專題05最大值最小值必考的填空題精煉

2023年中考數(shù)學(xué)以三種題型出現(xiàn)必考（難點）壓軸題27個小微專題精煉專題05最大值最小值必考的填空題精煉1．如圖，先有一張矩形紙片ABCD，AB＝4，BC＝8，點M，N分別在矩形的邊AD，BC上，將矩形紙片沿直線MN折疊，使點C落在矩形的邊AD上，記為點P，點D落在G處，連接PC，交MN于點Q，連接CM．下列結(jié)論：①CQ＝CD；②四邊形CMPN是菱形；③P，A重合時，MN＝2；④△PQM的面積S的取值范圍是3≤S≤5．其中正確的是（把正確結(jié)論的序號都填上）．【答案】②③．【分析】先判斷出四邊形CFHE是平行四邊形，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得CN＝NP，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明，判斷出②正確；假設(shè)CQ＝CD，得Rt△CMQ≌△CMD，進(jìn)而得∠DCM＝∠QCM＝∠BCP＝30°，這個不一定成立，判斷①錯誤；點P與點A重合時，設(shè)BN＝x，表示出AN＝NC＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得x的值，進(jìn)而用勾股定理求得MN，判斷出③正確；當(dāng)MN過D點時，求得四邊形CMPN的最小面積，進(jìn)而得S的最小值，當(dāng)P與A重合時，S的值最大，求得最大值便可．【解答】如圖1，∵PM∥CN，∴∠PMN＝∠MNC，∵∠MNC＝∠PNM，∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN，∵NC＝NP，∴PM＝CN，∵M(jìn)P∥CN，∴四邊形CNPM是平行四邊形，∵CN＝NP，∴四邊形CNPM是菱形，故②正確；∴CP⊥MN，∠BCP＝∠MCP，∴∠MQC＝∠D＝90°，∵CP＝CP，若CQ＝CD，則Rt△CMQ≌△CMD，∴∠DCM＝∠QCM＝∠BCP＝30°，這個不一定成立，故①錯誤；點P與點A重合時，如圖2，設(shè)BN＝x，則AN＝NC＝8﹣x，在Rt△ABN中，AB2+BN2＝AN2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴CN＝8﹣3＝5，AC＝，∴，∴，∴MN＝2QN＝2．故③正確；當(dāng)MN過點D時，如圖3，此時，CN最短，四邊形CMPN的面積最小，則S最小為S＝，當(dāng)P點與A點重合時，CN最長，四邊形CMPN的面積最大，則S最大為S＝，∴4≤S≤5，故④錯誤．故答案為：②③．【點評】此題是四邊形綜合題，主要考查了折疊問題與菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理的綜合應(yīng)用，熟練掌握菱形的判定定理和性質(zhì)定理、勾股定理是解本題的關(guān)鍵．2．若x、y、z為實數(shù)，且，則代數(shù)式x2﹣3y2+z2的最大值是．【答案】26【解析】，①﹣②得，y＝1+z，把y＝1+z代入①得，x＝2﹣z，則x2﹣3y2+z2＝（2﹣z）2﹣3（1+z）2+z2＝﹣z2﹣10z+1＝﹣（z+5）2+26，當(dāng)z＝5時，x2﹣3y2+z2的最大值是26，故答案為：26．3.二次函數(shù)的最大值是_______?！敬鸢浮?【解析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．∵a＝﹣1＜0，∴y有最大值，當(dāng)x＝6時，y有最大值8．故答案為8．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．二次函數(shù)y＝﹣3x2﹣2的最大值為．故答案為：﹣2．【分析】根據(jù)函數(shù)關(guān)系式，求出頂點坐標(biāo)，再根據(jù)開口向下，求出最大值．【解答】在二次函數(shù)y＝﹣3x2﹣2中，∵頂點坐標(biāo)為（0，﹣2），且a＝﹣3＜0，∴拋物線開口向下，∴二次函數(shù)y＝﹣3x2﹣2的最大值為﹣2．5．已知拋物線y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）過點A（m，3），B（n，3）兩點，若線段AB的長不大于4，則代數(shù)式a2+a+1的最小值是．【答案】．【解析】根據(jù)題意得4a+1≥3，解不等式求得a≥，把x＝代入代數(shù)式即可求得．∵拋物線y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）過點A（m，3），B（n，3）兩點，∴＝﹣＝﹣2∵線段AB的長不大于4，∴4a+1≥3∴a≥∴a2+a+1的最小值為：（）2++1＝；故答案為．【點評】考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，根據(jù)題意得出4a+1≥3是解題的關(guān)鍵．6.菱形的邊長為2，，點、分別是、上的動點，的最小值為______．【答案】【解析】過點C作CE⊥AB于E，交BD于G，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題以及垂線段最短可知CE為FG+CG的最小值，當(dāng)P與點F重合，Q與G重合時，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解．如圖，過點C作CE⊥AB于E，交BD于G，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題以及垂線段最短可知CE為FG+CG的最小值，當(dāng)P與點F重合，Q與G重合時，PQ+QC最小，菱形的邊長為2，，中，PQ+QC的最小值為故答案：【點睛】考查菱形的性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，掌握軸對稱的性質(zhì)求線段和的最小值是解題的關(guān)鍵．7.如圖，點是的角平分線上一點，，垂足為點，且，點是射線上一動點，則的最小值為________．【答案】3【解析】根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)PM⊥OC時，PM最小，再根據(jù)角的平分線的性質(zhì)，即可得出答案．根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)PM⊥OC時，PM最小，當(dāng)PM⊥OC時，又∵OP平分∠AOC，，，∴PM=PD=3故答案為：3【點睛】本題考查了垂線段最短、角平分線的性質(zhì)，熟練掌握這些知識是解題的關(guān)鍵．8．從噴水池噴頭噴出的水珠，在空中形成一條拋物線，如圖所示，在拋物線各個位置上，水珠的豎直高度y（單位：m）與它距離噴頭的水平距離x（單位：m）之間滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝﹣2x2+4x+1噴出水珠的最大高度是m．【答案】3．【解析】先把函數(shù)關(guān)系式配方，求出函數(shù)的最大值，即可得出水珠達(dá)到的最大高度．∵y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3，∴當(dāng)x＝1時，y有最大值為3，∴噴出水珠的最大高度是3m，故答案為：3．9．如圖，∠MON＝40°，以O(shè)為圓心，4為半徑作弧交OM于點A，交ON于點B，分別以點A，B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧在∠MON的內(nèi)部相交于點C，畫射線OC交于點D，E為OA上一動點，連接BE，DE，則陰影部分周長的最小值為．【答案】4+π．【解析】利用作圖得到OA＝OB＝OD＝4，∠BOD＝∠AOD＝20°，則根據(jù)弧長公式可計算出的長度為π，過B點關(guān)于OM的對稱點F，連接DF交OM于E′，連接OF，如圖，證明△ODF為等邊三角形得到DF＝4，接著利用兩點之間線段最短可判斷此時E′B+E′D的值最小，從而得到陰影部分周長的最小值．解：由作法得OC平分∠MON，OA＝OB＝OD＝4，∴∠BOD＝∠AOD＝∠MON＝×40°＝20°，∴的長度為＝π，過B點關(guān)于OM的對稱點F，連接DF交OM于E′，連接OF，如圖，∴OF＝OB，∠FOA＝∠BOA＝40°，∴OD＝OF，∴△ODF為等邊三角形，∴DF＝OD＝4，∵E′B＝E′F，∴E′B+E′D＝E′F+E′D＝DF＝4，∴此時E′B+E′D的值最小，∴陰影部分周長的最小值為4+π．故答案為4+π．10.如圖，在矩形ABCD中，，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點，的平分線交AB于點G，點P是線段DG上的一個動點，則的周長最小值為__________．【答案】【解析】在CD上取點H，使DH=DE，連接EH，PH，過點F作FK⊥CD于點K，可得DG垂直平分EH，從而得到當(dāng)點F、P、H三點共線時，的周長最小，最小值為FH+EF，再分別求出EF和FH，即可求解．如圖，在CD上取點H，使DH=DE，連接EH，PH，過點F作FK⊥CD于點K，在矩形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，∴△DEH為等腰直角三角形，∵DG平分∠ADC，∴DG垂直平分EH，∴PE=PH，∴的周長等于PE+PF+EF=PH+PF+EF≥FH+EF，∴當(dāng)點F、P、H三點共線時，的周長最小，最小值為FH+EF，∵E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點，∴AE=DE=DH=3，AF=4，∴EF=5，∵FK⊥CD，∴∠DKF=∠A=∠ADC=90°，∴四邊形ADKF為矩形，∴DK=AF=4，F(xiàn)K=AD=6，∴HK=1，∴，∴FH+EF=，即的周長最小為．故答案為：【點睛】本題主要考查了最短距離問題，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，明確題意，準(zhǔn)確得到當(dāng)點F、P、H三點共線時，的周長最小，最小值為FH+EF是解題的關(guān)鍵．11.如圖，D是等邊三角形外一點．若，連接，則的最大值與最小值的差為_____．【答案】12【解析】以CD為邊向外作等邊三角形CDE，連接BE，可證得△ECB≌△DCA從而得到BE=AD，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論．如圖1，以CD為邊向外作等邊三角形CDE，連接BE，∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，∴∠ECB=∠DCA，∴△ECB≌△DCA（SAS），∴BE=AD，∵DE=CD=6，BD=8，∴86<BE<8+6，∴2<BE<14，∴2<AD<14．∴則的最大值與最小值的差為12．故答案為：12【點睛】本題考查三角形全等與三角形的三邊關(guān)系，解題關(guān)鍵在于添加輔助線構(gòu)建全等三角形把AD轉(zhuǎn)化為BE從而求解，是一道較好的中考題．12.如圖，在中，，，，點E為邊AB上的一個動點，連接ED并延長至點F，使得，以EC、EF為鄰邊構(gòu)造，連接EG，則EG的最小值為________．【答案】9．【解析】連接FC，交EG于點O，過點D作DM//FC，交EG于點M，如圖所示，∵∴∵DM//FC，∴△DEM∽△FEO，∴，∵DM//FC，∴△DMN∽△CON，∴,∵四邊形ECGF是平行四邊形，∴CO=FO，∴∴,∴,過點C作CH⊥AB于點H，在Rt△CBH，∠B=60?，BC=8，∴CH=BCsin60?=4，根據(jù)題意得，EG必過點N，當(dāng)EN⊥CD時，EG最小，此時四邊形EHCN是矩形，∴EN=CH=4，∴EO=,∴EG=2EO=9．故答案為：9．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．13．如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊AB、BC上的動點，滿足AE＝BF，連接CE、DF，相交于點G，連接AG，若正方形的邊長為2．則線段AG的最小值為．【答案】；【解析】如圖1，取CD的中點H，連接GH，在正方形ABCD中，AB＝BC＝2，∠B＝∠DCF＝90°，∵AE＝BF，∴BE＝CF，在△DCF和△CBE中，，∴△DCF≌△CBE（SAS），∴∠CDF＝∠BCE，∵∠DCE+∠BCE＝90°，∴∠CDF+∠DCE＝90°，∴∠CGD＝90°，∴點G在以DC為直徑和圓上，如圖2，連接AC，BD交于點O，取DC的中點H，由勾股定理得：AC＝＝2，∵E、F分別是正方形ABCD的邊AB、BC上的動點，∴點G在以H為圓心，CH為半徑的圓上運動，當(dāng)點G與O重合時，AG最小，此時AG＝AO＝AC＝，即AG的最小值＝．14．如圖，AC，BD在AB的同側(cè)，AC＝2，BD＝8，AB＝8，點M為AB的中點，若∠CMD＝120°，則CD的最大值是．【答案】14【解析】如圖，作點A關(guān)于CM的對稱點A′，點B關(guān)于DM的對稱點B′，證明△A′MB′為等邊三角形，即可解決問題．如圖，作點A關(guān)于CM的對稱點A′，點B關(guān)于DM的對稱點B′．∵∠CMD＝120°，∴∠AMC+∠DMB＝60°，∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，∴∠A′MB′＝60°，∵M(jìn)A′＝MB′，∴△A′MB′為等邊三角形∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝2+4+8＝14，∴CD的最大值為14，故答案為14．【點評】本題考查翻折變換，等邊三角形的判定和性質(zhì)，兩點之間線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，學(xué)會利用兩點之間線段最短解決最值問題，屬于中考常考題型．15．如圖，在邊長為3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊上的一點，且AM＝AD，N是AB邊上的一動點，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，連接A′C．則A′C長度的最小值是．【答案】﹣1【解析】過點M作MH⊥CD交CD延長線于點H，連接CM，∵AM＝AD，AD＝CD＝3∴AM＝1，MD＝2∵CD∥AB，∴∠HDM＝∠A＝60°∴HD＝MD＝1，HM＝HD＝∴CH＝4∴MC＝＝∵將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，∴AM＝A'M＝1，∴點A'在以M為圓心，AM為半徑的圓上，∴當(dāng)點A'在線段MC上時，A'C長度有最小值∴A'C長度的最小值＝MC﹣MA'＝﹣1故答案為：﹣116．如圖，在菱形ABCD中，BC＝2，∠C＝120°，Q為AB的中點，P為對角線BD上的任意一點，則AP+PQ的最小值為．【答案】．【解析】如圖，連接PC．過點C作CH⊥AB于H．證明PA＝PC，可得PA+PA＝PC+PQ≥CH，解直角三角形求出CH，可得結(jié)論．如圖，連接PC．過點C作CH⊥AB于H．∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ABP＝∠PBC，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA＝PC，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝120°，∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，∴CH＝BC?sin60°＝，∵PA+PQ＝PC+PQ≥CH，∴PA+PQ≥，∴PA+PQ的最小值為．17．已知拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)）與y軸交于點C，點D（4，y）在拋物線上，E是該拋物線對稱軸上一動點，當(dāng)BE+DE的值最小時，△ACE的面積為．【答案】4．【解析】當(dāng)y＝0時