求相鄰的矩形不能使用同一種顏色，則不同的涂法有（）ABCA.3種 B.6種C.12種 D.27種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．雙曲線(xiàn)的焦距為_(kāi)___________14．如圖，在平行六面體中，設(shè)，N是的中點(diǎn)，則向量_________．（用表示）15．作邊長(zhǎng)為6的正三角形的內(nèi)切圓，半徑記為，在這個(gè)圓內(nèi)作內(nèi)接正三角形，然后再作新三角形的內(nèi)切圓．如此下去，第n個(gè)正三角形的內(nèi)切圓半徑記為，則______，現(xiàn)有1個(gè)半徑為的圓，2個(gè)半徑為的圓，……，個(gè)半徑為的圓，n個(gè)半徑為的圓，則所有這些圓的面積之和為_(kāi)_____16．不等式的解集是________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：對(duì)任意正整數(shù)n，18．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若f(x)≥0對(duì)定義域內(nèi)的任意x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.19．（12分）浙江省新高考采用“3+3”模式，其中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三科為必考科目，另外考生根據(jù)自己實(shí)際需要在政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物、技術(shù)7門(mén)科目中自選3門(mén)參加考試．下面是某校高一200名學(xué)生在一次檢測(cè)中的物理、化學(xué)、生物三科總分成績(jī)，以組距20分成7組：[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]，畫(huà)出頻率分布直方圖如下圖所示（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）由頻率分布直方圖，求物理、化學(xué)、生物三科總分成績(jī)的第60百分位數(shù)；（3）若小明決定從“物理、化學(xué)、生物、政治、技術(shù)”五門(mén)學(xué)科中選擇三門(mén)作為自己的選考科目，求小明選中“技術(shù)”的概率20．（12分）如圖所示，平面ABCD，四邊形AEFB為矩形，，，（1）求證：平面ADE；（2）求平面CDF與平面AEFB所成銳二面角的余弦值21．（12分）如圖，已知頂點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)分別在軸，軸上移動(dòng)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，且.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡；（2）過(guò)點(diǎn)分別作直線(xiàn)交曲線(xiàn)于兩點(diǎn)，若直線(xiàn)的傾斜角互補(bǔ)，證明：直線(xiàn)的斜率為定值；（3）過(guò)點(diǎn)分別作直線(xiàn)交曲線(xiàn)于兩點(diǎn)，若，直線(xiàn)是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)，若不是，說(shuō)明理由.22．（10分）冬奧會(huì)的全稱(chēng)是冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，是世界規(guī)模最大的冬季綜合性運(yùn)動(dòng)會(huì)，每四年舉辦一屆．第24屆冬奧會(huì)將于2022年在中國(guó)北京和張家口舉行．為了弘揚(yáng)奧林匹克精神，增強(qiáng)學(xué)生的冬奧會(huì)知識(shí)，廣安市某中學(xué)校從全校隨機(jī)抽取50名學(xué)生參加冬奧會(huì)知識(shí)競(jìng)賽，并根據(jù)這50名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間（1）求頻率分布直方圖中a的值：（2）求這50名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)和中位數(shù)．（結(jié)果保留一位小數(shù)）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)含有量詞的命題的否定即可得出結(jié)論.【詳解】命題為全稱(chēng)命題，則命題的否定為：，.故選：D.2、C【解析】根據(jù)等方差數(shù)列的定義，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，運(yùn)用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槭欠焦顬?的等方差數(shù)列，所以，，∴，∴，∴，故選：C3、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，以向量法去求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值即可.【詳解】平面，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，則有，而，故平面，以A為原點(diǎn)，分別以AB、AD、AP所在直線(xiàn)為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖：則，，，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，又由題可知為平面的一個(gè)法向量，則故選：B4、D【解析】將本題轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與半圓的交點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，求出的取值范圍【詳解】將曲線(xiàn)的方程化簡(jiǎn)為即表示以為圓心，以2為半徑的一個(gè)半圓，如圖所示：當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)時(shí)最大，即，當(dāng)直線(xiàn)與下半圓相切時(shí)最小，由圓心到直線(xiàn)距離等于半徑2，可得：解得（舍去），或結(jié)合圖象可得故選：D.5、A【解析】由可求得實(shí)數(shù)的值，再利用充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】若，則，解得或，因此，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.6、B【解析】先分為在甲箱中抽出一張有獎(jiǎng)票放入乙箱和在甲箱中抽出一張無(wú)獎(jiǎng)票放入乙箱，進(jìn)而結(jié)合條件概率求概率的方法求得答案.【詳解】記表示在甲箱中抽出一張有獎(jiǎng)票放進(jìn)乙箱，表示在甲箱中抽出一張無(wú)獎(jiǎng)票放進(jìn)乙箱，A表示最后抽到有獎(jiǎng)票.所以，，于是.故選：B.7、B【解析】根據(jù)拋物線(xiàn)和橢圓焦點(diǎn)與其各自標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)系即可求解.【詳解】由題可知拋物線(xiàn)焦點(diǎn)為，橢圓左焦點(diǎn)為，∴.故選：B.8、B【解析】首先根據(jù)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程得到，從而得到，，，再求離心率即可.【詳解】雙曲線(xiàn)，，，因?yàn)殡p曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，即，所以，解得，所以，，，.故選：B9、C【解析】由全稱(chēng)命題的否定：將任意改存在并否定結(jié)論，即可寫(xiě)出原命題p的否定.【詳解】由全稱(chēng)命題的否定為特稱(chēng)命題，∴是“，”.故選：C.10、C【解析】根據(jù)直線(xiàn)的斜率公式即可求得答案.【詳解】設(shè)該直線(xiàn)的傾斜角為，該直線(xiàn)的斜率，即.故選：C11、C【解析】設(shè)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為M，作出圖形，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義可得，可得出，利用A、P、M三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取得最小值即可得解.【詳解】∵是雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)，∴，，，，設(shè)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為M，則，由雙曲線(xiàn)的定義可得，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)A、P、M三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為9.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用雙曲線(xiàn)的定義求解線(xiàn)段和的最小值，有如下方法：（1）求解橢圓、雙曲線(xiàn)有關(guān)的線(xiàn)段長(zhǎng)度和、差的最值，都可以通過(guò)相應(yīng)的圓錐曲線(xiàn)的定義分析問(wèn)題；（2）圓外一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最值，可通過(guò)連接圓外的點(diǎn)與圓心來(lái)分析求解.12、C【解析】根據(jù)給定信息，按用色多少分成兩類(lèi)，再分類(lèi)計(jì)算作答.【詳解】計(jì)算不同的涂色方法數(shù)有兩類(lèi)辦法：用3種顏色，每個(gè)矩形涂一種顏色，有種方法，用2色，矩形A，C涂同色，有種方法，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得(種)，所以不同的涂法有12種.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的方程求出，再求焦距的值.【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)方程為，所以，.雙曲線(xiàn)的焦距為.故答案為：.14、【解析】根據(jù)向量的加減法運(yùn)算法則及數(shù)乘運(yùn)算求解即可.【詳解】由向量的減法及加法運(yùn)算可得，，故答案為：15、①；②..【解析】設(shè)第n個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為，進(jìn)而根據(jù)題意求出，然后根據(jù)等面積法求出，再求出；設(shè)n個(gè)半徑為的圓的面積為并求出，進(jìn)而運(yùn)用錯(cuò)位相減法求得答案.【詳解】如示意圖1，設(shè)第n個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為，易得，則是以6為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.如示意圖2，易得：，，所以，所以.設(shè)n個(gè)半徑為的圓的面積為，則，記所有圓的面積之和為，則，所以，兩式相減得：，即.故答案為：；.16、【解析】先將分式不等式化為一元二次不等式，再根據(jù)一元二次不等式的解法解不等式即可【詳解】∵，∴（x﹣2）（x+4）＜0，∴-4＜x＜2，即不等式的解集為{x|-4＜x＜2}故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查分式不等式及一元二次不等式的解法，比較基礎(chǔ)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】(1)由，令，得，或，又的定義域?yàn)?，討論兩個(gè)根及的大小關(guān)系，即可判定函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，在，上遞減，則，即，由此能夠證明【小問(wèn)1詳解】的定義域?yàn)?，，令，得，或，①?dāng)，即時(shí)，若，則，遞增；若，則，遞減；②當(dāng)，即時(shí)，若，則，遞減；若，則，遞增；若，則，遞減；綜上所述，當(dāng)－2＜a＜0時(shí)，f(x)在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)a≥0時(shí)，f(x)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.【小問(wèn)2詳解】由(2)知當(dāng)時(shí)，在，上遞減，，即，，，，2，3，，，，【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，本題的關(guān)鍵是令a＝1，用已知函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造，再令x＝恰當(dāng)?shù)乩脤?duì)數(shù)求和進(jìn)行解題18、（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】（1）求導(dǎo)數(shù)，然后對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）利用（1）中函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)在處取得最小值，即可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】解：求導(dǎo)可得①時(shí)，令可得，由于知；令，得∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②時(shí)，令可得；令，得或，由于知或；∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；④時(shí)，令可得；令，得或，由于知或∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；【小問(wèn)2詳解】由（1）時(shí)，，（不符合，舍去）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得最小值，所以函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的任意x恒成立時(shí)，只需要即可∴.綜上，.19、（1）=0.005（2）232（3）【解析】（1）由頻率和為1列方程求解即可，（2）由于前3組的頻率和小于0.6，前4組的頻率和大于0.6，所以三科總分成績(jī)的第60百分位數(shù)在第4組內(nèi)，設(shè)第60百分位數(shù)為，則0.45+0.0125×(?220)=0.6，從而可求得結(jié)果，（3）利用列舉法求解即可【小問(wèn)1詳解】由(0.002+0.0095+0.011+0.0125+0.0075++0.0025)×20=1，解得=0.005【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.6，(0.002+0.0095+0.011+0.0125)×20=0.7>0.6，所以三科總分成績(jī)的第60百分位數(shù)在[220，240)內(nèi)，設(shè)第60百分位數(shù)為，則0.45+0.0125×(?220)=0.6，解得=232，即第60百分位數(shù)為232【小問(wèn)3詳解】將物理、化學(xué)、生物、政治、技術(shù)5門(mén)學(xué)科分別記作．則事件A表示小明選中“技術(shù)”，則，所以P(A)=20、（1）見(jiàn)解析（2）【解析】（1）根據(jù)，，從而證明平面平面ADE，從而平面ADE。（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的空間坐標(biāo)，根據(jù)向量法求解即可?！驹斀狻浚?）∵四邊形ABEF為矩形又平面ADE，AE平面ADE平面ADE又，同理可得：平面ADE又，BF，BC平面BCF∴平面平面ADE又CF平面BCF平面ADE（2）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，,,設(shè)是平面CDF的一個(gè)法向量，則即令，解得又是平面AEFB的一個(gè)法向量，∴平面CDF與平面AEFB所成銳二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何線(xiàn)面平行證明和二面角求法，線(xiàn)面平行可先證面面平行得到，屬于簡(jiǎn)單題目。21、（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)M,P,Q的坐標(biāo),將向量進(jìn)行坐標(biāo)化，整理即可得軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)，，直線(xiàn)的傾斜角互補(bǔ)，則兩直線(xiàn)斜率互為相反數(shù)，用斜率公式計(jì)算得到，即可計(jì)算kAB；（3）若，由兩直線(xiàn)斜率積為-1，可得到關(guān)于與的等量關(guān)系，寫(xiě)出直線(xiàn)AB的方程，將等量關(guān)系代入直線(xiàn)方程整理可得直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)【詳解】（1）設(shè)，，.由，得，即.因?yàn)?，所以，?/p>