1.3.2空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算學(xué)案高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

深圳市鹽田高級中學(xué)20242025學(xué)年第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)學(xué)案學(xué)案內(nèi)容：高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊學(xué)生姓名：學(xué)案編寫：高二數(shù)學(xué)備課組編寫日期：2024年09月第一章空間向量與立體幾何1.6空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示一、【復(fù)習(xí)導(dǎo)入看數(shù)學(xué)】有了空間向量的坐標(biāo)表示，你能類比平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，得出空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示嗎？二、【課堂教學(xué)明新知】◆知識點(diǎn)一空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則加法a+b=

減法ab=

數(shù)乘λa=,λ∈R

數(shù)量積a·b=

◆知識點(diǎn)二空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示的應(yīng)用若a≠0,b≠0,a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則共線a∥b??(λ∈R)

垂直a⊥b??

向量長度|a|==

向量夾角公式cos<a,b>==

空間兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空間中任意兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則P1P2=OP2OP1=,P1◆探究點(diǎn)一空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算例1已知a=(2,1,2),b=(0,1,4),求a+b,ab,a·b,(a+b)·(ab).變式1：(多選題)[2024·福州六校高二期中]已知向量a=(1,2,2),b=(6,3,2),則下列結(jié)論正確的是()A.a+b=(7,1,4)B.ab=(5,1,0)C.a·b=4D.|a|=5◆探究點(diǎn)二空間向量平行、垂直的坐標(biāo)表示及應(yīng)用例2已知空間三點(diǎn)A(2,0,2),B(1,1,2),C(3,0,4).設(shè)a=AB,b=AC.(1)若|c|=3,c∥BC,求c;(2)若ka+b與ka2b互相垂直,求k.變式2：設(shè)x,y∈R,向量a=(x,1,0),b=(2,y,2),c=(1,2,1),且a⊥b,b∥c,則|a+b|=()A.14 B.10C.29 D.27◆探究點(diǎn)三利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求夾角及長度例3如圖，在棱長為1的正方體中，M為的中點(diǎn)，，分別在棱，上，，．（1）求的長．（2）求與所成角的余弦值．變式3：如圖,在棱長為2的正方體中,E,F分別是DD1,DB的中點(diǎn),G在棱CD上,且CG=13CD,H是C1G的中點(diǎn).建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,解決下列問題(1)求證:EF⊥B1C;(2)求cos<EF,C1G(3)求FH的長.拓展題：在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,P是底面ABCD(含邊界)上一動點(diǎn),滿足A1P⊥AC1,則線段A1P長度的取值范圍是 ()A.62,2 B.62,3C.[1,2] D三、【課堂檢測練能力】1.（多選題）已知空間向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．與夾角的余弦值為2.已知為單位正交基底，且，，則向量的坐標(biāo)為___________，a?b的值為___________.3.在棱長為1的正方體中，分別為的中點(diǎn)，則___________；___________.4.如圖,在四面體ABCD中,若向量AB=(3,5,2),CD=(7,1,4),E,F分別為BC,AD的中點(diǎn),則EF的坐標(biāo)為()A.(2,3,3)B.(2,3,3)C.(5,2,1)D.(5,2,1)5.已知向量a=(5,3,1),b=-2,t,-25,若a與6.在z軸上求一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)與點(diǎn)的距離相等．四、【課堂小結(jié)提素養(yǎng)】我們本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識（即學(xué)習(xí)重點(diǎn)），需要注意的點(diǎn)是什么（即學(xué)習(xí)難點(diǎn)）？1.6空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示參考答案二、課堂教學(xué)明新知例1解:a+b=(2,1,2)+(0,1,4)=(2+0,11,2+4)=(2,2,2).ab=(2,1,2)(0,1,4)=(20,1+1,24)=(2,0,6).a·b=(2,1,2)·(0,1,4)=2×0+(1)×(1)+(2)×4=7.2a·(b)=2(a·b)=2×(7)=14.(a+b)·(ab)=(2,2,2)·(2,0,6)=2×22×0+2×(6)=8.變式1AC[解析](1)對于A,因為a=(1,2,2),b=(6,3,2),所以a+b=(7,1,4),故A正確;對于B,因為a=(1,2,2),b=(6,3,2),所以ab=(5,5,0),故B錯誤;對于C,因為a=(1,2,2),b=(6,3,2),所以a·b=1×62×3+2×2=4,故C正確;對于D,因為a=(1,2,2),所以|a|=1+4+4=3,故D錯誤.故選AC.例2解:(1)因為BC=(2,1,2)且c∥BC,所以設(shè)c=λBC=(2λ,λ,2λ)(λ∈R),所以|c|=(-2?)2+(-?)2+(2?)(2)因為a=AB=(1,1,0),b=AC=(1,0,2),所以ka+b=(k1,k,2),ka2b=(k+2,k,4).因為(ka+b)⊥(ka2b),所以(ka+b)·(ka2b)=0,即(k1,k,2)·(k+2,k,4)=2k2+k10=0,解得k=2或k=52變式2C[解析]因為向量a=(x,1,0),b=(2,y,2),c=(1,2,1),且a⊥b,b∥c,所以2x+y+2×0=0,21=y-2,解得y=4,x=2,所以向量a=(2,1,0),b=(2,4,2),所以a+b=(4,3,2),所以|a+b|=42解：（1）建立如圖1.39所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為．于是．（2）由已知，得，，，，所以，，，．所以．所以所以，與所成角的余弦值是．變式3解:(1)證明:以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則D(0,0,0),E(0,0,1),F(1,1,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),B1(2,2,2),G0,4因為EF=(1,1,1),B1C=(所以EF·B1C=(1,1,1)·(2,0,2)=1×(2)+1×0+(1)×(2)=0,所以EF⊥B1C,故EF(2)因為C1G=0,-23,-因為|EF|=3,且EF·C1G=(1,1,1)·0,-23,-所以cos<EF,C1G>=EF·C1(3)因為H是C1G的中點(diǎn),所以H0,又因為F(1,1,0),所以HF=1,-故|FH|=12+-23即FH=223拓展A[解析]如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),∴AC1=(1,1,1),∵P是底面ABCD(含邊界)上一動點(diǎn),∴可設(shè)P(x,y,0)(0≤x≤1,0≤y≤1),則A1P=(x,y,1),∵A1P⊥AC1,∴A1P·AC1=x+y1=0,∴y=1x,